ejercicio 1 (3 ptos.)ma1.eii.us.es/material/ci_ii_ex_r.pdf · ¿ser´ıa una buena idea aproximar...

Ingeniero Informatico – Calculo Infinitesimal 2◦ Febrero (11-02-2005)

Ejercicio 1 (3 Ptos.)

Las pruebas de laboratorio para una unidad ventilador/calentador (V/C) experimental, que debeayudar a mantener el procesador de un portatil en temperaturas adecuadas para optimizar surendimiento, vienen modeladas por una EDO de la que se ha dibujado el campo direccional,resaltando la franja de temperatura optima para el procesador entre T1 = 15◦C y T2 = 25◦C.

Trazar sobre el dibujo algunas posibles curvas integrales de la EDO que ayuden a responder a lassiguientes cuestiones:

1. Empezando en t = 0 con el procesador en frıo, por ejemplo a 0◦C, razonar sobre cuantotiempo se puede estimar que tardara la unidad V/C en conseguir que el procesador alcancela franja de temperatura optima.

2. Teniendo en cuenta que no es recomendable que el procesador este operativo fuera de la franjaoptima de temperatura de seguridad mas de 1 unidad de tiempo, estimar las temperaturasextremas maxima y mınima en las que deberıa activarse la unidad V/C para no poner enriesgo el procesador.

3. Si en t = 2 se conecta el V/C cuando T = 35◦C, ¿cuanto tiempo tardarıa el procesador enalcanzar los 20◦C, suponiendo que la EDO verifica las hipotesis del teorema de Picard en elrectangulo dibujado?

4. Ya que la unidad V/C consume recursos, razonar sobre el tiempo que deberıa estar activala unidad, una vez que el procesador alcanza la zona de seguridad, para no malgastar labaterıa del portatil climatizando innecesariamente el procesador.


Sea la ecuacion diferencial EC1≡ y′ + y − 20 = 0.

1. Hallar el radio de convergencia de la serie de potencias

φ(x) = 20− 10∞∑

n=0

(−1)n

n!xn

y justificar que converge puntualmente a la solucion de EC1 para la que y(0) = 10. ¿Convergeuniformemente en el intervalo [0, 1)? ¿y en [0,∞)?

Determinar cuantos terminos de la serie de potencias se deben tomar para que el polinomioPm(x) = 20− 10

∑mn=0

(−1)n

n!xn aproxime φ(1) con 3 cifras decimales exactas.

2. Estudiar la convergencia puntual y uniforme en R de la serie de Fourier del polinomio P1(x)del apartado anterior, definido en [0, 1) y considerado una funcion 1-periodica.

Si en lugar de P1(x), se considerase el polinomio Pm(x) determinado en el apartado anterior,¿serıa una buena idea aproximar el valor φ(1) con la suma de la serie de Fourier en x = 1?

3. Utilizar el metodo de Heun para estimar el valor y(1) de la solucion al PVI determinado porEC1, con la condicion y(0) = 10. Comparar el valor y(1) obtenido con el valor φ(1) exacto.

4. Probar que EC1 tiene una solucion constante y = k y determinar la solucion general de laecuacion diferencial. Analizar el comportamiento de las soluciones particulares para x →∞.

¿Concuerdan los resultados obtenidos con los de la EDO del Ejercicio 1?


Sean las ecuaciones EC2≡ y′′ + y − 20 = 0 y EC3≡ x2y′′ + y − 20 = 0.

1. Determinar los puntos ordinarios y singulares de las ecuaciones EC2 y EC3. Probar quex = 0 es un punto singular regular de la EDO homogenea EC3H, asociada a EC3.

2. Probar que la ecuacion EC2 tiene una solucion constante y = k y determinar la soluciongeneral y = φ(x) de la ecuacion diferencial.

Si se fija un ε tan proximo a 0 como se quiera, ¿existen soluciones y = φ(x) reales para lasque |φ(x)− k| < ε? ¿Y soluciones y = φ(x) reales para las que lim

x→∞φ(x) = k?

3. Encontrar un sistema fundamental de soluciones la ecuacion homogenea ECH3 del primerapartado, para x > 0. Probar que la ecuacion EC3 tiene una solucion constante.

Estudiar el comportamiento de las soluciones reales de la ecuacion completa EC3, para lasque y(1) = 20, y′(1) 6= 0, cuando x →∞.

Ingeniero Informatico – Calculo Infinitesimal 2◦ Febrero (11-02-2005)


Las pruebas de laboratorio para una unidad ventilador/calentador (V/C) experimental, que debeayudar a mantener el procesador de un portatil en temperaturas adecuadas para optimizar surendimiento, vienen modeladas por una EDO de la que se ha dibujado el campo direccional,resaltando la franja de temperatura optima para el procesador entre T1 = 15◦C y T2 = 25◦C.

Trazar sobre el dibujo algunas posibles curvas integrales de la EDO que ayuden a responder a lassiguientes cuestiones:

1. Empezando en t = 0 con el procesador en frıo, por ejemplo a 0◦C, razonar sobre cuantotiempo se puede estimar que tardara la unidad V/C en conseguir que el procesador alcancela franja de temperatura optima.

2. Teniendo en cuenta que no es recomendable que el procesador este operativo fuera de la franjaoptima de temperatura de seguridad mas de 1 unidad de tiempo, estimar las temperaturasextremas maxima y mınima en las que deberıa activarse la unidad V/C para no poner enriesgo el procesador.

3. Si en t = 2 se conecta el V/C cuando T = 35◦C, ¿cuanto tiempo tardarıa el procesador enalcanzar los 20◦C, suponiendo que la EDO verifica las hipotesis del teorema de Picard en elrectangulo dibujado?

4. Ya que la unidad V/C consume recursos, razonar sobre el tiempo que deberıa estar activala unidad, una vez que el procesador alcanza la zona de seguridad, para no malgastar labaterıa del portatil climatizando innecesariamente el procesador.

Solucion:

1. El campo de direcciones sugiere que la EDO tiene una solucion constante φ = 20 y quelas soluciones o curvas integrales de la EDO que toman valores por debajo de T = 20 sonfunciones crecientes. En particular, la curva integral que corresponde al PVI determinadopor la condicion inicial y(0) = 0 se puede aproximar uniendo las tangentes que determinanla inclinacion de la curva a medida que se aumenta la variable independiente t, como semuestra en la figura. Entonces, la interseccion de la solucion particular con la recta querepresenta la temperatura inferior de la franja de seguridad, T = 15, determina el tiempoen que esta se alcanza: de forma aproximada, t = 1′4.

2. Puede observarse en el campo de direcciones que las rectas paralelas al eje de abscisasmantienen la misma pendiente (son isoclinas), luego el comportamiento de la temperaturadel procesador es independiente del tiempo t = t0 en que se activa la unidad V/C y solodepende de la temperatura T = T0. Por otro lado, como las curvas integrales crecen, siT0 < 20, o decrecen, si T0 > 20, solo se necesita tomar un punto (t1, T1) de la frontera dela franja de seguridad y “retroceder” sobre la curva integral que pasa por el, hasta obtenerla temperatura T0 en el punto (t0, T0), para t0 = t1 − 1. Entonces, las curvas integrales queen t = t0 empiecen por encima o por debajo de la temperatura T0 se mantienen siemprepor encima o por debajo de la que pasa por (t0, T0), por lo que la unidad V/C tardara maso menos de una unidad de tiempo en llevar la temperatura del procesador a la franja deseguridad y, en consecuencia, T = T0 determina la temperatura extrema maxima o mınimapedida, segun se haya tomado T1 = 25 o T1 = 15.

Por ejemplo, para t1 = 2 y T1 = 15 se obtiene, siguiendo hacia atras la curva integral hastat0 = 1, aproximadamente T0 = 6 como temperatura mınima (en realidad, algo mas...) y,por supuesto, se obtendrıa el mismo resultado en t0 = 3 si se hubiese partido de t1 = 4.Analogamente, si se considera T1 = 25, entonces se obtiene como temperatura maximaaproximadamente T0 = 33, como muestran las curvas integrales respectivas de la EDO en lafigura siguiente.

Ası, para T fuera del intervalo [6, 33] el procesador tarda mas de una unidad de tiempo enalcanzar la zona de seguridad cuando se activa la unidad V/C.

3. Si se verifican las hipotesis del Teorema de Picard en el rectangulo de la figura, entoncessolo puede pasar una curva integral por cada punto del recinto, es decir, dos solucionesparticulares no pueden tener interseccion en el rectangulo. En consecuencia, la solucionparticular que pasa por (2, 35) no puede cortar a la solucion φ = 20 y, por lo tanto, nuncase alcanzarıa la temperatura T = 20.

Observacion: Fuera del recinto no se puede asegurar nada, porque no se tiene informacionde la EDO. Por ejemplo, no serıa correcto decir que la temperatura T = 20 se alcanza “enel infinito” o que es una asıntota de las soluciones, etc. . .

4. Una vez que se ha alcanzado la zona de seguridad y se esta proximo a T = 20, la unidad V/Cya no puede mejorar la temperatura, desde el punto de vista practico, y se estan malgastandorecursos. Por consiguiente, las curvas integrales de la figura siguiente muestran que serıasuficiente mantener la V/C aproximadamente entre 2′5 y 3 unidades de tiempo, desde quese alcanza la franja de seguridad, para llegar a un valor suficientemente proximo a T = 20como para no seguir climatizando el procesador. . .


Sea la ecuacion diferencial EC1≡ y′ + y − 20 = 0.

1. Hallar el radio de convergencia de la serie de potencias

φ(x) = 20− 10∞∑

n=0

(−1)n

n!xn

y justificar que converge puntualmente a la solucion de EC1 para la que y(0) = 10. ¿Convergeuniformemente en el intervalo [0, 1)? ¿y en [0,∞)?

Determinar cuantos terminos de la serie de potencias se deben tomar para que el polinomioPm(x) = 20− 10

∑mn=0

(−1)n

n!xn aproxime φ(1) con 3 cifras decimales exactas.

2. Estudiar la convergencia puntual y uniforme en R de la serie de Fourier del polinomio P1(x)del apartado anterior, definido en [0, 1) y considerado una funcion 1-periodica.

Si en lugar de P1(x), se considerase el polinomio Pm(x) determinado en el apartado anterior,¿serıa una buena idea aproximar el valor φ(1) con la suma de la serie de Fourier en x = 1?

3. Utilizar el metodo de Heun para estimar el valor y(1) de la solucion al PVI determinado porEC1, con la condicion y(0) = 10. Comparar el valor y(1) obtenido con el valor φ(1) exacto.

4. Probar que EC1 tiene una solucion constante y = k y determinar la solucion general de laecuacion diferencial. Analizar el comportamiento de las soluciones particulares para x →∞.

¿Concuerdan los resultados obtenidos con los de la EDO del Ejercicio 1?

Solucion:

1. • En este caso, al existir el lımite de la sucesion (|an+1

an|), el radio de convergencia r de la

serie de potencias φ(x) =∑

an xn viene determinado por

1

r= lim

n→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

1

n + 1= 0.

Por lo tanto, la serie tiene radio de convergencia infinito, como podrıa haberse deducido, deotro modo, teniendo en cuenta que ex =

∑∞n=0

xn

n!tiene radio r = ∞ y que

∞∑n=0

(−1)n

n!xn =

∞∑n=0

(−x)n

n!= e−x.

• Para cada x ∈ R, la serie φ(x) se puede derivar termino a termino y se tiene

φ(x) = 20− 10∞∑

n=0

(−1)n

n!xn = 20− 10e−x y φ′(x) =

∞∑n=0

(−1)n

n!xn = e−x.

Trivialmente, se comprueba que φ(0) = 10 y que la sustitucion de φ(x) y φ′(x) en la ecuaciondiferencial EC1≡ y′ + y − 20 = 0, bien sea en forma de series o mediante las expresionescerradas de las sumas, conduce a una identidad. Entonces, la funcion y = φ(x) es unasolucion de la EDO.

• La serie de potencias φ(x) converge uniformemente en cualquier intervalo compacto [a, b] ⊂R y la convergencia uniforme de transmite a los subconjuntos. En particular, la serie φ(x)converge uniformemente en [0, 1) ⊂ [0, 1].

Sin embargo, como las sumas parciales Pn(x) de la serie φ(x) son polinomios, para x → ∞se tiene Pn(x) → ±∞; entonces, al ser φ(x) → 0, se obtiene

||Pn − φ||∞ = sup{|Pn(x)− φ(x)| : x ≥ 0} = ∞

y, por consiguiente, la serie de potencias φ(x) = 20−10∑∞

n=0(−1)n

n!xn no verifica la condicion

del supremo ||Pn − φ||∞ → 0 y no converge uniformemente a la funcion φ(x) = 20− 10e−x

en el intervalo [0,∞).

• Una cota del error, al evaluar

φ(1) = 20− 10∞∑

n=0

(−1)n

n!,

viene determinada (es una serie alternada) por el modulo del primer termino que se desprecia.Entonces, son suficientes 7 terminos, ya que

n ≥ 8 ⇒ 10

n!< 10−3.

Por lo tanto, m = 7 y el polinomio P7(x) permite aproximar φ(1) con tres cifras decimalesexactas, al verificarse |P7(1)− φ(1)| < 0′001.

2. • La extension de P1(x) = 10 + 10x, definido en [0, 1), y considerado de periodo T = 1,define a la funcion 1-periodica y = f(x), cuya grafica (escalada) en el intervalo [−3, 3] semuestra en la figura:

Como la extension y = f(x) satisface las condiciones de Dirichlet en cualquier intervalode amplitud un periodo, T = 1, entonces, la serie de Fourier de la funcion, definida porSF (x) = a0 +

∑(an cos(nωx) + bn sen(nωx)), con ω = 2π/T y los coeficientes an y bn

determinados por las formulas de Euler-Fourier, converge puntualmente en R.

• Por otra parte, la serie de Fourier SF (x) converge puntualmente a y = f ∗(x) = f(x),redefiniendo f ∗(x) = (f(x−) + f(x+))/2 = 15 en los puntos x = n ∈ Z, donde f tienediscontinuidades de salto, pero la convergencia no es uniforme en R. En efecto, las sumasparciales de la serie SF (x) son polinomios trigonometricos continuos en R y la continuidad setransmite mediante la convergencia uniforme, por lo que la funcion suma y = f ∗(x) deberıaser continua en R; sin embargo, a pesar de la redefinicion, la funcion y = f ∗(x) sigue siendodiscontinua en cada x ∈ Z.

Observese que la determinacion explıcita de la serie SF (x) no es necesaria, porque noaporta nada en las argumentaciones anteriores...

Por otro lado, si se quiere obtener, se debe integrar sobre un periodo completo; y ya quey = f(x) no es par ni impar, lo mejor es tomar el intervalo [0, 1].

Por ejemplo,

bn =1

T/2

∫ T

0

f(x) sen(nωx) dx =1

1/2

∫ 1

0

(20− 10x) sen(2πnx) dx

= 2

(20

∫ 1

0

sen(2πnx) dx− 10

∫ 1

0

x sen(2πnx) dx

)= −20

∫ 1

0

x sen(2πnx) =10

πn.

• Tanto si se considera la extension periodica y = f(x) de P1, P7, como la de cualquierpolinomio Pm, definido en [0, 1), el valor φ(1) deberıa ser aproximado por Pm(1), que esdistinto del valor medio del salto en x = 1 al que converge la serie de Fourier SF (x) en lospuntos de discontinuidad (vease la figura anterior):

SF (1) = f ∗(1) =lim

x→1−f(x) + lim

x→1+f(x)

2=

Pm(1) + Pm(0)

2=

Pm(1) + 10

26= Pm(1).

Por lo que, en principio, serıa una idea nefasta utilizar el valor SF (1) como aproximacionde φ(1). . . No obstante, si se tiene en cuenta que 2SF (1) = Pm(1) + 10, el valor de φ(1) sepuede estimar con la aproximacion de Pm(1) dada por φ(1) ≈ −10 + 2SF (1).

3. • Puesta la ecuacion diferencial EC1 en la forma y′ = f(x, y), se tiene f(x, y) = 20 − y.Entonces, para evaluar y(1), siendo y = φ(x) la solucion al problema de valores inicialesdeterminado por la EDO, con y(0) = 10, se puede utilizar el metodo de Heun con un solopaso, es decir, utilizando h = 1 en la expresion

y(1) = y(0) +k1 + k2

2h,

conk1 = f(0, y(0)) y k2 = f(1, y(0) + k1h).

Por lo tanto,k1 = f(0, 10) = 10, k2 = f(1, 20) = 0

y el valor y(1) que proporciona el metodo de Heun para φ(1) es

φ(1) ≈ y(1) = y(0) +10 + 0

21 = 15.

• La solucion y = φ(x) al PVI de terminado por la EDO, con la condicion y(0) = 10, esprecisamente la serie de potencias

φ(x) = 20− 10∞∑

n=0

(−1)n

n!xn,

como se ha justificado en el apartado anterior. En consecuencia,

φ(1) = 20− 10∞∑

n=0

(−1)n

n!= 20− 10e−1

y la diferencia es

|y(1)− φ(1)| = 5− 10

e≈ |y(1)− P7(1)| = 1′32 . . .

4. • Evidentemente, la funcion constante y = 20 es una solucion de la ecuacion diferencialEC1≡ y′ + y − 20 = 0, como se comprueba directamente o se deduce de obligar a y = k averificar la EDO. En tal caso, sustituyendo y = k e y′ = 0 en la ecuacion EC1, se tiene

0 + k − 20 = 0 ⇒ k = 20.

• Como EC1≡ y′ + y − 20 = 0 es una EDO lineal, la solucion general es de la forma

φ(x, C) = φH(x, C) + yp(x),

siendo φH(x, C) la solucion general de la EDO homogenea asociada EC1H≡ y′ = −y, que esφH(x, C) = Ce−x, y siendo yp(x) una solucion particular de EC1, por ejemplo, la solucionconstante yp(x) = 20.

Entonces, la solucion general de la EDO EC1 queda determinada por

φ(x, C) = Ce−x + 20.

• Comolim

x→∞φ(x, C) = lim

x→∞20 + Ce−x = 20,

para x → ∞, las soluciones convergen a la solucion (de equilibrio) y = 20. Las solucionesparticulares para las que C > 0, son crecientes y verifican φ(x, C) < 20; y aquellas solucionesen las que C < 0, son decrecientes y φ(x, C) > 20. Algunas curvas integrales se presentanen la figura siguiente:

• Si se selecciona el rectangulo equivalente al tomado en el Ejercio 1, el comportamientode las soluciones en las proximidades de y = 20 (es una solucion de equilibrio de la EDO,asintoticamente estable) debe ser analogo al que refleja el campo de direcciones dibujado:como las soluciones crecen/decrecen si empiezan por debajo/encima de y = 20, y deben

ser mas horizontales a medida que nos aproximamos a y = 20, las pendientes del campo dedirecciones de la ecuacion EC1 deben tener el mismo tipo de inclinacion que el de la EDO delEjercicio 1. . . (de hecho, el campo direccional dibujado es exactamente el de EC1, escalado,y obtenido con Maple como en la sesion de practicas de laboratorio correspondiente).


Sean las ecuaciones EC2≡ y′′ + y − 20 = 0 y EC3≡ x2y′′ + y − 20 = 0.

1. Determinar los puntos ordinarios y singulares de las ecuaciones EC2 y EC3. Probar quex = 0 es un punto singular regular de la EDO homogenea EC3H, asociada a EC3.

2. Probar que la ecuacion EC2 tiene una solucion constante y = k y determinar la soluciongeneral y = φ(x) de la ecuacion diferencial.

Si se fija un ε tan proximo a 0 como se quiera, ¿existen soluciones y = φ(x) reales para lasque |φ(x)− k| < ε? ¿Y soluciones y = φ(x) reales para las que lim

x→∞φ(x) = k?

3. Encontrar un sistema fundamental de soluciones la ecuacion homogenea ECH3 del primerapartado, para x > 0. Probar que la ecuacion EC3 tiene una solucion constante.

Estudiar el comportamiento de las soluciones reales de la ecuacion completa EC3, para lasque y(1) = 20, y′(1) 6= 0, cuando x →∞.

Solucion:

1. Poniendo las ecuaciones EC2 y EC3 en la forma

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = q(x),

los puntos ordinarios son aquellos x0 ∈ R para los que las funciones a(x), b(x) y q(x) sonfunciones analıticas en x = x0. Entonces, se tiene:

• Para EC1, a(x) = 0, b(x) = 1 y q(x) = 20 son funciones constantes y por supuestoanalıticas en R, luego todos los x ∈ R son puntos ordinarios.

• Para EC2, a(x) = 0, b(x) = 1x2 y q(x) = 20

x2 son funciones analıticas en R − {0}, luegotodos los puntos x ∈ R son ordinarios, excepto el origen x = 0, que es un punto singular.

• Un punto singular x = x0 de una EDO y′′ + a(x)y′ + b(x)y = 0 es regular, si son analıticaslas funciones α(x) = xa(x) y β(x) = x2b(x).

Poniendo la ecuacion EC3H≡ x2y′′+y = 0 en la forma adecuada, se tiene a(x) = 0, b(x) = 1x2

(es una EDO de Euler). Evidentemente, α(x) = 0 y β(x) = 1 son funciones analıticas en elorigen y por tanto x = 0 es un punto singular regular.

2. • De modo analogo al Apartado 4 del ejercicio anterior, la funcion constante y = 20 es unasolucion de la ecuacion diferencial EC2≡ y′′ + y − 20 = 0, como se comprueba directamenteo se deduce de obligar a y = k a verificar la EDO. En tal caso, sustituyendo y = k, e y′′ = 0en la ecuacion EC2, se tiene

0 + k − 20 = 0 ⇒ k = 20.

• Tambien EC2≡ y′′ + y− 20 = 0 es una EDO lineal de segundo orden con solucion general

φ(x, C) = φH(x, C) + yp(x),

siendo φH(x, C) la solucion general de la EDO homogenea asociada EC2H≡ y′′+y = 0. ComoEC2H es de coeficientes constantes, tiene soluciones de la forma y = erx; luego, sustituyendoy e y′′ = r2erx en la EDO se obtiene la ecuacion caracterıstica de la ecuacion diferencial quedetermina los valores de r:

erx(r2 + 1) = 0 ⇒ r2 + 1 = 0.

Entonces, r = ±i y la solucion general de la EDO EC2 queda determinada por

φ(x, C) = C1e−ix + C2e

ix + 20.

• Para obtener las soluciones reales de EC2, se utiliza la la formula de Euler

eix = cos x + i sen x

y se toma el sistema fundamental de soluciones {φ1 = cos x, φ2 = sen x} que permite expresarla solucion general de la ecuacion diferencial en la forma

φ(x, C) = 20 + C1 cos x + C2 sen x.

Es evidente que solo en el caso de ser C1 = C2 = 0 se puede verificar que limx→∞

φ(x) = 20,

ya que en otro caso el comportamiento de las soluciones y = φ(x, C1, C2) es una onda conamplitud fija A, dependiendo de C1 y C2, que oscila entre 20 + A y 20−A (se puede ponerφ(x, C1, C2) = 20 + A cos(x + B), para determinar A).

• Por otro lado, si se fija un ε tan proximo a 0 como se quiera, las soluciones y = φ(x) realesverifican

|φ(x)− 20| < |C1 cos x + C2 sen x| < |C1|+ |C2|,

luego siempre que |C1| + |C2| < ε, se verifica |φ(x) − 20| < ε, como queda de manifiesto enla figura siguiente:

Observacion: El comportamiento de las soluciones y = φ(x, C1, C2) de la EDO muestraque la solucion y = 20 es estable, pero no asintoticamente estable. . .

3. • Como se ha indicado en el Apartado 1, la ecuacion EC3H≡ x2y′′ + y = 0 es una EDO deEuler y tiene soluciones de la forma y = xs; luego, sustituyendo y e y′′ = s(s− 1)xs−2 en laecuacion diferencial se obtiene la ecuacion indicial que determina los valores de s:

xs(s(s− 1) + 1) = 0 ⇒ s2 − s + 1 = 0.

Ası, como s =1± i

√3

2, el sistema fundamental de soluciones es{

φ1 = x1+i

√3

2 , φ2 = x1−i

√3

2

}.

• De modo analogo a los ejercicios anteriores se prueba que yp(x) = 20 es una solucionparticular de la ecuacion diferencial completa EC3.

• Para obtener las soluciones reales de EC3, se expresan las potencias complejas en formalogarıtmica y se aplica la formula de Euler particularizada, obteniendose

x1+i

√3

2 = x12 xi

√3

2 =√

x ei√

32

ln(x) =√

x

(cos(

√3

2ln(x)) + i sen(

√3

2ln(x)

).

Entonces, la solucion general de la EDO se puede expresar en la forma real

φ(x, C1, C2) = 20 +√

x

(C1 cos(

√3

2ln(x)) + C2 sen(

√3

2ln(x)

).

Las soluciones que verifican y(1) = 20, son aquellas para las que C1 = 0, y eliminando lasolucion constante y = 20, para la que y′(0) = 0, las soluciones particulares que verifican lacondicion son

φ(x, C2) = 20 + C2

√x sen(

√3

2ln(x)).

que son ondas sinusoidales pero con un intervalo logarıtmico y escaladas por el factor C2

√x,

luego oscilan entre ±∞ encerradas entre 20± C2

√x.

La grafica de algunas (en un intervalo amplio) se pueden ver en la figura siguiente donde sehan indicado las correspondientes funciones

√x que encierran a las ondas. . .

Ingeniero Informatico – Calculo Infinitesimal Septiembre (21-9-2005)

• Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.

• Escriban en cada folio, en MAYUSCULAS: “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE”.

Considerese el conjunto de funciones fn(x) =x

1 + nx2definidas para n ≥ 0 y x ∈ IR.


1. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la sucesion (fn) a su funcion lımite en el campo real.

2. Partiendo del desarrollo en serie de potencias de la funcion f1(x) en el punto x = 0, demostrar que la serie∞∑

n=0

(−1)n x2n+2

n + 1tiene por suma ln(1 + x2). Hallar el intervalo de convergencia de ambas series.

3. a) Se considera la funcion f0(x) definida en el intervalo [0, 2] y prolongada de forma par al intervalo [−2, 2].Hallar el coeficiente a0 de su serie de Fourier y comprobar que para n ≥ 1 es bn = 0, an = 0 si n es par y

an =−8

π2n2si n es impar.

b) ¿Que tipo de convergencia presenta la serie obtenida en IR? ¿Se presenta el fenomeno de Gibbs? Utilizardicha serie para probar la igualdad

∞∑n=1

1(2n− 1)2

=π2

8.


4. Hallar el valor de y(1) que se obtiene al aplicar el metodo de Heun con paso h = 12 al PVI determinado por

y′(x) = f2(x) con y(0) = 0. ¿Que relacion guarda el valor y(1) obtenido con∫ x

0f2(t)dt?

5. Calcular el polinomio interpolador P (x) de la funcion f2(x) en el soporte S = {0, 12 , 1}. Indicar una expresion

de la cota del error que se comete al tomar P (0.8) como aproximacion de f2(0.8).

6. Hallar la solucion particular de EC1 ≡ y′ − 1x

y = P (x) que pasa por el punto (3, 2), siendo P (x) el polinomiointerpolador obtenido en el apartado anterior.


7. Obtener la solucion general de la ecuacion diferencial

EC2 ≡ y′′ + f0(1)y′ + f1(1)y =x2

4− x + 2.

¿Que comportamiento tienen las soluciones cuando x → 0? ¿Y cuando x → +∞?

8. Dada la ecuacion ECH ≡ y′′ +α

xy′ +

β

x2y = 0, se pide:

a) Hallar la solucion del PVI formado por ECH para α = −2 y β = 2α, y(1) = 0 e y′( 12 ) = 9

b) ¿Admite un sistema fundamental de soluciones en serie de Frobenius en x = 0 la ecuacion diferencial ECHpara α = sen 2x y β = 1 + x2?


1. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la sucesion (fn) a su funcion lımite en el campo real.

2. Partiendo del desarrollo en serie de potencias de la funcion f1(x) en el punto x = 0, demostrar que la serie∞∑

n=0

(−1)n x2n+2

n + 1tiene por suma ln(1 + x2). Hallar el intervalo de convergencia de ambas series.

3. a) Se considera la funcion f0(x) definida en el intervalo [0, 2] y prolongada de forma par al intervalo [−2, 2].Hallar el coeficiente a0 de su serie de Fourier y comprobar que para n ≥ 1 es bn = 0, an = 0 si n es par y

an =−8

π2n2si n es impar.

b) ¿Que tipo de convergencia presenta la serie obtenida en IR? ¿Se presenta el fenomeno de Gibbs? Utilizardicha serie para probar la igualdad

∞∑n=1

1(2n− 1)2

=π2

8.

Solucion:

1. Algunas de las funciones de dicha familia son:

f0(x) = x, f1(x) =x

1 + x2, f2(x) =

x

1 + 2x2, f3(x)

x

1 + 3x2, . . . ,

cuyas representaciones graficas son las siguientes:

Las funciones fn(x) son impares, continuas y derivables en IR. La funcion lımite es f(x) = limn→∞x

1+nx2 = 0.Ası que

(fn) −→C.P. f(x) = 0 para todo x ∈ IR

Para ver si la convergencia es uniforme en IR debemos hallar

αn(x) = supx∈IR

|fn(x)− f(x)| = supx∈IR

|fn(x)|.

Estudiando el crecimiento y decrecimiento de la funcion a traves de las derivadas f ′n(x) =1− nx2

1 + nx2se puede

comprobar que fn(x) tiene en el campo real dos extremos relativos en x = 1√n

y en x = − 1√n, siendo el

primero de ellos un maximo absoluto y el segundo un mınimo absoluto. Por tanto, |f(x)| ≤ 12√

n∀x ∈ IR y en

consecuencia:αn(x) = sup

x∈IR|fn(x)| = 1

2√

n−→n→∞ 0,

de manera que(fn) −→C.U. f(x) = 0 en IR.

2. El desarrollo en serie de potencias de la funcion f1(x) en x = 0 es:

f1(x) =x

1− (−x)2= x(1− x2 + x4 − x6 + . . .) = x− x3 + x5 − x7 + . . . =

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

Teniendo en cuenta que limn→∞

∣∣∣∣x2n+3

x2n+1

∣∣∣∣ = x2 < 1, el radio de convergencia de la serie es R = 1. En x = 1 y

x = −1 la serie (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 . . .) no converge, de modo que el intervalo de convergencia de la seriede potencias asociada a f1(x) es (−1, 1). Para todo x ∈ (−1, 1) la serie es derivable y tambien integrable.Integrandola obtenemos∫ x

0

∞∑n=0

(−1)nt2n+1dt =∞∑

n=0

(−1)n

[t2n+2

2n + 2

]x

0

=12

∞∑n=0

(−1)n x2n+2

n + 1,

cuyo radio de convergencia es tambien R′ = 1. En los puntos x = 1 y x = −1 se trata de la serie alternada∞∑

n=0

(−1)n 1n + 1

que sabemos por el criterio de Leibnitz que es convergente, por tanto el intervalo de convergencia

es [−1, 1].

2

3. a) La funcion f0(x) = x definida en [0, 2] y prolongada par el intervalo [−2, 2] es la funcion 4-periodica dadapor la expresion

F (x) = |x| ={−x si −2 ≤ x ≤ 0

x si 0 ≤ x ≤ 2

Los coeficientes de la serie de Fourier asociada a dicha funcion F (x) son:

a0 =12l

∫ l

−l

F (x)dx =24

∫ 2

0

xdx =12

[x2

2

]2

0

= 1

y para n ≥ 1:

an =1l

∫ l

−l

F (x)cosπnx

2dx =

∫ 2

0

xcosπnx

2dx =

2πn

[xsen

πnx

2

]2

0− 2

πn

∫ 2

0

senπnx

2dx

=(−2πn

) [−

cosπnx2

πn2

]2

0

=4

π2n2(cosπn− 1) =

4π2n2

[(−1)n − 1] ={

0 si n es par8

π2n2 si n es impar

bn = 0 por ser F (x) una funcion par

Luego la serie de Fourier asociada a F es

|x| ∼ 1− 8π2

∞∑n=1

cos(2n− 1)πx

(2n− 1)2.

b) La funcion F cumple las condiciones de Dirichlet en IR, luego la serie converge puntualmente. Ademas severifica

∞∑n=1

|cos(2n− 1)πx|(2n− 1)2

≤∞∑

n=1

1(2n− 1)2

lo que nos indica por el criterio de M de Weiertrass, al ser la serie mayorante convergente, que la serie deFourier obtenida converge uniformemente a |x| en todo el campo real. En consecuencia, no se presentael fenomeno de Gibbs y la funcion F coincide con su serie de Fourier asociada en todos los puntos de IR.Concretamente si consideramos x = 0 obtenemos

0 = 1− 8π2

∞∑n=1

cos(2n− 1)π0(2n− 1)2

de donde obtenemos teniendo en cuenta que cos 0 = 1 la igualdad

∞∑n=1

1(2n− 1)2

=π2

8.


4. Hallar el valor de y(1) que se obtiene al aplicar el metodo de Heun con paso h = 12 al PVI determinado por

y′(x) = f2(x) con y(0) = 0. ¿Que relacion guarda el valor y(1) obtenido con∫ x

0f2(t)dt?

5. Calcular el polinomio interpolador P (x) de la funcion f2(x) en el soporte S = {0, 12 , 1}. Indicar una expresion

de la cota del error que se comete al tomar P (0.8) como aproximacion de f2(0.8).

6. Hallar la solucion particular de EC1 ≡ y′ − 1x

y = P (x) que pasa por el punto (3, 2), siendo P (x) el polinomiointerpolador obtenido en el apartado anterior.

Solucion:

4. Tenemos y′(x) = f2(x) = x1+2x2 con y(0) = 0. Aproximamos el valor de y(1) usando el metodo de Heun con

paso h =12. Para llegar de x = 0 a x = 1 con paso h =

12, necesitaremos dos pasos, en el primero calcularemos

y

(12

), y el el segundo y(1).

y0 = y(0) = f2(0) = 0

3

y1 ' y

(12

)= y(0) +

k1 + k2

2h, con k1 = f(0, 0), k2 = f

(12, y(0) + k1h

),

y2 ' y(1) ' y

(12

)+

k1 + k2

2h, con k1 = f

(12, y1

), k2 = f(1, y1 + k1h)

Sustituyendo cada cosa por su valor en cada paso obtenemos:

y1 = y

(12

)' 1

12y y2 = y(1) ' 1

4

Observacion: El valor y(1) obtenido es la aprox. de Heun al valor de∫ 1

0f2(x)dx. Como y′(x) = f(x, y) =

x

1 + 2x2solo depende de la variable x, el resultado pedidio equivale a usar la regla del trapecio compuesto en

el soporte{0, 1

2 , 1}:

y(1) =∫ 1

0

t

1 + 2t2dt ≈ h

2

[f2(0) + f2

(12

)+ f2(1)

]=

14

[0 +

13

+13

]=

14

5. Hallemos el polinomio interpolador P (x) de f2(x) = x1+2x2 en el soporte S =

{0, 1

2 , 1}

usando el metodo de lasdiferencias finitas:

x y = f2(x) 4y 42y

0 013

12

13 − 1

3

01 1

3

P (x) = 0 +1/3

1!1/2(x− 0)− 1/3

2!(1/2)2(x− 0)(x− 1

2) = −2

3x2 + x

Una expresion de la cota del error que se comete al tomar f2(0, 8) ≈ P (0, 8) viene dada por

e(0, 8) = |f2(0, 8)− P (0, 8)| ≤ |(0, 8− 0)(0, 8− 0, 5)(0, 8− 1)|3!

|f ′′′2 (0, 8)| = 8 ∗ 10−3|f ′′′2 (0, 8)|

6. La ecuacion y′ − 1xy = P (x) siendo P (x) = − 2

3x2 + x es una ecuacion lineal. Una solucion general de estaecuacion es

y(x,C) = e−∫− 1

x dx

[C +

∫ (−2

3x2 + x

)e∫− 1

x dxdx

]= x

[c +

∫ (−2

3x2 + x

)1x

dx

]= x

[C − x2

3+ x

]= Cx + x2 − x3

3

La solucion particular que pasa por el punto (3, 2) es:

y(3, C) = 2 = 3C + 9− 9 ⇒ C =23

luego:

φ(x) =23x + x2 − 1

3x3

4

Ingeniero Informatico – Calculo Infinitesimal Examen Final (7-2-2006)

• Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.• Escriban en cada folio, en MAYUSCULAS: “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE”.


Se considera la ecuacion diferencial ordinaria de primer orden y′ − 4xy2 = 0.

1. Analizar la existencia y unicidad de soluciones de la EDO en cada punto (x0, y0) ∈ IR2.

2. Hallar la solucion particular y = φ(x) de la ecuacion diferencial que pasa por el punto (0, 1),indicando el dominio donde esta es valida.

3. Obtener el valor aproximado de y = φ(12) utilizando un paso del metodo de Heun. ¿Es una

buena aproximacion? Razonar si puede mejorarse tomando un mayor numero de pasos.

4. Obtener el desarrollo en serie de potencias centrado en el origen de la funcion y = φ(x) ydeterminar su radio de convergencia. Utilizar la suma de los 3 primeros terminos de la seriepara dar un valor aproximado de φ(1/2) y compararlo con el valor obtenido en el apartadoanterior, razonando cual de los dos aproxima mejor a φ(1/2).


Sea la funcion f(x) = sen 4x, definida en el intervalo [0, π2].

5. Dibujar en el intervalo [−π, π] la extension π-periodica par y = F (x) de la funcion f y

calcular∫ π/2−π/2 F (x) dx.

6. Para la los coeficientes an de la serie de Fourier de F se ha obtenido, mediante un programade calculo simbolico, la expresion

an =4 (cos(πn)− 1)

π(n2 − 4).

Obtener la suma parcial S6(x) correspondiente a los primeros 6 terminos no nulos de la seriede Fourier de F . ¿A quien converge y de que modo la sucesion de sumas parciales Sn(x)?


7. Hallar la solucion del PVI determinado por la ecuacion diferencial ordinaria y′′+16y = 4e4x,con y(0) = y′(0) = 0.

8. Resolver la ecuacion diferencial ECE≡ x2y′′ + 4xy′ + y = 0, para x > 0.

9. Probar que g(x) =sen 4x

xes una funcion analıtica en todo R. Obtener los primeros terminos

de la serie de potencias de la funcion en x = 0.

10. Se considera la ecuacion diferencial EC≡ x2y′′ + sen 4x y′ +1

1− 2x2y = 0.

Probar que x = 0 es un punto singular regular de la ecuacion EC y que ECE es su ecuacionde Euler asociada.

Estudiar si puede garantizarse la existencia de una solucion en serie de Frobenius en x = 0.

Ingenierıa Informatica - Calculo Infinitesimal

Examen Final Febrero 2006

Ejercicio 1

1. Partimos de la EDO y′ = f(x, y) = 4xy2, siendo ∂∂y f(x, y) = 8xy. Como tanto f como ∂

∂y f soncontinuas ∀(x, y) ∈ IR × IR, segun el teorema de Picard existe solucion unica de la EDO en unentorno de todo punto (x0, y0) ∈ IR2.

2. y′ = 4xy2 es de variables separables (y de Bernouilli). Si suponemos y distinta de la funcionconstante igual a cero (que tambien es solucion), podemos separar variables e integrar∫

dy

y2dx = 4

∫x dx + C ⇒ −1

y= 2x2 + C ⇒ y(x,C) =

−12x2 + C

mas la solucion y = 0

La solucion particular que pasa por el punto (0,1) es

1 = y(0, C) =−1C

⇒ C = −1 ⇒ y = φ(x) =−1

2x2 − 1=

11− 2x2

que es continua y derivable ∀x ∈ IR − {−√

22 ,

√2

2 }. Como la solucion debe estar definida en unintervalo que contenga al valor x0 = 0, dado en la condicion inicial, la solucion al PVI es

φ(x) =1

1− 2x2definida en el intervalo

(−√

22

,

√2

2

).

3. Para aplicar el metodo de Heun y estimar el valor de φ( 12 ), partiendo de φ(0) = 1, se debe tener

en cuenta que y′ = f(x, y) = 4xy2. Y para pasar de x0 = 0 a x1 = 1/2 en un paso se debe tomarh = 1/2. Entonces,

y0 = 1

y1 = y0 + f(x0,y0)+f(x1,y0+f(x0,y0)·h)2 · h = 1 + f(0,1)+f( 1

2 ,1+f(0,1)· 12 )

2 · 12 = 1 + 0+4· 12 ·1

2

2 · 12 = 1 + 1

2 = 32

El orden del error de discretizacion local del metodo es O(h3) = O(0′125), ası que la aproximaciony1 ≈ φ(1/2) no deberıa ser considerada buena con una exigencia razonable de precision. . . (Observeseque el valor exacto es φ(1/2) = 2). Si se toma un mayor numero de pasos entre 0 y 1

2 , el valorde h disminuye, y con el el orden del error local de cada paso necesario para llegar xn = 1/2; sibien el error total que hay que considerar ahora es de orden O(h2), prescindiendo de los errores deredondeo, la estimacion mejora (por ejemplo, con h = 1/4 se tiene O(1/16)).

4. φ(x) = 11−2x2 es la suma de la serie geometrica de razon 2x2, por lo que su desarrollo en serie de

potencias es

φ(x) =∞∑

n=0

(2x2)n =∞∑

n=0

2nx2n.

Para hallar el radio de convergencia de la serie de potencias∑

anxn se puede tener en cuenta, porejemplo, que por ser una serie geometrica, diverge si |2x2| < 1 y converge si |2x2| < 1 ⇒ |x| <

√2

2 .Por consiguiente, el radio de convergencia es

√2

2 .

Considerando el valor aproximado φ(x) ≈∑N

n=0 anxn, prescindiendo de errores de redondeo, elerror de discretizacion viene dado por O(xN+1). Por lo que en el caso de x = 1/2 y N = 2, el ordendel error de la aproximacion es similar al de Heun con un solo paso. (Observese que, aunque notiene por que ocurrir esto siempre, se obtiene exactamente el mismo valor φ( 1

2 ) ≈ 1 + 2( 12 )2 = y1).

1

Ejercicio 2

5. La funcion f(x) = sen 4x, definida en [0, π2 ], se extiende π-periodica par al intervalo [−π

2 , π2 ] para

obtener y = F (x) y se representa graficamente en el intervalo [−π, π] (se ha representado con untrazo mas grueso un periodo de la funcion F ).

Como y = F (x) es par en el intervalo [−π2 , π

2 ], y∫ π

20

sen 4x dx = 0, tenemos que∫ π2

−π2

F (x) dx = 2∫ π

2

0

F (x) dx = 2∫ π

2

0

sen 4x dx = 0

(en particular esto implica que el coeficiente de Fourier a0 = 0).

6. Como F es una funcion π-periodica par, es bn = 0, ∀n ≥ 1, a0 = 0 se deduce del apartado anterior,y se nos da

an =4(cos(nπ)− 1)

π(n2 − 4)=

4((−1)n − 1)π(n2 − 4)

={− 8

π(n2−4) si n es impar0 si n es par (incluyendo el caso n = 2)

En consecuencia, la serie de Fourier de F es

F (x) = − 8π

∞∑n=1

cos((2n− 1) · 2x)(2n− 1)2 − 4)

de donde obtenemos la suma de los seis primeros terminos no nulos de la serie:

S6(x) = − 8π

(cos 2x

−3+

cos 6x

5+

cos 10x

21+

cos 14x

45+

cos 18x77

+cos 22x

177

)La sucesion Sn(x) determina la serie de Fourier de F que verifica las condiciones de Dirichlet;En consecuencia, como y = F (x) es una funcion continua en IR, la serie de Fourier convergepuntualmente a F (x) en todos los puntos del campo real. Ademas, ya que para todo x ∈ IR es

∞∑n=1

|Sn(x)| = 8π

∞∑n=1

∣∣∣∣cos((2n− 1) · 2x)(2n− 1)2 − 4)

∣∣∣∣ ≤ 8π

∞∑n=1

14n2 − 4n− 3

que tiene un comportamiento equivalente al de∑

1n2 < ∞, se puede aplicar el criterio de Weiertrass

para garantizar que la sucesion (Sn) converge uniformemente a F en IR.

Ejercicio 3

7. y′′ + 16y = 4e4x; y(0) = 0, y′(0) = 0

Hallamos la solucion de la EDO homogenea asociada y′′ + 16y = 0 mediante su ecuacion carac-terıstica m2 + 16 = 0 ⇒ m = ±4i ⇒{

y1(x) = e−i4x = cos 4x− i sen 4xy2(x) = ei4x = cos 4x + i sen 4x

⇒ (en el campo real){

y1(x) = cos 4xy2(x) = sen 4x

2

Luego la solucion general de la EDO homogenea es

φH(x,C1, C2) = C1 cos 4x + C2 sen 4x

Necesitamos tambien una solucion particular de la EDO completa. Como la EDO homogenea esde coeficientes constantes aplicamos coeficientes indeterminados. e4x no es solucion de la EDOhomogenea, luego ensayamos yp(x) = Ae4x. Sustituyendo en la EDO completa obtenemos A = 1

8 ,luego

yp(x) =18e4x,

por lo que la solucion general de la EDO completa es

φ(x, C1, C2) =18e4x + C1 cos 4x + C2 sen 4x.

Derivando φ(x,C1, C2)

φ′(x, C1, C2) =12e4x − 4C1 cos 4x + 4C2 sen 4x

y usando las condiciones iniciales obtenemos{y(0) = 1

8 + C1 = 0y(0) = 1

2 + 4C2 = 0 =⇒ C1 = −18, C2 = −1

8.

Por lo que la solucion del PVI es

φ(x) =18(e4x − cos 4x− sen 4x).

8. ECE≡ y′′ + 4xy′ + 1

x2 y = 0, x > 0, es una EDO de Euler de ecuacion indicial r2 + 3r + 1 = 0 ⇒ r =−3±

√5

2 , luego

{y1(x) = x−3+

√5

2 , y2(x) = x−3−

√5

2 }es un sistema fundamental de soluciones de la EDO, y su solucion general es

φ(x, C1, C2) = C1x−3+

√5

2 + C2x−3−

√5

2 = x−32 (C1x

√5

2 + C2x−√

52 )

9. El cociente de las funciones analıticas es analıtico donde no se anula el denominador. Ası, la funciony = sen 4x/x es una funcion analıtica para x 6= 0.

Para x = 0, teniendo en cuenta el desarrollo y = sen x = x− x3

3! + x5

5! −x7

7! + . . ., resulta

g(x) = sen 4xx = 1

x

(4x− (4x)3

3! + (4x)5

5! − (4x)7

7! + . . .)

= 4− (4)3

3! x2 + (4)5

5! x4 − (4)7

7! x6 + . . .

=∑∞

n=1(−1)n−1 42n−1

(2n−1)!x2n−2

lo cual prueba que y = g(x) admite un desarrollo en serie de potencias de radio de convergencia nonulo; y por tanto g es una funcion analıtica en x = 0.

10.

EC ≡ y′′ +sen 4x

x2y′ +

1x2(1− 2x2)

y = 0, o bien y′′ +sen 4x

x

xy′ +

1(1−2x2)

x2y = 0

El punto x = 0 es singular regular porque las funciones x · sen 4xx2 = sen 4x

x y x2 · 1x2(1−2x2) = 1

(1−2x2)

son analıticas (demostrado en apartados 9 y 4 respectivamente). Podemos escribir entonces EC dela forma

y′′ +4− (4)3

3! x2 + (4)5

5! x4 − . . .

xy′ +

1 + 2x2 + 22x4 + · · ·x2

y = 0.

Su ecuacion de Euler asociada es, evidentemente, ECE.Ademas, como x = 0 es un punto singular regular podemos garantizar la existencia de, al menos, unasolucion en serie de Frobenius. De hecho, como las raıces de su ecuacion indicial (r2 + 3r − 1 = 0obtenida en el apartado 8) cumplen r1 + r2 =

√5, que no es un entero, puede garantizarse la

existencia de dos soluciones en serie de Frobenius linealmente independientes que forman un sistemafundamental de soluciones.

3

Ingeniero Informatico – Calculo Infinitesimal Convocatoria de Septiembre (12-9-2006)



Considerese la funcion f(x) = 2e−x


1. Hallar la serie de potencias cuya suma es f(x). ¿En que intervalo converge puntualmente?

2. Determinar la serie derivada y estudiar si converge uniformemente en el intervalo [-1,1].


Sea S1(x) = 2 − 2x la primera suma parcial de la serie hallada en el Ejercicio 1, definida para0 ≤ x ≤ 1. Sea y = F (x) la extension 2-periodica par de y = S1(x).

3. Hallar la serie de Fourier de la funcion y = F (x).

4. Razonar si se presenta el fenomeno de Gibbs en el desarrollo obtenido anteriormente.

Dibujar el diagrama de frecuencias de y = P7(x), siendo P7 el polinomio trigonometrico de y = F (x)para n = 7.


5. Comprobar que y = f(x) es solucion de la e.d.o.

EDO1 : y′′ + y = 4e−x

y obtener un sistema fundamental de soluciones de la e.d.o. homogenea asociada.

6. Hallar la solucion general de la EDO1 y dibujar en [−π, π] la solucion y = ϕ(x) del PVI determiandopor la ecuacion diferencial y las condiciones iniciales

y(0) = 3, y′(0) = −2

7. Analizar el comportamiento de la solucion y = ϕ(x) cuando x tiende a +∞.

Razonar si existe alguna solucion particular de la EDO1 que corte a la funcion y = ϕ(x) en losreales positivos.


8. Analizar la existencia de puntos ordinarios y singulares de la ecuacion

EDO2 : x2y′′ − f(x)y = 0.

Resolver la ecuacion de Euler asociada en cada uno de los puntos singulares regulares.


Se considera la e.d.o.EDO3 : f(x)y′ − (sen(2πx))y = x + 2.

9. Utilizar el metodo de Euler con paso h = 12 para aproximar el valor de φ(1), siendo y = φ(x) la

solucion que pasa por el origen.

10. Hallar el polinomio que interpola en el soporte S = {0, 12 , 1} a la aproximacion de la funcion y = φ(x)

obtenida usando el metodo de Euler.

Ingenierıa Informatica. Calculo Infinitesimal.

Examen Final Septiembre 2006.

Ejercicio 1

1. La funcion y = ex es analıtica en IR, siendo para todo x ∈ IR:

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ . . . =

∞∑n=0

xn

n!

Sustituyendo “x” por “−x” se obtiene la serie de potencias

f(x) = 2e−x = 2(1− x +x2

2!− x3

3!+ . . .) = 2

∞∑n=0

(−1)n xn

n!, x ∈ IR,

que converge puntualmente en todos los reales.

2. La serie obtenida puede derivarse termino a termino para todo x ∈ IR, ya que tiene el mismo radiode convergencia que la serie original, siendo

f ′(x) =

(2∞∑

n=0

(−1)n xn

n!

)′= 2

∞∑n=1

(−1)n xn−1

(n− 1)!= 2(−1 + x− x2

2!+ . . .) ∀x ∈ IR.

Como [-1,1] es un compacto contenido en IR, la serie derivada de y = f(x) converge uniformementea f ′(x) = −2e−x en el intervalo.

Ejercicio 2

3. El ejercicio 1 nos muestra que, en efecto, S1(x) = 2 − 2x es la primera suma parcial de la serie2∑∞

n=0(−1)n xn

n! . Si consideramos S1(x) = 2− 2x definida en [0,1], la extension 2-periodica par dey = S1(x) es la funcion

F (x) ={

2 + 2x, −1 ≤ x ≤ 02− 2x, 0 ≤ x ≤ 1

extendida a IR por periodicidad. La grafica de y = F (x) en el intervalo [−2, 2], resaltando unperiodo fundamental, es

Figura 1: La funcion y = F (x) en el intervalo [−2, 2].

1

Como F es 2-periodica, se tiene ω = 2π/T = π. Al ser par, en relacion con su serie de Fourier,se tiene que bn = 0, ∀n ≥ 1. Poniendo T = 2l, y haciendo uso de la paridad, para el resto decoeficientes se tiene

a0 =22l

∫ l

0

(2− 2x) dx(l=1)=

22

∫ 1

0

(2− 2x) dx = [2x− x2]10 = 2− 1 = 1.

an =2l

∫ l

0

(2− 2x) cos(πnx) dx =∫ 1

0

(2− 2x) cos(πnx) dx ={

u = 2− 2x du = −2dx

dv = cos(πnx) v = sen(πnx)πn

}=

= 2

[[(2− 2x) sen(πnx)

πn

]10

+2

πn

∫ 1

0

sen(πnx) dx

]= 2

[0 +

2πn

[− cos(πnx)

πn

]10

]=

=4

π2n2(− cos(πn) + 1) =

4π2n2

(−(−1)n + 1) ={

8π2n2 n impar0 n par

Por tanto,

F (x) ∼ a0+∞∑1

an cos(πnx) = 1+8π2

∞∑1

cos(2n− 1)πx

(2n− 1)2= 1+

8π2

(cos(πx)

12+

cos(3πx)32

+cos(5πx)

52+ . . .

)

4. La funcion y = F (x) es continua y seccionalmente derivable en IR, presentado un numero finito demaximos y mınimos en [-1,1]. Luego, al cumplir las condiciones de Dirichlet, su serie de Fourierconverge puntualmente a F en todo el campo real. De hecho, es facil probar que la convergenciaes uniforme. Al no presentar y = F (x) discontinuidades (o bien teniendo en cuenta la convergenciauniforme de la serie), se puede asegurar que no aparecera el fenomeno de Gibbs al aproximar lafuncion F mediante los polinomios trigonometricos de su serie de Fourier.

Tenemos, para n = 7:

P7(x) =a01 +

a18π2

cos(πx)+

a38

32π2cos(3πx)+

a58

52π2cos(5πx)+

a78

72π2cos(7πx)

≈ 1 + 0′811 cos(ωx) + 0′090 cos(3ωx) + 0′032 cos(5ωx) + 0′017 cos(7ωx)

y el diagrama de frecuencias de los coeficientes an es

Figura 2: Diagrama de frecuencias an.

El diagrama de las frecuencias bn es obviamente nulo, ya que la funcion (y por lo tanto, el polinomiotrigonometrico P7) es par.

2

Ejercicio 3

5. Que y = f(x) = 2e−x es solucion de la EDO1 ≡ y′′ + y = 4e−x es evidente:

y = 2e−x

y′ = −2e−x

y′′ = 2e−x

⇒ y′′ + y = 2e−x + 2e−x = 4e−x

Obtengamos un sistema fundamental de soluciones de la e.d.o. homogenea asociadaEDH1 ≡ y′′ + y = 0. Las soluciones son del tipo y = emx, m ∈ IC. Tenemos

y = emx

y′ = memx

y′′ = m2emx

⇒ y′′ + y = emx(m2 + 1) = 0 ⇒ m2 + 1 = 0 ⇒{

m1 = −im2 = i

Como eix = cos x + i senx, un sistema fundamental de soluciones reales de la ecuacion diferencialEDH1 es {y1(x) = cos x, y2(x) = senx}

6. Para hallar la solucion general de la EDO1 debemos obtener una solucion particular de esta ecuacion.Pero del apartado 5 sabemos que yp(x) = 2e−x lo es. En consecuencia,

y(x,C1, C2) = yp(x) + yh(x,C1, C2) = 2e−x + C1 cos x + C2 senx

es la solucion general de EDO1.

Derivando,y′(x,C1, C2) = −2e−x − C1 senx + C2 cos x

y sustituyendo las condiciones iniciales,

y(0, C1, C2) = 2e0 + C1 cos 0 + C2 sen 0 = 2 + C1 = 3y′(0, C1, C2) = −2e0 − C1 sen 0 + C2 cos 0 = −2 + C2 = −2

}⇒{

C1 = 1C2 = 0

Por tanto, la solucion del P.V.I. es y = ϕ(x) = 2e−x + cos x. La grafica de la funcion y = ϕ en elintervalo [−π, π] es

Figura 3: La funcion y = ϕ en [−π, π].

7. Cuando x → +∞,

limx→+∞

ϕ(x) = limx→+∞

(2e−x + cos x) = 0 + limx→+∞

cos x.

y el limx→+∞ cos x no existe. Ası, cuando x → ∞ los valores de la funcion y = ϕ(x) tienden aoscilar en el intervalo [-1,1] como la funcion y = cos x. Graficamente, el comportamiento se visualiza(la salida es de Maple) en la forma:

3

Figura 4: Comportamiento de y = ϕ para x →∞.

Para cada x ∈ IR+ la solucion particular del PVI determinado por la ecuacion lineal EDO1 y lascondiciones iniciales y(x0) = y0 e y′(x0) = y′0 es unica. No obstante, por cada punto (x0, y0) pasaninfinitas soluciones y(x,C1, C2) = 2e−x +C1 cos x+C2 senx de la ecuacion EDO1, aunque no puedehaber dos distintas con la misma pendiente en el mismo punto. Por ejemplo, y = 2e−x+cos x+senxes una solucion de EDO1 que corta a y = ϕ(x) en el origen (y(0) = ϕ(0) = 3), y evidentemente noson la misma solucion (observese que y′(0) = −1 6= ϕ′(0)).

Ejercicio 4

8. Poniendo la ecuacion EDO2 ≡ x2y′′ − 2e−xy = 0, en la forma y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = 0, tenemosla ecuacion diferencial lineal homogenea

EDO2 ≡ y′′ +−2e−x

x2y = 0.

El unico punto singular de la ecuacion es x = 0, al ser P1(x) = 0 y P2(x) = −2e−x

x2 analıticas salvoen x = 0 (donde P2(x) no es continua). Ası, todo x ∈ IR− {0} es punto ordinario de la ecuacion.

Como las funciones xP1(x) = x · 0 = 0

x2P2(x) = x2

(−2e−x

x2

)= −2e−x

son ambas analıticas en x = 0, este es un punto singular regular de la ecuacion EDO2.

Siendo

y′′ − 2e−x

x2y = 0 ⇒ y′′ −

2− 2x + x2 − x3

3! + . . .

x2y = 0

la ecuacion de Euler asociada a EDO2 en x = 0 es

y′′ − 2x2

y = 0 ⇔ x2y′′ − 2y = 0

y la solucion de esta es de la forma y(x) = xr, r ∈ IC.

y = xr

y′ = rxr−1

y′′ = r(r − 1)xr−2

⇒ r(r − 1)− 2 = 0 ⇒ r2 − r − 2 = 0 ⇒{

r1 = −1 ⇒ y1(x) = x−1

r2 = 2 ⇒ y2(x) = x2

4

El conjunto {y1(x) = x−1; y2(x) = x2} es un sistema fundamental de soluciones de la ecuacion deEuler, y su solucion general es

y(x, C1, C2) = C11x

+ C2x2, x ∈ IR

Ejercicio 5

9. A partir de la EDO3 y de que la solucion debe pasar por el (0,0), obtenemos el siguiente P.V.I.{y′ = f(x, y) =

sen(2πx)2e−x

y +x + 22e−x

y(0) = 0

xn y(xn) ≈ yn = yn−1 + h · f(xn−1, yn−1), h = 12

x0 = 0 y0 = 0

x1 = 12 y(x1) ≈ y1 = y0 + 1

2f(x0, y0) = 0 + 12f(0, 0) = 1

2 (0 + 22 ) = 1

2

x2 = 1 y(x2) ≈ y2 = y1 + 12f(x1, y1) = 1

2 + 12f( 1

2 , 12 ) = 4+5e1/2

8 ≈ 1′53045

Ası que φ(1) ≈ y2 =4 + 5e1/2

8≈ 1′53045 es la aproximacion de Euler pedida.

10. Hallemos ahora el polinomio que interpola a la aproximacion de y = φ(x) (solucion de la EDO3)obtenida por el metodo de Euler en el soporte S = {0, 1

2 , 1}. Usando diferencias finitas de Newton,

x y ∆y ∆2y0 0

0′50′5 0′5 0′53045

1′030451 1′53045

P (x) = y0 +∆y0

1!h(x− x0) +

∆y20

2!h2(x− x0)(x− x1) =

= 0 +0′50′5

(x− 0) +0′530452(0′5)2

(x− 0)(x− 0′5) = x + 1′0609(x2 − 0′5x) =

= 1′0609x2 + 0′46955x

5




Ejercicio 1 (2 Ptos.) Se considera la serie de potencias

S(x) =∞∑

n=1

x2n−1

n.

1. Hallar el radio de convergencia. ¿Define este desarrollo una funcion analıtica en x = 0?

2. Obtener el desarrollo en serie de potencias en x = 0 de ln(1− x). ¿Cual es la suma S(x)?

Ejercicio 2 (2 Ptos.) Tras procesar una senal continua que verifica las condiciones de Dirichtlet, nuestrosoftware de analisis nos devuelve los siguientes coeficientes de su serie de Fourier:

a0 = 1, an = 0 , bn =1

n2π(n ≥ 1).

Contestar razonadamente las siguientes cuestiones:

1. ¿Converge uniformemente la serie de Fourier a la senal?

2. Calcular el valor de la senal en x = 0. ¿Puede presentarse el fenonemo de Gibbs en un entorno de dichopunto?

3. Decidir razonadamente cual de las siguientes graficas puede corresponder a la senal.

Ejercicio 3 (3 Ptos.) Se considera la EDO y′ − 6xy = 2xe3x2.

1. Encontrar la solucion particular que pasa por el punto (-1,0).

2. Obtener el polinomio de interpolacion de la solucion hallada en el apartado anterior para el soporte {−1, 0, 1},usando alguno de los metodos de Newton o el de Lagrange.


1. Resolver el siguiente PVI: {y′′ + 2y = 1 + x,y(0) = 1

2 , y′(0) = 12 .

2. Se considera la ecuacion diferencial

(1) x3y′′ − ln(1− x2)y′ − 2xy = 0.

a) Probar que x = 0 es un punto singular regular.

b) ¿Puede garantizarse la existencia de un sistema fundamental de soluciones de (1) desarrollada en seriede Frobenius en torno a x = 0?


Ejercicio 1Se considera la serie de potencias

S(x) =∞∑

n=1

x2n−1

n. (1)

1. Hallar el radio de convergencia.

Fijamos x ∈ IR y consideramos la serie de terminos positivos

∞∑n=1

|x|2n−1

n. (2)

Aplicamos el Criterio del Cociente:

lımn→∞

|x|2(n+1)−1

n+1

|x|2n−1

n

= lımn→∞

n

n + 1|x|2 = |x|2.

Si |x| < 1, entonces |x|2 < 1 y la serie (2) converge, luego (1) converge absolutamente.

Si |x| > 1, entonces |x|2 > 1 y la serie (2) diverge, luego (1) no converge.

Ası, el radio de convergencia es r = 1.

¿Define el desarrollo anterior una funcion analıtica en x = 0? Sı, pues la serie de potencias tiene radio deconvergencia r > 0 (r = 1).

2. Obtener el desarrollo en serie de potencias en x = 0 de ln(1− x).

Como1

1− x= 1 + x + x2 + . . . , |x| < 1,

tenemos que (para |x| < 1)

ln(1− x) =∫ x

0

−11− t

dt = −∫ x

0

(1 + t + t2 + t3 + . . .) dt = −(x +x2

2+

x3

3+ . . .) =⇒

=⇒ ln(1− x) = −x− x2

2− x3

3− . . . = −

∞∑n=1

xn

n.

Suma S(x):

S(x) =∞∑

n=1

x2n−1

n=

1x

∞∑n=1

(x2)n

n=

1x

(− ln(1− x2)) = − ln(1− x2)x

, valido si |x| < 1.

Ejercicio 2Denotamos por f(x) a la senal continua que verifica las condiciones de Dirichlet con coeficientes de Fourier:

a0 = 1; an = 0, bn =1

n2π, n ≥ 1.

1. ¿Converge uniformemente la serie de Fourier a la senal f(x)?

La serie de Fourier es

a0 +∞∑

n=1

(an cos(nwx) + bn sen(nwx)) = 1 +∞∑

n=1

1n2π

sen(nwx).

Puesto que ∣∣∣∣1

n2πsen(nwx)

∣∣∣∣ ≤1

n2π∀x ∈ IR, ∀n ≥ 1,

y∞∑

n=1

1n2π

es absolutamente convergente, entonces la serie de Fourier converge uniformemente en IR.

2. Valor de la senal en x = 0. Como la senal es continua y cumple las condiciones de Dirichlet, tenemos que

f(0) = SF (0) = 1 +∞∑

n=1

1n2π

sen(nw · 0) = 1

¿Puede presentarse el fenomeno de Gibbs en un entorno de x = 0? No, pues la senal es continua en IR.

3. ¿Cual de las graficas puede corresponder a la senal f(x)?∑∞

n=11

n2π sen(nwx) esta formada solo por senos, luego es impar. Si le sumamos a0 = 1, obtendremos unafuncion impar desplazada una unidad hacia arriba, por lo que escogemos la grafica central (la de la izquierdaes par y la de la derecha no es par ni impar).

Ejercicio 3Se considera la EDO

y′ − 6xy = 2xe2x2. (3)

1. Encontrar la solucion que pasa por el punto (-1,0).

En primer lugar hallamos la solucion general de la EDO homogenea asociada, que es

ΦH(x,C) = Ce3x2, C ∈ IR, ∀x ∈ IR.

Necesitamos ahora una solucion particular de la EDO completa. Usando el Metodo de Variacion de Constantes:

yp(x) = C(x)e3x2.

Sustituyendo en (3),

C ′(x)e3x2+ C(x)6xe3x2 − 6xC(x)e3x2

= 2xe3x2 ⇒ C ′(x) = 2x ⇒ C(x) = x2.

Luegoyp(x) = x2e3x2

, ∀x ∈ IR.

La solucion general de la EDO completa es

Φ(x,C) = x2e3x2+ Ce3x2

= (x2 + C)e3x2, C ∈ IR, ∀x ∈ IR.

Para hallar la solucion particular imponemos Φ(−1) = 0:

0 = (1 + C)e3 ⇒ C = −1,

por lo que la solucion esΦ(x) = (x2 − 1)e3x2

, ∀x ∈ IR.

2. Polinomio interpolador de la solucion para el soporte {−1, 0, 1}. Para los puntos del soporte Φ(x) toma losvalores {0,−1, 0}.Como el soporte es equidistante, con h = 1, podemos aplicar el Metodo de las Diferencias Finitas de Newton,

∆0yi ∆1yi ∆2yi

0−1

−1 21

0

obteniendo el polinomio

P (x) = y0 +∆1y0

1! · 11(x + 1) +

∆2y0

2! · 12(x + 1)x = 0− 1

1 · 1(x + 1) +2

2 · 1(x + 1)x = x2 − 1,

que es el mismo que obtenemos de aplicar el Metodo de Lagrange:

P (x) =(=0)

f(−1) L0(x) + f(0)L1(x)+(=0)

f(1) L2(x) = −1 · (x + 1)(x− 1)1 · (−1)

= (x + 1)(x− 1) = x2 − 1.

Ejercicio 4

1. Resolver el PVI {y′′ + 2y = 1 + x,y(0) = 1

2 , y′(0) = 12 .

Buscamos primero la solucion general de la ecuacion homogenea, y′′ + 2y = 0. Su ecuacion caracterıstica es

r2 + 2 = 0 ⇔ r2 = −2 ⇔ r = ±√

2i.

Luego un sistema fundamental de soluciones (reales) de la EDO homogenea es {e0·x cos(√

2x), e0·x sen(√

2x)} ={cos(

√2x), sen(

√2x)}.

ΦH(x, C1, C2) = C1 cos(√

2x) + C2 sen(√

2x) C1, C2 ∈ IR, ∀x ∈ IR.

Para encontrar una solucion particular de la EDO completa, y′′ + 2y = 1 + x, recurrimos al Metodo delos Coeficientes Indeterminados. Como el segundo termino de la ecuacion es un polinomio de primer grado,nuestra solucion particular sera de la forma

yp(x) = Ax + B, y′p(x) = A, y′′p (x) = 0.

Sustituyendo en la ecuacion completa

y′′p + 2yp = 1 + x ⇐⇒ 2(Ax + B) = 1 + x ⇐⇒{

2A = 12B = 1 ⇐⇒ A = B =

12.

Luego

yp(x) =12x +

12.

Ademas, si nos fijamos, yp(0) = 12 e y′p(0) = 1

2 , por lo que yp(x) es la solucion del PVI (si no nos damoscuenta sustituimos como siempre y comprobamos que C1 = C2 = 0).

2. Se considera la EDOx3y′′ − ln(1− x2)y′ − 2xy = 0. (4)

a) Probar que x = 0 es un punto singular regular.Reescribimos (4) en la forma

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, es decir, y′′ +− ln(1− x2)

x3y′ +

−2x2

y = 0,

con

p(x) = − ln(1−x2)x3

(ver Ej. 1)= x2+

(x2)2

2 +(x2)3

3 ...

x3 = 1x (1 + x2

2 + x4

3 . . .), no es analıtica en x = 0,q(x) = − 2

x2 , no es analıtica en x = 0

(ni siquiera son continuas en x = 0).Luego x = 0 es un punto singular.Ahora bien,

P (x) = xp(x) = 1 + x2

2 + x4

3 . . . |x| < 1,Q(x) = x2q(x) = −2 ∀x ∈ IR,

son analıticas en x = 0, por lo que x = 0 es un punto singular regular.A la vista de los desarrollos en serie de potencias de P (x) y Q(x), tenemos α0 = 1(= P (0)) y β0 = −2(=Q(0)), luego la ecuacion de Euler asociada a (4) es

y′′ +1x

y +−2x2

y = 0,

cuya ecuacion indicial (resultante de sustituir la solucion ϕ(x) = xr) es

r(r − 1) + r − 2 = 0 ⇐⇒ r2 − 2 = 0 ⇐⇒ r = ±√

2.

De este modo existe una solucion en serie de Frobenius

ϕ1(x) = x√

2∞∑

n=0

anxn,

y como r1 − r2 =√

2− (−√2) = 2√

2 no es un entero, podemos asegurar que

ϕ2(x) = x−√

2∞∑

n=0

bnxn

es solucion, de modo que {ϕ1, ϕ2} es un sistema fundamental de soluciones.

Ingenierıa Informatica – Calculo Infinitesimal Septiembre (6-9-2007)


Sean f y g las funciones definidas por

f(x) = sen(2x), g(x) = 2x cos(2x) para cada x ∈ R.

1. Estudiar el intervalo de convergencia puntual del desarrollo en serie de potencias en el origen,S(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·, de la funcion f + g.

¿Se puede garantizar que S ′(x) =∞∑

n=1

n an xn−1 para cada x ∈ R?

2. Se considera la funcion h, 2π-periodica e impar, definida por h(x) =1

2f ′(x) para x en (0, π)

y los coeficientes bn de su serie de Fourier, dados por

bn =2n

(n2 − 4)π(1 + (−1)n−1) para n ≥ 1.

a) Obtener la serie de Fourier de h y estudiar su convergencia puntual y uniforme en R.

b) Dibujar la funcion lımite puntual de la serie obtenida en el apartado anterior en elintervalo [−2π, 2π].

c) Resolver la ecuacion diferencial xy′ + y = h(x) en el intervalo (−π, 0).


1. Hallar un sistema fundamental de soluciones reales de ECH ≡ y′′+2ay′+by = 0, determinandopreviamente los valores a y b para que la funcion f(x) = sen(2x) sea solucion de ECH en R.

2. Obtener la solucion general de la ecuacion EC1 ≡ y′′ + 4y = cos(2x).

3. a) Resolver el PVI determinado por la ecuacion de Euler ECE ≡ x2y′′+2xy′ = 0 (para x > 0)y las condiciones iniciales y(1) = 0, y′(1) = −1.

b) Analizar el comportamiento de la solucion del PVI anterior cuando x → 0+ y cuandox → +∞.

4. Obtener la tabla que proporciona el metodo de Heun en el soporte {0, 1, 2} para la soluciondel PVI determinado por la ecuacion diferencial y′ = 9− 12x2 y la condicion inicial y(0) = 0.

5. Hallar el polinomio que interpola a la tabla del apartado anterior, utilizando el metodo deNewton o el de Lagrange.

Entreguen cada ejercicio por separado, sin doblar las esquinas.Escriban en cada folio en MAYUSCULAS y en este orden: “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE”.

Soluciones de los Ejercicios

Ejercicio 1

1. La funcion f + g es analıtica en R (por algebra y composicion de funciones analıticas en R).De este modo, f + g admite un unico desarrollo en serie de potencias en el origen,

S(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·

con intervalo de convergencia (puntual) (−∞, +∞) = R. Ademas, la convergencia de la seriees uniforme en cada intervalo compacto [α, β] ⊂ R.

La serie de potencias derivada S ′ tiene el mismo radio de convergencia que la original, por loque se puede garantizar que para cada x ∈ R

S ′(x) =∞∑

n=1

n an xn−1 = f ′(x) + g′(x).

2. a) La serie de Fourier de la funcion h viene dada por

h(x) ∼ a0 +∞∑

n=1

(an cos(nωx) + bn sen(nωx)),

con ω =2π

T=

2π

2π= 1 y an = 0 para cada n ≥ 0 (al ser h impar). Ası,

h(x) ∼∞∑

n=1

2n

(n2 − 4)π(1 + (−1)n−1) sen(nx).

Como h es 2π–periodica, acotada y tiene un numero finito de maximos y mınimos estrictosy un numero finito de discontinuidades en cada intervalo de amplitud 2π, el Teorema deDirichlet garantiza que la serie de Fourier de h converge puntualmente en R. Ademas,

∞∑n=1

2n

(n2 − 4)π(1 + (−1)n−1) sen(nx) = h(x) en cada x 6= ±kπ (puntos de continuidad)

y

∞∑n=1

2n

(n2 − 4)π(1 + (−1)n−1) sen(nx) = 0 en cada x = ±kπ (puntos de discontinuidad).

La serie no converge uniformemente en R al no ser continua la funcion lımite puntual.

b)La funcion lımite puntual de la serie obtenida en el apartado anterior en el intervalo [−2π, 2π]esta dibujada resaltando el intervalo (0, π) de la definicion explıcita, la parte definida por serimpar, senalando ademas los valores que define la serie de Fourier en los puntos de disconti-nuidad.

Figura 1: Grafica de y = h(x) en [−2π, 2π].

c) Como h(x) = − cos(2x) para x ∈ (−π, 0), resolvemos xy′ + y = − cos(2x) en (−π, 0).

xy′ + y = − cos(2x) ⇔ d

dx(xy) = − cos(2x)

⇒ (integrando respecto de x): xy = −∫

cos(2x) dx

⇒ xy = −1

2sen(2x) + C, C ∈ R ⇒ y =

1

x

(−1

2sen(2x) + C

)en (−π, 0), con C ∈ R.

Tambien puede resolverse por el Metodo de Variacion de la Constante o cualquier otro metodode resolucion de la EDO lineal de primer orden.

Ejercicio 2

1. Para que la funcion f(x) = sen(2x) sea solucion de ECH en R, ha de tenerse

f ′′(x) + 2af ′(x) + bf(x) = 0 ∀x ∈ R⇒ (b− 4) sen(2x) + 4a cos(2x) = 0 ∀x ∈ R ⇒ a = 0 y b = 4.

La ecuacion dada se escribe entonces ECH ≡ y′′+4y = 0. La ecuacion caracterıstica asociadaes λ2 +4 = 0, cuyas raıces son λ1 = 2i y λ2 = −2i. Ası, un sistema fundamental de solucionesreales de ECH es

{cos(2x), sen(2x)}.

2. La solucion general de EC1 ≡ y′′ + 4y = cos(2x) viene dada por

y(x) = yp(x) + yh(x),

donde yp es una solucion particular de EC1 e yh es la solucion general de la ecuacion homogeneaEC1H ≡ y′′ + 4y = 0 asociada a EC1. En virtud del apartado anterior,

yh(x) = C1 cos(2x) + C2 sen(2x) ∀x ∈ R (con C1, C2 ∈ R).

Por otro lado, como el segundo miembro de EC1 es u(x) = cos(2x) y 2i es raız de EC1H,buscamos yp de la forma

yp(x) = x(A cos(2x) + B sen(2x)),

con A, B ∈ R a determinar imponiendo que yp sea solucion EC1, es decir, y′′p + 4yp = cos(2x)en R. Obtenemos

4B cos(2x)− 4A sen(2x) = cos(2x), ∀x ∈ R,

de donde 4B = 1 y −4A = 0 ⇒ A = 0 y B = 1/4. Ası, la solucion general de EC1 es

y(x) = C1 cos(2x) +

(C2 +

1

4x

)sen(2x), ∀x ∈ R (con C1, C2 ∈ R).

3. a) Buscamos una solucion de la ecuacion de Euler ECE ≡ x2y′′ + 2xy′ = 0 (para x > 0) dela forma y1 = xr, con r ∈ R a determinar imponiendo que x2y′′1 + 2xy′1 = 0 (para x > 0), esdecir, r es raız de la ecuacion indicial

r(r − 1) + 2r = 0 ⇒ r(r + 1) = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = −1 (raıces reales distintas).

Ası, un sistema fundamental de soluciones de ECE es {x0, x−1} ≡{

1,1

x

}, de donde la solucion

general de ECE es

y(x) = C1 +C2

x, ∀x > 0 (con C1, C2 ∈ R).

Calculamos finalmente la solucion particular del PVI dado imponiendo las condiciones iniciales

y(1) = 0, y′(1) = −1 ⇒ C1 + C2 = 0, −C2 = −1 ⇒ C1 = −1, C2 = 1.

Luego la solucion del PVI dado es

y(x) = −1 +1

x, ∀x > 0.

b) Analizamos ahora el comportamiento de la solucion del PVI anterior cuando x → 0+ ycuando x → +∞.

lımx→0+

y(x) = lımx→0+

(−1 +

1

x

)= +∞, lım

x→+∞y(x) = lım

x→+∞

(−1 +

1

x

)= −1.

4. El PVI dado es {y′ = 9− 12x2

y(0) = 0

el cual posee (por el Teorema de Picard) una unica solucion que denotamos φ.

Pongamos F (x, y) = 9−12x2 para cada (x, y) ∈ R2. Aplicamos el metodo de Heun (el soportees {x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2} luego el paso es h = 1):

y0 = φ(x0) = 0;

para i = 0,

k1 = F (x0, y0) = F (0, 0) = 9,

k2 = F (x1, yE) = −3 (no es necesario calcular yE pues F solo depende de x),

y1 = y0 +k1 + k2

2h = 3;

para i = 1,

k1 = F (x1, y1) = F (1, y1) = −3,

k2 = F (x2, yE) = F (2, yE) = −39,

y2 = y1 +k1 + k2

2h = −18.

Obtenemos ası la tablaxi 0 1 2yi 0 3 −18

5. Existe un unico polinomio P2(x) que interpola a la tabla anterior. Utilizando el metodo deNewton, P2(x) viene dado por

P2(x) = y0 +∆y0

1! h1(x− x0) +

∆2y0

2! h2(x− x0)(x− x1),

donde h = 1, x0 = 0, x1 = 1 y ∆iy0 (i = 1, 2) se calculan mediante la siguiente tabla:

xi yi ∆yi ∆2yi

0 0 3 −241 3 −212 −18

Ası,

P2(x) = 3x− 24

2!x(x− 1) = −12x2 + 15x.

ejercicio 1 (3 ptos.)ma1.eii.us.es/material/ci_ii_ex_r.pdf · ¿ser´ıa una buena idea aproximar...

Documents