ejercicios de calculo diferencial
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ejemplos para aprender a derivar paso a pasoTRANSCRIPT
EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL
ENCUENTRE LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES.
PROBLEMA 1
FORMULA
RESPUESTA:
COMO -18 ES UNA CONSTANTE, LA REGLA DE DIFERENCIACION NOS DICE QUE LA
DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A CERO, POR LO TANTO.
RESULTADO
PROBLEMA 2
FORMULA
RESPUESTA:
EN ESTE CASO ¨n¨ ES IGUAL A 9, UTILIZANDO LA FORMULA DIFERENCIAL DE UNA
VARIABLE ELEVADA A UNA POTENCIA, SE OBTIENE.
RESULTADO
PROBLEMA 3
FORMULA
RESPUESTA:
SIN IMPORTAR QUE TAN EXTENSO SEA EL POLINOMIO, LA REGLA DE DIFERENCIACION
NOS DICE QUE: SE PUEDEN DERIVAR CADA TERMINO POR SERPARADO, EN ESTE CASO,
EN EL PRIMER TÉRMINO ( SE DERIVA MEDIANTE LA FORMULA DE POTENCIA
PRESENTADA EN EL PROBLEMA 2, DESPUES DE RESTA CON LA DERIVADA DEL
SEGUNDO TERMINO ( SE DERIVA CON LA FORMULA DEL MULTIPLO CONSTANTE
, LA CUAL ES SIMPLE POR QUE LA CONSTANTE SE SACA DE LA
DIFERENCIAL Y SOLO SE DERIVA LA CONSTANTE, ENTONCES SE TIENE.
PROBLEMA 4
FORMULA
RESPUESTA:
DE LA MISMA FORMA EN QUE SE RESOLVIO EL PROBLEMA 3, SE DERIVA CADA
TERMINO POR SEPARADO, EN LOS PRIMEROS 3 TERMINOS SE SACA CADA UNA DE LAS
CONSTANTES Y SE DERIVA LA VARIABLE ELEVADA A LA POTENCIA, MIENTRAS QUE EN
EL ULTIMO TERMINO SE REALIZA LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE, QUE ES IGUAL A
CERO
RESULTADO
PROBLEMA 5
FORMULA
RESPUESTA:
EN ESTE CASO UTILIZAMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE UN COCIENTE, EN ESTE
CASO, ¨u¨ ES IGUAL A 10 Y ¨v¨ ES IGUAL A ( ), LOS CUALES SE SUSTITUYEN EN LA
FORMULA Y SE OBTIENE.
EN EL PRIMER TERMINO DEL NUMERADOR COMO ¨10¨ ES UN NUMERO CONSTANTE,
AL SER DERIVADO NOS DARA CERO Y CUALQUIER NUMERO MULTIPLICADO POR CERO
NOS DARA CERO, POR LO TANTO, ELIMINAREMOS EL PRIMER TERMINO DE LA
DERIVADA
EN CUANTO AL SEGUNDO TERMINO DEL NUMERADOR TENEMOS LA DERIVADA DE UN
BINOMIO, EN ESTE CASO , COMO ¨1¨ES UNA CONSTANTE, SOLO
DERIVAREMOS Y LO EL RESULTADO LO MULTIPLICAMOS POR . EN CUANTO AL
DENOMINADOR SE DEJA TAL COMO ESTA YA QUE, AUNQUE DESARROLLEMOS EL
BINOMIO, ES MEJOR DEJARLO SIMPLIFICADO.
RESULTADO
PROBLEMA 6
FORMULA
RESPUESTA:
SE COMIENZA POR SUSTITUIR LOS VALORES CORRESPONDIENTES EN LA FORMULA
ASI SE TIENE.
COMO YA SABEMOS QUE LAS CONSTANTES AL SER DERIVADAS SE HACEN CERO,
MIENTRAS DE QUE DERIVAR CON RESPECTO A NOS DA LA UNIDAD, POR LO
TANTO.
QUITAMOS PARENTESIS Y ELIMINAMOS LOS TERMINOS DE IGUAL VALOR, PERO, DE
SIGNOS OPUESTOS
RESPUESTA
PROBLEMA 7
FORMULA
RESPUESTA 1:
EN ESTE CASO SE UTILIZA LA REGLA DE LA CADENA, HACIENDO UN CAMBIO DE
VARIABLES.
DONDE:
TENIENDO ESTAS NUEVAS VARIABLES LAS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA REGLA
DE LA CADENA
Y NOS QUEDA.
PERO ENTONCES.
RESPUESTA
RESPUESTA 2:
OTRA FORMA DE RESOLVER ESTA DERIVADA ES DESARROLAR EL BINOMIO Y LUEGO
DIFERENCIAR CADA TERMINO UNO POR UNO.
BINOMIO AL CUADRADO
SUSTITUYENDO VALORES TENEMOS.
DERIVANDO CADA TERMINO POR SERPARADO TENEMOS
RESPUESTA
PROBLEMA 8
FORMULA
RESPUESTA:
SUSTITUYENDO LOS VALORES DE LA FUNCION Y APLICANDO LA FORMULA DE
DERIVACION TENEMOS.
QUITANDO PARENTESIS Y ELIMINANDO TERMINOS SEMEJANTES DE SIGNOS
OPUESTOS.
RESPUESTA
PROBLEMA 9
FORMULA
RESPUESTA 1
EN ESTE CASO SE UTILIZA LA REGLA DE LA CADENA, HACIENDO UN CAMBIO DE
VARIABLES.
DONDE:
TENIENDO ESTAS NUEVAS VARIABLES LAS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA REGLA
DE LA CADENA
Y NOS QUEDA.
PERO ENTONCES.
RESPUESTA
RESPUESTA 2:
OTRA FORMA DE RESOLVER ESTA DERIVADA ES DESARROLAR EL BINOMIO Y LUEGO
DIFERENCIAR CADA TERMINO UNO POR UNO.
BINOMIO AL CUADRADO
SUSTITUYENDO VALORES TENEMOS.
DERIVANDO CADA TERMINO POR SERPARADO TENEMOS
RESPUESTA
PROBLEMA 10
FORMULA
RESPUESTA:
EN ESTE CASO UTILIZAREMOS LA FORMULA DEL PRODUCTO, SIENDO.
SUSTITUIMOS LOS VALORES EN LA FORMULA Y TENEMOS
PRIMER DERIVADA SEGUNDA DERIVADA
DESARROLLAREMOS LA PRIMER DERIVADA POR SEPARADO Y LUEGO SUSTITUIREMOS
LOS VALORES OBTENIDOS NUEVAMENTE EN LA FORMULA ORIGINAL.
- PRIMER DERIVADA
PARA ESTA DERIVADA UTILIZAREMOS LA SIGUIENTE FORMULA
DONDE:
AL SUSTITUIR VALORES EN LA ECUACION TENEMOS.
PRIMER DERIVADA
- SEGUNDA DERIVADA.
ESTA DERIVADA LA PODEMOS RESOLVER FACILMENTE TERMINO POR TERMINO,
TOMANDO EN CUENTA QUE AL DERIVAR CONSTANTES EL RESULTADO ES CERO Y QUE
LA DERIVADA DE x CON RESPECTO A x ES LA UNIDAD, TENEMOS.
SEGUNDA DERIVADA
SUSTITUYENDO LOS VALORES LOS VALORES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA EN
LA FORMULA DE DERIVACION ORIGINAL, TENEMOS.
MULTIPLICANDO TERMINOS
PRIMER BINOMIO SEGUNDO BINOMIO
AHORA COMO NO PODEMOS SEGUIR MULTIPLICANDO TERMINOS, YA QUE NO SON
DE LA MISMA BASE, DESARROLLAREMOS CADA BINOMIO POR SEPARADA Y
NUEVAMENTE EL RESULTADO OBTENIDO LO PONDREMOS EN LA ECUACION ACTUAL.
PARA HACER ESTO UTILIZAREMOS LA AYUDA DEL TRIANGULO DE PASCAL
DONDE LOS NUMEROS DE LA COLUMNA DERECHA ES LA POTENCIA A LA QUE ESTA
ELEVADA EL BINOMIO, MIENTRAS QUE EL RESPECTIVO RENGLON DEL TRIANGULO
REPRESENTA LOS COEFICIENTES QUE DEBE LLEVAR EL BINOMIO DESARROLLADO.
POR EJEMPLO.
- PRIMER BINOMIO
SE COMIENZA Y TERMINA CON LA POTENCIA
CORRESPONDIENTE
EL PRIMER TERMINO VA DECRECIENDO Y SE LE RESTA UNO AL EXPONENTE
Y EL SEGUNDO TERMINO VA CRECIENDO Y SE SUMA UNO AL EXPONENTE
Y ASI SUCESIVAMENTE. LAS LINAS SUBRAYADAS MARCAN LOS COEFICIENTES.
- SEGUNDO BINOMIO
TENIENDO AMBOS BINOMIOS DESARROLLADOS, SUSTITUIMOS LOS RESULTADOS
OBTENIDOS EN LA ECUACION QUE TENIAMOS ANTERIORMENTE.
MULTIPLICANDO TERMINOS ENTRE PARENTESIS NOS QUEDA.
SIMPLIFICANDO COEFICIENTES DEL MISMO EXPONENTE Y PONDERANDO
EXPONENTES, NOS QUEDA.
RESPUESTA