ejercicios de elipses

Universidad Privada de Tacna Facultad de Ingeniería

Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Curso: Matemática Básica

EJERCICIOS DE ELIPSES

Ejercicios propuestos:

1. Encontrar las coordenadas de los focos y la longitud del eje mayor de la elipse definida por la ecuación:

2. Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen, eje mayor horizontal y que pasa por los puntos

(4, 3) y (6, 2)

3. Determinar las coordenadas de los vértices A y A´, eje focal y la excentricidad de la elipse definida por:

4. Determinar la ecuación de la elipse de centro (-1, -1), vértice (5, -1) y excentricidad e=2/3

5. Encontrar las coordenadas de los focos y la longitud de los ejes de la elipse de la ecuación:

6. Los focos de una elipse son los puntos y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es 9. Hallar

la ecuación de la elipse.

7. El centro de una elipse es el punto (2, -4). Encontrar su ecuación si el vértice y el foco de un mismo lado

del centro son los puntos (-2, 4) y (-1, -4) respectivamente.

8. Hallar la ecuación general de una elipse cuyo centro es el punto de intersección de las rectas

Su eje mayor es vertical e igual a 10 y la distancia del centro al

foco es 4

9. Analizar y graficar el lugar geométrico definido por la ecuación:



SOLUCIONARIO:

1. Encontrar las coordenadas de los focos y la longitud del eje mayor de la elipse definida por la

ecuación:

Solución:

De donde:

√

( √ ) (√ )

2. Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen, eje mayor horizontal y que pasa por los puntos

(4, 3) y (6, 2)

Solución:

Sabemos que la ecuación de la elipse con centro en el

origen está dada por:

Para :

Para :

Reemplazando los valores hallados en la ecuación:

𝑥

𝑦

𝐴 0) 𝐴 0)

𝐵 )

𝐹 √ )

𝐵 )

𝐹 √ )

𝑥

𝑦

𝐴 𝑎 0) 𝐴 𝑎 0)

𝐵 𝑏)

𝐹 𝑐 )

𝐵 𝑏)

𝐹 𝑐 )

𝑃 )

𝑄 )

𝑏 𝑎 𝑎 𝑏

𝑏 𝑎 𝑎 𝑏

𝑏 𝑎 𝑎 𝑏

𝑏 𝑎 𝑎 𝑏

𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

𝐶 )



𝑥

𝑦 𝐴 𝑎)

𝐴 𝑎)

𝐵 𝑏 )

𝐹 𝑐)

𝐵 𝑏 )

𝐹 𝑐)

3. Determinar las coordenadas de los vértices A y A´, eje focal y la excentricidad de la elipse definida por:

Solución:

Además:

√

( √ ) √

Excentricidad:

√

√

4. Determinar la ecuación de la elipse de centro (-1, -1), vértice (5, -1) y excentricidad e=2/3

Solución:

Si:

√

5. Encontrar las coordenadas de los focos y la longitud de los ejes de la elipse de la ecuación:

Solución:

√ √

√ √

𝐶 )

𝑦

𝑋

𝐴 𝑎 𝐴´ 𝑎

𝐹 𝑐 ) 𝐹 𝑐 )

𝑎 𝑎

𝐴´ 𝐶 )

𝑦

𝑥

𝐴 𝑎



6. Los focos de una elipse son los puntos y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es 9.

Hallar la ecuación de la elipse.

Solución:

Como además:

, también:

√

7. El centro de una elipse es el punto (2, -4). Encontrar su ecuación si el vértice y el foco de un mismo

lado del centro son los puntos (-2, 4) y (-1, -4) respectivamente.

Solución:

Si el foco y el vértice pertenecen al eje focal que es

paralelo al eje la ecuación de la elipse será de la

forma:

ademas:

: √

8. Hallar la ecuación general de una elipse cuyo centro es el punto de intersección de las rectas

Su eje mayor es vertical e igual a 10 y la distancia del centro al

foco es 4

Solución:

Sea: como

𝑥

𝑦

𝐴 𝑎 0) 𝐴 𝑎 0)

𝐵 𝑏)

𝐹 )

𝐵 𝑏)

𝐹 )

𝐶 )

𝑦

𝑥

𝐴 𝐹 𝐹 𝑐 ) 𝐴´ 𝑎

𝑘

𝑘

𝑘

𝑘

- Reemplazando en la 2da ecuación tenemos:

𝑘

𝑘

𝑘



( )

Por los datos del problema:

Además:

Si el foco y el vértice pertenecen al eje focal que es paralelo al

eje la ecuación de la elipse será de la forma:

Reemplazando tenemos:

9. Analizar y graficar el lugar geométrico definido por la ecuación:

Solución:

Dónde: ; por la forma de la ecuación deducimos que el eje focal es

paralelo al eje “y”

Además:

Las coordenadas de los focos son de la siguiente forma:

Las coordenadas de los vértices del eje mayor son de la siguiente forma:

Las coordenadas de los vértices del eje menor son de la siguiente forma:

𝐶 𝑘

𝐴 𝑘 𝑎)

𝐴 𝑘 𝑎)

𝐹

𝐹

𝑐

𝑐



GRAFICA:

𝐶

𝐴

𝐴

𝐵 𝐵

𝐹

𝐹

𝑦

𝑥

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