ejercicios de estadística - matematicas camoens · pdf file4.4.- ejercicios finales ......

ESTADÍSTICA 1

EEJJEERRCCIICCIIOOSS DDEE EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS AAPPLLIICCAADDAASS CCCC.. SSSS..

Juan Fernández Maese Angeles Juárez Martín Antonio López García

ESTADÍSTICA 2

ESTADÍSTICA 3

ÍNDICE TEMÁTICO

CAPÍTULO 1: TABLAS Y GRÁFICOS ....................................................................................................5

1.1.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ............................................................................ 5

1.2.- TABLAS ESTADÍSTICAS. FRECUENCIAS ...................................................................... 8

1.3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS ................................................................................. 11

1.4.- COMPARACIÓN DE DIAGRAMAS................................................................................. 17

1.5.- EJERCICIOS FINALES ...................................................................................................... 20

CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES .................................................................23

2.1.- MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN ................................................................................. 23

2.2.- MEDIDAS DE POSICIÓN.................................................................................................. 32

2.3.- REPRESENTACIÓN BOX-WHISKER.............................................................................. 38

2.4.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN ............................................................................................. 40

2.5.- COMPARACIÓN DE DISTRIBUCIONES ........................................................................ 46

2.6.- SIMETRÍA........................................................................................................................... 55


CAPÍTULO 3: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES ....................................................................63

3.1.- VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES ..................................................... 63

3.2.- TABLAS BIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS ...................................................... 64

3.3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS ................................................................................. 67

3.4.- CALCULO DE PARÁMETROS ESTADÍSTICOS............................................................ 72


CAPÍTULO 4: CORRELACIÓN Y REGRESIÓN...................................................................................79

4.1.- CORRELACIÓN ................................................................................................................. 79

4.2.- DEPENDENCIA Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN................................................ 82

4.3.- REGRESIÓN ....................................................................................................................... 88


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CAPÍTULO 1:

TABLAS Y GRÁFICOS

1.1.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

1.- Objeto de la estadística

La Estadística es el conjunto de métodos necesarios para recoger, clasificar, representar y resumir datos así como para inferir (extraer consecuencias) a partir de ellos. Se divide en dos ramas principales: • Estadística descriptiva. Su objetivo es examinar a todos los individuos de un conjunto.

Trata del recuento, ordenación y clasificación de datos obtenidos mediante observaciones. Se organizan los datos en tablas, se realizan gráficos y se obtienen parámetros estadísticos que caracterizan la distribución de población estudiada.

• Estadística inferencial. Establece previsiones y conclusiones generales sobre una población

a partir de los resultados obtenidos de una muestra de la misma. 2.- Población y muestra • Población es el conjunto formado por todos los elementos que tienen una determinada

característica que vamos a estudiar.

• Individuos son cada uno de los elementos de una población.

• Muestra es el subconjunto extraído de una población, con objeto de reducir el campo de experiencias.

• Tamaño de la muestra es el número de elementos de la muestra.

• Muestreo es el proceso mediante el cual se extrae una muestra de la población. 3.- Caracteres

Carácter Carácter o atributo estadístico es la propiedad que estudiamos en los individuos de una población. Variable Variable es el conjunto de los valores que puede tomar un carácter o atributo. Son variables la edad y la talla de las personas y también el color de sus ojos o su profesión. Atendiendo al tipo de valores de que toman pueden ser: • Cualitativas: no numéricas. • Cuantitativas: numéricas. Las variables numéricas pueden ser: • Discretas: Las toman valores que podemos ordenar. Entre cada dos valores no hay valores

intermedios.

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• Continuas: Las que pueden tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo de la recta real.

Las variables cualitativas pueden ser: • Ordinales: Las que tienen un orden implícito. • Nominales (cardinales): Las que no tienen un orden implícito. • Dicotómicas: Las que sólo presentan dos modalidades. EJEMPLOS 1.- Deseamos conocer la estatura de todos los soldados que forman el ejército. Enuncia la población, los individuos y la muestra. Resolución: • La población está formada por todos los soldados. • Los individuos son cada uno de los soldados. • La muestra es el subconjunto de los soldados que se tallan. 2.- En una fabrica de bombillas se efectúa un control de calidad sobre 100 unidades para averiguar cuántas son defectuosas. Enuncia la población, los individuos y la muestra. Resolución: • La población está formada por las bombillas fabricadas. • Los individuos son cada una de bombillas fabricadas. • La muestra son las100 bombillas examinadas. 3.- Enuncia dos caracteres cuantitativos. Resolución: • La talla de un individuo de una determinada población. • El diámetro de una pieza de precisión de un lote fabricado. 4.- Enuncia dos caracteres cualitativos. Resolución: • La profesión de las personas mayores de 20 años de Ceuta. • El estado civil de los habitantes de Ceuta. 5.- Enuncia dos modalidades de una variable estadística cualitativa. Resolución: Si consideramos la variable cualitativa profesión son modalidades: • economista. • sociólogo. 6.- Enuncia dos variables estadísticas discretas. Resolución: Son variables estadística discretas: • Números de empleados de una fábrica de la PYME. • Número de hijos de 20 familias.

ESTADÍSTICA 7

7.- Enuncia dos variables estadísticas continuas. Resolución: Son variables estadística continuas: • Peso de las personas. • Temperaturas de una ciudad. 8.- Enuncia dos variables estadísticas nominales. Resolución: Son variables estadísticas nominales. • Color de los ojos. • Sabor de un helado.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar el peso de todos los alumnos de un instituto si se pesan solamente a los delegados/as y subdelegados/as. 2.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar la anchura de los tornillos de una caja si sólo se miden 10 tornillos. 3.- Considera los siguientes caracteres: el peso de un individuo, el sexo de un individuo, la longitud de un tornillo, el color de los ojos de una persona, el número de gajos de una naranja, la profesión de un individuo. ¿Cuáles de los anteriores caracteres son cuantitativos? 4.- Considera los siguientes caracteres: el peso de un individuo, el sexo de un individuo, la longitud de un tornillo, el color de los ojos de una persona, el número de gajos de una naranja, la profesión de un individuo. ¿Cuáles de los anteriores caracteres son cualitativos? 5.- Considera las siguientes modalidades: cincuenta kilos, mujer, doce centímetros, azules, 13 gajos, profesor. ¿Cuáles pertenecen a una variable cuantitativa? 6.- Considera las siguientes modalidades: cincuenta kilos, mujer, doce centímetros, azules, 13 gajos, profesor. ¿Cuáles pertenecen a una variable cualitativa? 7.- Considera las siguientes variables: alumnos de un instituto, talla de un conjunto de personas, hijos de una familia, peso de los alumnos de un instituto, espectadores de un partido de fútbol, temperaturas de una ciudad. ¿Cuáles de las anteriores son continuas? ¿Cuáles de las anteriores son discretas? 8.- Considera las siguientes variables: opinión sobre un partido político, color del pelo, trato recibido en un hotel, sabor de una comida, calificación de un examen, olor de una habitación. ¿Cuáles de las anteriores son ordinales? ¿Cuáles de las anteriores son cardinales?

9.- Considera las siguientes variables: opinión sobre el sabor de una comida, opinión sobre si está salada una comida, estar en posesión de una tarjeta de crédito, calificación de un examen, olor de una habitación. ¿Cuáles de las anteriores son dicotómicas?

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1.2.- TABLAS ESTADÍSTICAS. FRECUENCIAS

1.- Tablas estadísticas

Las tablas estadísticas son una forma de presentar la información acerca de una variable estadística. En la primera columna se colocan los valores (xi), marcas de clase o modalidades de la variable y en las siguientes las frecuencias respectivas.

Para tabular los datos procederemos de la siguiente manera: • Recogida de datos • Ordenación de los datos de menor a mayor, si son numéricos, o en el orden natural, si se

trata de una variable cualitativa nominal. • Recuento de frecuencias o veces que se repite cada dato. • Agrupación de los datos. Se agrupan cuando la variable es continua o discreta pero con un

número muy grande de datos. Existen varios criterios para establecer el número de clases, pero éstas no deben ser menos de 5 ni más de 20. Se debe procurar que todas las clase tengan el mismo tamaño a no ser que haya datos muy dispersos. Marcas de clase: es el punto medio de los extremos de cada clase. Los valores extremos son los límites de clase: Li, y superior, Li+1, Las clases no deben solaparse ni tener huecos, es decir, el límite inferior de una clase, ha de ser igual al límite superior de la anterior pero cada extremo sólo pertenece a una clase, para ello se toman intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha.

• Construcción de la tabla estadística: En la tabla aparecerán diversas columnas, siendo habitual colocar de izquierda a derecha el valor de la variable, la marca de clase (para datos agrupados) y las frecuencias absolutas y relativas.

2.- Frecuencia absoluta

• Frecuencia absoluta del valor xi de una variable estadística y lo representamos por ni es el

número de veces que se repite dicho valor. • Frecuencia absoluta acumulada del valor xi, y la representamos por Ni, a la suma de las

frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a xi más la frecuencia absoluta de xi:

Ni = n1 + n2 + ... + ni = ∑=

n

1iin

3.- Frecuencia relativa

• Frecuencia relativa de un valor xi, y la representamos por fi, es el cociente entre la

frecuencia absoluta de xi, y el número total de datos de la distribución: fi = Nni . Se trata de

un tanto por uno ∑=

n

1iif = 1. A veces se utilizan los tantos por ciento y tantos por mil.

• Frecuencia relativa acumulada del valor xi, y la representamos por Fi, es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada de xi y el número total de datos que intervienen en la distribución:

Fi = f1 + f2 + ... + fi = NNn

N1 i

n

1ii =∑

=

4.- Observaciones

• Las tablas deben llevar un enunciado que las explique sin tener un texto que las acompañe. • Deben incluir los totales de cada columna. • Deben indicarse las unidades de medida. • Siempre hay que utilizar el mismo número de decimales ya que nos informa de la precisión

del dato. • Suele haber redundancias para facilitar la lectura.

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EJEMPLOS 1.- Las notas de los 25 alumnos de una clase de Matemáticas de 1º de Bachillerato son las siguientes:

5 3 4 1 2 8 9 8 3 6 5 4 1 7 2 1 9 5 10 1 8 3 8 3 2 Efectúa la tabla adecuada a dichos datos con frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. Resolución:

xi ni Ni fi Fi 1 4 4 0,16 0,16 2 3 7 0,12 0,28 3 4 11 0,16 0,44 4 2 13 0,08 0,52 5 3 16 0,12 0,64 6 1 17 0,04 0,68 7 1 18 0,04 0,72 8 4 22 0,16 0,88 9 2 24 0,08 0,96 10 1 25 0,04 1,00

25 1 2.- Las edades de un grupo de personas son:

3 2 11 13 4 3 2 4 5 6 7 3 4 22 4 5 3 2 5 6 27 15 4 21 12 4 5 3 6 29 13 6 17 6 13 6 5 12 26 12

construye la tabla estadística de datos agrupados Resolución:

Clase Marca de clase ni Ni fi Fi [0-5) 2,5 14 14 0,350 0,350 [5-10) 7,5 12 26 0,300 0,650 [10-15) 12,5 7 33 0,175 0,825 [15-20) 17,5 2 35 0,050 0,875 [20-25) 22,5 2 37 0,050 0,925 [25-30) 27,5 3 40 0,075 1 40 1

3.- Completa los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde n, N y f representan las frecuencias absoluta, acumulada y relativa, respectivamente.

xi ni Ni fi 1 4 2 6 0,12 3 15 4 6 0,12 5 31 6 9 0,18 7 4 8

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Resolución: Para completar la tabla sabemos que la columna de frecuencias absolutas acumuladas Ni es la suma de los valores acumulados de la frecuencia absoluta

ni que la frecuencia relativa fi = ni/N siendo N = ∑=

n

1iin y ∑

=

n

1iif = 1.

xi ni Ni fi 1 4 4 0,08 2 6 10 0,12 3 5 15 0,10 4 6 21 0,12 5 10 31 0,20 6 9 40 0,18 7 4 44 0,08 8 6 50 0,12 50 1,00

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Las notas de los 30 alumnos de una clase de Filosofía de 1º de Bachillerato son las siguientes:

6 3 5 1 2 8 9 8 3 7 6 4 5 2 1 9 5 10 2 10 3 8 3 9 10 7 2 1 7 8 Efectúa la tabla adecuada a dichos datos con frecuencias absolutas y relativas.

2.- Las edades de un grupo de personas son:

3 2 11 13 4 3 2 4 5 6 4 5 3 2 5 3 6 29 13 6 17 6 13 6 5 6 27 15 4 21 construye la tabla estadística de datos agrupados

3.- Completa la siguiente tabla

xi 1 2 3 4 5 ni 2 1,5 Ni 7 fi 0,1 0,5

4.- Sea X una variable estadística que indica el tiempo de permanencia de quince empleados en una empresa. Construye 4 intervalos de igual amplitud siendo el primero [10, 15).

X 20 15 16 20 22 24 20 29 24 15 12 21 12 16 13 5.- Completa la siguiente tabla:

Clases [25-30) [40-45) [45-50) Marcas 17,5 27,5 32,5

ni 2 13 5 Ni 2 31 39 fi 0,05 0,20

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1.3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Las tablas estadísticas contienen la información, pero a veces se expresa mediante un gráfico, para hacerla más clara y evidente, su finalidad es entrar por los ojos, han de ser muy fáciles de interpretar. No estudiamos pirámides de población, series temporales y gráficos espirales.

1- Diagrama de barras

Son útiles para datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Para trazarlos se representa en el eje de abscisas los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas. Por los puntos marcados en abscisas, se levantan trazos gruesos o barras de altura igual a la frecuencia y de la misma anchura. • En algunos casos interesa que las barras

representen las frecuencias acumuladas con lo cual se tendrán diagrama de barras acumuladas.

• Si los datos son ordinales hay que colocarlos en el eje de abscisas en el orden lógico. • Las alturas pueden ser proporcionales a las frecuencias, no estrictamente iguales a ella (en es

caso debe advertirse) 2.- Polígono de frecuencias

Son útiles para datos cualitativos ordinales o cuantitativos de tipo discreto.

Para trazarlos se representa en el eje de abscisas los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas. A cada punto de la variable se le asigna un punto del plano de abscisa el valor de la variable y de ordenada su frecuencia. Los puntos se unen mediante segmentos. • En algunos casos nos interesa que el polígono una los extremos de las frecuencias

acumuladas y no de las frecuencias. • Se utilizan sobre todo, cuando se quiere ver la evolución de las frecuencias al ir tomando

valores la variable (si la variable X no está ordenada no interesa). 3.- Histogramas

Se utilizan para representar distribuciones cuantitativas de variable continua. Para construirlo se representa sobre el eje de abscisas los límites de la clase. Sobre el mismo eje se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud de la clase y por altura la necesaria para que las áreas de estos rectángulos sean proporcionales a las frecuencias respectivas.

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• En algunos casos nos interesa que los histogramas representen las frecuencias acumuladas y no las frecuencias absolutas.

• Si alguna de las clases extremas es abierta se dibujan con la misma amplitud que los demás. • Es el gráfico más utilizado en la investigación científica.

4.- Diagrama de sectores

Se utilizan para distribuciones de variable cualitativa o cuantitativo de tipo discreto. Para dibujarlo debemos tener en cuenta que cada sector representa los distintos valores de la variable. El ángulo central de cada sector ha de ser proporcional a la frecuencia absoluta o relativa correspondiente. Es decir: α = 360°.h En ocasiones sólo se utiliza un semicírculo, en ese caso el ángulo será α = 180°.h 5.- Pictogramas

Son dibujos alusivos a una distribución estadística y ofrecen una descripción, de ésta mediante su forma o tamaño. Para construirlo se representa en el eje de abscisas los valores de la variable y en el eje de ordenadas un dibujo cuyo tamaño es proporcional a la frecuencia de las clases. Para lograrlo se puede hacer por repetición (de la figura base) o por amplificación (complicado de lograr la proporcionalidad del tamaño).

6.- Cartograma

Son gráficos que se realizan sobre un mapa, señalando sobre determinadas zonas con distintos colores o tramas la información se trata de poner de manifiesto. Estos tipos de diagramas se utilizan para representar datos relacionados con un área geográfica. Por ejemplo el cartograma de información del tiempo.

7.- Diagramas lineales

Son muy utilizados para mostrar las fluctuaciones de un determinado carácter estadístico con el paso del tiempo. Se suele aprovechar para representar sobre la misma escala varios diagramas lineales. Por ejemplo, nacimientos y defunciones, ingresos y gastos.

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8.- Observaciones

En las gráficas: • Se debe indicar claramente las escalas y

unidades de medida. • Deben explicarse por si solas, por lo

tanto, el título ha de ser totalmente explicativo.

• Deben servir para clarificar (no pueden

ser de difícil interpretación tal como la figura adjunta)

EJEMPLOS 1. Con las notas de 30 alumnos dadas en la tabla adjunta.

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ni 2 3 1 1 1 3 2 5 7 5

a) Construye los diagramas de barras absolutas y acumuladas. b) Construye el polígono de frecuencias absolutas y acumuladas

Resolución: a) Son los diagramas de las figuras adjuntas

b) Son los polígonos de las figuras adjuntas

2. Construye el polígono de frecuencias absolutas y acumuladas de las notas de 30 alumnos dadas en la siguiente tabla.

Edades [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30)

ni 13 11 6 2 1 3 Resolución:

05

101520253035404550

1 2 3 4 5 6 7TVE-1 La 2 AutonómicasAntena 3 Tele5 Canal +

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3.- La tasa anual de crecimiento del PIB durante el período 1985-92, en la UE fue la indicada en la tabla. Construye el cartograma correspondiente.

Países % Reino Unido 1 Dinamarca 1 Suecia 1 Finlandia 1 Grecia 1 Francia 2 Holanda 2 Bélgica 2 Alemania 2 Austria 2 Italia 2 España 3 Portugal 5 Irlanda 5

Resolución: Es la de la figura adjunta

4.- Construye el pictograma correspondiente a la tabla que muestra la deuda externa de los países de América Latina en 1987:

Países Millones $ Brasil 101.750 México 100.000 Venezuela 35.880 Chile 20.690 Bolivia 3.340

Resolución: Figura de la derecha. 6.- Representa mediante un diagrama lineal los parados existentes y parados que no reciben ninguna ayuda durante los años 1982-85.

Año Parados Parados sin ayuda

1982 1.872 1.243 1983 2.207 1.627 1984 2.475 1.822 1985 2.623 1.759

Resolución: Es la de la figura adjunta.

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4.- Construye el diagrama de sectores correspondiente a la tabla que muestra la inversión publicitaria (en millones de dólares) en la Unión Europea (datos de 1986):

Países Inversión Alemania 8.234 Gran Bretaña 6.915 Francia 4.663 España 3.000 Holanda 2.970 Italia 2.846 Dinamarca 1.084 Bélgica 464 Grecia 164 Irlanda 127

Resolución: Figura de la derecha.


1.- Se ha tabulado el peso de los recién nacidos durante una semana en una maternidad, obteniéndose los siguientes resultados:

Peso en kg. [2.5, 2.8) [2.8, 3.1) [3.1, 3.4) [3.4, 3.7) [3.7, 4.3) Nº de niños 2 2 4 10 16

Teniendo en cuenta que todos los intervalos no tiene igual amplitud, representa gráficamente estos datos mediante el procedimiento más adecuado. 2.- Los valores de los datos una distribución viene dados en la siguiente tabla. A partir de los resultados obtenidos representa el diagrama de barras y de barras acumuladas de la distribución.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 n 4 5 8 7 5 10 7 4

3. La siguiente tabla recoge el tiempo de retraso que sufren en la incorporación a clase los alumnos de un instituto:

Retraso en minutos [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) nº de alumnos 5 15 18 10 4

a) Representa los datos mediante un histograma. b) A continuación representa los datos mediante un sector circular. c) ¿Es adecuado el uso de este diagrama para la distribución?

4.- El diagrama de la figura estudia la evolución de la inflación medida según el IPC en España en loa años que median desde 1962 a 1997. Con estos datos representa un diagrama de barras.

Anuario el País 98

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5.- En la figura adjunta se muestra la venta de ordenadores de diferentes marcas en España durante los años 1993 y 1994. a) ¿Qué empresas han aumentado ventas y cuáles han disminuido ventas?. b) Si se mantuvieran la misma tasa de aumento de ventas ¿cuánto se vendería de cada marca en el año 1995?. c) Dibuja un diagrama lineal en que aparezcan los mismos datos de este gráfico. 6.- Las ventas (en millones de pta.) de una empresa en el año 1997 fueron las dadas en la figura.

a) Halla la tabla y a partir de ésta un diagrama de sectores b) ¿Cuál es el más útil?

7.- El gráfico siguiente muestra la distribución de la población ocupada en España en 1996.

Teniendo en cuenta que la población ocupada en España es de 12,5 millones halla la tabla correspondiente a dicho gráfico. ¿Es posible hallar la media de tal distribución?.

8.- Interpreta analíticamente el siguiente diagrama que muestra la evolución de la cotización peseta - dólar en los años 1991-97.

¿Cuál ha sido la media de la cotización?. ¿Cuál ha sido el valor máximo?, ¿cuál ha sido el mínimo?. Si tenemos un millón de pesetas, ¿en que año tenemos más y menos dólares?.

0 20.000 40.000 60.000 80.000 100.000

IBM

HP

Fujitsu

Compaq

Inves

Apple

Digital

SNI

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1.4.- COMPARACIÓN DE DIAGRAMAS • Para comparar dos o más distribuciones se dibujan todas ellas en una misma gráfica. • Se pueden dibujar diagramas de barras agrupados o, si queremos analizar la evolución de las

frecuencias se representan los polígonos de frecuencias en la misma gráfica.

• En ambos casos las frecuencias deben ser relativas para que las gráficas sean comparables. EJEMPLOS 1.- Los siguientes diagramas de sectores corresponden a la composición de la Cámara del Parlamento de Andalucía (número de escaños obtenidos por cada partido) en las elecciones celebradas en 1994 y 1996:

Representa estos resultados mediante otro procedimiento gráfico. Resolución: Recogemos los datos de las elecciones celebradas en 1994 y 1996 en la siguiente tabla estadística:

PSOE PP IU PA TOTAL

94 45 41 20 3 109

96 52 40 13 4 109

dando lugar al diagrama de barras de la figura:

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2.- Se ha medido la altura (en cm) de un grupo de 100 alumnos de COU y posteriormente se han agrupado los datos en intervalos (abiertos por la derecha). Los resultados se representan en el histograma siguiente.

a) Halla la correspondiente tabla de frecuencias (absolutas y relativas). b) Representa el polígono de frecuencias acumuladas. Resolución: En un histograma la frecuencia (relativa o absoluta) de cada clase es proporcional a las áreas de los rectángulos que aparecen. Sea: - ai = amplitud de cada clase. - hi = altura de cada rectángulo. - ni = frecuencia absoluta de cada clase. - hi = frecuencia relativa de cada clase. Podemos formar la siguiente tabla:

Clases Marcas: xi ai hi ni=hi.n fi=hi.ai Fi

(150-165] 157,5 15 0,004 6 0,06 6 (165-170] 167,5 5 0,02 10 0,1 16 (170-175] 172,5 5 0,04 20 0,2 36 (175-180] 177,5 5 0,08 40 0,4 76 (180-190] 185 10 0,016 16 0,16 92 (190-210] 200 20 0,004 8 0,08 100

0,164 100 1 b) El polígono de frecuencias acumuladas es el de la figura siguiente, donde para dibujarla hemos utilizado los datos hallados en la tabla anterior.

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1.- El diagrama de la figura compara la inflación en un cuatrimestre en España y en la Unión Europea.

Halla la tabla correspondiente a dichos datos. A partir de la tabla creada con estos datos representa un diagrama de barras donde se comparen ambas distribuciones.

2.- Los diagramas de la figura presentan la distribución del comercio minorista en España en los años 1976 y 1979.

a) Haz una tabla que resuma los datos de los diagramas. b) Representa estos resultados mediante otro procedimiento gráfico.

3.- En la siguiente gráfica se presenta la evolución anual de la flota pesquera española en los años 1977-1986 en porcentaje respecto al existente en 1977 a) Representa un diagrama de barras donde se comparen ambas distribuciones. b) ¿En que año disminuye más el porcentaje de tripulantes ? c) ¿En que año disminuye más el porcentaje de tonelaje de embarcaciones? d) ¿Crees que existe una relación entre el número de tripulantes y el número de embarcaciones?

00,5

11,5

22,5

3

Enero Febrero Marzo Abril Mayo

España Unión Europea

10098 97 96 95

93 9290

8582

100

95 94 93 92

8886 85

8078

75

80

85

90

95

100

105

77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

Tripulantes Tonelaje

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1.5.- EJERCICIOS FINALES

1.- Se ha tabulado el peso de los recién nacidos durante una semana en una maternidad, obteniéndose los siguientes resultados:

Peso en kg. [2.5, 2.8) [2.8, 3.1) [3.1, 3.4) [3.4, 3.7) [3.7, 4.3) Nº de niños 2 2 4 10 16

Teniendo en cuenta que todos los intervalos no tiene igual amplitud, representa gráficamente estos datos mediante el procedimiento más adecuado. 2. Completa los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde n, N y f representan las frecuencias absoluta, acumulada y relativa, respectivamente:

x n N f

1 4 0,08

2 4

3 16 0,16

4 7 0,14

5 5 28

6 38

7 7 45 0,14

8

A partir de los resultados obtenidos representa el diagrama de barras y de barras acumuladas de la distribución. 3. La siguiente tabla recoge el tiempo de retraso que sufren en la incorporación al trabajo los empleados de una empresa:

Retraso en minutos [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) nº de empleados 5 15 18 10 4

Representa los datos mediante un histograma. A continuación representa los datos mediante un sector circular. ¿Es adecuado el uso de este diagrama para la distribución? 4.- La población en algunos países de la Unión Europea durante 1993 es la dada en la tabla adjunta. Haz una representación tipo pictograma de dicha distribución.

Países Población (miles)

R. F. Alemana 80.614

Gran Bretaña 57.959

Francia 57.530

Italia 56.933

España 39.114

Holanda 15.239

Bélgica 10.068

5.- Interpreta analíticamente el siguiente diagrama que muestra la evolución de la cotización peseta- dólar en los últimos años.

ESTADÍSTICA 21

¿Cuál ha el valor máximo de la cotización?. ¿Cuál ha el valor mínimo de la cotización?. Si tuviéramos un millón de pesetas, ¿en que año hubiéramos tenido más dólares?, ¿y menos?. 6.- En el siguiente gráfico se muestra la evolución del PIB en España en los últimos 27 años:

a) ¿En qué años ha crecido dicho PIB por encima del 4%? b) ¿En qué años ha crecido dicho PIB por debajo del 0%? c) ¿Cuál ha sido la media de crecimiento en dichos años? d) Si en el año 1994 el PIB era de 60 billones de pesetas, ¿cuánto vale en 1997? 7.- Las puntuaciones obtenidas por 20 personas en una prueba quedan reflejadas en el siguiente histograma.

a) Construye la tabla adecuada a los siguientes datos. b) Efectúa aun diagrama de sectores a partir de dicha tabla. c) ¿Es adecuado dicho diagrama? 8.- Un jugador de baloncesto anota, cada domingo, el número de puntos que encesta en el partido de liga. Las anotaciones de los diez últimos encuentros son las siguientes:

Anotaciones 10 18 17 8 10 9 19 10 7 10

Representa en un diagrama de barras la distribución utilizando las frecuencias absolutas acumuladas.

ESTADÍSTICA 22

9.- Los siguientes datos indican el tiempo, en años, de permanencia de 15 empleados en una empresa:

Permanencia 10 15 16 20 22 24 5 12 21 2 6 13

a) Construye 6 intervalos de clase de igual amplitud siendo el primero (0, 5]. b) Representa el histograma de frecuencias absolutas.

10.- El diagrama de barras muestra las calificaciones obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcula la calificación media, teniendo en cuenta el siguiente cuadro de equivalencias:

Notas Intervalo

Suspenso [0,5)

Aprobado [5,7)

Notable [7,9)

Sobresaliente [9,10)

11.- El gráfico muestra la distribución de la población activa en España.

Teniendo en cuenta que la población activa en España es de 15,2 millones halla la tabla correspondiente a dicho gráfico. 12.- Los siguientes datos corresponden a la altura en centímetros de los alumnos de una determinada clase:

151, 153, 156, 157, 157, 160, 161, 162, 163, 164, 165 167, 168, 169, 170, 171, 172, 177, 178, 182, 183

Realiza una representación gráfica. 13.- Los pesos de los 100 alumnos de una clase vienen dados por la siguiente tabla:

Peso [40-48] [48-56] [56-64] [64-72] [72-80]

Frecuencia 12 23 25 18 22

Efectúa una representación tipo histograma de dicha distribución. 14.- En un estudio sobre la edad de 100 personas se han obtenido los siguientes datos:

Edad [15-25] [25-35] [35-45] [45-55] [55-65] [65-75]

Frecuencia 8 17 35 20 18 2

Representa gráficamente los datos.

ESTADÍSTICA 23

CAPÍTULO 2:

DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES

2.1.- MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Las medidas de centralización de una distribución estadística son las que indican como se encuentran el resto de valores de la variable con respecto a él. Las medidas de centralización más importantes son media aritmética, moda, mediana. Existen otras que no estudiaremos, como media geométrica o media armónica.

1.- Media aritmética

La media aritmética de una variable estadística es el cociente entre la suma de todos los valores de dicha variable y el número de valores. Se representa por x .

La fórmula para su cálculo es:

x = n +...+ n +n

nx +...+nx +nx n21

nn2211 = nxN1

iin

1=i∑

Siendo: x media aritmética xi valores de la variable ni frecuencia absoluta asociada a los valores anteriores N número total de datos de la distribución

Consideraciones: • Es la medida de centralización más empleada en la Estadística.

• En el caso de distribuciones continuas el cálculo de la media se efectúa con la misma fórmula pero tomando como valor de la variable la marca de clase de cada intervalo.

• La media viene dada en las mismas unidades que la variable

• Si la distribución posee valores extremos raros y poco significativos se produce una distorsión de la media. Por ejemplo si queremos hallar la talla media de los alumnos de una clase y un alumno mide 1,45 m dicho valor alterará la talla media de la clase. A veces se eliminan los valores extremos para hallar la media de forma significativa.

• No es posible calcular la media:

- Si los datos de la distribución son cualitativos.

- Cuando la distribución es continua con alguna clase abierta. Se puede calcular la media tomando extremos ficticios de la clase abierta que haga todas las clases del mismo tamaño.

• Si a todos los valores de una distribución se les suma un mismo valor la media aumenta en

dicho valor. nCx(N1

iin

1=i)+∑ = CnxN

1ii

n

1=i+∑

• Si todos los valores de una distribución se multiplican por un mismo valor la media se

multiplica por dicho valor nCx(N1

iin

1=i).∑ = .CnxN

1ii

n

1=i⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑

• La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto de la media aritmética es

siempre nula. n)xx( iin

1=i−∑

ESTADÍSTICA 24

2.- Moda

Moda de una variable estadística es el valor de dicha variable que presenta la mayor frecuencia absoluta. La moda se representa por Mo La moda no tiene por qué ser única, puede haber varios valores de la variable (2, 3, etc..) con la mayor frecuencia. En este caso se dice que es bimodal, trimodal, etc.. A veces se considera moda al valor que es mayor que los próximos aunque no sea el de mayor frecuencia. Cálculo: • Datos simples:

Mo será el valor xi de mayor frecuencia ni. Si todos los datos de una distribución tienen la misma frecuencia, esa distribución no tiene moda.

• Datos agrupados:

El intervalo modal será el intervalo de mayor frecuencia ni, la moda Mo será el valor:

M0 = 21

1i D+D

DC + L

donde: Li límite inferior de la clase modal. c amplitud de los intervalos. D1 frecuencia absoluta de la clase modal menos la de la clase anterior (ni - ni-1) D2 frecuencia absoluta de la clase modal menos la de la clase siguiente (ni - ni+1)

Consideraciones: • La moda es menos representativa que la media aritmética, pero es se puede hallar cuando se

trata de distribuciones de datos cualitativos.

• En la moda no intervienen todos los datos de una distribución.

• Aunque es una medida de centralización, es frecuente encontrarla en los extremos de la distribución, en cuyo caso no es demasiado representativa de los valores centrales.

Cálculo gráfico Para distribuciones continuas se puede obtener la moda con cierta aproximación de forma gráfica. Para ello se representa el histograma de frecuencias absolutas y a continuación se unen cada extremo de la clase modal con el extremo correspondiente de las contiguas, tal como se ve en la figura. La moda Mo viene dada por la abscisa del punto de corte.

3.- Mediana

Mediana de una variable estadística un valor de la variable, tal que el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él. La mediana de una variable se representa por Me. La mediana siempre es un valor único, al contrario que la moda. En caso de existir un número par de datos se toma la media de los dos valores centrales como mediana.

02468

10

M0 M1

ESTADÍSTICA 25

Cálculo: • Datos simples: Se ordenan los datos de menor a mayor, la mediana será.

− Si el valor central de la variable es único, el término central. − Si hay dos valores centrales, se toma como mediana la semisuma de esos dos valores

centrales.

• Datos agrupados: La mediana viene dada por el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) excede a la mitad del número de datos. Para ello se construye la columna de frecuencias acumuladas y se calcula donde está el valor medio. Si la mitad del número de datos coincide con la frecuencia absoluta acumulada (Fi) de un valor, Me es la semisuma entre ese valor y el siguiente de la tabla. Si la variable es continua: Calculamos la clase mediana de forma similar al caso discreto. Para obtener un valor aproximado de la mediana seleccionamos primero la clase mediana y luego aplicamos la fórmula:

Me =n

N-2N

c+L i

1-i

i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

donde: Li límite inferior de la clase mediana c amplitud del intervalo N nº de datos Ni-1 frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana ni frecuencia absoluta de la clase mediana.

Consideraciones • La mediana es muy útil cuando:

- existe algún valor raro que afecta a la media. - los datos están agrupados en clases, siendo alguna de ellas abierta.

• La mediana es un parámetro que depende del orden en que estén situados los datos y no de su valor.

• Para distribuciones continuas o agrupadas que se puedan representar mediante un histograma, la mediana es el valor de la variable que divide al histograma en dos partes de igual área.

Cálculo gráfico Para hallar gráficamente la mediana se representa el polígono de frecuencias relativas acumuladas (Fi). Situamos en el eje de abscisas la variable y en el eje de ordenadas los porcentajes correspondientes. Se traza una paralela al eje X por el punto correspondiente al 50 %. La abscisa del punto de corte de esa paralela con la gráfica nos da la mediana.

EJEMPLOS 1.- Un jugador de baloncesto anota, cada domingo, el número de puntos que encesta en el partido de liga. Las anotaciones de los últimos diez encuentros, jugados por su equipo, se muestran en el siguiente cuadro

ESTADÍSTICA 26

Encuentro 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Anotaciones 10 18 17 8 10 9 19 10 7 10

Halla la media de las anotaciones.

Resolución: Para hallar la media utilizamos la siguiente tabla

xi ni xi ni

7 1 7 8 1 8 9 1 9

10 4 40 17 1 17 18 1 18 19 1 19

10 118 Siendo su valor:

x = nxN1

iin

1=i∑ =

10118 = 11,8 puntos

2.- Dada la distribución estadística

Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

Calcula la media.

Resolución: Construimos la siguiente tabla auxiliar.

Clases Marcas: xi ni xini

(0-5] 2,5 4 10

(5-10] 7,5 6 45

(10-15] 12,5 7 87,5

(15-20] 17,5 10 175

(20-25] 22,5 2 45

(25-30] 27,5 1 27,5

30 390

De ella obtenemos:

x = nxN1

iin

1=i∑ =

30390 = 13

3.- Halla la media de siguiente distribución estadística

Color de ojos azul verde negro castaño ni 4 6 5 10

ESTADÍSTICA 27

Resolución: No es posible calcular la media ya que son datos de tipo cualitativo 4.- Dada la distribución estadística. Calcula la media.

edad menor de 18 18 a 40 40 a 60 mayor que 60 nº 250 1254 756 243

Resolución: No es posible calcular la media ya que hay dos clase (menores de 18 años y mayores de 60) que son abiertas, además las clases intermedias no tiene el mismo tamaño y el número de clases es muy reducido para la cantidad de datos que hay. El valor de la media así obtenida no tendría ningún interés. 5.- Considera los datos 1, 2, 3, 4 y 5. a) Calcula su media. b) Si sumas 10 a cada uno de los datos anteriores, ¿cuánto vale la media? c) Si multiplicas por 5 cada uno de los datos anteriores, ¿cuánto vale la media? Resolución:

a) Su media es: x = nxN1

iin

1=i∑ =

515 = 5

b) Si a los valores de la distribución se les suma una constante la media aumenta en dicho valor: x n = x + 10 = 5+10 = 15.

c) Si todos los valores de una distribución se multiplican por una constante la media se multiplica por dicho valor: x n = 5. x = 5.5 = 25. 6.- Un jugador de baloncesto anota, cada domingo, el número de puntos que encesta en el partido de liga. Las anotaciones de los últimos diez encuentros, jugados por su equipo, se muestran en el siguiente cuadro

Encuentro 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Anotaciones 10 18 17 8 10 9 19 10 7 10

Halla la moda de las anotaciones.

Resolución: Para hallar la moda utilizamos la siguiente tabla

xi 7 8 9 10 17 18 19 ni 1 1 1 4 1 1 1

La moda es el valor más frecuente, por lo tanto Mo = 10 puntos.

7. Dada la siguiente distribución: Calcula su moda.

xi 1 2 3 4 5 6 ni 6 7 14 10 14 9

Resolución: Las modas son Mo= 3 y Mo'= 5. La distribución es por lo tanto bimodal.

ESTADÍSTICA 28


Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

Calcula la moda.

Resolución: El Intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta (15-20]. Para hallar el valor de la moda aplicamos la fórmula de interpolación:

M0 =21

1i D+D

DC + L =2)-(107)-(10

7-105+ 15+

= 16,36

9.- La superficie sembrada (en miles de Ha) de lenteja en España durante los años de 1970 a 1974 fue:

Año 1970 1971 1972 1973 1974 1975 Superficie 68 75 87 99 105 115

calcula la superficie modal.

Resolución: No existe moda ya que no hay ningún valor cuya frecuencia se repita. 10.- La superficie sembrada (en miles de Ha) de lenteja en España durante los años de 1970 a 1974 fue:

Año 1970 1971 1972 1973 1974 Superficie 68 75 87 99 105

calcula la superficie mediana.

Resolución: Se colocan los valores de la superficie ordenados. La mediana se obtiene buscando el valor que deja la mitad de la distribución a la izquierda; como N/2= 2,5 el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada excede a 2,5 es Me = 87.

11.- La superficie sembrada (en miles de Ha) de lenteja en España durante los años de 1970 a 1974 fue:

Año 1970 1971 1972 1973 1974 1975 Superficie 68 75 87 99 105 115

calcula la superficie mediana.

Resolución: Calculamos N/2 = 3 (valor par), el valor de la mediana es:

Me = 2

99+87 = 93

12.- Dada la distribución de frecuencias de la tabla adjunta, se pide:

xi 1 2 3 4 5 ni 1 2 4 2 1

Calcula el valor de la mediana.

ESTADÍSTICA 29

Resolución: Para calcular la mediana utilizamos la tabla adjunta:

xi 1 2 3 4 5 Ni 1 3 7 9 10

La mediana, Me, se promediando los valores intermedios ya que el resultado es par, N/2 = 5. Observamos en la columna de frecuencias absolutas agrupadas los valores

que ocupan los lugares 5º y 6º: Me = 23+3 = 3


Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

Calcula la mediana.

Resolución: Utilizamos la tabla auxiliar:

Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] Ni 4 10 17 27 29 30

La clase mediana es (10, 15], pues la frecuencia absoluta acumulada es 17, mayor que 30/2, por lo tanto tenemos:

Me =n

F-2N

. c+Li

1i-

i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 7

10-2

30

5. +10 = 13,57


Ii (38, 44] (44, 50] (50,56] (56,62] (62,68] (68, 74] (74, 80] ni 7 8 15 25 18 9 6

Calcula la mediana gráficamente.

Resolución: Utilizamos la tabla adjunta, siendo la mediana la del segmento de la figura .

Ii Ni

(38-44] 7

(44-50] 15

(50-56] 30

(56-62] 55

(62-68] 73

(68-74] 82

(74-80] 90

ESTADÍSTICA 30


1.- El número de goles anotados por un equipo de fútbol en los partidos de liga, se muestran en el siguiente cuadro

Encuentro 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

Anotaciones 1 2 1 4 1 3 2 0 1 3

Halla la media, mediana y moda de las anotaciones. Solución: x = 1,8; Me = 1,5; M0 = 1. 2.- Dada la distribución estadística

xi (0, 6] (6, 12] (12, 18] (18,24] (24,30]

ni 2 6 7 10 5

Calcula la media, mediana y moda. Solución: x =17; Me = 18; M0 = 20,25. 3.- Halla la media de la siguiente distribución estadística

Color del cabello rubio pelirrojo negro castaño

ni 4 6 5 10

Solución: No se puede hallar. 4.- Dada la distribución estadística

edad menor de 15 15 a 30 30 a 50 mayor que 50

nº 450 1254 656 143

Calcula la media.

Solución: No se puede hallar. 5.- Considera los datos 2, 4, 6, 8 y 10. a) Calcula su media. b) Si sumas 5 a cada uno de los datos anteriores, ¿cuánto vale la media? c) Si multiplicas por 10 cada uno de los datos anteriores, ¿cuánto vale la media? Solución: a) x = 6, b) x +5 = 11, c)10 x = 60. 6. Dada la siguiente distribución:

xi 1 2 3 4 5 6

ni 6 5 4 10 4 1

Calcula su moda y mediana. Solución: Me = 3,5; M0 = 4. 7. Dada la siguiente distribución:

xi 1 2 3 4 5

ni 6 5 4 10 4

Calcula su moda y mediana. Solución: Me = 3, M0 = 4. 8.- Dada la distribución estadística

ESTADÍSTICA 31

Ii (0, 10] (10,20] (20, 30] (30,40] (40,50]

ni 1 6 7 4 2

Calcula la moda y mediana. Solución: Me = 24,3; M0 = 22,5. 9.- Dada la distribución estadística

Ii (30, 40] (40, 50] (50,60] (60,70] (70,80]

ni 7 8 15 25 20

Calcula la moda gráficamente. Solución: M0 = 66,7. 10.- Dada la distribución estadística

Ii (30, 40] (40, 50] (50,60] (60,70] (70,80]

ni 7 8 15 25 20

Calcula la mediana gráficamente. Solución: Me = 63. 11.- Completa los datos que faltan en la siguiente tabla de distribución de frecuencias, donde ni, Ni y fi representan, respectivamente, la frecuencia absoluta, la frecuencia absoluta acumulada y la frecuencia relativa de la variable X .

X 1 2 3 4 5 6 7 8

ni 4 4 7 5 7

Ni 23 38 45

fi 0,08 0,16 Calcula la media y moda de la distribución anterior. Solución: x = 4,76; M0 = 6; Me = 5.

12. Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias, sabiendo que la media de la variable de X es 3, (ni representan las frecuencias absolutas y Ni las frecuencias absolutas acumuladas).

X 1 2 3 4 5

ni 16 8

Ni 9 52 Calcula la moda y mediana de la distribución anterior. Solución: Me = 3; M0 = 3. 13.- Se considera la tabla estadística siguiente:

X 2 4 a 3 5

Y 1 2 1 1 3

donde a es una incógnita. Calcula el valor de a sabiendo que la media de X es 3. Solución: a = 1.

ESTADÍSTICA 32

2.2.- MEDIDAS DE POSICIÓN

1.- Definición

Las medidas de posición se llaman cuantiles o percentiles y sirven para indicar la posición de algunos puntos importantes de la distribución. Dividen a la muestra ordenada en partes iguales. Los percentiles son los 99 valores que dividen la distribución en 100 partes iguales. Se denotan por P1, P2 ,....P99 y se designan por percentil primero, segundo, etc... Algunos percentiles concretos son la mediana y los cuartiles, quintiles y deciles. • Mediana: Es una medida de posición que deja por debajo de ella el 50% de los valores de

la distribución. Si la variable no es cuantitativa o cualitativa ordinal no se puede calcular. Corresponde al percentil Me = P50.

• Cuartiles: Se llaman cuartiles a los tres valores que dividen a la serie de datos en cuatro

partes iguales. Se representan por Q1 , Q2 , Q3 y se designan cuartil primero, segundo y tercero respectivamente. Corresponden a los percentiles Q1= P25, Q2 = P50, Q3= P75.

• Quintiles: Se llaman quintiles a los cuatro valores que dividen a la serie de datos en cinco

partes iguales. Se representan por K1 , K2 , K3 , K4 y se designan quintil primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. Corresponden a los percentiles K1= P20, K2 = P40, K3= P60, K4= P80,

• Deciles: Se llaman deciles a los nueve valores que dividen a la distribución en 10 partes

iguales. Se representan por D1, D2,..., D9 y de designan decil primero, segundo, etc... Corresponden a los percentiles D1= P10, ..., D9 = P90,

2.- Cálculo Todos los cuantiles se expresan a partir de un percentil, es suficiente aprender a calcular estos. • Datos simples: Un percentil Pi viene dado por el primer valor de la variable cuya frecuencia

absoluta acumulada (Ni) excede a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛100Ni. . Para ello se construye la columna de frecuencias

absolutas acumuladas y se calcula donde está dicho valor. Si coincide con la frecuencia absoluta acumulada de un valor, Pi es la semisuma entre ese valor y el siguiente.

• Datos agrupados: Calculamos la clase del percentil de forma similar al caso discreto. Para

obtener el valor concreto del percentil aplicamos la fórmula:

Pi = n

N-100Ni.

c+L i

1-i

i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Donde: Li = límite inferior de la clase a la que pertenece el percentil

c = amplitud del intervalo N = nº de datos

Ni-1 = frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que pertenece el percentil ni = frecuencia absoluta de la clase a la que pertenece el percentil

3.- Observaciones • Aunque a veces se incluyen los cuantiles dentro de los parámetros de centralización por ser

la mediana un parámetro de posición situado en el centro, pueden estar situados en los extremos de la distribución, por ejemplo P90, de ahí que no los consideremos como tales y los llamemos parámetros de posición.

ESTADÍSTICA 33

• Son parámetros estadísticos muy usados, sobre todo en las Ciencias Sociales y Biosanitarias.

• Se les suele llamar parámetros de posición porque sitúan la distribución respecto de ellos.

4.- Cálculo gráfico

Se representa el polígono de frecuencias relativas acumuladas (Fi ) en %, situando en el eje de las X la variable (si es discreta) o los intervalos, y en el eje Y los porcentajes correspondientes. Se traza una paralela al eje X por el punto correspondiente al cuantil deseado, esta recta corta al polígono de frecuencias en un punto; por éste se traza una paralela al eje Y. El punto del eje X donde corta esta última paralela es el cuantil buscado

EJEMPLOS 1.- Dada la distribución de frecuencias de la tabla adjunta, se pide:

xi 1 2 3 4 5 ni 1 2 4 2 1

el valor de la expresión E = Q3-Mo+Q1-Me, donde Q3 y Q1 son respectivamente el tercer y primer cuartil, MO es la moda y Me la mediana.

Resolución: Para hallar los valores pedidos utilizamos la tabla adjunta:

xi ni Ni 1 1 1 2 2 3 3 4 7 4 2 9 5 1 10 10

• Q3 es el tercer cuartil, para hallarlo buscamos el valor que deja las tres cuartas parte de la distribución a la izquierda; como 3N/4 =7,5 el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada excede a 7,5 es 4.

• Q1 es el primer cuartil, para hallarlo buscamos el valor que deja la cuarta parte de la distribución a la izquierda; como N/4 = 2,5 el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada excede a 2,5 es 2.

• Me, mediana, es el valor central. El primer valor de la frecuencia absoluta

acumulada que supera 2N = 5 es 3

• Mo, moda, es el valor más frecuente, por lo tanto Mo = 3.

El valor de la expresión pedida es: Q3-Mo+Q1-Me = 4 - 3 + 2 - 3 = 0

ESTADÍSTICA 34


xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ni 4 6 5 6 10 9 4 6

el segundo decil y los percentiles P40 y P70.

Resolución: Para calcular los parámetros pedidos utilizamos la tabla siguiente.

xi ni Ni 1 4 4 2 6 10 3 5 15 4 6 21 5 10 31 6 9 40 7 4 44 8 6 50 50

• El segundo decil D2 deja el 20% de la distribución a la izquierda; como 2.N/10 = 10 coincide con la frecuencia absoluta acumulada del valor 2, D2

será la semisuma entre ese valor y el siguiente: D2 = 2

3+2 = 2,5.

• P40 deja a la izquierda el 40% de los datos: 100N40 =

1005040 = 20.

Por lo tanto P40 = 4

• P70 deja a la izquierda el 70% de los datos: 100N70 =

1005070 = 35.

Por lo tanto P70 = 6 3.- Se ha aplicado un test sobre satisfacción en el trabajo a 90 empleados de una fábrica, obteniéndose los siguientes resultados:

Puntuaciones (38-44] (44-50] (50-56] (56-62] (62-68] (68-74] (74-80] Nº trabajadores 4 12 10 30 20 8 6

Calcula el primer y tercer cuartil. Resolución: Utilizamos la tabla auxiliar:

Clases ni Ni (38-44] 4 4 (44-50] 12 16 (50-56] 10 26 (56-62] 30 56 (62-68] 20 76 (68-74] 8 84 (74-80] 6 90

90

ESTADÍSTICA 35

El intervalo correspondiente al primer cuartil es (50,56]. La fórmula para calcularlo es:

Q1 = n

F-4N

. c+L i

1i-

i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 10

16-4

90

6. + 50 = 53,9

y el correspondiente al tercer cuartil es (62,68]. La fórmula para calcularlo es:

Q3 = n

F-4N 3

. c+L i

1i-

i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 20

56-4

9036. + 62

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 65,45

Siendo en ambos casos:

Li = límite inferior de la clase del cuartil correspondiente Fi-1 = frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la del cuartil correspondiente ni = frecuencia absoluta de la clase del cuartil correspondiente

4.- Un test aplicado a 50 alumnos de 1º de Bachillerato ha dado los siguientes resultados:

Puntuaciones [20,25) [25,30) [30.35) [35,40) [40,45) [45,50) Nº de alumnos 8 13 18 5 4 2

a) Calcula la puntuación mediana. b) Calcula a partir de que puntuación se encontrará el 25 % de la clase con puntuación más baja.

Resolución: Para hallar los valores pedidos en este ejercicio utilizamos la siguiente tabla:

Clases ni Ni

[20,25) 8 8 [25-30) 13 21 [30,35) 18 39 [35-40) 5 44 [40,45) 4 48 [45-50) 2 50

50 a) La mediana deja a ambos lados el 50% de la distribución. El intervalo correspondiente a la mediana se busca mediante N/2 = 25 y resulta ser el intervalo [30,35). La fórmula para hallar la mediana es:

Me = n

N-2N

. c+L i

1-i

i = 18

21-2

50

.5+ 30 = 31,11

siendo:

Li = límite inferior de la clase mediana. Ni-1 = frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la de la mediana. ni = frecuencia absoluta de la clase mediana.

ESTADÍSTICA 36

b) El valor pedido es el percentil 25 o primer cuartil. El intervalo correspondiente al primer cuartil se busca mediante N/4 = 12,5 que pertenece al intervalo [25, 30). La fórmula para hallarlo es:

Q1 = n

N-4N

. c+L i

1-i

i = 13

8-4

50

.5+ 25 = 26,73


Ii (38, 44] (44, 50] (50,56] (56,62] (62,68] (68, 74] (74, 80] ni 7 8 15 25 18 9 6

Calcula gráficamente el primer y tercer cuartil.


Ii ni Ni Ni (38, 44] 7 7 7 (44, 50] 8 15 15 (50,56] 15 30 30 (56,62] 25 55 55 (62,68] 18 73 73 (68, 74] 9 82 82 (74, 80] 6 88 88

Los cuartiles son los dados por los segmentos rayados en la figura adjunta.


1.- La superficie sembrada (miles de Ha) de lentejas en España en los años de 1970 a 1974 fue:

Año 1970 1971 1972 1973 1974 Superficie 68 75 87 99 105

Calcula la producción mediana y el percentil 60 de la superficie. Solución: Me = 87, P60 = 93.


Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

Calcula el primer y tercer cuartil. Solución: Q1 = 7,9; Q3 = 17,75. 3.- La tabla siguiente representa la distribución de las calificaciones obtenidas por 150 estudiantes de un curso

Calificaciones (0,2] (2-4] (4-6] (6-8] (8-10] Nº de estudiantes 10 50 55 25 10

Calcula la mediana y el primer cuartil. Solución: Me = 4,54; Q1 = 3,1.

ESTADÍSTICA 37

4.- Se ha medido la altura (en cm) de un grupo de 100 alumnos y posteriormente se han agrupado los datos en intervalos (abiertos por la derecha). Los resultados se representan en el histograma siguiente. a) Halla la mediana y el tercer cuartil. b) Encuentra un intervalo que abarque el 60% de la población. Solución: a) Me =176,12 cm, Q3=178,69 cm, b) Un posible intervalo es (150,178]. 5.- Se ha preguntado a un grupo de deportistas las horas que dedican a entrenamiento durante el fin de semana. Los resultados aparecen en la siguiente distribución de frecuencias

Horas [0,0.5) [0.5,1.5) [1.5,2.5) [2.5,4) [4,8] Personas 10 10 18 12 12

Calcula el tercer cuartil. Solución: La clase del cuartil es [2.5,4). Q3 = 3,56 horas.

6.- Sea X una variable estadística que indica el tiempo, en años, de permanencia de quince empleados en una empresa

X 10 15 16 20 22 24 30 29 24 5 12 21 2 6 13

a) Construye 6 intervalos de clase de igual amplitud siendo el primero (0,5]. b) Calcula la mediana. Solución: Me = 16 años. Si se calcula con clase obtenemos el valor aproximado 16,25 años. 7.- Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de la ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:

95 108 97 112 99 106 105 100 99 98 104 110 107 111 103 110

a) Construye 4 intervalos de clase de igual amplitud siendo el primero [95, 100) b) Calcula la mediana y el percentil 40. Solución: Me = 105; P40 = 102,3. 8.- Se ha aplicado un test sobre satisfacción en los estudios a 100 estudiantes, obteniéndose los siguientes resultados. Calcula el primer y tercer cuartil gráficamente.

Puntuaciones (38-44] (44-50] (50-56] (56-62] (62-68] (68-74] (74-80] Estudiantes 10 12 16 30 20 8 6

Solución: Q1 = 51,7; Q3 = 64,7. 9.- Un test aplicado a 100 alumnos de 2º de Bachillerato ha dado los siguientes resultados:

Puntuaciones [20,25) [25,30) [30.35) [35,40) [40,45) [45,50) Nº de alumnos 18 23 28 15 9 7

a) Calcula la puntuación mediana. b) Calcula a partir de que puntuación se encontrará el 40 % de la clase con menor puntuación. Solución:

10.- Dada la distribución estadística de la superficie de las fincas de un pueblo

Superficie (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] nº de fincas 2 10 3 4 1

Calcula y explica el significado de los cuartiles. Solución: Q1 = 6; Q2 = 8,2; Q3 = 15.

ESTADÍSTICA 38

2.3.- REPRESENTACIÓN BOX-WHISKER

1.- Definición

La traducción del termino Box-Whisker es la de caja con bigotes., en ocasiones se dice simplemente gráfico de caja. Realiza una síntesis gráfica de cinco parámetros de una distribución: la mediana, los cuartiles primero y tercero y los valores máximo y mínimo. 2.- Cálculo Para construir una caja con bigotes se llevan a una escala graduada los siguientes datos: Q1, Me, Q3, y los valores máximo y mínimo de la variable x. Se efectúan los pasos siguientes

• Se dibuja una caja estrecha que una los cuartiles 1º y 3º de la distribución.

• Se dibuja una barra vertical que atraviese la caja en la posición de la mediana.

• Se dibujan dos segmentos horizontales que unan los extremos de la caja con los valores mínimo y máximo de la distribución.

3.- Observaciones

• Un gráfico Box-Whisker da una aproximación rápida a ciertas características de la distribución: localización, dispersión y simetría.

• La barra de la mediana muestra la localización o centro de los datos.

• La longitud de la caja muestra la dispersión de la mitad central de los datos, los segmentos muestran la dispersión de la mitad extrema de los datos.

• Si el gráfico es simétrico respecto de la barra central, los datos serán aproximadamente simétricos respecto de la mediana. Si la distancia entre la barra y el extremo derecho es mayor que con el lado izquierdo la distribución presenta asimetría hacia la derecha y viceversa.

• Los gráficos de caja con bigote son especialmente efectivos para comparar dos o más conjuntos de datos.

EJEMPLOS 1.- Obtén las representaciones Box-Whisker que comparan las distribuciones de las calificaciones de los alumnos y alumnas en una prueba de idioma.

Alumnos: Alumnas:

68, 65, 65, 70, 72, 73, 74, 79, 79, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 88, 89, 90,

91, 91, 92, 96

65, 73, 78, 78, 82, 83, 87, 88, 89, 89, 90, 91, 91, 92, 93, 94, 95, 95,

96, 97, 98.

Resolución: La representación Box-Whisker es la de la figura adjunta:

ESTADÍSTICA 39


1.- Obtén las representaciones Box-Whisker que comparan las distribuciones de las calificaciones de chicos y chicas en una prueba de inteligencia.

Chicos: Chicas:

68, 65, 65, 74, 73, 72, 70, 79, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 88, 89, 90, 91, 92, 96.

65, 73, 78, 78, 83, 87, 88, 89, 89, 90, 91, 91, 92, 93, 94, 95, 95, 96, 97, 98.

En de las dos distribución dadas estudia a) localización, b) dispersión, c) simetría.

2. Dada la distribución estadística:

Ii [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20,25) 25 o más ni 3 5 7 8 2 5

realiza una representación Box-Whisker e interprétela. 3. Las puntuaciones obtenidas por 20 personas en una prueba quedan reflejadas en el siguiente histograma.

Haz una interpretación Box-Whisker e interprétela. 4.- De una muestra de 10 alumnos se han obtenido los siguientes datos sobre la puntuación en un examen en puntos:

Puntos 85 95 90 88 114 97 98 88 89

Realiza un diagrama Box-Whisker de estos datos e interprétalo.

5.- Los siguientes datos corresponden a al altura en centímetros de los alumnos de una determinada clase:

151, 153, 156, 157, 157, 160, 161, 162, 163, 164, 165 167, 168, 169, 170, 171, 172, 177, 178, 182, 183


ESTADÍSTICA 40

2.4.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN Para que la investigación acerca de una distribución quede completa es imprescindible saber si los datos numéricos están agrupados o no alrededor de los valores centrales. A los parámetros que miden estas desviaciones respecto a la media se les llama medidas o parámetros de dispersión.

1.- Rango

Se llama rango o recorrido de una distribución, y se denota R, a la diferencia entre los valores extremos de la variable. Además existen otros rangos: • Rango intercuartílico: diferencia entre el primer y tercer cuartil. Ri = Q3. -Q1

• Rango intercuartílico superior: diferencia entre el mayor valor de la variable y el tercer cuartil.

• Rango intercuartílico inferior: diferencia entre el primer cuartil y el menor valor de la variable.

• Rango entre percentiles: diferencia entre dos percentiles determinados, por ejemplo P = P90 –P10.

Observaciones: • Cuanto menor es el recorrido de una distribución mayor es el grado de representatividad de

los valores centrales.

• Es sencillo de calcular.

• Viene dado en las mismas unidades que la variable.

• Presenta el inconveniente de que sólo depende de los valores extremos; de forma que basta que uno de ellos se separe mucho, para que el rango se vea afectado, es por lo que se han definido los otros rangos.

2.- Desviación media

Se llama desviación media de una variable a la media aritmética de las desviaciones absolutas respecto de la media. Se representa por dm.

Cálculo: Se obtiene mediante la fórmula:

dm = x- xn N1

iin

1=i∑

Siendo: x media aritmética xi valores de la variable ni frecuencia absoluta asociada a los valores anteriores N número total de datos de la distribución

Observaciones:

• La desviación media depende de todos los valores de la distribución.

• Si no es posible hallar la media no es posible hallar la desviación media.

• Viene expresada en las mismas unidades que los datos.

ESTADÍSTICA 41

3.- Varianza

Se llama varianza de una variable a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Se representa por S2 y a veces se llama desviación cuadrática media.

Cálculo:

Se obtiene mediante la fórmula:

S2 = ) x-(xn N1 2

iin

1=i∑

Es una fórmula incómoda, sobre todo si los cálculos son manuales, ya que al ser la media un número con decimales los cálculos suelen ser laboriosos, por lo que se usa esta otra expresión:

S2 = x - xn N1 22

ii

n

1=i∑

Observaciones:

• La varianza depende de todos los valores de la distribución y de la media.

• Si no es posible hallar la media no es posible hallar la varianza.

• La varianza viene expresada en distintas unidades que los datos. Por lo tanto es más interesante la desviación típica que la varianza.

• Por la propia definición de varianza esta es siempre positiva.

4.- Desviación típica

Se llama desviación típica de una variable a la raíz cuadrada positiva de la varianza de dicha variable. Se representa por S.

Cálculo:

Se obtiene mediante la fórmula:

S = ) x-(xn N1 2

iin

1=i∑

Al igual que en la varianza es más rápido usar la fórmula:

S = x - xn N1 22

ii

n

1=i∑

Observaciones:

• La desviación típica dependen de todos los valores de la distribución.

• Si no es posible hallar la media no es posible hallar la desviación típica.

• Viene expresada en las mismas unidades que los datos.

• Conviene dar la varianza con un decimal menos que la desviación típica.

• Si a los valores de una distribución se les suma un número la desviación típica no varía.

• Si todos los valores de una distribución se multiplican por un mismo valor la desviación típica queda multiplicada por dicho valor

ESTADÍSTICA 42

EJEMPLOS 1.- Dada la distribución de frecuencias de la tabla adjunta, se pide:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ni 4 6 5 6 10 9 4 6

Calcula los diversos rangos.

Resolución: Para calcular los parámetros pedidos necesitamos hallar los cuartiles primero y tercero y para ello utilizamos la tabla siguiente:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ni 4 6 5 6 10 9 4 6 Ni 4 10 15 21 31 40 44 50

• Q1 deja a la izquierda el 25% de los datos: 100N52 =

1005052 = 12,5.

Por lo tanto Q1 = 3

• Q3 deja a la izquierda el 75% de los datos: 100N57 =

1005057 = 37,5.

Por lo tanto Q3 = 6

• Los rangos pedidos son: − Rango = 8-1 = 7 − Rango intercuartílico = 6 - 3 = 3 − Rango intercuartílico superior = 8- 6 = 2 − Rango intercuartílico inferior = 3-1 = 2

2.- Se ha aplicado un test sobre satisfacción en el trabajo a 90 empleados de una fábrica, obteniéndose los siguientes resultados:


Calcula los diversos rangos.


Clases ni Ni (38-44] 4 4 (44-50] 12 16 (50-56] 10 26 (56-62] 30 56 (62-68] 20 76 (68-74] 8 84 (74-80] 6 90

90 El intervalo correspondiente al primer cuartil es (50,56]. La fórmula para calcularlo es:

ESTADÍSTICA 43

Q1 = n

F-4N

. c+L i

1i-

i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 10

16-4

90

6. + 50 = 53,9

y el correspondiente al tercer cuartil es (62,68]. La fórmula para calcularlo es:

Q3 = n

F-4N 3

. c+L i

1i-

i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 20

56-4

9036. + 62

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 65,45

Los diversos rangos son:

• Rango = 80-38 = 42

• Rango intercuartílico = 65,45 - 53,90 = 11,55

• Rango intercuartílico superior = 80- 65,45 = 14,55

• Rango intercuartílico inferior = 53,9-38 = 15,9


xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ni 4 6 5 6 10 9 4 6

Calcula la media, varianza y desviación típica.

Resolución: Para calcular los parámetros pedidos utilizamos la tabla siguiente.

xi ni Ni xi ni xi2ni

1 4 4 4 4 2 6 10 12 24 3 5 15 15 45 4 6 21 24 96 5 10 31 50 250 6 9 40 54 324 7 4 44 28 196 8 6 50 48 384 50 235 1323

Siendo: • La media es:

x = nxN1

ii

n

1=i∑ =

50235 = 4,70

• La varianza:

S2 = x -x n N1 22

ii

n

1=i∑ = 2)7,4(-

503231 = 4,4

• La desviación típica:

S = x -x n N1 22

ii

n

1=i∑ = 2)7,4(-

503231 = 2,09

ESTADÍSTICA 44


Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

Calcula la media, rango, varianza y desviación típica. Resolución: Para calcular los parámetros pedidos utilizamos la tabla siguiente.

Clases Marcas ni xini xi2ni

(0-5] 2,5 4 10 25 (5-10] 7,5 6 45 337,5

(10-15] 12,5 7 87,5 1093,75 (15-20] 17,5 10 175 3062,5 (20-25] 22,5 2 45 1012,5 (25-30] 27,5 1 27,5 756,25

30 390 6287,5

• La media es:

x = nxN1

ii

n

1=i∑ = 13

• El rango es

R = 30-0 = 30

• La varianza:

S2 = x -x n N1 22

ii

n

1=i∑ = 13 -

306288 2 = 40,6

• Desviación típica:

S = x -N

nx 2

i2i

n

1=i∑

= 13 - 30

6288 2 = 6,37


1.- Halla los recorridos intercuartílicos de la distribución que representa la superficie sembrada (en miles de Ha) de lenteja en España durante los años de 1970 a 1974 fue:

Año 1970 1971 1972 1973 1974 Superficie 68 75 87 99 105

Solución: Ri = 24; Risup = 6; Riinf = 7. 2.- Dada la distribución estadística

Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

a) Calcula para esta distribución, el rango (recorrido). b) Calcula para esta distribución, el rango intercuartílico. Solución: a) R = 30-0 = 30, b) Ri = 17,75-7,90 = 9,85.

ESTADÍSTICA 45

3.- La tabla siguiente representa la distribución de las calificaciones obtenidas por 150 estudiantes de un curso

Calificaciones (0,2] (2-4] (4-6] (6-8] (8-10] Nº de estudiantes 10 50 55 25 10

Calcula los diversos rangos. Solución: R = 10; Ri = 2,81; Risup = 4,09; Riinf = 3.

4.- Se ha medido la altura (en cm) de un grupo de 100 alumnos y posteriormente se han agrupado los datos en intervalos (abiertos por la derecha). Los resultados se representan en el histograma siguiente.

Halla la media, varianza y desviación típica. Solución: x = 17,7 cm; S2 = 88,5 cm2 ; S=9,40 cm . 5.- Se ha preguntado a un grupo de deportistas las horas que dedican a entrenamiento durante el fin de semana. Los resultados aparecen en la siguiente distribución de frecuencias

Horas [0,0.5) [0.5,1.5) [1.5,2.5) [2.5,4) [4,8] Personas 10 10 18 12 12

Calcula el rango, la media, varianza y desviación típica. Solución: R = 8; x = 2,57 h; S2 = 3,74 h2 ; S = 1,93 h .

6.- Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de la ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:

95 108 97 112 99 106 105 100 99 98 104 110 107 111 103 110

Construye 4 intervalos de clase de igual amplitud siendo el primero [95, 100) y calcula la media y la desviación típica. Solución: x = 104,69; S =5,85. 7.- La suma de unos datos es de 25 unidades y la de sus cuadrados 250 unidades cuadradas. si la media y desviación típica coinciden, ¿cuánto valen? Solución: s = x = 5. 8.- Sea la distribución formada por 1, 3, 5, 7 y 9. a) Calcula la media, varianza y desviación típica. b) Calcula la media, varianza y desviación típica si añadimos 12 a cada uno de los datos anteriores. c) Calcula la media, varianza y desviación típica si multiplicamos por 7 cada uno de los datos anteriores. Solución: a) s = x = 2,82; b) x = 17, s = 2,82. 9.- Una distribución posee varianza S2. Prueba que: a) S2 disminuye si se añaden valores iguales a la media. b) S2 no varía si se añaden valores iguales a x + S. c) S2 no varía si se añaden valores iguales a x - S. 10.- Los valores a y –a son las modas de una distribución bimodal simétrica a) Halla su media y su mediana. b) Decide si su varianza es nula o no. Solución:

ESTADÍSTICA 46

2.5.- COMPARACIÓN DE DISTRIBUCIONES 1.- Coeficiente de variación

Definición • El coeficiente de variación de Pearson es la desviación típica por unidad de media

multiplicada por 100. • Mide la dispersión relativa de la muestra. Cálculo

El coeficiente de variación de Pearson, CV, viene dado por:

CV = vp =xsx .100

Observaciones

• El coeficiente de variación no depende de la unidad utilizada puesto que es el cociente entre la media y la desviación típica y viene dadas en las mismas unidades.

• Un coeficiente de variación del 30% indica que la media es poco representativa como

medida del promedio, debiéndose optar por la mediana o la moda. • Dadas dos variables aleatorias aquella que tenga un coeficiente de variación mayor es más

heterogénea y el que la tenga menor más homogénea, siendo su media más representativa de la variable en este caso.

• El coeficiente de variación no debe usarse cuando la media esté próxima a cero, pues el

denominador pequeño distorsiona el cociente.

2.- Puntuaciones típicas. De modo similar a como usamos el coeficiente de variación de Pearson usamos los datos de media y desviación típica para hallar los valores normalizados o puntuaciones típicas de la variable:

xin = S

x-xi

Estas puntuaciones típicas sirven para comparar los valores de dos distribuciones diferentes.

3.- Observaciones En una distribución simétrica o ligeramente asimétrica se cumple:

• en el intervalo ( x -S, x +S) se encuentran el 68 % de los datos de la distribución,

• en el intervalo ( x -2S, x +2S) se encuentran el 95 % de los datos de la distribución

• en el intervalo ( x -3S, x +3S) se encuentran el 99 % de los datos de la distribución.

ESTADÍSTICA 47

EJEMPLOS 1.- Compara las puntuaciones obtenidas por un alumno en Matemáticas e Historia sabiendo que en ambas ha obtenido un 7, estando caracterizadas las puntuaciones en ambas asignaturas por los parámetros:

x s

Matemáticas 4 4

Historia 5 4

Resolución:

La nota normalizada en Matemáticas es 4

4-7 = 0,75 y en Historia es

45-7

= 0,5, luego comparativamente es mayor la nota en Matemáticas.

2.- Tenemos seis distribuciones cuya representación viene dada en las siguientes figuras.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

a) Ordena de mayor a menor distribución típica las distribuciones. b) Sabiendo que los parámetros de esas distribuciones son:

1) x = 58, s =12 2) x = 46, s =5,5 3) x = 41, s =16

4) x = 16, s =5 5) x = 33, s =13 6) x = 25, s =8

asocia los parámetros a la gráfica correspondiente. Resolución: a) Observando la dispersión de las distribuciones la ordenación es: (a), (b), (c), (f), (d), (e). b) Asociando cada gráfica con su distribución tenemos: • La gráfica (a) corresponde a la distribución 3. • La gráfica (b) corresponde a la distribución 1. • La gráfica (c) corresponde a la distribución 4. • La gráfica (d) corresponde a la distribución 5. • La gráfica (e) corresponde a la distribución 2. • La gráfica (f) corresponde a la distribución 6.

ESTADÍSTICA 48

3.- En un Instituto de Bachillerato hay dos grupos de Matemáticas. Las calificaciones de la primera evaluación en cada grupo fueron las siguientes:

Grupo A 1 1 1 3 5 5 6 8 8 9

Grupo B 2 2 4 4 4 5 5 6 6 8

Utilizando la medida adecuada, di qué grupo es más homogéneo.

Resolución: Para determinar qué grupo es más homogéneo, utilizamos el coeficiente de variación que mide la desviación típica respecto a la media de una variable, es decir, su homogeneidad. Para hallarla utilizamos las tablas adjuntas:

Xi ni xini xi2ni yi ni yi

ni yi2ni

1 3 3 3 2 2 4 8

3 1 3 9 4 3 12 48

5 2 10 50 5 2 10 50

6 1 6 36 6 2 12 72

8 2 16 128 8 1 8 64

9 1 9 81 10 46 242

10 47 307 • Media de x:

x = nx N1

ii

n

1=i∑ =

1047 = 4,7

• Desviación típica de x:

Sx = x - nxN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(4,7 -

10307 2 = 2,93

• Media de y:

y = ny N1

ii

n

1=i∑ =

1046 = 4,6

• Desviación típica de y:

Sy = y - nyN1 2

i2i

n

1=i∑ = )6(4, -

10242 2 = 1,74

Como la medida más adecuada para comparar las dos distribuciones es el

coeficiente de variación de Pearson, de fórmula vp =xsx .100, con valores:

vp = 4,72,93 .100 = 62,3, para el primer grupo

vp = 4,61,74 .100 = 37,8, para el segundo grupo

Luego el segundo grupo es más homogéneo, ya que su coeficiente de variación es menor.

ESTADÍSTICA 49

4.- Dos fabricantes de baterías de automóviles ofrecen sus productos a una fábrica de automóviles, al mismo precio. Ésta, para elegir la más duradera, hace una prueba con 50 baterías de cada marca, obteniendo los siguientes resultados:

Vida de la batería (en meses) 20 22 24 26 28 30

Marca A (frec. absoluta) 5 8 12 15 7 3

Marca B (frec. absoluta) 1 7 18 19 5 0

Realiza los cálculos que consideres necesarios para justificar la elección efectuada por la fábrica.

Resolución: Llamemos X a la variable que mide la vida media de la batería A e Y a la variable que mide la vida media de la batería B. Tenemos las tablas:

xi ni xini xi2ni yi ni yi

ni yi2ni

20 5 100 2.000 20 1 20 400

22 8 176 3.872 22 7 154 3.388

24 12 288 6.912 24 18 432 10.368

26 15 390 10.140 26 19 494 12.844

28 7 196 5.488 28 5 140 3.920

30 3 90 2.700 Suma 50 1240 30920

Suma 50 1240 31112

A partir de ella hallaremos los valores. • Media de x:

x = fx N1

iin

1=i∑ =

501240 = 24,8

• Media de y:

y = fy N1

ii

n

1=i∑ =

501240 = 24,8


sx = x -fxN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(24,8 -

5031112 2 = 2,68


sy = y -fyN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(24,8 -

5030920 2 = 1,83

Ambas marcas tienen una vida media igual a 24,8 meses de duración, luego este parámetro no es válido para tomar decisiones; sin embargo, la desviación típica de la primera es de 2,68 y la de la segunda es 1,83, luego si queremos tener mayor probabilidad de que una batería, elegida al azar, tenga una duración similar a la media, debemos elegir la marca B, pues tiene una dispersión menor respecto de la media.

ESTADÍSTICA 50

5.- Los siguientes datos corresponden a los salarios mensuales, en miles de pesetas, de un grupo de trabajadores de un hospital:

110 110 120 150 90 80 115 100 125 600

a) Calcula el porcentaje de salarios de esta muestra que están en el intervalo ( x -S, x +S) donde x es la media y S la desviación típica. b) Razona si se deben utilizar estos datos con el propósito de estimar la media salarial de todos los trabajadores españoles.

Resolución:

Para calcular el porcentaje de salarios de la muestra que están en el intervalo ( x -S, x +S) debemos construir la siguiente tabla:

xi ni xini xi2ni

80 1 80 6.400

90 1 90 8.100

100 1 100 10.000

110 2 220 24.200

115 1 115 13.225

120 1 120 14.400

125 1 125 15.625

150 1 150 22.500

600 1 600 360.000

Suma 10 1.600 474.450

Obteniendo los valores: • Media:

x = nx N1

iin

1=i∑ =

101600 = 160

• Desviación típica

S = x -nxN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(160 -

1047445 2 = 147,8

• El intervalo pedido es

( x -S, x +S) = (160-147,8; 160+1478) = (12,2; 307,8) como en este intervalo se encuentran nueve valores (todos menos el 600) el porcentaje de valores es del 90%.

6.- Se ha realizado un estudio estadístico de los pesos de los alumnos de tres aulas, siendo sus resultados redondeados los siguientes

A B C

x 65 64,3 67,1

S 6,5 3,2 4,5

Identifica qué gráfica corresponde a cada clase. Justifica la respuesta.

ESTADÍSTICA 51

Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3

Resolución: El gráfico 1 es el de la clase B (tiene la menor desviación típica de las tres

y su media es algo menor que 65) El gráfico 2 es el de la clase C (tiene la desviación típica intermedia de las

tres y su media es algo mayor que 65) El gráfico 3 es el de la clase A (tiene la mayor desviación típica de las tres

y su media es 65)

• La menor desviación típica corresponde al primer gráfico, pues los datos están agrupados, sin dispersión.

• La mayor desviación típica corresponde al tercer gráfico, pues los datos están muy dispersos, más o menos todos con la misma frecuencia, tanto los próximos a la media como los alejados de ella.

7.- Un jugador de baloncesto anota, cada domingo, el número de puntos que encesta en el partido de liga. Las anotaciones de los últimos diez encuentros, jugados por su equipo, se muestran en la siguiente tabla:

Encuentro 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

Anotaciones 10 18 17 8 10 9 19 10 7 10

Calcula el coeficiente de variación. Resolución: Para hallar la media y desviación típica utilizamos la siguiente tabla

xi ni xi ni x2i xi

2ni

7 1 7 49 49

8 1 8 64 64 9 1 9 81 81

10 4 40 100 400 17 1 17 289 289 18 1 18 324 324 19 1 19 361 361

10 118 1568 La media es:

x = nx N1

ii

n

1=i∑ = 11,8 puntos

La desviación típica es:

S = x -x n N1 22

iin

1=i∑ = 4,19

ESTADÍSTICA 52

El coeficiente de variación de Pearson es

vp = xsx .100 =

11,84,19 .100 = 35,5 %


Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

Calcula, para esta distribución, el coeficiente de variación .

Resolución: Utilizamos la siguiente tabla auxiliar:

Clases Marcas ni xini xi2ni

(0-5] 2,5 4 10 25

(5-10] 7,5 6 45 337,5

(10-15] 12,5 7 87,5 1093,75

(15-20] 17,5 10 175 3062,5

(20-25] 22,5 2 45 1012,5

(25-30] 27,5 1 27,5 756,25

30 390 6287,5

• La media es:

x = nx N1

ii

n

1=i∑ = 13

• La desviación típica es:

S = x -nxN1 2

i2i

n

1=i∑ = 13 -

306288 2 = 6,37

• El coeficiente de variación de Pearson es:

vp =xsx .100 =

136,37 .100 = 49

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Las ganancias de dos tiendas (en miles de euros) durante los años 1970 a 1975 fueron

Año 1970 1971 1972 1973 1974 1975

Tienda A 5,9 2,5 7,4 8,1 4,8 3,7

Tienda B 4,5 3,8 5,7 3,5 5,5 4,6

a) ¿Qué tienda da más beneficios? b) ¿Cuál tiene mayor estabilidad en dichos beneficios? Solución: a) mayores beneficios la A, ya que Ax = 5,4 y Bx = 4,6; b) más estable la B ya que SA = 1,97 y SB = 0,80:

ESTADÍSTICA 53

2.- Las anchuras de las aceras de cuatro barrios de una ciudad vienen dadas en la siguiente tabla y en las gráficas adjuntas.

A B C D

x 1985,5 198,1 193 193,4

S 9,7 3,9 4,6 8,1

(1) (2)

(3) (4)

Asocia a cada gráfica los parámetros correspondientes: Solución: A-(4), B – (1), C –(3), D-(2).

3.- Las siguientes distribuciones tiene aproximadamente la misma media (5) y 1, 2, 3 y 4 como desviaciones típicas. Asigna a cada gráfica su desviación típica.

(a) (b)

(c) (d)

Solución: (a) –2, (b) –3, (c) –1, (d) –4.

ESTADÍSTICA 54

4.- Dada la distribución de frecuencias de la tabla adjunta, se pide el coeficiente de variación

xi 1 2 3 4 5

ni 1 2 4 2 1

Solución: vp = 30,11 .100 = 36,51%


xi 1 2 3 4 5 6 7 8

ni 4 6 5 6 10 9 4 6

el coeficiente de variación.

Solución: vp = 7,409,2 .100 = 44,47%

6.- La superficie sembrada (en miles de Ha) de lenteja en España durante los años 1970 a 1974

fue:

Año 1970 1971 1972 1973 1974

Superficie 68 75 87 99 105

Halla el coeficiente de variación de la superficie.

Solución: vp = 8,8695,13 .100 = 16,07%

7.- El número de horas semanales que ven la televisión un grupo de niños y adolescentes

españoles durante el año 1995 fue

Niños 18 18 19 21 22 22

Adolescentes 15 18 18 22 22 22

¿Cuál de las distribuciones es más dispersa? Solución: La de adolescentes, ya que va = 13,80% y vn = 8,66% 8.- Una muestra de 100 alumnos tiene una talla media de 170 cm y una desviación típica de 8 cm. Otra muestra de 100 alumnas tiene una talla media de 168 cm y una desviación típica de 7 cm. ¿Cuál de las dos muestras es más dispersa? Solución: La de alumnos, ya que valumnas = 4,17% y valumnos = 4,71% 9.- a) Una alumna de la distribución anterior tiene una talla de 169 cm, ¿se puede considerar alta, normal o baja comparada con el resto de sus compañeras? ¿Y si consideramos el total de los 200 alumnos? b) Un alumno de la distribución anterior tiene una talla de 169 cm, ¿se puede considerar alto, normal o bajo comparado con el resto de sus compañeros? ¿Y si consideramos el total de los 200 alumnos? Solución: a)La alumna es alta y normal considerada con el total. b)El alumno es bajo y normal considerado con el total. 10.- Consideramos la siguiente distribución de frecuencias:

Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30]

ni 4 6 7 10 2 1

Halla cuántos valores hay en el intervalo ( x -S, x +S) donde x es la media y S la desviación típica.

Solución: Intervalo (13-6,37; 13+6,37). Hay 21 valores.

ESTADÍSTICA 55

2.6.- SIMETRÍA

1.- Definición

La simetría de una distribución indica si esta se reparte uniformemente a ambos lados de la media o está sesgada hacia uno de los lados, en cuyo caso hablamos de asimetría a la izquierda o a la derecha.

• Para hallar la simetría o asimetría de una distribución compararemos la media y la mediana.

• También se puede usar una caja con los valores extremos de la distribución y la mediana.

Cuando la distribución es simétrica las tres medidas de centralización coinciden x = Me En tal caso (o si es ligeramente asimétrica) se cumple: Me - MO = 3( x - Me)

2.- Asimétrica a la derecha

• Cuando la distribución es asimétrica a

la derecha se cumple que la mediana está a la derecha de la media: x < Me

• Se representa sobre una escala graduada un rectángulo limitado por los valores extremos y marcamos en su interior la mediana.

Si el 50% de la izquierda está más concentrado y a la derecha más disperso, se dice que la distribución es asimétrica a la derecha .

3.- Asimétrica a la izquierda

• Cuando la distribución es asimétrica a la izquierda se cumple que la mediana está a la izquierda de la media: x > Me

• Se representa sobre una escala graduada un rectángulo limitado por los valores extremos y marcamos en su interior la mediana.

Si el 50% de la izquierda está más disperso y a la derecha más concentrado, se dice que la distribución es asimétrica a la izquierda.

4.- Momentos centrales Momento central de orden k es el parámetro estadístico:

μk = ) x-(xn N1 k

iin

1=i∑

ESTADÍSTICA 56

Observaciones:

• El momento central de orden 1 es siempre nulo, μ1 = 0.

• El momento central de orden 2 es la varianza, μ2 = S2.

• Al ir aumentando el orden de los momentos, influye mucho más en le valor los valores más alejados de la media.

5.- Coeficiente de asimetría

Se define el coeficiente de asimetría como la expresión:

α3 = Sμ

33

Como la potencia ) x-(x 3i puede ser positiva, negativa o nula el coeficiente de asimetría puede

ser a su vez positivo o negativo.

Observaciones

• Si α3 > 0 los valores a la derecha de la media influyen más que los valores que están a la izquierda. La curva está sesgada a la derecha.

• Si α3 < 0 los valores a la izquierda de la media influyen más que los valores que están a la derecha. La curva está sesgada a la izquierda.

• Si α3 = 0 la curva es simétrica. La curva no está sesgada ni a izquierda ni a derecha.

6.- Coeficiente de apuntamiento

Se define el coeficiente de apuntamiento (curtosis) como la expresión α4 = Sμ4

4

• Como la potencia ) x-(x 4i sólo puede ser positiva el coeficiente es siempre positivo.

• Existe un valor crítico, considerado normal, el valor 3.

Observaciones:

• Si α4 > 3. La curva está más apuntada de lo normal (leptocúrtica). • Si α4 < 3. La curva está más achatada de lo normal (platicúrtica). • Si α4 = 3. La curva es normal (mesocúrtica).

α4 > 3 α4 = 3 α4 < 3

ESTADÍSTICA 57

EJEMPLOS 1.- Halla la simetría de la distribución dada por la siguiente tabla:

xi 1 2 3 4 5 ni 1 2 4 2 1


xi Ni Xini Ni 1 1 1 1 2 2 4 3<5 3 4 12 7>5 4 2 8 9 5 1 5 10 10 30

Los valores centrales son:

• Media: x = 1030 = 3

• Mediana: Me = 3 • Moda: Mo = 3 Como x = Me es simétrica. 2.- Halla la simetría de la distribución dada por la siguiente tabla:

xi 3 6 7 8 9 ni 15 20 15 10 10


xi ni xini Ni 3 15 45 15 6 20 120 35 7 15 105 50<50 8 10 80 90>50 9 10 90 100 70 440

Los valores centrales son:

• Media: x = 70440 = 6,8.

• Mediana: Me = 27+6 = 65.

• Moda: Mo = 6 Como x < Me es asimétrica a la derecha. 3.- Halla la simetría de la distribución estadística de la siguiente tabla:

Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

Resolución:

ESTADÍSTICA 58

Utilizamos la siguiente tabla auxiliar:

Clases xi ni Ni xini (0-5] 2,5 4 4 10

(5-10] 7,5 6 10 45 (10-15] 12,5 7 17 87,5 (15-20] 17,5 10 27 175 (20-25] 22,5 2 29 45 (25-30] 27,5 1 30 27,5

30 390

• Media: x = nx N1

ii

n

1=i∑ = 13

• Moda: El Intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta (15-20]. Para hallar el valor de la moda aplicamos la fórmula de interpolación:

M0 =21

1i D+D

DC + L =2)-(107)-(10

7-105+ 15+

= 16,36

• Mediana: La clase mediana es (10, 15], pues la frecuencia absoluta acumulada es 17, mayor que 30/2, por lo tanto tenemos:

Me =n

F-2N

. c+Li

1i-

i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 7

10-2

30

5. +10 = 13,57

Como x < Me es asimétrica a la derecha.


1.- Halla la simetría de la distribución dada por la siguiente tabla:

xi 2 4 6 8 10 ni 1 2 5 1 1

Solución: x = 5,8; Me = 6. Como x < Me es asimétrica a la derecha.

2.- Halla la simetría de la distribución dada por la siguiente tabla: xi 4 6 8 10 ni 3 5 1 1

Solución: x = 6; Me = 6. Como x = Me es simétrica.

3.- Halla la simetría de la distribución dada por la siguiente tabla. ¿Cómo podrías conseguir que fuera más simétrica?

xi 1 3 5 7 9 ni 1 2 5 1 1

Solución: x = 4,8; Me = 5. Sumar 2 a cualquier valor.

4.- ¿Cuál de las siguientes distribuciones es más simétrica?

a) 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 b) 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 c) 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4

Solución: a) x = 2,4; Me = 2,5. b) x = 2,7; Me = 3. c) x = 2,5; Me = 2,5.

ESTADÍSTICA 59


1. Completa los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde n, N y f representan las frecuencias absoluta, acumulada y relativa, respectivamente:

X n N f 1 4 0,08 2 4 3 16 0,16 4 7 0,14 5 5 28 6 38 7 7 45 0,14 8

A partir de los resultados obtenidos representa el diagrama de barras y de barras acumuladas de la distribución. Calcula la media, mediana y moda de la distribución. Solución: 2. La siguiente tabla recoge el tiempo de retraso que sufren en la incorporación al trabajo los empleados de una empresa:

Retraso en minutos [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) nº de empleados 5 15 18 10 4

a) Representa los datos mediante un histograma. A continuación representa los datos mediante un sector circular. ¿Es adecuado el uso de este diagrama para la distribución? b) Calcula el retraso medio y la desviación típica. c) Calcula la mediana y el tercer cuartil. Explica qué miden estos parámetros. Solución:

3. Dada la distribución estadística:

Ii [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20,25) 25 o más ni 3 5 7 8 2 5

Calcula la media, mediana y moda. Solución: 4. Las puntuaciones obtenidas por 20 personas en una prueba quedan reflejadas en el siguiente histograma. a) Halla la moda. b) Halla la media. c) Halla la mediana. Solución: 5.- Un jugador de baloncesto anota, cada domingo, el número de puntos que encesta en el partido de liga. Las anotaciones de los diez últimos encuentros son las siguientes:

Anotaciones 10 18 17 8 10 9 19 10 7 10

a) Halla la media y la moda de las anotaciones. b) Representa en un diagrama de barras la distribución utilizando las frecuencias absolutas acumuladas.

6.- Sea X una variable estadística cuya media vale 2. Definimos otra variable Z que cumple que zi = 3 xi. Demuestra, usando la fórmula, que la media de Z es 6. Solución:

ESTADÍSTICA 60

7.- Se eligen al azar tres números entre el 0 y el 9 y con ellos se forma un número de tres cifras. Se sabe que la media de las tres cifras es 5 y que la moda existe y es 7.¿Cuál es el mayor número que se pudo formar de esta manera? Solución: 8.- El diagrama de barras muestra las calificaciones obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcula la calificación media, teniendo en cuenta el siguiente cuadro de equivalencias:

Notas Intervalo Suspenso [0,5) Aprobado [5,7) Notable [7,9) Sobresaliente [9,10)

Solución: 9.- Calcula la media, mediana, moda, el percentil 32, el segundo cuartil y la desviación típica correspondiente a la estatura de 40 chicos de un curso:

Intervalo 148,5-153,5 153,5-158,5 158,5-163,5 163,5-168,5 168,5-173,5 173,5-178,5

Alumnos 2 4 11 14 5 4

Solución:

10.- De una muestra de 11 bombillas se han obtenido los siguientes datos sobre la duración:

Duración 85 95 90 88 91 114 97 98 88 89


11.- Los siguientes datos corresponden a al altura en centímetros de los alumnos de una determinada clase:

151, 153, 156, 157, 157, 160, 161, 162, 163, 164, 165 167, 168, 169, 170, 171, 172, 177, 178, 182, 183

Calcula la mediana, cuartiles, rangos y moda de la variable y realice una representación gráfica. Solución: 12.- Se ha aplicado un test sobre la satisfacción en el trabajo a los 88 empleados de una fábrica obteniéndose los siguientes resultados:

Trabajadores [38-44) [44-50) [50-56) [56-62) [62-68) [68-74) [74-80) % Satisfacción 7 8 15 25 18 9 6

a) Representar la distribución mediante algún diagrama b) Calcular: Media, Mediana, Moda, Recorrido, Desviación típica c) Comenta la simetría de la distribución Solución: 13.- Los pesos de los 100 alumnos de una clase vienen dados por la siguiente tabla:

Peso [40-48] [48-56] [56-64] [64-72] [72-80] Frecuencia 12 23 25 18 22

a) Calcula la media, desviación típica, mediana, moda y el intervalo intercuartílico explicando que significa cada uno de éstos conceptos.

ESTADÍSTICA 61

b) Efectúa una representación tipo histograma y otra tipo caja con bigotes de dicha distribución, y a partir de ellas explica si es o no simétrica dicha distribución. Solución: 14.- Se ha aplicado un test sobre satisfacción en los estudios a 100 estudiantes, obteniéndose los siguientes resultados:


Calcula el recorrido intercuartílico, la media y la desviación típica. Solución: 15.- En un instituto hay tres grupos de 2º de Bachillerato. El grupo A de 30 alumnos, tiene una nota media de 5.25; la nota media del grupo B de 36 alumnos es de 4.75; la nota media del grupo C de 10 alumnos es de 5.8. Calcula la nota media del conjunto de alumnos de 2º de ese centro. Solución: 16.- En un estudio sobre la edad de 100 personas se han obtenido los siguientes datos:

Edad [15-25] [25-35] [35-45] [45-55] [55-65] [65-75] Frecuencia 8 17 35 20 18 2

a) Represente gráficamente los datos. b) Tomando los puntos centrales de cada intervalo, calcule la media y la varianza. c) ¿Qué mide cada uno de estos parámetros?. ¿Considera que son apropiados?. Solución: 17.- Se eligen al azar tres números entre el 0 y el 9 y con ellos se forma un número de tres cifras. Se sabe que la media de las tres cifras es 5 y que la moda existe y es 7.¿Cuál es el mayor número que se pudo formar de esta manera? Solución: 771

18.- Las desviaciones típicas de las distribuciones de las figuras son 3,2; 4,3; 5,2 y 6,8. Asigna a cada gráfica su desviación típica y calcula la media correspondiente a todas ellas.

(a) (b)

(c) (d)

Solución: (a) –4,3; (b) –5,2; (c) –3,2; (d) –6,8. 19.- En un test de habilidad manual se han obtenido las siguientes puntuaciones:

ESTADÍSTICA 62

50, 23, 45, 36, 56, 34, 56, 67, 45, 34, 23, 45, 23, 37, 67, 54, 21, 34, 43, 12, 78, 36, 49, 53, 27, 66, 31, 64, 45, 22, 33, 44, 48, 53, 57, 77, 31, 23, 47, 52, 33, 21

a) Comprueba si en el intervalo ( x -s, x +s) se encuentran el 68 % de los datos de la distribución, b) Comprueba si en el intervalo ( x -2s, x +2s) se encuentran el 95 % de los datos de la distribución c) Comprueba si en el intervalo ( x -3s, x +3s) se encuentran el 99 % de los datos de la distribución. Solución: 20.- En un grupo de 25 personas la media de edad es de 17,5 años, si al grupo se incorporan dos personas de 20 y 15 años. ¿Cuál es la media de edad del nuevo grupo? Solución: 17,5 años. 21.- Se nos informa que los datos correspondientes a los gráficos siguientes son, aproximadamente, 1x = 5,4; S1 = 3,3; 2x = 5,6; S2 = 2,5. Averigua el gráfico correspondiente a cada par ( x , S) explicando el razonamiento seguido.

Gráfico 1 Gráfico 2

Solución: (a) Gráfico 2, (b) Gráfico 1.

22.- Los arbustos de 4 viveros tiene los siguientes parámetros y gráficas, pero están desordenados. ¿Cuál de los parámetros y gráficas se corresponden entre si?

A B C D

x 211 187 202 189 s 37 52 39 43

(1) (2)

(3) (4)

Asocia a cada gráfica los parámetros correspondientes: Solución: A-(4), B-(3), C-(2)

ESTADÍSTICA 63

CAPÍTULO 3:

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

3.1.- VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES

• Las variables obtenidas en fenómenos en los que para cada observación se obtenía una medida así como a sus distribuciones, se les llama unidimensionales. A las variables estadísticas resultantes de la observación de un fenómeno respecto a dos modalidades se les llama variables estadísticas bidimensionales.

• Las variable estadística bidimensional se representan por un par (x, y), donde x es una

variable unidimensional que toma valores x1, x2 ,...., xn , e y es otra variable unidimensional que toma valores y1 ,y2 ,... yn. Por tanto la variable estadística bidimensional (x, y) toma pares de valores: (x1,y1), (x2,y2),.....,(xn, yn).

EJEMPLOS 1.- Enuncia dos fenómenos que den lugar a variables estadísticas bidimensionales. Resolución: • Extensión en Km2 y nº de habitantes de los países de la UE.. • Ingresos y gastos de las familias de un grupo de alumnos. 2.- Enuncia si son variables estadísticas bidimensionales o no las siguientes a) Densidad de población y nº de habitantes de las comunidades autónomas españolas. b) Peso de los alumnos varones y talla de las mujeres de un grupo. Resolución: • Son variables estadísticas bidimensionales las descritas en a) ya que

resultan de la observación de dos modalidades de una misma población (población española)

• No son variables estadísticas bidimensionales las descritas en b) ya que

resultan de la observación de dos modalidades de distinta población (alumnos varones y alumnas respectivamente)


1.- Enuncia dos fenómenos que den lugar a variables estadísticas bidimensionales. Solución: Puntuaciones de un grupo de alumnos en Matemáticas y Lengua española. Peso y talla de los alumnos varones de un grupo.

2.- Enuncia si son variables estadísticas bidimensionales o no las siguientes a) Propina recibida por un alumno y gasto de su acompañante. b) Horas de sol y temperatura en las capitales españolas. c) Horas de sol y nubladas en las capitales españolas. Solución: No son variables estadísticas bidimensionales la (a) Son variables estadísticas bidimensionales la (b) y (c).

ESTADÍSTICA 64

3.2.- TABLAS BIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS

1.- Tablas simples

Las tablas simples reflejan el comportamiento de una variable estadística bidimensional a partir de las variables estadísticas unidimensionales x e y. Se utilizan cuando el número de pares de observaciones es pequeño. Si alguno de los pares aparece dos veces, se repite. Si aparece más de dos veces se pone su frecuencia absoluta en otra columna. La enumeración se efectúa de manera ordenada en las dos variables. Es decir se ordenan las apariciones de la variable x y dentro de ésta, las apariciones de la variable y. 2.- Tablas compuestas Cuando se tienen muchos datos, o bien los valores se encuentran agrupados en clases se utiliza la tabla de doble entrada. En ésta se colocan en su primera fila los valores de la variable x y en la primera columna los valores de la variable y. Las tablas de doble entrada también se pueden expresar como una tabla simple, pero pueden dar lugar a una tabla demasiado grande. Para crear una tabla de doble entrada se ponen en la primera fila todas las posibles apariciones ordenadas de la variable X y en la primera columna los posibles valores ordenados de la variable Y. A continuación se expresa la frecuencia de aparición de cada par en la casilla donde coinciden el valor de la fila y columna expresadas.

EJEMPLOS 1.- La precipitación anual y las horas de sol durante el periodo septiembre - agosto del curso 1996-97 en las ciudades Santiago, Madrid, Barcelona, Valencia, Sevilla y Las Palmas viene dado por los pares de valores (1591, 1890), (513, 2949), (714, 2565), (462, 2736), (627, 3016) y (124, 2951) respectivamente. Construye la tabla simple de la distribución:

Resolución: Ciudades Precipitación horas de sol Santiago 1591 1890 Madrid 513 2949 Barcelona 714 2565 Valencia 462 2736 Sevilla 627 3016 Las Palmas 124 2951

2.- Clasificamos 20 niños según la edad (X) y número de talla de zapatos (Y) que tienen, obteniéndose la tabla de doble entrada adjunta, ponla como una tabla simple.

Y \ X [5-7) [7-9) [9-11) [11-13) [25-30) 1 2 - - 3 [30-35) 2 4 2 - 8 [35-40) 1 1 1 2 5 [40-45) - - - 4 4

4 3 6 20

Resolución:

ESTADÍSTICA 65

Para pasarla a tabla simple en la primera columna ponemos las apariciones ordenadas de la fila X, en la segunda columna las apariciones ordenadas de la fila Y, en la tercera columna los valores de frecuencia correspondientes.

x Y ni [5-7) [25-30) 1 [5-7) [30-35) 2 [5-7) [35-40) 1 [7-9) [25-30) 2 [7-9) [30-35) 4 [7-9) [35-40) 1 [9-11) [30-35) 2 [9-11) [35-40) 1

[11-13) [35-40) 2 [11-13) [40-45) 4

3.- Clasificamos 40 familias según su número de hijos (X) e hijas (Y) obteniéndose la tabla simple adjunta, ponla como tabla de doble entrada.

x y ni 0 0 2 0 1 3 1 2 6 1 3 4 2 0 4 2 1 5 2 4 2 3 0 3 3 2 4 3 5 1 4 3 5 4 4 1

Resolución: Ponemos en la primera fila todas las apariciones ordenadas de la variable x. En la primera columna los valores ordenados de la variable y. A continuación en cada casilla la frecuencia del par correspondiente:

Y \ X 0 1 2 3 4 5

0 2 3 - - - - 5 1 - - 6 4 - - 10 2 4 5 - - 2 - 11 3 3 - 4 - - 1 8 4 - - - 5 1 - 6 9 8 10 9 3 1 40


1.- La renta “per cápita” (en dólares USA) y la mortalidad infantil (en tantos por mil) de los países Alemania, Bélgica, Bolivia, Brasil, Dinamarca, España y Ghana durante el año 1980 viene dadas por los pares de valores:

(11.00, 11), (8.400, 11), (470, 117), (1.600, 67), (11.200, 11), (4.360, 10) y (390, 94)

respectivamente. Construye la tabla simple correspondiente a la distribución.

ESTADÍSTICA 66

2.- Las calificaciones de 20 alumnos en Lengua Española y Matemáticas han sido las dadas en los siguientes pares de números.

(3,2), (3,2), (3,2), (4,5), (4,5), (4,5), (4,5), (5,6), (5,6), (5,6), (5,6), (6,7), (6,7), (6,7), (6,7), (6,7), (9,9), (9,9), (10,10), (10,10)

Construye la tabla simple correspondiente a la distribución. 3. La tabla simple correspondiente a una distribución de notas de 30 alumnos de Física y Química son los siguientes:

xi 3 4 5 6 9 10 yi 2 5 6 7 9 10 ni 3 4 4 5 2 2

Construye los pares de números de números correspondientes.

4.- Clasificamos 50 familias según el número de hijos (X) e hijas (Y) que tienen, obteniéndose la tabla de doble entrada adjunta, ponla como una tabla simple.

Y \ X 0 1 2 3 4 5

0 2 3 - - - - 5

1 - 5 6 4 - - 15

2 8 5 - - 2 - 15

3 3 - 4 - - 2 9

4 - - - 5 1 - 6

13 13 10 9 3 2 50

5.- Clasificamos por la edad y número de zapatos a un grupo de 20 niños según la tabla de doble entrada adjunta.

Y \ X [5-7) [7-9) [9-11) [11-13) [25-30) 1 2 - - 3 [30-35) 2 4 2 - 8 [35-40) 1 1 1 2 5 [40-45) - - - 4 4

4 3 6 20 ponla como una tabla simple.

6.- Clasificamos 25 niños según edad (X) y número de de zapatos (Y) que tienen, obteniéndose la tabla simple adjunta

x y ni [5-7) [25-30) 1 [5-7) [30-35) 2 [5-7) [35-40) 3 [7-9) [25-30) 2 [7-9) [30-35) 6 [7-9) [35-40) 2 [9-11) [30-35) 2 [9-11) [35-40) 1

[11-13) [35-40) 2 [11-13) [40-45) 4

ponla como una tabla de doble entrada.

ESTADÍSTICA 67

3.3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS La representación gráfica de las distribuciones bidimensionales se efectúa mediante diagrama de puntos, esteréograma (diagrama piramidal), diagrama de barras y diagrama de dispersión.

1.- Diagrama de puntos Para obtener un diagrama de puntos se representan las dos variables en unos ejes de coordenadas y se hacen corresponder a los pares de variables los puntos de aparición. Cada punto tiene un tamaño acorde a su frecuencia absoluta. Es aconsejable su uso en el caso de variables aleatorias discretas.

2.- Estéreograma Se obtiene un esteréograma representando las dos variables mediante un diagrama tridimensional en unos ejes de coordenadas y haciendo corresponder a los pares de variables una columna que ocupa toda la base y de altura proporcional a la frecuencia de cada casilla. Es aconsejable en el caso de variables aleatorias continuas.

3.- Diagrama de barras

Se obtiene un diagrama de barras representando las dos variables mediante un diagrama tridimensional en unos ejes de coordenadas y haciendo corresponder a los pares de variables una barra de altura proporcional a la frecuencia de cada casilla. Es aconsejable su uso en el caso de variables aleatorias discretas.

4- Diagrama de dispersión

Se obtiene un diagrama de dispersión representando los pares de valores en un sistema de ejes cartesianos y a cada par de valores le hacemos corresponder tantos puntos como sea su frecuencia. Con ello obtenemos un conjunto de puntos sobre el plano, que se denomina diagrama de dispersión o nube de puntos. El número de puntos de cada para de valores indica la frecuencia de la distribución.

05

1015202530354045

0 1 2 3 4 5 6 7 8

ESTADÍSTICA 68

EJEMPLOS 1.- Representa en un diagrama de puntos las calificaciones de 34 alumnos en Matemáticas y Lengua Española que viene dadas en la siguiente tabla.

Lengua (xi ) 3 4 5 5 6 7 8 9 10 MATEMÁTICAS (yi) 2 5 5 6 7 6 7 9 10 Nº alumnos (ni) 4 6 6 4 5 4 2 1 2

Resolución: Es la gráfica siguiente.

2.- Representa en un esteréograma la edad y número de zapatos que tienen 20 niños según la tabla de doble entrada adjunta.

Y \ X [5-7) [7-9) [9-11) [11-13)

[25-30) 1 2 - - 3 [30-35) 2 4 2 - 8 [35-40) 1 1 1 2 5 [40-45) - - - 4 4

4 3 6 20


ESTADÍSTICA 69

3.- Representa en un diagrama de barras las calificaciones de 34 alumnos en Matemáticas y Lengua Española que viene dadas en la siguiente tabla.

x 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4

y 0 1 2 3 0 1 4 0 2 5 3 4

ni 2 3 6 4 4 5 2 3 4 1 5 1


4.- Representa en un diagrama de dispersión la cantidad de precipitación anual y las horas de sol durante el periodo septiembre - agosto del curso 1996-97 obtenidas en las ciudades españolas que viene dadas en la siguiente tabla:

Ciudades Precipitación horas de sol

Santiago 1591 1890

Madrid 513 2949

Barcelona 714 2565

Valencia 462 2736

Sevilla 627 3016

Las Palmas 124 2951

Resolución: Es la gráfica adjunta.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 500 1000 1500 2000

ESTADÍSTICA 70

5. Las calificaciones de 34 alumnos en Lengua y Matemáticas han sido las dadas en la tabla siguiente. Dibuja el diagrama de dispersión correspondiente.

Lengua (xi ) 3 4 5 5 6 7 8 9 10 MATEMÁTICAS (yi) 2 5 5 6 7 6 7 9 10 Nº alumnos (ni) 4 6 6 4 5 4 2 1 2


EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Representa en un diagrama de puntos las calificaciones de 30 alumnos en Dibujo y Filosofía que viene dadas en la siguiente tabla.

DIBUJO 3 4 5 5 6 7 8 9 10

FILOSOFÍA 2 5 5 6 7 6 8 9 10

Nº alumnos (ni) 2 4 6 4 5 4 2 1 2

2.- Representa en un esteréograma la edad y peso que tienen 25 niños según la tabla de doble entrada adjunta.

Y \ X [5-7) [7-9) [9-11) [11-13)

[20-25) 1 1 - - 2

[25-30) 1 1 - - 2

[30-35) 2 3 2 - 8

[35-40) 1 1 1 2 5

[40-45) - - - 4 4

[45-50) - - 1 4 4

5 6 4 10 25

ESTADÍSTICA 71

3.- Representa en un diagrama de barras las calificaciones de 34 alumnos en Matemáticas y Lengua Española que viene dadas en la siguiente tabla.

Dibujo FILOSOFÍA Nº alumnos

3 2 2

4 5 4

5 5 6

5 6 4

6 7 5

7 6 4

8 8 2

9 9 1

10 10 2

4.- Representa en un diagrama de dispersión las tasas de paro e inflación durante el año 1997 obtenidas en los países de la Unión Europea que viene dadas en la siguiente tabla:

Países T. Paro INFLACIÓN

ALEMANIA 11 2

AUSTRIA 6 1

BÉLGICA 13 2

DINAMARCA 8 2

ESPAÑA 21 2

FINLANDIA 13 1

FRANCIA 12 1

GRECIA 10 5

5. Las calificaciones de 30 alumnos en Dibujo y Filosofía han sido las dadas en la tabla siguiente.

Dibujo FILOSOFÍA Nº alumnos

3 2 2

4 5 4

5 5 6

5 6 4

6 7 5

7 6 4

8 8 2

9 9 1

10 10 2

Dibuja el diagrama de dispersión correspondiente.

ESTADÍSTICA 72

3.4.- CALCULO DE PARÁMETROS ESTADÍSTICOS En los parámetros estadísticos de las distribuciones bidimensionales, aparte de los valores de las variables de la distribución considerada como un conjunto, existen parámetros de las distribuciones unidimensionales que las componen. Dada una tabla de doble entrada, si consideramos la primera y última fila tenemos una distribución unidimensional respecto de la variable X. De igual forma si consideramos la primera y última columna tenemos una distribución unidimensional respecto de la variable Y. A ambas distribuciones se les conoce como distribuciones marginales. A cada una de las distribuciones X obtenidas supuesto un valor yi de la variable Y la conocemos como distribuciones condicionadas por yi. A cada una de las distribuciones X obtenidas supuesto un valor xi de la variable Y la conocemos como distribuciones condicionadas por xi.

1.- Media

• Media de la variable x: x = nx N1

iin

1=i∑

• Media de la variable y: y = ny N1

ii

n

1=i∑

• Se conoce como centro de gravedad de la distribución .al punto ( x , y ) de una distribución

bidimensional, es decir: ( x , y ) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑∑ ny N1 ,nx N

1ii

n

1=iii

n

1=i

2.- Varianza

• Varianza de la variable x: sx2 = x -nx

N1 2

i2i

n

1=i∑

• Varianza de la variable y: sy2 = y -ny

N1 2

i2i

n

1=i∑

3.- Desviaciones Típicas

• Desviación típica de la variable x: sx = x -nxN1 2

i2i

n

1=i∑

• Desviación típica de la variable y: sy = y -nyN1 2

i2i

n

1=i∑

4.- Covarianza

Se llama covarianza (o también varianza conjunta) de una variable bidimensional (x,y) a la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas. La covarianza se representa por sxy y su expresión es:

sxy = )y-y)(x-x(n N1

iii

n

1=i∑ = yx -nyx

N1

iii

n

1=i

∑

ESTADÍSTICA 73

EJEMPLOS 1.- La siguiente tabla recoge el número de horas dedicadas a preparar la tercera evaluación de Matemáticas y la calificación obtenida en el examen por los alumnos de una muestra:

Horas de estudio 20 16 34 23 27 32 Calificación del examen 64 61 84 70 88 92

Halla los parámetros de la distribución. Resolución: Para cuantificar los parámetros de la distribución utilizamos la siguiente tabla y efectuamos los cálculo correspondientes.

xi yi xi2 yi

2 xiyi 20 64 400 4.096 1.280 16 61 256 3.721 976 34 84 1.156 7.056 2.856 23 70 529 4.900 1.610 27 88 729 7.744 2.376 32 92 1.024 8.464 2.944

Suma 4094 35981 12042

A partir de ella hallaremos los valores.

• Media de x: x = nx N1

iin

1=i∑ =

6152 = 25,33

• Media de y: y = ny N1

ii

n

1=i∑ =

6459 = 76,50

• Desviación típica de x: sx = x -nxN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(25,33 -

64094 2 = 6,37

• Desviación típica de y: sy = y -nyN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(76,50 -

635981 2 = 12,02

• Covarianza: sxy = yx -N

ny x iiin

1=i∑

= 76,50 . 25,33 - 6

12042 = 69,00

2.- La información estadística obtenida de una muestra de tamaño 12 sobre la relación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido, en miles de pesetas, para explotaciones ganaderas, se muestra en la tabla

Inversión 10 14 18 17 18 19 21 22 14 22 21 20 Rendimiento 8 8 7 8 7 9 9 10 7 10 8 8

Halla los parámetros de la distribución. Resolución: Para cuantificar los parámetros de la distribución utilizamos la siguiente tabla y efectuamos los cálculo correspondientes.

ESTADÍSTICA 74

xi yi ni xini xi2ni yini yi

2ni xiyini 10 8 1 10 100 8 64 80 14 7 1 14 196 7 49 98 14 8 1

14 196 8 64 112

17 8 1 17 289 8 64 136 18 7 2 36 648 14 98 252 19 9 1 19 361 9 81 171 20 8 1 20 400 8 64 160 21 8 1 21 441 8 64 168 21 9 1 21 441 9 81 189 22 10 2 44 968 20 200 440

Suma 12 216 4040 99 829 1806



iin

1=i∑ =

12216 = 18


ii

n

1=i∑ =

1299 = 8,25

• Varianza de x: sx2 = x - nx

N1 2

i2i

n

1=i∑ = 18 -

124040 2 = 12,67

• Varianza de y: sy2 = y -ny

N1 2

i2i

n

=1i∑ = 2)25,8( -

12829 = 1,02

• Covarianza:

sxy = y x - nyxN1

iii

n

=1i∑ = - 18.8,25

121806

− = 2

3.- En una muestra de 64 familias se han estudiado las variables estadísticas X, número de miembros en edad laboral, e Y, número de ellos que se encuentran en activo. Los resultados obtenidos se recogen en la tabla:

Y

1 2 3 1 6 0 0 2 10 2 0 3 12 5 1

X

4 16 8 4

a) Obtén las distribuciones marginales de X e Y. b) Calcula la mediana y moda de X. c) Calcula los parámetros de la distribución. Resolución: a) Las distribuciones marginales se obtienen sumando en la tabla los valores correspondientes a X e Y tal como se indica en la tabla adjunta:

ESTADÍSTICA 75

Y

1 2 3 Marginal

de X

1 6 0 0 6 2 10 2 0 12 3 12 5 1 18

X

4 16 8 4 28 Marginal de Y 44 15 5 64

b) Mediana y moda: • La mediana de X será el valor donde se alcanzan la mitad de los datos, es

decir 64/2=32. Se alcanza para el valor x=3, pues su frecuencia absoluta acumulada es 36, superior a 32. Su valor es Me = 4.

• La moda es el valor con mayor frecuencia absoluta, es decir, el , mayor, ya que su frecuencia es la mayor, 28. Su valor es Mo = 4

c) Para el cálculo de este apartado y el siguiente debemos utilizar la tabla anterior, convertida en tabla simple y efectuar los cálculos correspondientes:


2ni xiyini 1 1 6 6 6 6 6 6 2 1 10 20 40 10 10 20 2 2 2 4 8 4 8 8 3 1 12 36 108 12 12 36 3 2 5 15 45 10 20 30 3 3 1 3 9 3 9 9 4 1 16 64 256 16 16 64 4 2 8 32 128 16 32 64 4 3 4 16 64 12 36 48 Suma 64 196 664 89 149 285

A partir de ella hallamos los valores.


ii

n

1=i∑ =

64196 = 3,06


ii

n

1=i∑ =

6489 = 1,39

• Desviación típica de x: sx = x -nxN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(3,06 -

64664 2 = 1,00

• Desviación típica de y: sy = y -nyN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(1,39 -

64149 2 = 0,63

• Covarianza: sxy = y x - nyxN1

iii

n

=1i∑ = 1,39 . 3,06 -

64285 = 0,20

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Calcula los parámetros estadísticos de la distribución bidimensional de temperaturas medias anuales y latitudes de diversas capitales europeas:

ESTADÍSTICA 76

Capitales Tº Latitud(1) Amsterdam 13 54 Atenas 24 37 Bruselas 13 53 Madrid 19 40 París 15 49 Roma 22 42

Solución: x = 17,6, y = 45,83, sx = 4,57, sy = 6,54, sxy=-23,61.

2. Calcula los parámetros estadísticos de las calificaciones de 34 alumnos en Filosofía y en Matemáticas que vienen dadas en la siguiente tabla:

x 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 y 0 1 2 3 0 1 4 0 2 5 3 4 ni 2 3 6 4 4 5 2 3 4 1 5 1

Solución: x = 2, y = 1,8, sx = 1,24, sy = 1,34, sxy = 0,53.

3.- Calcula los parámetros estadísticos de la distribución dada por la tabla adjunta que representa la edad y la talla de zapatos de un grupo de 20 niños.

Y \ X [5-7) [7-9) [9-11) [11-13) [25-30) 1 2 - - 3 [30-35) 2 4 2 - 8 [35-40) 1 1 1 2 5 [40-45) - - - 4 4 4 3 6 20

Solución: x = 9,1, y = 35, sx = 2,23, sy = 4,87, sxy=7,75

4.- Calcula los parámetros estadísticos de la distribución obtenida para siete ciudades españolas entre las cenizas sulfurosas contenidas en el aire, en μg/m3, y el número, por cada 100.000 habitantes, de personas hospitalizadas más de siete días por problemas respiratorios.

Madrid Bilbao Barcelona Valencia Sevilla Córdoba Huelva

μg/m3 15 20 14 8 12 7 6

nº personas 20 22 17 10 15 8 4

Solución: x = 11,71, y = 13,71, sx = 4,68, sy = 6,11, sxy=27,74

5.- Sabiendo que el centro de gravedad, G = ( x , y ), de la nube de puntos correspondiente a la tabla estadística

X -5 -3 a 1 3 Y -7 -4 b 2 5

es el punto (-1,-1), calcula los valores de a y b. Solución: a = -1, b = -1.

6.- La información estadística de una muestra de tamaño 7 sobre la relación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido en miles de pesetas se muestra en el cuadro:

Inversión 14 16 15 16 18 20 21 Rendimiento 8 8 7 8 7 9 9

Calcula los parámetros estadísticos de la distribución. Solución: x = 17,14, y = 8, sx = 2,42, sy = 0,76, sxy= 1,17.

ESTADÍSTICA 77


1.- La tabla siguiente contiene los valores de dos variables X e Y. Calcula los parámetros estadísticos de la distribución. Halla una representación tipo diagrama de puntos.

X 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 2 4 4 5 7 8 9

Solución:

2.- La tabla siguiente contiene los valores de dos variables X e Y. Calculad los parámetros estadísticos de la distribución. Halla una representación tipo esteréograma.

X 2 4 6 8 10 Y 10 7 5 3 0

Solución: 3.- El precio Y, en miles de pesetas, y la antigüedad en años, X, de siete coches de un cierto modelo, se recogen en la siguiente tabla:

X 2 3 4 5 6 7 8 Y 69 60 52 45 39 34 30

a) Haz una representación gráfica adecuada. b) Calcula los parámetros estadísticos de la distribución. Solución: 4.- Las puntuaciones obtenidas por un grupo de escolares en los que se mide razonamiento lógico, X, y compresión verbal, Y, son las siguientes:

R.L. \ C. V. (10,20) (20,30) (30,40) (40,50) (15,25) 5 3 - - (25,35) 2 6 1 - (35,45) - 1 4 2 (45,55) - - 3 3 (55,65) - - 1 2

a) Haz una representación gráfica adecuada. b) Calcula los parámetros estadísticos de la distribución. Solución 5.- El precio, Y, expresado en miles de pesetas, y la cilindrada, X, expresada en centímetros cúbicos, de seis vehículos se recoge en la siguiente tabla:

X 1200 900 1300 1200 1600 1400 Y 1300 770 1400 1350 2000 1500

a) Realiza una representación tipo "scattegram". b) Calcula los parámetros estadísticos de la distribución. Solución: 6.- Dada la distribución bidimensional:

X 1 2 3 4 5 Y 9 7 5 4 2

a) Haz una representación gráfica tipo diagrama de barras. b) Calcula los parámetros estadísticos de la distribución. Solución:

ESTADÍSTICA 78

7.- Dada la distribución bidimensional:

X 2 3 4 5 6 Y 1 5 8 14 17

a) Haz una representación gráfica tipo diagrama de dispersión. b) Calcula los parámetros estadísticos de la distribución. Solución: 8.- Las notas de 10 alumnos en Matemáticas y Biología son:

Matemáticas 8 5 2 7 8 3 4 10 0 7 Biología 6 7 4 6 10 4 3 9 1 8

a) Halla una representación gráfica tipo diagrama de barras. b) Los parámetros estadísticos de la distribución. Solución:

9.- La siguiente tabla recoge los PESOS (kilos) y las ALTURAS de un conjunto de personas.

Peso 81 68 71 55 67 79 90 80 101 79 Altura (cms.) 178 171 168 164 165 170 190 183 195 171

a) Realiza una representación gráfica de los mismos. b) Halla los parámetros estadísticos de la distribución. Solución: 10.- Completa esta tabla sabiendo que la media de Y es igual a 1.

Y \ X 1 2 0 1 1 2 -

10

Solución:

11.- La tabla representa un muestra. Se saben que yx ii

n

1=i∑ =42; covarianza = 2. Calcula p y q.

X 3 4 5 Y p 3 q

Solución: p =-2

15 , q =221 .

12.- Calcula a y b sabiendo que la media de X es 3, la varianza de X es 23 y b>1

X a b 1 2 Y 5 1 1 1

Solución: 13.- Se considera la tabla estadística siguiente:

X 2 4 a 3 5 Y 1 2 1 1 3

Donde a es una incógnita. Calcula el valor de a sabiendo que la media de X es 3. Solución:

ESTADÍSTICA 79

CAPÍTULO 4:

CORRELACIÓN Y REGRESIÓN 4.1.- CORRELACIÓN

1.- Concepto de correlación Llamamos correlación a la teoría que trata de estudiar la relación o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Existen varios tipos según el tipo de línea, la relación entre ambas variables y su ajuste o no a una función. Tipo de línea

Según el tipo de línea que formen los puntos puede ser:

• Lineal cuando el diagrama de puntos se extiende en torno a una línea recta. • Curvilínea cuando el diagrama de puntos se extiende en torno a una línea curva.

2. Relación entre variables. Según como crezcan ambas variables la correlación puedes ser positiva, negativa o nula: • Positiva (directa) cuando a medida que crece una variable la otra también crece. • Negativa (inversa) cuando a medida que crece una variable la otra decrece. • Nula cuando no existe ninguna relación entre las variables. Los puntos del diagrama están

esparcidos al azar y las variables no están correladas.

3.- Dependencia entre variables Según la relación entre variables puede ser: • Funcional cuando los valores de las variables se ajustan a una función. • Aleatoria cuando los valores de las variables no se ajustan a una función .

ESTADÍSTICA 80

2.- Coeficiente de correlación lineal Para cuantificar la correlación lineal entre las variables utilizamos el coeficiente de correlación de Pearson. Que se define como

r = s s

syx

xy

donde: − Desviación típica de x:

sx = x -nxN1 2

i2i

n

1=i∑

− Desviación típica de y:

sy = y -nyN1 2

i2i

n

1=i∑

− Covarianza:

sxy = y x -ny xN1

iiin

1=i∑

• El signo de r viene dado por el signo de la covarianza, ya que las desviaciones típicas son

siempre positivas; por tanto el signo de la covarianza decide el comportamiento de la correlación: - Covarianza positiva la correlación es directa - Covarianza negativa la correlación es inversa - Covarianza nula no existe correlación

• El coeficiente de correlación lineal toma valores entre 1 y –1

EJEMPLOS

1.- Asigna los valores 0,95; 0,4 -0,7 y -1 a los coeficientes de correlación de las distribuciones bidimensionales de las figuras adjuntas

(a) (b)

(c) (d)

Resolución:

ESTADÍSTICA 81

Evidentemente la gráfica (a) tiene de correlación -1 ya que sigue una línea. Por lo tanto la otra negativa ha de ser la (d) cuyo valor es -0,7. De las dos positivas la mayor es la (d) que es la que más se ajusta a una recta por lo tanto vale 0,95. Queda pues la (c) que vale 0,4. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Asigna los valores 0,34; 0,72 0,97 y 1 a los coeficientes de correlación de las distribuciones bidimensionales de las figuras adjuntas

(a) (b)

(c) (d)

Solución 2.- Los números 0,34; 0,72 0,97 y 1 corresponden en valor absoluto a los coeficientes de correlación de las distribuciones bidimensionales de las figuras adjuntas. Asigna a cada una la suya cambiando el signo cuando convenga.

(a) (b)

(c) (d)

Solución

ESTADÍSTICA 82

4.2.- DEPENDENCIA Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.

Se demuestra que -1 < r < 1. A partir de ahí se analiza la dependencia entre las variables X e Y de la distribución bidimensional. Los casos posibles son:

r = -1

Dependencia funcional. Los valores de las variables (X, Y) se encuentran situados sobre una recta, por tanto satisfacen dicha ecuación.

-1 < r <0

Dependencia aleatoria. La correlación es negativa y será más fuerte a medida que r se aproxima más a -1 y más débil a medida que se aproxima a 0.

r = 0

Aleatoriamente independientes. No existe ningún tipo de relación entre las dos variables. Se dice que las variables son

0< r < 1

Dependencia aleatoria. La correlación es positiva y será tanto más fuerte a medida que r se aproxime más a 1 y más débil a medida que se aproxime a 0.

r = 1

Dependencia funcional. Todos los valores de las variables (X, Y) se encuentran sobre la recta; satisfacen la ecuación de una recta. Se dice que entre las variables existe una

EJEMPLOS 1.- La siguiente tabla recoge el número de horas dedicadas a preparar la tercera evaluación de Matemáticas y la calificación obtenida:


a) Estudia si existe algún tipo de correlación entre ambas variables. b) Analiza el tipo de dependencia que existe entre ellas.

ESTADÍSTICA 83

Resolución: En el apartado de cálculos de parámetros estadísticos obtuvimos que: sx = 6,37, sy = 12,02 y sxy = 69,00 El coeficiente de correlación lineal de Pearson es:

r = s.s

syx

xy = 26,

9,0,12.37

006 = -0,67

a) Al ser r positivo la correlación es inversa; a más horas de estudio mayor calificación. Por ser cercano a 1 la correlación es bastante fuerte. b) La dependencia que existe entre las variables es de tipo aleatorio fuerte, esto quiere decir que, si se conoce un valor de horas de estudio es posible dar con bastante exactitud la calificación de examen. 2.- La información estadística obtenida de una muestra de tamaño 12 sobre la relación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido, en miles de pesetas, para explotaciones ganaderas, se muestra en la tabla


a) Estudia si existe algún tipo de correlación entre ambas variables. b) Analiza el tipo de dependencia que existe entre ellas. Resolución: En el apartado de cálculos de parámetros estadísticos obtuvimos que: sx

2 = 12,67, sy2 =1,02, sxy = 2

a) El coeficiente de correlación lineal de Pearson es:

r = s s

syx

xy = 1,02 12,67

2 = 0,56

b) Como el coeficiente es muy lejano a 1 la previsión es muy poco fiable. 3.- En una muestra de 64 familias se han estudiado las variables estadísticas X, número de miembros en edad laboral, e Y, número de ellos que se encuentran en activo. Los resultados se recogen en la tabla:

Y

1 2 3 1 6 0 0 2 10 2 0 3 12 5 1

X

4 16 8 4

a) Estudia si existe algún tipo de correlación entre ambas variables. b) Analiza el tipo de dependencia que existe entre ellas. Resolución: a) En el apartado de cálculos de parámetros estadísticos obtuvimos que:

sx = 1,00, sy = 0,63, sxy = 0,20

ESTADÍSTICA 84

El coeficiente de correlación lineal de Pearson es:

r = s s

syx

xy = 1,00.0,63

0,20 = 0,32

b) Como el coeficiente es muy lejano a 1 la previsión es muy poco fiable. 4.- Dada la siguiente distribución estadística bidimensional

x 0 0 2 k y 0 2 0 2

a) Calcula el valor de k para que el coeficiente de correlación sea nulo. b) A la vista de la distribución y sin desarrollos algebraicos, justifica si puede existir algún valor de k que haga que el coeficiente de correlación lineal sea igual a uno. Resolución: Para calcular el valor de k utilizamos la tabla:


2ni xiyini 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 2 4 0 2 0 1 2 4 0 0 0 k 2 1 K K2 2 4 2k

Suma 4 2+k 4+ K2 4 8 2k

Los valores de los parámetros estadísticos son:


iin

1=i∑ =

4k+2


ii

n

1=i∑ =

44 = 1

• Covarianza: sxy = y x -nyxN1

iii

n

1=i

∑ = 1 . 4

k+2 - 2k =

42k-

a) Para que se anule r ha de ocurrir que el cociente:

r =s s

syx

xy =s . s

42k-

yx= 0 ⇒

42k- = 0 ⇒ k = 2

b) Para ningún valor de k podría ser r=1, pues tendría que haber entre x e y una relación funcional lineal y ya con los tres puntos del diagrama de dispersión dibujado se aprecia que no hay ninguna recta que pase por los tres. 5.- Los siguientes diagramas de sectores corresponden a la composición de la Cámara del Parlamento de Andalucía (número de escaños obtenidos por cada partido) en las elecciones celebradas en 1994 y 1996:

ESTADÍSTICA 85

a) Dibuja la nube de puntos que se obtiene al representar, por cada partido, en abscisas el número de años obtenidos en 1994 y en ordenadas el número de escaños obtenidos en 1996. b) Cuantifica la intensidad de la interrelación lineal existente entre ambas variables.

Resolución: Recogemos los datos de ambas elecciones en la siguiente tabla estadística:

PSOE PP IU PA 94 45 41 20 3 96 52 40 13 4

dando lugar a la nube de puntos de la gráfica adjunta. La intensidad de la interrelación lineal existente entre ambas variables es alta ya que como se observa todos los puntos de ésta se ajustan bastante bien a una recta.

Para cuantificar el coeficiente de correlación lineal calculamos el coeficiente de correlación entre ambas variables X e Y utilizando la siguiente tabla:

xi

yi

ni

xini

yini

xi

2ni

yi2ni

xiyini

45 52

1

45

52

2.025

2.704

2.340

41 40

1

41

40

1.681

1.600

1.640

20 13

1

20

13

400

169

260

3 4

1

3

4

9

16

12

Suma

4

109

109

4115

4489

4252



iin

1=i∑ =

4109 = 27,25


ii

n

1=i∑ =

4109 = 27,25

• Desv. típica de x: sx = x -nxN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(27,25 -

44115 2 = 16,719

• Desv. típica de y: sy = y -nyN1 2

i2i

n

1=i∑ = )(27,25 -

44489 2 = 19,486

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

ESTADÍSTICA 86

• Covarianza: sxy = yx -N

ny x iiin

1=i∑

= 27,25 . 27,25 - 4

4252 = 320,438

El coeficiente de correlación es: r = s s

syx

xy = 48616,917.19,

320,438 = 0,97

Como r está cercano a 0,97 1, las variables X e Y tienen una correlación positiva y muy fuerte.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Calcula la correlación existente entre las variables de la distribución bidimensional de temperaturas medias anuales y latitudes de diversas capitales europeas:

Capitales Tº Latitud(1)

Amsterdam 13 54

Atenas 24 37

Bruselas 13 53

Madrid 19 40

París 15 49

Roma 22 42

Solución: r =- 0,91.

2. Calcula la correlación existente entre las variables de la distribución de calificaciones de 34 alumnos en Filosofía y en Matemáticas que vienen dadas en la siguiente tabla:

Filosofía Matemáticas ni 0 0 2 0 1 3 1 2 6 1 3 4 2 0 4 2 1 5 2 4 2 3 0 3 3 2 4 3 5 1 4 3 5 4 4 1

Solución: r = 0,31.

4.- Calcula los parámetros estadísticos de la distribución obtenida para siete ciudades españolas entre las cenizas sulfurosas contenidas en el aire, en μg/m3, y el número, por cada 100.000 habitantes, de personas hospitalizadas más de siete días por problemas respiratorios.


μg/m3 15 20 14 8 12 7 6

nº personas 20 22 17 10 15 8 4

Solución: r= 0,97.

3.- Calcula la correlación existente entre las variables de la distribución dada por la tabla adjunta que representa la edad y la talla de zapatos de un grupo de 20 niños.

ESTADÍSTICA 87

Y \ X [5-7) [7-9) [9-11) [11-13) [25-30) 1 2 - - 3 [30-35) 2 4 2 - 8 [35-40) 1 1 1 2 5 [40-45) - - - 4 4 4 3 6 20

Solución: r= 0,71.

5.- Calcula la correlación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido en miles de pesetas para 7 explotaciones ganaderas, que se muestra en el siguiente cuadro


Calcula los parámetros estadísticos de la distribución. Solución: r= 0,64.

6.- Los siguientes datos representan las puntuaciones en un test de capacidad memorística y en

un test de cociente intelectual, obtenida de 6 individuos:

Capacidad memorística 17 23 25 36 38 40

Cociente intelectual 37 58 14 43 27 60

Obtén el coeficiente de correlación lineal e interprétalo. Solución: r= 0,19. Muy débil.

7.- Se considera la distribución que da la altura y edad de cuatro niños

Edad 1 2 3 6 Altura 65 80 100 115

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal e interprételo. b) Dibuja la nube de puntos asociada a la muestra y, a partir de ella, justifique la conclusión obtenida en el apartado anterior. Solución: r= 0,90. Fuerte.

8.- Dada la tabla bidimensional

X -2 -1 0 1 2 3 Y -7 -4 -1 2 5 8

correspondiente a una muestra de una cierta población, a) Calcula el coeficiente de correlación lineal e interprételo. b) Dibuja la nube de puntos asociada a la muestra y, a partir de ella, justifique la conclusión obtenida en el apartado anterior. Solución: r= 1. Dependencia funcional.

9.- La siguiente tabla indica la distribución obtenida al considerar el número de horas estudiadas y la calificación rendimiento obtenido en miles de pesetas para 7 alumnos que se presentan a un mismo examen.


a) Dibuja la nube de puntos asociada. b) Indica como es la correlación. Solución: b) r= 0,88. Positiva y fuerte

ESTADÍSTICA 88

4.3.- REGRESIÓN

1.- Concepto Supongamos el diagrama de dispersión de la figura. Tratamos de construir una recta que se aproxime lo mejor posible a la nube de puntos del diagrama. Esta línea sería la recta de regresión. Podemos hallarla mediante dos métodos: - Método gráfico (trazar a ojo la línea que

más se ajusta al aspecto que tiene la nube de puntos), es poco riguroso.

- Método analítico. Utilizamos el método

de ajuste lineal por mínimos cuadráticos.

2.- Estudio analítico de la regresión lineal Supongamos una distribución bidimensional en la que las variables tienen una correlación fuerte y que la nube de puntos se puede ajustar mediante una recta. Nuestro problema consiste en encontrar la ecuación de una recta de la forma y = ax+b que mejor se ajuste a la nube de puntos. Existen varios métodos, siendo el más utilizado el de mínimos cuadrados. En este se trata que la suma de los cuadrados de las distancias de los puntos a la recta de regresión sean mínimos. De la aplicación del método anteriormente citado, se obtiene que la ecuación de la recta pasa por el punto ( x , y ) (conocido como centro de gravedad de la distribución) y su ecuación es:

)x -(x m = y -y

siendo m el coeficiente de regresión cuyo valor es igual a: m =ss

2x

xy

luego la ecuación de la recta de regresión de y sobre x es: )x-(x SS = y -y 2

x

xy

Análogamente la ecuación de la recta de regresión de x sobre y: )y-(ySS = x-x 2

y

xy

A partir de estas rectas podemos calcular con cierta aproximación (mayor cuanto mas cercano a 1 sea el coeficiente de correlación) los valores de Y conocida la variable X y viceversa. La fiabilidad del cálculo será tanto mayor, cuanto mayor sea r en valor absoluto. - Si r es muy pequeño, no tiene sentido realizar ningún tipo de estimaciones. - Si r es próximo a 1 o a -1, los valores reales serán próximos a nuestras estimaciones. - Si r =-1 o r =1, las estimaciones realizadas coincidirán con los valores reales. Pero incluso cuando r sea próximo a 1 no es conveniente extrapolar resultados (es decir obtener resultados fuera del rango de variación de las variables) ya que los resultados pueden ser altamente erróneos.

EJEMPLOS 1.- La siguiente tabla recoge el número de horas dedicadas a preparar la tercera evaluación de Matemáticas y la calificación obtenida en el examen por los alumnos de una muestra:

ESTADÍSTICA 89


Analiza la fiabilidad de las posibles predicciones. Resolución: • Las posibles predicciones sobre X conocida Y o sobre Y conocida X son

fiables por estar r próximo a 1. • La variable x deberá variar entre 1,6 y 3,2, que son los valores de los que

tenemos información y la variable y entre 61 y 92, por la misma razón. • Cuanto más se aproximen x e y a su media (25 y 76,5 respectivamente),

más fiables serán las predicciones. 2.- La información estadística obtenida de una muestra de tamaño 12 sobre la relación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido, en miles de pesetas, para explotaciones ganaderas, es:


a) La recta de regresión del rendimiento respecto de la inversión. b) La previsión de inversión necesaria para obtener un rendimiento de 12.500 Pta. Resolución: a) La recta de regresión lineal del rendimiento (y) sobre la inversión (x) tiene

por ecuación: )x(x- s

s = y -y

2x

xy . Para calcularla utilizamos los valores

anteriormente obtenidos: 18) -(x 12,67

2 = 8,25 -y ⇒ y = 0,16x+5,37

b) Para obtener una previsión de inversión, conocido el rendimiento, debemos calcular la recta de regresión lineal de la inversión (x) sobre el rendimiento (y),

de ecuación: )y(y- s

s = x -x

2y

xy . Sustituyendo valores en la ecuación con los

datos obtenidos anteriormente: x - 18 = 8,25) -(x 1,02

2 ⇒ x = 1,96x+1,83

Previsión de inversión necesaria para obtener un rendimiento de 12.500 pta.: x = 1,96.12,5+1,83 = 26,33que al estar expresada en miles da 26330 pta. 3.- En una muestra de 64 familias se han estudiado las variables estadísticas X, número de miembros en edad laboral, e Y, número de ellos que se encuentran en activo. Los resultados se recogen en la tabla:

Y

1 2 3 1 6 0 0 2 10 2 0 3 12 5 1

X

4 16 8 4

Obtén la recta de regresión de Y sobre X.

ESTADÍSTICA 90

Resolución: La recta pedida es la recta de regresión de y sobre x, de ecuación:

)x.(x-ss = yy- 2

x

xy ⇒ 3,06).(x-1

0,20 = 1,39y-

operando queda: y = 0,20x + 0,79 4.- ¿Es posible que las dos rectas de regresión lineal Y/X y X/Y tengan pendientes negativas? Calcula dichas rectas para la nube de puntos:

X 1 2 3 4 5 Y -1 -2 -3 -4 -5

Resolución: Calculamos los valores en la tabla adjunta:


2ni xiyini 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 2 -2 1 2 4 -2 4 -4 3 -3 1 3 9 -3 9 -9 4 -4 1 4 16 -4 16 -16 5 -5 1 5 25 -5 25 -25

Suma 5 15 55 -15 55 -55 A partir de ella hallaremos los valores. • Media de x :

x = nx N1

iin

1=i∑ =

515 = 3

• Media de y:

y = ny N1

ii

n

1=i∑ = -

515 = -3

• Varianza de x:

sx2 = x - nxN

1 2i

2i

n

1=i∑ = 3 - 5

55 2 = 2

• Varianza de y:

sy2 = y -ny

N1 2

i2i

n

1=i∑ = 3 - 5

55 2 = 2

• Covarianza:

sxy = y x - nyxN1

iiin

1=i∑ =- 9 +

555 =- 2

• La recta de regresión lineal de y sobre x es: )x(x- s

s = y -y

2x

xy .

La calculamos utilizando los valores anteriormente obtenidos:

y+3 = 3)(x- 2-2 ⇒ y+3 =-x+3 ⇒ x+y = 0

• La recta de regresión lineal de y sobre x es: )y(y- s

s = x -x

2y

xy .

ESTADÍSTICA 91

Sustituyendo valores con los datos obtenidos anteriormente:

x-3 = 3)(y+ 2-2

⇒ x-3 =-y-3 ⇒ x+y = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. - Las temperaturas medias anuales y latitudes de diversas capitales europeas son:

Capitales Tº Latitud(1)

Amsterdam 13 54

Atenas 24 37

Bruselas 13 53

Madrid 19 40

París 15 49

Roma 22 42

a ) Obtén la recta de regresión de la temperatura media (X) respecto a la latitud (Y). b) ¿Cuál será la temperatura esperada para una ciudad que se encuentra situada a 47° de latitud ? Solución: a) Como r = 0,67, no merece la pena hallarla. b) No se puede hallar.

2. La distribución de calificaciones de 34 alumnos en Filosofía y en Matemáticas vienen dadas en la siguiente tabla:

Filosofía 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 10 MATEMÁTICAS 0 1 2 3 0 1 4 0 2 5 3 4 Nº alumnos 2 3 6 4 4 5 2 3 4 1 5 1

a) Recta de regresión de las calificaciones de Matemáticas (Y) respecto de Filosofía (X). b) Cuál será la nota esperada en Matemáticas para un alumno que obtuvo un 4,5 en Filosofía?. c) Cuál será la nota esperada en Matemáticas para un alumno que obtuvo un 0 en Filosofía?. Solución: a) y = 0,98x + 0,54, b) y = 4,95. c) No se puede saber ya que está fuera del rango de variación de la variable.

3.- La tabla adjunta representa la edad y la talla de zapatos de un grupo de 20 niños.

Y \ X [5-7) [7-9) [9-11) [11-13) [25-30) 1 2 - - 3 [30-35) 2 4 2 - 8 [35-40) 1 1 1 2 5 [40-45) - - - 4 4 4 3 6 20

a ) Obtén la recta de regresión de la edad (X) respecto a la talla (Y). b) Cuál será la talla esperada para una edad de 32 años? Solución: a) Como r = 0,71, no merece la pena hallarla. b) No se puede hallar.

4.- Para siete ciudades españolas se quiere encontrar una relación entre las cenizas sulfurosas contenidas en el aire, en μg/m3, y el número, por cada 100.000 habitantes, de personas hospitalizadas más de siete días por problemas respiratorios. Los dato obtenidos fueron:


μg/m3 15 20 14 8 12 7 6

nº personas 20 22 17 10 15 8 4

ESTADÍSTICA 92

a) Calcula 1a recta de regresión del número de μg/m3 de cenizas en función del número de personas hospitalizadas por cada 100.000 habitantes b) ¿Cuántas personas por cada 100.000 habitantes se prevé que se hospitalizaran en una ciudad en la que se han medido 20 μg/m3 de cenizas sulfurosas? Solución: a) x= 0,74y + 1,53, b) y = 1,27x - 1,10, 24,3 personas por cada 100.000 habitantes. 5.-Sabiendo que el centro de gravedad, G = ( x , y ), de la nube de puntos correspondiente a la tabla estadística es el punto (-1,-1), se pide:

X -5 -3 a 1 3 Y -7 -4 b 2 5

a) Calcula los valores de a y b. b) Predice el valor que se obtiene para Y, sabiendo que X=2. Explica la fiabilidad del resultado a partir del cuadrado del coeficiente de correlación. Solución: a) a = -1, b = -1. b) y = 1,47.2+0,27 = 3,5. Como r = 0,99, previsión muy fiable.

6.- Los siguientes datos representan las puntuaciones en un test de capacidad memorística y en un test de cociente intelectual, obtenida de 6 individuos:

Capacidad memorística 17 23 25 36 38 40

Cociente intelectual 37 58 14 43 27 60

Halla la ecuación de recta de regresión de la capacidad memorística sobre el cociente intelectual. Solución: a) x = 0,1y+25,86 7.- Se considera la distribución que da la altura y edad de cuatro niños

Edad 1 2 3 6 Altura 65 80 100 115

a) Halla la ecuación de recta de regresión de la altura conocida la edad. b) Predice el valor que se obtiene para una edad de 4 años. Explica la fiabilidad del resultado a partir del cuadrado del coeficiente de correlación. Solución:.

8.- Dada la tabla bidimensional correspondiente a una muestra de una cierta población,

X -2 -1 0 1 2 3 Y -7 -4 -1 2 5 8

a) Halla la ecuación de recta de regresión de X sobre Y. b) Predice el valor que se obtiene para Y = 0. Explica la fiabilidad del resultado a partir del coeficiente de correlación. Solución:

9.- La siguiente tabla indica la distribución obtenida al considerar la inversión (en millones) y el rendimiento obtenido (en millones) para 7 negocios existentes en una misma calle de una ciudad.


a) Halla la ecuación de recta de regresión de la inversión sobre el rendimiento. b) Predice el valor que se obtiene para un rendimiento 8,5. Explica la fiabilidad del resultado a partir del coeficiente de correlación. c) Indica el rendimiento correspondiente a una inversión de 10. Solución:

ESTADÍSTICA 93


1.- La tabla siguiente contiene los valores de dos variables X e Y. Calcula el coeficiente de correlación lineal entre las variables. Halla la recta de regresión de Y sobre X. ¿Cuál es el valor estimado por dicha recta para Y cuando X=100?.

X 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 2 4 4 5 7 8 9

Solución:

2.- Calcula la ecuación de la recta de regresión mínimo cuadrática de X sobre Y en la distribución siguiente, realizando todos los cálculos intermedios. Represente los puntos y la recta en un diagrama cartesiano. ¿Cuál sería el valor que correspondería según dicha recta a Y = 8?.

X 2 4 6 8 10 Y 10 7 5 3 0

Solución: 3.- Asigna los valores 0,46; -0,94; 1; 0; 0,9 y -0,63 a los coeficientes de correlación de las distribuciones bidimensionales de las figuras adjuntas

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Solución: 4.- El precio Y, en miles de pesetas, y la antigüedad en años, X, de siete coches de un cierto modelo, se recogen en la siguiente tabla:

X 2 3 4 5 6 7 8 Y 69 60 52 45 39 34 30

ESTADÍSTICA 94

a) Haz una representación gráfica adecuada. b) Calcula la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. c) ¿Qué precio cabe esperar par aun coche de se modelo en 10 años?. Solución: 5.- Las puntuaciones obtenidas por un grupo de escolares en los que se mide razonamiento lógico, X, y compresión verbal, Y, son las siguientes:

R.L. \ C. V. (10,20) (20,30) (30,40) (40,50) (15,25) 5 3 - - (25,35) 2 6 1 - (35,45) - 1 4 2 (45,55) - - 3 3 (55,65) - - 1 2

a) Halla la correlación existente entre ambas variables: b) El coeficiente de regresión lineal: c) La recta de regresión de Y sobre X: d) La recta de regresión de X sobre Y: e) Si el valor de razonamiento lógico es de 23 ¿cuál es el valor en comprensión verbal? Solución: 6.- El precio, Y, expresado en miles de pesetas, y la cilindrada, X, expresada en centímetros cúbicos, de seis vehículos se recoge en la siguiente tabla:

X 1200 900 1300 1200 1600 1400 Y 1300 770 1400 1350 2000 1500

Calcula la recta de regresión mínimo cuadrática de Y sobre X. ¿Qué precio cabe esperar para un coche de 1500 centímetros cúbicos de cilindrada?. Solución: 7.- Dada la distribución bidimensional:

X 1 2 3 4 5 Y 9 7 5 4 2

Obtenga la recta de regresión de Y sobre X, realizando todos los cálculos intermedios. Represente gráficamente los puntos y la recta de regresión obtenida. Solución: 8.- La siguiente tabla recoge los PESOS (en kilos) y las ALTURAS (en centímetros) de un conjunto de personas.

Peso 81 68 71 55 67 79 90 80 101 79 Altura 178 171 168 164 165 170 190 183 195 171

a) Realiza una representación gráfica de los mismos. b) Calcula la recta de regresión para calcular el peso conocida la altura. ¿Cuál sería según dicha recta la altura correspondiente a una persona de 95 kilogramos?. c) Calcula la recta de regresión para calcular el peso conocida la altura. )Cuál sería según dichas rectas el peso correspondiente a aun persona con una altura de 165 cm.? Solución:

10.- Dada la tabla bidimensional

X -2 -1 0 1 2 3 Y -7 -4 -1 2 5 8

ESTADÍSTICA 95

correspondiente a una muestra de una cierta población, a) Calcula el coeficiente de correlación lineal e interprételo. b) Dibuja la nube de puntos asociada a la muestra y, a partir de ella, justifique la conclusión obtenida en el apartado anterior. Solución: r= 0,90. Fuerte.

11.- Las notas de 10 alumnos en Matemáticas y Biología son:

Matemáticas 8 5 2 7 8 3 4 10 0 7 Biología 6 7 4 6 10 4 3 9 1 8

Halla, calculando explícitamente todos los pasos intermedios: a) La recta de regresión de Y sobre X b) La recta de regresión de X sobre Y c) La nota que cabe esperar en Biología de un alumno que tiene un 7.5 en Matemáticas d) La nota que cabe esperar en Matemáticas de un alumno que tiene un 5 en Biología. Solución: 12.- Diez alumnos de COU han realizado en el primer trimestre dos exámenes de Filosofía. Las calificaciones viene dadas en la tablas adjunta.

Primer examen(x) 4 7 6 9 4 7 9 4 8 10 Segundo examen (y) 4 6 5 9 3 6 8 4 7 10

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal entre X e Y e interprétalo. b) Halla la recta de regresión que ajusta las calificaciones del segundo examen en función del primero. c) Predice la calificación que se espera que alcance en el segundo examen un alumno que en el primero hubiese obtenido un 5 ¿Es buena esa predicción? Solución: a) r = 0,97. Muy buena predicción. b) y = x - 0,57, c) y = 5 - 0,57 = 4,43 13.- Las notas de Matemáticas y Física de un grupo de alumnos son las siguientes:

Matemáticas 2 3 1 7 7 6 8 9 Física 2 4 2 8 9 6 8 9

a) Representa la nube de puntos y, sobre ella, razona si hay correlación lineal significativa, y de que signo, entre las calificaciones de matemáticas y las de Física. b) Halla las medias y desviaciones típicas de la distribución Solución: a) Sí hay correlación lineal significativa y positiva. b) x = 5,38, y = 6,00, sx = 2,781sy = 2,784 14.- Con los datos de la distribución anterior. a) Halla el coeficiente de correlación lineal de la distribución. b) Averigua la nota de Matemáticas correspondiente a un 3 en Física. ¿es buena la predicción?, ¿Qué nota correspondería a un 1 en Física? Solución: a) r = 0,97. b) x = 0,65.3 +1,47 =3,42. No una buena previsión.

15.- La tabla siguiente muestra, las calificaciones, en Matemáticas de ocho alumnos en la primer evaluación (x) y en la segunda (y):

1ª evaluación (x) 3 4 5 6 6 7 7 8 2ª evaluación (y) 2 5 5 6 7 6 7 9

a) Representa gráficamente los datos anteriores y razona si los datos muestran correlación positiva o negativa (es decir, directa o inversa) b) Calcula el coeficiente de correlación lineal e interpreta éste. Solución: a) Correlación directa. b) r = 0,92. Correlación positiva y muy fuerte.

16.- La edad (x), en años, y el peso (y), en kilogramos, de 5 años vienen dados en la tabla:

ESTADÍSTICA 96

x edad 6 7 8 9 10 y peso 30 33 37 41 49

Se pretende expresar el peso en función de la edad utilizando una regresión lineal. a) En base al coeficiente de correlación razona si ese procedimiento es fiable. b) Halla la edad de una persona con peso de 40 kilos ¿Será razonable la edad predicha? c) ¿Sería razonable, con ese modelo, predecir el peso de una persona de 30 años? Solución: a) r = 0,98. Muy buenas. b) x = 8,45 años. Previsión fiable. c) No sería razonable.

17.- La producción (en miles de Tm) y la superficie sembrada (en miles de Ha) de lenteja en España durante los años de 1970 a 1974 fue:

Año 1970 1971 1972 1973 1974 Superficie 68 75 87 99 105 Producción 339 389 435 437 416

a) Halla la recta de regresión de la producción de lentejas en función de la superficie plantada. b) Si en un determinado año sabemos que la producción ha sido de 420.00 Tm., halla la superficie que previsiblemente se plantó es año. c) Calcula la fiabilidad de la previsión. Solución: a) y = 2,08x - 108,79. b) x = 0,31.420 - 43,4 = 86,8 miles de Ha. c) No sería razonable.

18.- Cinco niñas de 2,3,5,7 y 8 años pesan, respectivamente 14, 20, 32, 42 y 44 kilogramos a) Dibuja un diagrama que represente la distribución. b) Halla el peso aproximado de una niña de 6 años ¿Será razonable el peso predicho? Solución: a) Diagrama de dispersión. b) y = 5,15.6 - 4,65 = 35,55 kg. Muy buenas. 19.- Sea (X , Y) una variable estadística bidimensional. Sus rectas de regresión son:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

y 65 = x

31 +x

54 =y

a) Calcula la media de X y de Y. b) ¿Existe relación entre las variables? Solución:

20.- Cierto vendedor de helados ha observado el precio de distintas variedades (X en ptas) y la cantidad vendida (Y en número), obteniendo los siguientes datos:

X 60 80 100 120 130 150 200 Y 50 40 30 25 15 10 5

a) El número medio de helados vendidos. b) ¿Cómo es la relación entre las variables? c) Estima cuántos helados se venderán de una variedad que costase 90 ptas. d) ¿Es fiable la predicción anterior? Solución: 21.- Una empresa dispone de los datos de la tabla.

Número de vendedores 3 4 5 8 10 Número de pedidos 90 110 140 190 235

a) ¿Cómo es la relación entre las variables? b) Estima el número de pedidos que obtendrían 9 vendedores. c) Estimar el número de vendedores de los que debería disponer la empresa para que el número de pedidos fuera 200. Solución:

ejercicios de estadística - matematicas camoens · pdf file4.4.- ejercicios finales ......

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