Fundamentos de Mecánica Recopilación de ejercicios (preparatorios del parcial I)

Escalas y geometría en física 1) Demuestre que un cilindro recto con determinado volumen tiene una superficie mínima cuando su altura es igual a su diámetro. (El kilogramo patrón se fabricó según este criterio para reducir al mínimo los errores debidos a la contaminación o corrosión de su superficie) 2) Cuando Galileo utilizó el telescopio para observar la luna notó algunas manchas (la más protuberante identificada con A) que interpretó como luz reflejándose en la cima de una montaña cuya base permanecía en la oscuridad. Si se toma la distancia d como 1/10 del radio lunar medio Rm, (3480 Km). Calcule la altura h de la montaña. Compare ésta con la del Monte Everest. 3) Se afirma que el espesor de la capa de rocío presente sobre la superficie de una hoja es de 1 µg/cm2. Exprese dicho espesor en nanómetros. 4) En películas cinematográficas y de televisión es común observar los neumáticos de los autos girando en sentido contrario al debido. El efecto se debe a que el registro cinematográfico no es continuo y permanente; por el contrario, se realiza típicamente a razón de 24 cuadros por segundo. (a)¿Cúal es la rapidez aparente de un automóvil cuyos neumáticos de 60 cm de diámetro parecen girar en retroceso a razón de π/3 radianes por segundo? (b)¿Cuál puede ser la rapidez real del automóvil? (c)¿Es posible que el efecto estroboscópico haga que su respuesta no sea unívoca, es decir, que existan otras velocidades que también cumplan con el enunciado del problema? Haga un comentario al respecto. 5) El dibujo hecho por Galileo hace más de 300 años para ilustrar el problema de escala, muestra que un hueso de mayor longitud debe ser aumentado en espesor en proporción mucho más grande a fin que los dos modelos tengan comparativamente la misma resistencia. El hueso grande en esta ilustración es alrededor de tres veces más largo que el hueso pequeño y casi nueve veces más grueso. El hueso grande sólo debe tener un grosor de 5,2 veces el del pequeño. ¿Está usted de

 

 

acuerdo? ¿Por qué? 6) El desplazamiento cuadrático medio de las partículas de una suspensión coloidal (efecto tyndall) en una dirección aumenta linealmente con el tiempo t según la igualdad:

!

x 2( ) =2kT"

t ; donde k es la constante de Boltzmann (a determinar); T, la temperatura

absoluta (˚ Kelvin) y γ, el coeficiente de fricción del medio. Para partículas esféricas de radio a la ley de Stokes establece que este coeficiente es:

!

" = 6#a$ ; con η, la viscosidad del medio.

De modo que finalmente,

!

x 2( ) =kT3"#a

t .

Las observaciones de Perrin con esferas de latex de radio medio a=2,1 x 10-5 cm suspendidas en agua a 17 0 C (η = 0,011 poise; 1poise=0,1N.s.m-2 ), confirmando las predicciones de Einstein, arrojaron desplazamientos netos

!

x 2( ) = 7,1; 10,6 y 11,3

micras para intervalos de tiempo de 30, 60 y 90 s respectivamente. a) Determine k y con ayuda de la relación,

!

k = R N0 (R= 8,3144 JK-1mol-1, la constante de los gases) determinar el número de avogadro N0 .

b) Sabiendo que en condiciones normales una mol de gas ideal contiene N0 átomos y ocupa 22,4 litros, utilice el valor hallado de k para lograr una estimación de cota superior del tamaño de un atómo.

7) En las ecuaciones siguientes, la distancia x está en metros, el tiempo t en segundos y la velocidad v en m/s. ¿Cuáles son las unidades del SI de las constantes C1 y C2?

(a) x=C1+C2t (b) x=0,5C1t2 (c) v2=2C1x (c) x=C1cos(C2t )(d) v2=C1 –(C2x)2 Movimiento en una dimensión 8) Con gran estruendo se escucha caer un rayo en el centro de una plaza circular cercada por un muro, seguido de golpes sonoros secundarios de los ecos cada vez menos fuertes que se repiten a razón de uno cada segundo.

a) bosqueje con el mayor detalle las curvas de distancia recorrida, desplazamiento, velocidad y aceleración versus tiempo

b) ¿Cuál es el desplazamiento (recorrido neto) del frente sonoro en t=3s?

9) Representar las curvas v en función de t para cada una de las siguientes condiciones: (a) La aceleración es cero y constante, pero la velocidad no es nula. (b) La aceleración es constante, pero no cero. (c) La velocidad y la aceleración son ambas positivas. (d) La velocidad y la aceleración son ambas negativas. (e) La velocidad es positiva y la aceleración negativa. (f) La velocidad es negativa y la aceleración positiva. (g) La velocidad es momentáneamente nula, pero la aceleración no lo es. 10) Un motociclista que viaja plácidamente a 40 m/s súbitamente ingresa en un tramo fangoso que reduce su velocidad a razón de 0,5 s-1 (es decir, Δv/Δx=0,5). ¿Cuál es la longitud del tramo fangoso, si al salir del mismo la motocicleta lleva aún una velocidad de 10 m/s? (Nota: Éste es un caso típico en el que la fuerza de frenado es proporcional a la velocidad) 11) Usted está estrenando una bicicleta que acaba de comprar y de repente aparece un obstáculo que lo obliga a frenar bruscamente. En ese momento usted sólo recuerda de

las características técnicas de frenado que el vendedor le leyó, el valor numérico 10, pero no prestó atención a las unidades para saber si se trataba de dv/dx ó dv/dt (derivada de la velocidad respecto a posición y respecto a tiempo respectivamente).

A. A qué velocidad debe usted conducir tal que no importe cuál de las dos tasas de frenado le fue informada?

B. Si usted conduce a 40 Km/h, cuál tasa de frenado reduce la distancia recorrida para detenerse?

12) Un tren sale de una estación con una aceleración de 0,4 m/s2. Una pasajera llega corriendo al andén 6 segundos después de que el tren haya iniciado la marcha. ¿Cuál es la velocidad constante mínima con que debe correr la pasajera para poder alcanzar el tren? Confeccione un esquema de las curvas de movimiento del tren y la pasajera en función del tiempo. 13) En el colmo de las competencia por los 100 m planos, liebre y tortuga acuerdan hacer la partida a un mismo tiempo pero, para dar ventaja a la tortuga cuya velocidad máxima es apenas de 0,1 m/s, la liebre sale en sentido opuesto a la meta a su velocidad máxima de 10 m/s durante 8 minutos y 15 segundos, pasados los cuales invierte el sentido para tratar de alcanzar la meta.

a) ¿Qué animal vence en la contienda? b) Para evitar un cambio brusco al invertir el sentido del movimiento, la liebre

decide ahora realizar el recorrido partiendo con la misma velocidad inicial pero con movimiento uniformemente retardado, ¿cuál debe ser el valor de la aceleración para llegar a la meta en la misma posición resultante en a)?

14) Un automóvil tiene una desaceleración máxima de 7 m/s2; el tiempo de reacción típico para aplicar los frenos es de 0,5 s. Un cartel indica que la velocidad límite en una zona escolar debe cumplir la condición de que todos los coches puedan detenerse en una distancia de frenado de 4 m. (a) ¿Qué velocidad máxima puede alcanzar en esta zona un automóvil típico? (b) ¿Qué fracción de los 4 m corresponden al tiempo de reacción?

Movimiento relativo en una y dos dimensiones 15) (a) ¿A qué ángulo corriente arriba debe zarpar una lancha a motor que desarrolla

una velocidad tres veces superior a la de la corriente de un río de un kilómetro de anchura, para alcanzar un puerto justo al frente en la rivera opuesta? (b) Para acudir puntualmente a una cita ¿con qué anticipación debe salir el lanchero hacia el puerto si la rapidez de la lancha es de 45 Km/h?

16) Un concurso de aeromodelismo tiene las siguientes normas: Cada avión debe volar hasta un punto situado a 1Km de la salida y regresar de nuevo. El vencedor será el avión que realice el circuito completo en el tiempo más corto. Los competidores tienen la libertad de escoger el recorrido que deseen, siempre que el avión se aleje 1 Km de la salida y después regrese. El día del concurso un viento uniforme sopla del Norte a 5 Km/h. Uno de los modelos puede mantener una velocidad respecto al aire de 15 m/s y se considera que los tiempos de arranque, parada y giro son despreciables. Se plantea la cuestión siguiente: ¿debe planearse el vuelo a favor del viento y contra el viento en el circuito o con viento cruzado Este y Oeste? Analícese el plan sobre estas dos alternativas: (i) El avión vuela a 1 Km al Norte y después regresa. (ii) El avión recorre 1 Km al Este al arrancar y después regresa.

17) (a)Un móvil comienza su movimiento desde el origen hacia el Oriente con velocidad v. Desde el mismo punto y al mismo tiempo un segundo móvil comienza a desplazarse hacia el Norte con velocidad 2v. ¿Cuál es la dirección de movimiento del primer móvil observada desde el segundo móvil? (b)Si el movimiento de un móvil es circular alrededor de un segundo móvil, ¿cómo se observa el movimiento del segundo móvil visto desde el primero. 18) Una lancha se dirige al norte a 18 Km/h en un lugar donde la corriente es de 6 Km/h en dirección Sur 60˚ Este. Hallar la velocidad de la lancha con respecto a la orilla.

19) Un árbol crece sobre una plataforma rotante de 2 metros de radio, que gira a razón de 30 rpm., muy cerca del borde. Suponiendo que la raíz crece en la dirección de la “gravedad efectiva”, ¿cuál es la dirección de crecimiento radicular con respecto a la vertical?

20) Un objeto puntual en movimiento rectilíneo uniforme a velocidad v atraviesa rasante una plataforma rotante, a todo lo largo de su diámetro. Con base a la descripción de un observador en el sistema inercial, encuentre que la trayectoria que se observa en el sistema no inercial corresponde a la de un movimiento uniformemente acelerado con una aceleración ficticia igual a a = 2ω v, donde ω es la frecuencia constante de rotación de la plataforma (éste es un caso simple de aceleración de Coriolis)

Movimiento parabólico

21) Los chorros de agua que lanza en muchos ángulos la fuente de un parque describen hermosos arcos parabólicos. Debido a que el flujo continuo de agua elimina el aire de la trayectoria, cada parte de la corriente se nueve como un proyectil sin resistencia del aire. Verifique que el lugar geométrico de los máximos de los arcos parabólicos para rapidez de salida v0 fija y ángulo de salida θ cualquiera es una elipse cuya ecuación es:

€

x2

v02

2g⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2 +

y− v02

4g⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

v02

4g⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2 =1

22) En la figura, si x=50 m y h=10 m, Cuál es la velocidad mínima inicial del dardo para que choque contra el mono antes de llegar éste al suelo que está a 11,2 m por debajo de la posición inicial del mono.

   23) A la mitad de su altura máxima la velocidad de un proyectil es 3/4 de su

velocidad inicial. ¿Qué ángulo forma la velocidad inicial con la horizontal?

24) Se dispara un proyectil al aire desde la cima de una montaña de 200 m por encima del valle. Su velocidad inicial es de 60 m/s a 60˚ respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, ¿dónde caerá el proyectil?

25) (a) Encuentre el radio de curvatura del punto más alto de la trayectoria de un proyectil disparado con un ángulo inicial θ con respecto a la horizontal. (sugerencia: En el punto máximo, la velocidad es horizontal y la aceleración vertical) (b) En el caso del Vomit Comet, para cada nuevo arco parabólico el avión inicia el ascenso a unos 840 Km/h y una inclinación de 45˚. ¿Por cuánto tiempo los astronautas sienten la condición de ingravidez?

Fuerzas 26) La pista de madera de un velódromo circular tiene 25 m de radio y peralte de 40º. Determine la velocidad máxima en Km/h que un ciclista puede alcanzar suponiendo que la superficie no presenta rozamiento.

27) La figura muestra dos bloques en contacto sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Los bloques aceleran cuando se aplica la fuerza F. Encuentre la aceleración y la fuerza de contacto si F = 3,2 N, m1 = 2 Kg y m2 = 6 kg. 28) Cada uno de los sistemas de la figura permanece en reposo y en cada caso la magnitud de la fuerza F es, F=Mg/2. ¿cuál es, en cada caso, la fuerza normal que actúa sobre el bloque?

29) Un piloto de masa 50 Kg realiza un rizo vertical según un arco circular tal que su aceleración hacia arriba alcanza el valor de 8,5g. (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por el asiento del piloto en la parte más baja del arco? (b) Si la velocidad del avión es de 345 km/h, ¿cuál es el radio del arco circular? 30) La figura muestra una máquina de Atwood que tiene suspendidas a cada lado una pila de cinco arandelas, cada una de masa m. La tensión de la cuerda es T0. El sistema acelera y la tensión disminuye en 0,3 N cuando se quita una arandela del lado izquierdo. (a) Encuentre el valor de m. (b) Calcule la tensión de la cuerda y la aceleración cuando se quita otra arandela del lado izquierdo. 31) Un cuerpo que cae lentamente en un medio viscoso como aire, agua o aceite, bajo efecto de la gravedad (u otras fuerzas), desarrolla una fuerza de fricción proporcional a la velocidad v, que en términos del coeficiente de fricción, γ,  se expresa como

!

f = "#v . Como consecuencia del frenado el objeto alcanza finalmente una velocidad límite dada por

!

v lim = mg " . Para partículas esféricas de radio a la ley de Stokes establece que este coeficiente es

!

" = 6#a$ ; con η,  la viscosidad del medio. Con burbujas de aire de radio a=1,5 mm suspendidas en aceite (η =  9,9 x10-3 Kg m-1s-1), determine la velocidad de ascenso de una burbuja de aire en una columna de aceite. (ρaceite = 920 Kg/m3,  ρaire = 1,2 Kg/m3).  

F!

m1 m2

5 m 5 m