111

EJEMPLO 1. BARRA EN VOLADIZO Calcular por métodos matriciales, en la estructura de la figura adjunta: a) flecha en el punto B; b)

giro del mismo punto B; c) momento en el punto A. Datos: sección 0,2 x 0,6 m2; E= 2x107kN/m2

4333

m10x6,312

6,0x20,012

bhI −=== EI= 72.000 kN m2 EA= 0,24x107 kN

Solución:

Sustituimos la viga planteada en el ejercicio como suma de dos estados equivalentes:

Las reacciones de empotramiento, considerando la viga como doblemente empotrada resulta:

Con estos valores, el vector de cargas nodales - teniendo en cuenta que el extremo A no es

necesario incluirlo al estar empotrado, y por tanto con todos los desplazamientos coaccionados - es el siguiente:

kNm6,95

4x3x20L

PabM 22

2

A === kNm4,1425

2x9x202L

b2PaMB ===

kN05,7L

6,94,14L

PbR A =−

−= kN95,12L

6,94,14L

PaRB =−

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

40,1495,12

Pb

112

y la ecuación matricial

al ser nulos los movimientos del nudo 1 (A) quedaría PB= K22 δ2

-12,95 = 6.912 v2 – 17.280 ϑ2

;

14,40 = 17.280 v2 – 57.600 ϑ2

Por tanto, las solucione pedidas en los apartados a) y b) son: ϑ2= -1,25 radianes v2= -5 x 10-3 m = -5 mm

Para determinar el momento en el punto A, se aísla el nudo A con lo que podremos calcular las dos reacciones, vertical y momento de empotramiento PA= K12 δ2, más las reacciones de empotramiento perfecto.

; que resolviendo queda RA= 7,04 + (-12EI/L3) (-5x 10-3) + 6EI/L2 ( -1,25X10-3)= 7,05 + 12,95 ; RA= 20 kN MA= 9,60 + (-6EI/L2) (-5x 10-3) + 2EI/L ( -1,25X10-3)= 9,60 + 50,40 ; MA= 60 kNm

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

B

A xKKKK

PP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϑ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2

2

2

23 vx

LEI4

LEI6

LEI6

LEI12

40,1495,12

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϑ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

2

2

23

B

A vx

LEI2

LEI6

LEI6

LEI12

60,905,7

RR

111

EJEMPLO 2. ESTRUCTURA ARTICULADA En la estructura articulada de la figura, constituida por barras del mismo módulo de elasticidad E,

y la misma sección transversal A, obtener a) los desplazamientos en los nudos b) los esfuerzos de cada barra c) las reacciones

Se tiene una estructura configurada por barras con distintas orientaciones. De la numeración de nudos y barras tenemos la siguiente tabla de conectividad entre nudos:

La matriz de rigidez de la estructura completa será de la siguiente forma:

Tendremos que calcular la matriz de rigidez de los distintos elementos en coordenadas globales a

partir de su expresión en locales y de las matrices de transformación de coordenadas. El sentido de los ejes en locales es del nudo inicial al final de cada elemento, según la tabla anterior.

Al tratarse de una estructura con nudos articulados, los movimientos permitidos en cada uno de

ellos son únicamente los acortamientos o alargamientos en la dirección de los esfuerzos axiles (la propia dirección de la barra), por tanto la matriz de rigidez elemental de cada barra será de la forma

Barras Nudo 1 Nudo 2 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 4

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +

D44

D43

D34

D)+B+(A33

B32

A31

B23

C)+(B22

C21

A13

C12

C)(A11

KK00KKKK

0KKK0KKK

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

LEA

LEA

LEA

LEA

112

• BARRA A Longitud 2L= , α= 45º , Matriz de la barra = con lo que la matriz en

coordenadas globales es: •

BARRA B

Longitud 2L= , α= 315º , Matriz de la barra igual a la anterior, con lo que la matriz de la barra

B en globales es:

• BARRA C Longitud = 2L, α= 90º , Matriz de la barra = con lo que la matriz en

coordenadas globales es:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

101000001010

0000

L2EA

10000010

1111

L2EA

10000100

KC

• BARRA D Longitud = L, α= 0º , Matriz de la barra = con lo que la matriz en

coordenadas globales es:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000010100000101

LEA

01000001

1111

LEA

00100001

KD

La matriz de rigidez de la estructura completa se obtiene ensamblando las de cada barra

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1111111111111111

L42EA

11000011

22

1111

2LEA

10100101

22KA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

2LEA

2LEA

2LEA

2LEA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

LEA

LEA

LEA

LEA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

LEA

LEA

LEA

LEA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

111111111111

1111

L42EA

11000011

22

1111

2LEA

10100101

22KB

113

Teniendo en cuenta los grados de libertad restringidos en los diferentes nudos, se pueden

suprimir las filas y columnas correspondientes, que son las 1, 3, 4, 7 y 8 (movimiento x del nudo 1, y los dos movimientos x e y de los nudos 2 y 4). Queda el sistema de ecuaciones

que resolviendo el sistema queda

Para calcular los esfuerzos en cada barra, una vez conocidos los desplazamientos de los nudos en coordenadas globales, es preciso cambiarlos de nuevo a locales mediante la expresión

δlocales= RTxδglobales

posteriormente, aplicando la ecuación F= Klocales x δlocales, obtendremos los distintos esfuerzos de barras.

• BARRA A Longitud 2L= , α= 45º

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−+−−−

−+

−−

−−

−−−+

−−

=

0000000001010000

00220

42

42

42

42

010221

42

42

42

42

004

242

21

42

42

210

0042

42

42

4200

004

24

2210

21

42

42

004

24

20042

42

LEAK

22P

110

420

42

0122

42

42

42

21

42

LEA

y3

X3

X1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

δδδ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−−

−−+

EAPL343,0y1 −=δ EA

PL343,0x3 =δEAPL171,1y3 −=δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

δδδ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

P2425,0P2425,0

0

11000011

22

1111

2LEAF

y3

x3

y1A

114

COMPRESIÓN • BARRA B Longitud 2L= , α= 315º

TRACCIÓN

• BARRA C Longitud = 2L, α= 90º

TRACCIÓN • BARRA D Longitud = L, α= 0º

COMPRESIÓN El cálculo de las reacciones es inmediato sustituyendo el valor obtenido de los deslazamientos en

el sistema de ecuaciones original. Al tener solamente reacciones en los nudos 1 (en dirección x únicamente), 2 y 4, sólo son necesarias las ecuaciones correspondientes a esos nudos y direcciones. De la matriz de rigidez de la estructura se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

δδ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

P757,0P757,00

0

11000011

22

1111

2LEAF

y3

x3

B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

P1715,0P1715,0

00

0

10000010

1111

L2EAF y1C

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡δδ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

P343,0P343,0

000100

00011111

LEAF y3

x3

D

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

•

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0P343,0

P705,0P53,0P171,0

EAPL

00171,1

343,000343,00

0000000001010000

0042

42

21

42

42

210

0042

42

42

4200

0042

4200

42

42

RRRRR

y4

x4

y2

x2

x1

111

EJEMPLO 3. VIGA CONTINUA En la viga continua de la figura, determinar por métodos matriciales la flecha y el giro en la sección

F. Datos: P= qL, L= 2 m, EI= 4●104 kN m2 , q= 1 kN/m En la viga continua discretizada en cuatro elementos, (aún cuando se podría resolver dividiendo la

viga en tres elementos únicamente, al pedir giro y flecha en el punto F, es conveniente que en ese punto situemos un nudo más) el ensamblaje de las matrices de rigidez de cada elemento da lugar a la matriz completa de rigidez de la viga continua, representada por

Para poder montar esa matriz de la estructura, cada una de las matrices elementales son,

teniendo presente que son barras trabajando a flexión (estructura plana de barras inextensibles)

las filas y columnas con elementos nulos se pueden eliminar, dejando únicamente las correspondientes a las incógnitas (desplazamientos verticales y giros o cortantes y momentos).

Teniendo en cuenta que los cuatro elementos tienen el mismo valor de EI y la misma longitud L, la

matriz completa de rigidez de la viga continua es

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

d55

d54

d45

d44

c44

c43

c34

c33

b33

b32

b23

b22

a22

a21

a12

a11

KK000KKKK00

0KKKK000KKKK000KK

K

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

=

LEI4

LEI60

LEI2

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

000000LEI2

LEI60

LEI4

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

000000

K

22

2323

22

2323

barra

112

Al ser nulos los movimientos v1, v3, v4, v5, θ5, se suprimen las filas y columnas 1, 5, 7, 9 y 10 de la

matriz completa de rigidez, obteniéndose la matriz de rigidez Los vectores de fuerzas equivalentes, o sea, las debidas a las reacciones de empotramiento

perfecto, únicamente no son nulas en las barras c y d (nudos 3, 4 y 5) El vector de cargas nodales es igual a la suma del vector de fuerzas aplicadas directamente en los

nudos (carga concentrada P, reacciones de los apoyos R1, R3, R4 y del empotramiento R5 y M5) y del vector de fuerzas equivalentes o reacciones de empotramiento perfecto. Teniendo en cuenta que qL= P, resulta

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−++−−+−+−−

−++−−+−+−−

−++−−+−+−−

−−

=

22

2222

2222

2222

22

3

L4L6L2L6000000L612L612000000

L2L6L4L4L6L6L2L60000L612L6L61212L612000000L2L6L4L4L6L6L2L60000L612L6L61212L612000000L2L6L4L4L6L6L2L60000L612L6L61212L612000000L2L6L4L6000000L612L612

LEIK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

22

222

222

22

3

L8L2000L2L8L2L600L2L80L20L6024L600L2L6L4

LEIK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

==

12qL

2qL12qL2

qL

FF

2

2

dc

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−

−

−

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+−

−−

−

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

12PLM2PR

0PR

12PL

2PR

0P

0R

12qL2

qL12qL

12qL

2qL

2qL

12qL2

qL0000

MR0

R0

R0P

0R

F

5

5

4

3

1

2

22

2

5

5

4

3

1

113

Suprimiendo en el vector de cargas las filas 1, 5, 7, 9 y 10 se obtiene el vector de fuerzas nodales conocidas

Finalmente de la ecuación de equilibrio F= K • δ, y sustituyendo los datos iniciales, es decir

se deducen los movimientos desconocidos en los nudos ϑ1= -3,08•10-5 radianes; ϑ2= 0,48•10-5 radianes; v2= 3,8•10-4 cm ϑ3= 1,17•10-5 radianes; ϑ4= -0,29•10-5 radianes

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

012PL0P

0

F

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϑϑϑ

ϑ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

•=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

4

3

2

2

1

3v

3280008328120083208012024120081216

105

012PL0P

0