EJERCICIOS 1. Sean A, B y C de un espacio muestral. Encontrar las expresiones de: a) Solamente ocurre A. SOLUCION Sea i: A ocurra Sea j: B ocurra Sea k: C ocurre

b) Ocurren A y B pero no C. SOLUCION ( c) Los tres sucesos ocurren SOLUCION ) ()

d) Ocurre por lo menos uno. SOLUCION ( e) No ocurre ninguno. 2. Consideremos dos sucesos A y B, con P(A)= 0.5 y P(AUB)= 0.7. Calcula: a) P(B), suponiendo que A y B son independientes SOLUCION )

[ [ [ [ ] ] ]

]

[ [ ]

]

b) P(B), suponiendo que A y B son disyuntos o mutuamente excluyentes c) P(B), suponiendo que P(A/B)= 0.5 SOLUCION

3. En un laboratorio se disea un test para detectar la presencia de una bacteria en el agua. Para probar el test, se considera un gran nmero de probetas con agua, que pueden contener o no la bacteria. La probabilidad de que una probeta escogida al azar contenga la bacteria es de 0.2. Por otra parte si una probeta contiene la bacteria, el test da positivo en el 90% de los casos. En cambio, si una probeta no contiene la bacteria el test da positivo en el 55 de los casos. a) Traducir los datos del enunciado, introduciendo los sucesos convenientes. SOLUCION

b) Al escoger al azar una probeta, Cul es la probabilidad de que de positivo en el test? Y negativo? SOLUCION Positivo Negativo

c) Si una probeta ha dado positivo en el test, Cul es la probabilidad de que contenga la bacteria? SOLUCION

d) Entre las probetas que han dado negativo en el test Cul es la proporcin de probetas que tienen la bacteria? SOLUCION

e) Decidir si el test es apropiado o no para detectar la bacteria.

4. El siguiente circuito trabaja si y solo si existe una trayectoria en el funcionamiento de izquierda a derecha. En el dibujo se indica la probabilidad de que cada dispositivo funciona. Si suponemos que la probabilidad de que un dispositivo funcione no depende del funcionamiento de los dems (independientes),

0.85

0.85

0.85

0.85

a) Determine el espacio muestral al experimento consistente en analizar el funcionamiento de los cuatro dispositivos (funcionan o no funcionan). SOLUCION

0.85

0.85

0.85

0.85

1.7

1.7

b) Calcula la probabilidad de que el circuito funcione. SOLUCION

5. Una cervecera utiliza dos maquina embotelladoras pero no operan simultneamente. La segunda maquina solo opera cuando la primera deja de funcionar durante las horas de trabajo. La probabilidad de que la primera maquina deje de operar es de 0.20. Si la primera maquina deja de funcionar entra en funcionamiento la segunda y tiene una

probabilidad de fallar de 0.30. Qu probabilidad hay de que el sistema embotellador de que la cervecera no este disponible durante las horas de trabajo? SOLUCION

6. Cinco lneas de produccin en una fbrica producen un fusible elctrico. Los fusibles se envan a los distribuidores en lotes de 100 unidades. Los compradores realizan un control de calidad sobre el producto que reciben, inspeccionando un nmero pequeo de fusibles por lote antes de decidir si aceptan o rechazan la totalidad de los lotes recibidos. Las cinco lneas de produccin producen fusibles a la misma velocidad y normalmente con un porcentaje de defectuosos del 2%, que se atribuyen aleatoriamente en el proceso de produccin. Desafortunadamente el mes pasado la lnea uno sufri un fallo mecnico y produjo un 5% de defectuosos, pero el gerente se entero despus de haber enviado a los distribuidores lotes de fusibles. Un cliente recibi un lote producido ese mes, probo tres fusibles del lote y vio que uno de ellos era defectuoso. Cul es la probabilidad de que el lote que compro no haya salido de la lnea uno? 7. Una pieza producida en una empresa puede tener dos tipos de defectos, A y B. El 8% de la produccin presenta el defecto A. El 5% de la produccin presenta el defecto B, y se pone que no hay piezas que presenten ambos tipos de defectos. Despus de ser producida cada pieza es sometida de manera automtica a un test de ruptura, con las siguientes posibilidades. Si la pieza tiene el defecto tipo A, tiene una probabilidad de 0.9 de romperse, si la pieza tiene el defecto tipo B, tiene una probabilidad 0.5 de romperse y si no presenta ningn tipo de defecto, tiene una probabilidad de 0.01 de romperse. a) Cul es la probabilidad de que una pieza escogida al azar en la produccin se rompa durante el test? SOLUCION D: Defectuosos

P(D/A)=0.088 Probabilidad de romperse P(A)=0.9 P(B)=0.95 P(N)=0.01

b) Si una pieza se roto durante el test, Cul es la probabilidad de que no fuese defectuosa? SOLUCION

8. Con objeto de apreciar la eficiencia de dos inspectores de control, A y B se les encomend la verificacin de un lote de artculos que contena exactamente un 6% de defectuosos. El inspector A afirmo que el 8% de los artculos del lote eran defectuosos, mientras que el inspector B afirmo que solo eran defectuosos el 5%. El 4% de los artculos fueron identificados como defectuosos por a, y solo el 3% por B siendo realmente defectuosos. El 2% fueron indicados como defectuosos tanto por A como por B. El 1% fueron indicados como defectuosos por A y por B siendo realmente defectuosos. Qu tanto por ciento de los artculos son realmente defectuosos y no fueron detectados como tales por tales inspectores? 9. Un trasnochador dispone de unas llaves con tres llaves totalmente indistinguibles en la oscuridad, de las cuales solo una abre la puerta de su casa. Para dar con la llave en cuestin, suele seguir uno de los siguientes mtodos: M.1: Prueba una llave, y si no sirve, agita el llavero y prueba otra vez, con lo cual corre el riesgo de volverla a usar. M.2: Prueba las llaves una tras otras teniendo cuidado de no usar la misma llave

-

a) Cual es la probabilidad de que abra al tercer intento si usa el segundo mtodo? b) Se sabe adems que el trasnochador utiliza el mtodo 1 cuando vuelve a casa despus de haber bebido en exceso (lo cual ocurre uno de cada tres das) y el mtodo dos cuando vuelve sobrio. Si se sabe que en los dos primeros intentos ha fracasado Cul es la probabilidad de que este borracho? 10. Una fbrica de bujas para motores produce un 98% de buenas y un 2% de defectuosas. Antes de enviarlas al los almacenes para su vente se someten a una verificacin en la que se admiten como buenas las que lo son con una probabilidad de 0.95 y las que no lo son con una probabilidad de 0.04 SOLUCIN Buena Buena Mala Total 0.98 0.02 1 Mala 0.93 0.04 0.99 Total 1.95 0.06 2.01

Sea Z: verificacin de control

a) Calcula la probabilidad de que una buja sea considerada como buena en un control. SOLUCION

b) Calcula la probabilidad de que una buja buena sea considerada como tal en dos controles. SOLUCION

c) Si una buja fue considerada como buena en dos verificaciones, Cul es la probabilidad de que sea realmente buena? SOLUCION

11. Se analizan muestras de policarbonato de plstico para determinar su resistencia a los golpes y a las ralladuras. Las resistencias a las ralladuras y a los golpes se clasifican en altas y bajas. A continuacin se presen el resumen de los resultados obtenidos en 49 muestras. Resistencia ralladuras\Resistencia golpes Alta Baja TOTAL Alta 40 2 42 Baja 4 3 7 TOTAL 44 5 49

Calcula: a) Probabilidad de que una muestra presente resistencia tanto a los golpes como a las ralladuras SOLUCION

b) Si una muestra presenta alta resistencia a los golpes, Que es mas probable que presente alta o baja a las ralladuras?

SOLUCION

Presenta mayor probabilidad resistencia a los golpes. c) Si una muestra alta resistencia a las ralladuras, Qu es mas probable que presente alta o baja a los golpes? SOLUCION

d) Si una resistencia es baja, Cmo suele ser la otra? SOLUCION

e) Conclusiones SOLUCION El evento AB esta formado por 40 muestras resistentes a las ralladuras y a los golpes A contiene 7 muestras para que las resistencias a los golpes es bajo. El evento AUB esta formado por 49 muestras en las que la resistencia a las ralladuras o a los golpes (o ambos) es alt. 12. El blanco para practicar tiro al blanco tiene dos sectores. El blanco para practicar tiro con arco tiene dos sectores. Cada acierto en el sector central vale dos puntos y en el sector exterior nueve puntos. Una jugada consiste en realizar dos tiros consecutivos (independientes) y sumar los puntos obtenidos. De un arquero se sabe que la probabilidad de acertar en el sector central es 0.3 y en el sector exterior 0.6. calcula la probabilidad de que el arquero adquiera 19 puntos en una jugada. SOLUCION

-

De que le pegue al eje central los dos tiros

-

De que le pegue al eje central y al exterior

-

De que le pegue al exterior y luego al eje central

-

De que le pegue los tiros en el exterior

13. Los empleados de la compaa New Horizons se encuentran separados en tres divisiones: administracin, operacin de planta y ventas. La siguiente tabla indica el numero de empleados en cada divisin clasificados por sexo:

Tabla N1. Nmero de empleados New Horizons por sexo segn divisin de planta Mujer (M) 20 60 100 180 Hombre (H) 30 140 50 220 Totales 50 200 150 400

Administracin (A) Operacin de planta (O) Ventas (V) Totales

a) Usar un diagrama de Venn para ilustrar los eventos O y M para todos los empleados de la compaa. Son mutuamente excluyentes? SOLUCION El grafico de Venn ilustrando los eventos O y M es el siguiente:

M

H

S

Donde S es el conjunto de empleados de New Horizons, M el conjunto de empleados de New Horizons mujeres y hombres y O empleados de la divisin de operacin. Los sucesos O y M son mutuamente excluyentes (ver grfico) b) Si se elige aleatoriamente un empleado 1. Cul es la probabilidad de que sea mujer?

2. Cual es la probabilidad de que trabaje en ventas?

3. Cul es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la divisin de administracin?

4. Cul es la probabilidad de que trabaje en la divisin de operacin de planta, si es mujer? 5. Cuale es la probabilidad de que sea mujer si trabaja en la operacin de divisin de planta?

c) Son los eventos V y H estadsticamente independientes?

d) Son los eventos A y M estadsticamente independientes?

e) Determinar las siguientes probabilidades: 1.

2.

(

)

3.

4.

14. Con la definicin 2.14 demustrese que para cualesquiera dos eventos, A y B, ( ) , con tal de que P(B) 0

15. Sean A y B dos eventos cualesquiera de S. si A y B son mutuamente excluyentes mustrese que no son mutuamente excluyentes. Dedzcanse cuando dos eventos son, son, mutuamente excluyentes 16. Sean A y B dos eventos cualesquiera de S. Emplese un diagrama de Venn para demostrar que

17. Se extraen dos cartas de una baraja cual es la probabilidad de que ambas sean ases? SOLUCION

18. Se lanza una moneda diez veces y en todos los lanzamientos el resultado es cara. Cul es la probabilidad de este evento?, Cul es la probabilidad de que el decimoprimero lanzamiento el resultado sea cruz? SOLUCION

19. Una agencia de automotriz recibe un embarque de 20 automviles nuevos. Entre stos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automviles de entre los 20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehculos seleccionados tiene defectos. Cul es la probabilidad de aceptar el embarque? SOLUCION

El 10% de los automviles estn en mal estado y el 90% de los automviles estn en buen estado.

20. Se lanza una moneda con una probabilidad de 2/3 que el resultado sea cara. Si aparece una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es cruz se extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. Cul es la probabilidad de extraer una pelota roja? SOLUCION

Probabilidad de que salga:

Posibles eventos

21. De entre 20 tanques de combustible fabricados para el transbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques: i = tanques buenos i= tanques defectuosos a) Cul es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuoso? SOLUCION

b) Cul es la probabilidad de que uno de los tanques tengan defectos? SOLUCION

Se toman cuatro tanques:

a) probabilidad de que todos los tanques estn buenos

22. La probabilidad de que cierto componente elctrico funcione es de 0.9%. Un aparato contiene dos de estos componentes. El aparato funcionar mientras lo haga por lo menos, uno de los componentes. a) Sin importar cual de los dos componentes funcione o no, Cules son los posibles resultados y sus respectivas posibilidades? b) Cul es la probabilidad de que el aparato funcione? SOLUCION

23. Un sistema contiene tres componentes A,B y C. Estos pueden conectarse en una, cualquiera de las cuatro configuraciones mostradas en la figura. Si los tres componentes operan de manera independiente y si la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos este funcionando de 0,95, determinar la probabilidad de que el sistema funcione para cada una de las cuatro configuraciones

A

B

C

A B C

A C B

A

B

C

SOLUCION Cada aparato= 95%

24. Una familia tiene tres hijos. Determinar todas las posibles permutaciones, con respecto al sexo de los hijos. Bajo suposiciones adecuadas, cul es la probabilidad de que exactamente dos de los hijos tengan el mismo sexo?, Cul es la posibilidad de tener un varn y dos mujeres?cul es la probabilidad de tener tres hijos del mismo sexo?

SOLUCION Hombre: i Mujer: j M: dos hijos del mismo sexo

N de sucesos: 11

25. Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes B1, B2 y B3. El 50% del total se compra a B1 mientras que a B2 y B3 se le compra un 25% a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5,10 y 12% respectivamente. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar cual fue el proveedor : a) Determinar la probabilidad de una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso SOLUCION B1: Circuito fabricado por B1 B2: Circuito fabricado por B2 B3: circuito fabricado por B3 D: Circuito defectuoso P(D)=? b) Si un circuito no esta defectuoso cual es la probabilidad que haya sido vendido por el proveedor B2 SOLUCION

26. El 5% de las unidades producidas en una fbrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricacin se encuentran bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, Cul es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control? SOLUCION Bajo control: P(A)= 0,92 Sea N: Defectuoso Sin control: P(B)=0.08 Sea N: Defectuoso

27. Un inversionista esta pensando en comprar un numero muy grande de acciones de una compaa. La cotizacin de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran inters para el inversionista. Con base en esta informacin, se observa que la cotizacin se relaciona con el producto nacional bruto. Si el PNB aumenta la probabilidad de que el valor de las acciones es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si PBN disminuye, la probabilidad es de solo 0.1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, El PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los prximos seis meses. SOLUCION Sea A: Aumento PNB Sea: Igual PBN Sea C: Disminuye PBN Sea N el valor en las seis

28. Con base en varios estudios una compaa ha clasificado, de acurdo con la posibilidad de descubrir petrleo, las formaciones geolgicas en tres tipos. La compaa pretende perforar un pozo en un determinado sitio, al que se le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia se sabe que el petrleo se encuentra en un 40% de formaciones de tipo I, en un 20% de formaciones del tipo III. Si la compaa no descubre petrleo en ese lugar, determnese la probabilidad de que exista una formacin del tipo II. 20%de formaciones de tipo II y en un 30% SOLUCION

Sean A, B y C tipos de formaciones P(A)= 0.35 Tipo I P(B)= 0.40 Tipo II P(C)= 0.25 Tipo III Z= encontrar petrleo K =no encontrar

Sea:

Probabilidad de que exista una formacin tipo II

29. Supngase la probabilidad de los Potros Baltimore ganen el campeonato de la Conferencia Americana es de 0.25, y la probabilidad de que lo obtengan los Cargadores de San Diego es de 0.20. Adems, la probabilidad de que el campen de la conferencia americana gane el sper tazn es 0.45, 0.55 o 0.35, dependiendo de si los Potros, los cargadores o algn otro equipo gane el campeonato a) Cul es la probabilidad de que un equipo de la conferencia americana gane el sper tazn? b) Si un equipo de la conferencia americana gana el sper tazn, cul seria la probabilidad de que los Potros de Baltimore ganen el titulo de su conferencia? 30. Una forma de incrementar la posibilidad de operacin de un sistema, es mediante la introduccin de una copia de los componentes en la configuracin paralela como se indica en la segunda parte de figura anterior. Supngase que la nasa desea una probabilidad no menor de 0.99999, de que el transbordador espacian entre en orbita alrededor d ela tierra con xito. Cuntos motores cohete deben configurarse en paralelo paraalcanzar esa confiabilidad de operacin si se sabe que la probabilidad de que uno, cualquiera de los motores funcione adecuadamente es de 0.95?Supongase que los motores funcionan independiente entre si.