ejercicio resuelto: límite trigonométrico
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Ejercicio resuelto sobre límites trigonométricos, explicado paso a paso.TRANSCRIPT
HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Cálculo
Calcular el valor del límite
lımx→π
4
(x − π4 )
2
(tan x − 1)2
Solución:Se puede aplicar las leyes de potencias para expresar el límite como una fracción al cuadrado y luego lapropiedad de límites que enuncia lım
x→a(f(x)n) = ( lım
x→af(x))
n, entonces vamos a calcular el límite y su
resultado se eleva al cuadrado cuando se termine:
lımx→π
4
(x − π4 )
2
(tan x − 1)2 = lımx→π
4
⎛
⎝
(x − π4 )
(tan x − 1)⎞
⎠
2
=⎛
⎝lımx→π
4
(x − π4 )
(tan x − 1)⎞
⎠
2
Haciendo el cambio de variable u = x − π4 , de donde se obtiene que, si x→ π
4 entonces u→ 0 y x = u + π4 .
Con esto el límite se reescribe como:
lımu→0
u
tan (u + π4 ) − 1
Aplicando la identidad de la tangente de una suma tan(x + y) =tan x + tan y
1 − tan x ⋅ tan y, sabiendo que tan π
4 = 1y resolviendo la suma del denominador se obtiene:
lımu→0
utanu+1
1−tanu⋅1 − 1= lımu→0
utanu+11−tanu − 1
= lımu→0
utanu+1
1−tanu⋅1 −1−tanu1−tanu
= lımu→0
utanu+1−1+tanu
1−tanu
Simplificando la expresión, realizando la división de fracciones y sacando la constante del límite:
lımu→0
utanu+1−1+tanu
1−tanu= lımu→0
u2 tanu1−tanu
= lımu→0
u(1 − tan u)
2 tan u=
12 lımu→0
u(1 − tan u)
tan u
Separando el límite en una multiplicación de límites se obtiene:
12 lımu→0
u(1 − tan u)
tan u=
12 lımu→0
u
tan u⋅ (1 − tan u) =
12 lımu→0
u
tan u⋅ lımu→0(1 − tan u)
Al aplicar el límite especial lımx→0x
tanx = 1, nos queda:
12 lımu→0
u
tan u⋅ lımu→0(1 − tan u) =
12 ⋅ 1 ⋅ (1 − tan 0) = 1
2 ⋅ 1 ⋅ 1 =12
Con esto, hemos hallado el valor del límite, no obstante, hace falta elevarlo al cuadrado según se acordóal inicio, por eso obtenemos que:
lımx→π
4
(x − π4 )
2
(tan x − 1)2 =⎛
⎝lımx→π
4
(x − π4 )
(tan x − 1)⎞
⎠
2
= (12)
2=
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