EJERCICIOS DE CONJUNTOS

I. Algunos ejemplos

1.- Si A={2, 3, 5, 6} y B ={1, 2, 3, 4} � A∩B = {2, 3} y A∪B ={1, 2 ,3 ,4, 5, 6}

2.- Si C={1, 3, 5} y D ={2, 4, 6} � C ∩ D = {} Conjunto vacío o nulo

C ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Nota : {} ≠ {Ø}

3.- U={1, 3, 5, 7, 9}

A={1, 5, 9}

A’={3, 7}

4.- U={1, 3, 5, 7, 9}

B={1, 3, 5}

A’={7, 9}

5.- A={2, 3, 5, 6}

B={1, 2, 3, 4}

C={1, 3, 5}

(A ∩ Β) ∪ C= {1, 2, 3, 5}

6.- A={2, 3, 5, 6}

B={1, 2, 3, 4}

C={1, 3, 5}

A ∩ ( Β ∪ C) = { 2, 3, 5}

Subconjunto

Un conjunto es subconjunto de otro, si todos los elementos de este conjunto pertenecen al otro.

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, b, c}. B es un subconjunto de A.

Unión

Dados dos o más conjuntos, se define la unión de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos de todos

los conjuntos.

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La unión de A y B es {a, b, c, d, e, f, h, j}

Intersección

Dados dos o más conjuntos, se define la intersección de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a todos los conjuntos.

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La intersección de A y B es {a}

Diferencia

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia, A - B, es los elementos de A que no pertenecen a B.

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La diferencia de A y B es {b, c, d, e, f}

II. Ejercicios de Conjuntos. Resuelva los siguientes ejercicios relacionados con conjuntos

2 Conjuntos

1) Considere los conjuntos A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4} y calcule los conjuntos A ∩ B, A ∪

B, A – B, B – A, A ∩ B ∩ C , A – ( B – C) y finalmente (A – B) – C .

2) Sean U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A={2, 3, 5, 7} y B={3, 6, 9} calcular

α. A ∩ Β

b. A ∪ Β

c. (A ∩ Β)‘

d. A’ ∪ Β‘

e. A’ ∩ Β ’

f. (A ∪ Β)‘

g. A’ ∪ Β

h. (A’ ∪ Β)‘

i. (A ∩ Β’ ) ‘

3) Sean U={1, 3, 5, 7, 9, 11} P={1, 3} Q={1, 3} y R={9, 11} calcular

a. Q ∩ P

b. P ∪ Q

c. (R ∩ Q)‘

d. Q’ ∪ P‘

e. P’ ∩ R ’

f. (Q ∪ R)‘

g. (Q’ ∪ R) ∩ (Q ∪ R)‘

h. (P’ ∩ Q) ∩ (Q ∪ R)‘

i. (P’ ∪ Q’) ∪ (Q ∪ R’)‘

j. (P’ ∩ Q) ∩ (Q’ ∪ R)

k. (P ∪ Q) ∪ (Q ∪ R)‘ 4) ¿Cuál es la intersección de { {a} } y { a }?

5) Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} , B = { 3, 4, 5} y C = { 1, 5, 6}, es posible determinar el conjunto D

sabiendo que A ∩ D = { 3}, B ∩ D = { 3, 5} y C ∩ D = {5, 6} y D tiene solo 4 elementos ? . En caso de ser posible hacelo y en caso de no serlo, explica por qué.

6) En el diagrama que sigue colorea la parte que representa el conjunto

(A ∪ B) – ( A ∪ C)

7) Sean A y B dos conjuntos no vacíos tales que A⊂ B. Determinar si son V o F los siguientes enunciados justificando la respuesta:

• Siempre existe x tal que x ∈ A y x ∉ B.

• Siempre existe x tal que x ∈ B y x ∉ A.

• Si x ∉ B entonces x ∉ A.

• Si x ∉ A entonces x ∉ B.

• A y B no tienen elementos en común.

A B

C

Matemáticas Discretas 2004 3

9) Sea A = { 3, {3}} Determinar si son V o F los siguientes enunciados justificando la respuesta:

• 3 ∈ A

• {3} ⊆ A

• {3} ∈ A

9) Si A ∩ B = { 6, 8, 10 }, A = { 4, x, 8, 10 } y B = { 2, x, y, 10, 12 } puedes obtener x + y?.

9) Sean A = { 1, 2, 3, 4, 5}, B = { 1, 2} y C = { 1, 5}.

• Calcula: CA B , CA (CA B) , ¿ CA (CA B) = B ?, puedes dar una razón lógica para explicar esto?

• Calcular CA C , CA A ,

• ¿ Se puede calcular el complemento de B con respecto a C? ¿ por qué?

9) Se sabe que A∪B∪C = {x ∈ N / 1≤ x ≤ 10 } A∪B = { x ∈ N / 1≤ x ≤ 8 },

A∩B = { 2, 3, 8} , A∩C = { 2, 7} y B∩C = { 2, 5, 6}. ¿Es posible obtener el conjunto

C? Y el conjunto A? En cada caso, de ser posible, obtenerlo y si no explica por qué no es

posible.

10) Sabiendo que A y B son subconjuntos de U, CU A = { e, f , g , h , i } , A∩B = { c, d}

y A∪B = { a, b, c, d, e, f }. ¿Puedes deducir cuántos elementos posee A? Y cuántos B?

11) El cuestionario de una encuesta de mercado preguntaba:

i) Consumís habitualmente la bebida A? ii) Consumís habitualmente la bebida B?

El resumen del resultado de los encuestados que respondieron a ambas preguntas fue:

Bebida A B AMBAS NINGUNA

No de

consumidores

230 200 150 40

¿ Cuál es el número de los encuestados ?

12) Un encuestador lleva a cabo una encuesta entre 500 personas y resume así los datos

obtenidos: 200 personas tienen preferencia por la música clásica

400 personas tienen preferencia por la música popular

75 personas tienen preferencia por ambas.

Ocuparías a este encuestador para llevar a cabo otra encuesta?

13) Un subconjunto X de números naturales tiene 12 múltiplos de 4,

7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 y 8 números impares.

¿ Cuántos elementos tiene X?.

14)Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta,

motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

• Motocicleta solamente: 5

• Motocicleta: 38

• No gustan del automóvil: 9

4 Conjuntos

• Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3

• Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20

• No gustan de la bicicleta: 72

• Ninguna de las tres cosas: 1

• No gustan de la motocicleta: 61

De acuerdo a los datos anteriores, responde a las siguientes preguntas

a. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?

b. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?

c. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?

d. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas?

e. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

15) Construya los diagramas de Venn para 4 y 5 conjuntos

16) Enumere los elementos de ℘ ({a,b,c,d}). ¿Cuáles son subconjuntos propios de {a, b, c, d }?

17) Si X tiene 10 elementos. ¿Cuántos miembros tiene ℘ ( X )?. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene X?

18)¿En qué caso se cumple la identidad A ∩ B ≡ A ∪ B?

19)Los conjuntos que se muestran a continuación corresponden a :

A={Las personas que usan tenis Adidas}

B={Las personas que usan tenis Nike}

C={Las personas que usan tenis Patito }

D={Las personas que usan tenis Fila}

5

3

4

6

10 14

8

9

15

3

1 8

5

2

7

8

A

B

C

D

Matemáticas Discretas 2004 5

1. ¿Cuantas personas forman al universo en éste caso?

2. ¿Cuántas personas usan al menos 2 de las 4 marcas de Tenis mencionadas?

3. ¿Cuantas personas usan sólo dos de las marcas de tenis?

4. ¿Cuantas personas usan Adidas y Nike pero no usan Fila?

5. ¿Cuantas personas usan Fila y Nike pero no usan Patito?

20) ¿Verdadero o falso? Justifica la respuesta

1. Si A = {1,2,3,6} y B = {x ∈ Z / x es par} entonces A ⊄ B

2. Si M = {4,3,5,7} y N = {x ∈ Z/ x es primo} entonces A ⊄ B

3. Si n(A) =32, n(B)= 39 y n (A ∪ B) = 50, entonces n(A ∩ B) = 21

4. Si n(A) =32, n(B)= 39 y n (A ∪ B) = 50, entonces n(A - B) = 18

21) Demuestra justificando cada paso:

a) A- (B ∩ C) = (A-B ) ∪ ( A – C)

b) A- B = Bc – Ac .

c) A = ( A ∩ B) ∪ ( A- B)

d) A ∩ B ⊂ A ∪ B

22) En el curso de Lógica se realizaron tres evaluaciones durante el curso. Al final se observó que:

5 alumnos aplazaron los tres exámenes

15 aplazaron el primero y el tercero

10 aplazaron el segundo y el tercero

10 aplazaron el primero y el segundo

40 aplazaron el primero

30 aplazaron el segundo

35 aplazaron el tercero

Sabiendo que el curso tenía 90 alumnos ¿Cuántos alumnos aprobaron los tres exámenes?

23) Un informe de la coordinación del Area Inicial dice que hay 185 estudiantes inscritos en introd.. a la

computación (IC) , Desarrollo de Competencias (DC) y Lógica (L), según la siguiente distribución:

90 estudiantes en DC

6 Conjuntos

100 estudiantes en L

60 estudian IC

40 DC y L

20 IC y DC

15 L e IC

10 estudian las 3 asignaturas

¿Es correcto el informe?

24) Construya los diagramas de venn para 3 y 4 conjuntos