INTEGRALES DOBLES CARTESIANAS Y POLARES:EJERCICIO RESUELTO:1.

Calcular donde R es el cuadrado Solucin:

Ejercicios propuestos:

Calcular cada uno de los siguientes integrales; si 1.

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS Y CILINDRICAS:1. Calcular. Transformando previamente a las coordenadas cilndricas.

Pasando a coordenadas:

Adems:

Ejercicios propuestos:1. Calcular la integral pasando a coordenadas cilndricas.

INTEGRALES USANDO CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MULTIPLES JACOBIANOS:Ejercicios resueltos:

Sea P el paralelogramo limitado por calcular por medio del intercambio de variables.

Es decir Solucin:

La transformacin T tiene determinante distinto de cero y por lo tanto es inyectiva se ha construido de forma que lleve el rectngulo P limitado por en P el uso de T simplifica la regin de integracin de P a P* adems:

Por la frmula del cambio de variable:

Ejercicios propuestos:}

Sea la aplicacin definida por sea D* el rectngulo hallar y calcular.a)

b)

Por medio de un cambio de variables que las calcule como integrales sobre D*

INTEGRALES TRIPLES CENTROIDE CENTRO DE GRAVEDAD Y TEOREMA DE PAPPUS:Ejercicios resueltos:1.

Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide y la esfera si la densidad en cada punto es igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas.

Ejercicios propuestos:1. Calcular las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo limitado por las superficies:

Integrales triples: centroide, centro de gravedad y teorema de Pappus:Centros de masa y momentos de inercia de un slido:

Sea S un slido en , una funcin continua sobre S y que

Define la densidad del solido S en cada punto DEFINIMOS:1. La masa total del solido est dado por:

2. Los momentos de masa respecto a los planos coordenados del solido S con funcin de densidad :

3. El centro de masa del solido S es el punto

4. Los momentos de inercia del solido S alrededor de los ejes coordenados se define como:

es el momento de inercia con respecto al eje X

es el momento de inercia con respecto al eje Y

es el momento de inercia con respecto al eje Z

Ejercicios resueltos:2.

Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide y la esfera si la densidad en cada punto es igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas.

Ejercicios propuestos:2. Calcular las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo limitado por las superficies: