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Tarea 3 Algebra Lineal, MAT 1203Mircoles 2 de Septiembre de 2015Fecha de Entrega: Hasta Mircoles 16 de Septiembre 15:30

Nombre Integrante 1: Gabriela Soto Nombre Integrante 2: Camila TurrietaNombre Grupo: Susanahoria Seccin de Laboratorio: 15

Problemas

Problema 1) Resuelva los problemas del texto a) Problema 17 seccin 1.8

= b) Problema 25seccin 1.8

Si

c) Problema 33 Seccin 1.8

No es lineal, ya que

Para ser lineal debera se

d) Problemas 17, 25. Seccin 1.9Problema 17:

=

Problema 25:

AX=0 tiene solucion no trivial ya que no tiene pivotes en cada fila, hay variables libres. Por tanto no es uno a uno.

e) Problema 19 Seccin 2.1 (Demuestre)

La tercera columna de es la suma de las primera y la segunda columna de .

f) Problema 21 Seccin 2.1. (Demuestre)

Debido a que no es el vector cero , la matriz anterior tiene soluciones no triviales, por tanto la matriz es linealmente dependiente.

g) Problema 16 Seccin 2.1a) Verdadero, ya que la multiplicacin se define por filas y las columnas.b) Falso ya que esta es una matriz de 1x3 siendo que al ser A y B de 3x3, AB debera ser una matriz de 3x3.c) Verdadero, pues d) Falso, la transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las matrices traspuestas en orden inverso. Es decir: e) Verdadero por teorema

h) Problema 10 seccion 2.2a) Si A es invertible, entonces las operaciones elementales de fila que reducen A a la identidad In tambin reducen A1 a In.Falso, pues las operaciones que reducen a A a la identidad llevan tambien de la identidad a la A-1 y no de A-1 a la identidad, tal como lo seala el teorema 7 de la seccin, por lo que hace a este enunciado falso. b) Si A es invertible, entonces la inversa A1 es A misma. Verdadero por definicin de una matriz inversa. si A es invertible entonces su inversa tambien lo es. c) Un producto de matrices invertibles de n x n es invertible, y la inversa del producto es el producto de sus inversas en el mismo orden.Falso, pues el primer enunciado es verdadero por propiedades de una matriz invertible; sin embargo la inversa del producto es y como se observa las matrices deben estar en orden invertido. d) Si A es una matriz de n x n y Ax = ej es consistente para toda j que pertenece a {1, 2,, n}, entonces A es invertible. Nota: e1,, en representa las columnas de la matriz identidad. Verdadero ya que si A es equivalente por filas a la matriz identidad, por teorema de la matriz inversa A tiene inversa. e) Si A puede reducirse por filas a la matriz identidad, entonces A debe ser invertible. 1Verdadero, ya que el teorema de la matriz inversa seala que si A puede reducirse por filas a la matriz identidad, entonces A tiene inversa.

i) Problema 20 seccin 2.2Suponga que A, B y X son matrices de n x n con A, X y A AX invertibles, y suponga que

a) Explique por qu B es invertible.b) Despeje X en la ecuacin. Si se necesita invertir una matriz, explique por qu esta matriz es invertible.

a) Tenemos que =, lo cual si sabemos que X es una matriz que tiene inversa y su inversa es ; al multiplicar la ecuacin por X tendremos que:

Entonces como son invertibles y el producto de una matriz invertible es invertible entonces B es invertible.

b) Sabemos que X es invertible por tanto la ecuacinpuede quedar de esta forma:

Adems sabemos que es invertible y por lo tanto su inversa tambien lo es. Entonces:

j) Problema 31 seccin 2.2Matriz:

Dada la matriz determinamos si tiene inversa al realizar su aumentada con la matriz identidad, si esta posee inversa, cada columna y fila debe poseer pivotes.

Por lo tanto, la matriz inversa es:

k) Problema 11 seccin 2.3Todas las matrices son de n x n, a. Si la ecuacin Ax = 0 tiene nicamente la solucin trivial, entonces A es equivalente por fi las a la matriz identidad de n n. Verdadero, ya que una matriz que posee nicamente la solucin trivial vemos en el terorema de la matriz invertible que si esto es verdadero entonces A es equivalente por filas a la matriz indentidad. b. Si las columnas de A generan Rn, entonces las columnas son linealmente independientes. Verdadero, ya que si tomamos como verdadero que A genera Rn entonces A posee n pivotes, por lo que si A es de n x n entonces sus columnas son linealmente independientes.c. Si A es una matriz de n n, entonces la ecuacin Ax = b tiene al menos una solucin para toda b en Rn.Falso, pues con la informacin de saber que A es de n x n no podemos asegurar que para toda b en Rn exista solucin al sistema. Por ejemplo, segn el teorema de la matriz invertible, podemos decir esto solo afirmando que A posee inversa. d. Si la ecuacin Ax = 0 tiene una solucin no trivial, entonces A tiene menos de n posiciones pivote. Verdadero, ya que significa que posee variables libres por lo tanto no posee todas sus columnas y filas con pivote. e. Si AT no es invertible, entonces A no es invertibleVerdadero, ya que segn el teorema de la matriz inversa, A posee inversa y AT es invertible. Por ello si A no posee inversa, entonces AT tampoco es invertible.

l) Problemas 27 Seccin 2.3 Demuestre que si AB es invertible, tambin lo es A. No puede usarse el teorema 6(b), porque no es posible suponer que A y B son invertibles. [Sugerencia: Existe una matriz W tal que ABW = I. Por qu?]Si AB es invertible quiere decir que existe otra matriz W tal que (AB) W = I ya que si una matriz posee inversa, quiere decir que por definicin de una matiz invertible existe otra matriz nica que al multiplicarla por la matriz invertible el resultado es la identidad. AB presenta a la matriz que se forma por la multiplicacin de A y B. La matriz AB debe ser cuadrada por lo que debe poseer una estructura de n x n. Para que la multiplicacin de A y B sea posible A debe poseer igual numero de columnas que numero de filas tenga B. Por lo que ya sabemos que A es n x m y B es m x n. Ahora sabemos por deficin de la matriz invertible que se debe cumplir: (AB) W = I y W (AB) = I. Y W es n x n. Pero ahora debido a la propiedad asociativa de las matrices puedo decir: AB W = I y A (BW) = I. Lo cual demuestra que A es n x n y B es n x n para que la multiplicacin y su propiedad asociativa en las matrices pueda cumplirse en el ejemplo. Por otra parte como A multiplicado por BW es igual a la identidad esto prueba que A posee inversa y es BW.

Problema 2) Sea una transformacin lineal de en tal que , calcule

Tenemos: Entonces

Por lo que:

Solucin

Problema 3) Determine los valores de para los cuales es 1-1 (inyectiva) y los valores para los cuales es sobreyectiva, donde A es la matriz

T(x): Con alfa y beta distinto de cero Como la matriz A es cuadrada al cumplir la inyectividad, tambin cumple la sobreyectivadad. Entonces para que la matriz A sea inyectiva y sobreeyectiva tanto y deben ser distintos de cero.

Problema 4) Demuestre que si son matrices de entonces a) si y slo si b) es falso en generalc) d)

a)

Como en matrices la multiplicacin no es conmutativa la nica posibilidad de que se cumpla es que AB = BA; por lo que queda entonces demostrado.

b) y como la multiplicacin no es conmutativa en matrices, es falso en general. c) Suponemos que AB = BA. Al calcular tenemos que: Y como AB = BA entonces tenemos que

d) Tenemos que

Y en general Entonces: Lo cual no quiere decir que:

Entonces queda demostrado que:

Problema 5) Demuestre que Cul es la inversa de si Cul es la inversa de si Demostracin

Sabemos que por propiedad de la multiplicacin de las matrices

Entonces: M

Luego,

Para calcular el inverso sabemos que si es el inverso de A y cumple que entonces debemos buscar un x que sea el inverso de la matriz (I A) tal que si sabemos por enunciado que Si recordamos la factorizacin de una resta de cubos: . Entonces intentemos formar dicha estructura con (I A) al multiplicar por un x para que de esta forma quede un y con ; entonces se cumpla que .

Tenemos un si remplazamos Entonces lo cual debera ser igual a I

Entonces el inverso de (I A) es

Para encontrar ahora el inverso de (I A) sabiendo que intentaremos de llegar a una estructura de ya que como entonces ya que debemos cumplir que (I A) x = I entonces x es la inversa de (I A).

Partimos de y buscamos una factorizacin que contenga a (I A).

Entonces vemos que: Por lo tanto al llevarlo a una estructura de (I A) x = I; x = . En conclusin el inverso de (I A) cuando es

Problema 6) Demuestre que si entonces tiene inversa. Encuntrela en trminos de .Tenemos que y si A tiene inversa quiere decir que se puede escribir como siendo C la matriz inversa de A.

Entonces queda demostrado que apartir de A tiene inversa y seria la matriz .

Problema 7) Si son matrices cuadradas y es la inversa de . Demuestre que tiene inversa y que Demuestre adems que necesariamente se tiene que . Tenemos que si A y B son matrices cuadradas entonces AB tambin lo es. Si AB es la inversa de B entonces:

Como ambas son matrcices cuadradas y por propiedad asociativa de las matrices puedo decir que:

Por lo tanto queda demostrado que posee inversa ya que cumple con la estructura de B2C = I con C inversa de B2. Ahora tenemos que

Por lo que queda demostrado que es igual a A.

Problema 8) Escriba la matriz como el producto de matrices elementales. Escriba explcitamente las matrices elementales (use copy paste . )

Entonces la matriz A se puede escribir como:

A =