ejercicio resuelto: ecuaciones trigonométricas
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Resolución de una ecuación trigonométrica, paso a paso.TRANSCRIPT
HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Ecuaciones trigonométricas
Obtener el conjunto solución desenx
1 + cosx + cotx = 2
Solución:
Primero se multiplica toda la ecuación por el denominador de la primer fracción, es decir, multiplicar por1 + cosx, entonces se tiene:
senx + cotx ⋅ (1 + cosx) = 2(1 + cosx)Desarrollando los paréntesis se obtiene:
senx + cotx + cotx ⋅ cosx = 2 + 2 cosx
Por la identidad trigonométrica cotx = cosxsenx se puede reescribir como:
senx + cosxsenx +
cosxsenx ⋅ cosx = 2 + 2 cosx
Ahora multiplicando por senx toda la ecuación y desarrollando los productos se tiene:
sen2 x + cosx + cos2 x = 2 senx + 2 cosx senx
Por identidad pitagórica sen2 x + cos2 x = 1 y factorizando 2 senxse tiene:
1 + cosx = 2 senx(1 + cosx)Dividiendo por 1 + cosx en la ecuación se obtiene:
1 = 2 senx
Despejando senx se simplifica en:
senx = 12
Aplicando las soluciones en el intervalo [0,2π[, la ecuación solo tiene solución si
x = π6 ∧ x = 5π6
Ampliando el conjunto de solución a todos los reales, es decir, añadiendo el periodo 2π a cada solución,se tiene:
S = {x ∈ R/x = π6 + 2kπ ∨ x = 5π6 + 2kπ, con k ∈ Z}