INTEGRANTES:

Javier Acevedo Buitrago

Patricia Mora Angarita

Tito Ibarra

Ejercicio 8

Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilación

completa con ángulo pequeño una vez cada 2[seg] ¿qué radio debe de tener el aro? (ICM = MR2)

R

SOLUCION

Hallar el momento de inercia del aro respecto de su eje de rotación utilizando el teorema de

ejes paralelos

Veamos.

El periodo de un péndulo físico es:

T = 2π√𝑰

𝒃𝒎𝒈

I es el momento de inercia del cuerpo respecto del punto de suspensión

b es la distancia desde el centro de masa al punto de suspensión.

Para este caso (teorema de Steiner) d = R

d = R

El momento de inercia respecto

a un punto del aro es

I = ICM + md2

m = M y d = R,

Entonces reemplazando en la formula aplicando TEOREMA DE STEINER

El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que

pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa

por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa

Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

I = MR2 + MR2

I = 2MR2

Reemplazamos los datos dados o calculados en la fórmula del periodo de un PÉNDULO

FÍSICO

T = 2π√𝑰

𝒃𝒎𝒈

𝑇 = 2𝜋 √2𝑀 𝑅2

𝑅𝑀𝑔

𝑇 = 2𝜋 √2𝑅

𝑔

𝑇 2 = 4𝜋 2 (2𝑅

𝑔)

Despejamos R porque es el problema que nos pide el ejercicio

𝑅 =𝑔

2(

𝑇

2𝜋)2

𝑅 =9.81

2(

2

2𝜋)2

R = 0,49m

El radio debe ser de 0.49m para que el aro de una oscilación completa cada dos segundos.

Ejercicio 10

Encontrar la ecuación de movimiento que resulta de la superposición de dos movimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son:

𝑋1 = 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 𝑦 𝑋2 = 5𝑠𝑒𝑛(3𝑡)

Hacer un gráfico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar

sus respectivos fasores.

𝐴1 = 𝐴2 = 5

𝑤1 = 2 ,𝑤2 = 3

SOLUCION

𝑋1 = 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 𝑦 𝑋2 = 5𝑠𝑒𝑛(3𝑡)

De forma vectorial lo expresamos como

El módulo del vector resultante no tiene una longitud constante

su valor máximo es A1+A2 y su valor mínimo es A1-A2 . Se dice entonces que la amplitud es modulada.

El primer MAS es la proyección sobre el eje X de un vector de

longitud A1 que gira con velocidad angular 1.

El segundo MAS es la proyección sobre el eje X de un vector de

longitud A2 que gira con velocidad angular 2.

El MAS resultante es la proyección sobre el eje X del vector suma vectorial de los dos vectores

Resolviendo

x= x1+ x2=A1·sen(1·t)+A1·sen(2·t)

aplicando la identidad trigonométrica que dice

𝐬𝐢𝐧 𝜶 ± 𝐬𝐢𝐧 𝜷 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟏

𝟐(𝜶 ± 𝜷) 𝐜𝐨𝐬

𝟏

𝟐(𝜶 ∓ 𝜷)

𝐴(2 sin1

2(𝑤1𝑡 + 𝑤2𝑡) cos

1

2(𝑤2𝑡 − 𝑤1𝑡))

Reemplazando los datos

𝐴1 = 𝐴2 = 5

𝑤1 = 2 ,𝑤2 = 3

Obteniendo

𝑋𝑟 = 2𝐴 cos(1

2(𝑤2 − 𝑤1)𝑡) sin(

1

2(𝑤1 + 𝑤2)𝑡)

𝑋𝑟 = 2(5) cos(1

2(3 − 2)𝑡) sin(

1

2(2 + 3)𝑡)

𝑋𝑟 = 10 cos(𝑡

2) sin(

5

2𝑡)

Amplitud del

movimiento

Frecuencia

periódica

GRAFICA DE X1

GRAFICA DE X2

FASORES

GRAFICA DEL MOVIMIENTO RESULTANTE

En la figura, en color rojo se muestra la amplitud modulada A y en color azul el

resultado x de la composición de los dos MAS

PERIOCIDAD DUPLICADA

PERIODO