HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Ecuaciones trigonométricas

Obtener el conjunto solución desenx

1 + cosx + cotx = 2

Solución:

Primero se multiplica toda la ecuación por el denominador de la primer fracción, es decir, multiplicar por1 + cosx, entonces se tiene:

senx + cotx ⋅ (1 + cosx) = 2(1 + cosx)Desarrollando los paréntesis se obtiene:

senx + cotx + cotx ⋅ cosx = 2 + 2 cosx

Por la identidad trigonométrica cotx = cosxsenx se puede reescribir como:

senx + cosxsenx +

cosxsenx ⋅ cosx = 2 + 2 cosx

Ahora multiplicando por senx toda la ecuación y desarrollando los productos se tiene:

sen2 x + cosx + cos2 x = 2 senx + 2 cosx senx

Por identidad pitagórica sen2 x + cos2 x = 1 y factorizando 2 senxse tiene:

1 + cosx = 2 senx(1 + cosx)Dividiendo por 1 + cosx en la ecuación se obtiene:

1 = 2 senx

Despejando senx se simplifica en:

senx = 12

Aplicando las soluciones en el intervalo [0,2π[, la ecuación solo tiene solución si

x = π6 ∧ x = 5π6

Ampliando el conjunto de solución a todos los reales, es decir, añadiendo el periodo 2π a cada solución,se tiene:

S = {x ∈ R/x = π6 + 2kπ ∨ x = 5π6 + 2kπ, con k ∈ Z}