Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 1 / 20 CENTRO NACIONAL DE METROLOGA INCERTIDUMBRE EN LA CALIBRACIN DE PESAS POR EL MTODO ABBA Luis Omar Becerra SantiagoJorge Nava Martnez Nota: El presente ejercicio ha sido desarrollado bajo aspectos didcticos y lleva por esto algunas simplificaciones. Paraaplicarloauncasoespecfico,debentomarseencuentalosresultadosparticularesdeesamedicino calibracin,informesycertificadosdecalibracin,caractersticasdelosequipos,mtodos,condiciones ambientales, habilidades del personal y todos los elementos relevantes particulares de ese sistema de medicin. El Marqus, Qro., Mxico, Enero de 2004. Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 2 / 20 ESTE DOCUMENTO SE HA ELABORADO CON RECURSOS DEL GOBIERNO MEXICANO. SLO SE PERMITE SU REPRODUCCIN SIN FINES DE LUCRO Y HACIENDO REFERENCIA A LA FUENTE: Becerra L. O. y Nava J., Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA. CENAM, Enero 2004. Disponible en Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 3 / 20 INCERTIDUMBRE EN LA CALIBRACIN DE PESAS POR EL MTODO ABBA Luis Omar Becerra Santiago, Jorge Nava Martnez 2004-01-27 Resumen. El mtodo ABBA es el mas utilizado para obtener la diferencia de masa entre la pesa patrn y la pesa desconocida en la calibracin. Debido a la secuencia de calibracin este mtodo disminuye el efecto de la deriva a corto plazo que se presenta en los instrumentos para pesar adems deintroducir la correccin por la sensibilidad del instrumento para pesar en el momento de la calibracin.En el presente trabajo se muestra las fuentes de incertidumbre en la calibracin de pesas. El mtodo ABBA se emplea para obtener la diferencia entre la pesa desconociday la pesa patrn ( m ), sin embargo el modelo descrito para la medicin de masa es el mismo cuando se calibra por comparacin contra patrones sin importar el mtodo de comparacin (ABBA, AB, AB1B2.....BnA, etc) 1.Principio de Medicin El mtodo comnmente utilizado en la determinacin de la masa de un objeto es comparando la fuerza gravitacional que se ejerce sobre el plato receptor de carga de una balanza debida al objeto contralafuerzaejercidaporunapesadevalorconocido(patrndemasa)delmismovalor nominal,enelresultadodedichacomparacinintervienelafuerzadebidaalempujedelaireo fuerza de flotacin, (esta fuerza esta en funcin del volumen o de la densidad de dichos objetos y la densidad del aire), las fuerzas que actan sobre la pesa son, Fig. 1.- Fuerzas que actan en un cuerpo en equilibrio colocado sobre el plato de una balanza. F1 =Peso, F2 = Empuje del aire y F3= normal del plato sobre la pesa La ecuacin de equilibrio del cuerpo se escribe, ( ) 03 2 1= + F F F (1) Nota:ExistendosfuerzasadicionalesFT(fuerzadebidaalaconveccindelairecuandolapesanose encuentraenestabilidadtrmica con ste) y FM (fuerza debida a la interaccin magntica entre la pesa y la balanza), ambas se suponen de valores despreciables para este clculo. F1 F2 + F3F1 Peso F2Empuje del aire F3normal del plato sobre la pesa Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 4 / 20 donde: g m F =1es la fuerza gravitacional (peso), m es la masa del objeto, g es la aceleracin de la gravedad local, g V Fa = 2es la fuerza de empuje del aire (por el principio de Arqumedes) o flotacin, a es la densidad del aire, V es el volumen del objeto, 2 1 3F F F = es la fuerza normal ejercida por el plato de la balanza sobre la pesa yesigualaladiferenciaentrelafuerzaejercidaporelpesodel artefactomenoselempujequeexperimentaelcuerpodebidoala densidad del aire, c bk F L = =3es la lectura de la balanza y es igual a la fuerza F3 k esunaconstantedeproporcionalidad,aproximadaalagravedad por la calibracin del instrumento, c es la respuesta de la balanza en unidades de la balanza. Sustituyendo las expresiones para las fuerzas en la ecuacin 1 se obtiene, c ak Vg mg = (2a) que es lo mismo que b aL V m = (2b) ecuacin conocida como bsica de pesada. La determinacin de la masa se hace por comparacin contra una referencia que es una pesa de valor de masa conocido (pesa patrn). Sisecombinanlaecuacin2baplicadaapesadadelapesapatrnconlacorrespondientedela pesa desconocida se obtiene la ecuacin 3a, 2 1bmp bmx p a p x a xL L V m V m = + (3a) ( ) 2 1bmp bmx x p a p xL L V V m m = + (3b) Nota: Los subndices p y x representan la pesa patrn y la pesa desconocida respectivamente. Elmiembroderechodelaigualdadanterioresladiferenciaenlecturaquehayentrelapesa muestra respecto a la pesa patrn. Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 5 / 20 LacalibracindepesasclaseE2einferioresserealizaenvalordemasaconvencional,la recomendacin 33 de la OIML (Organisation Internationale de Mtrologie Lgale) define la masa convencional, ||.|

\| =||.|

\|accac cm m 1 1 (4) donde:cm es la masa convencional de la pesa (objeto), mes el valor de la masa de la pesa (objeto), ac eselvalorconvencionalladensidaddelaire1,2kg/m3acondicionesde referencia (20 C) c es la densidad de referencia 8 000 kg/m3, es la densidad de la pesa (objeto). Incluyendo en la ecuacin 3b el valor convencional de la densidad del aire obtenemos la siguiente ecuacin 5, que es la ecuacin de pesada en valor de masa convencional, ( )( ) m V V m mx p acpcx + = 2 , 1 (5) donde: m es la diferencia de masa entre la pesa desconocida y la patrn. Existenvariosmtodosdecomparacin,enestetrabajosedetallarelmtododesustitucin doble conocido tambin como mtodo de Borda, el cul es el mas utilizado para la calibracin de pesasdealtaexactitudascomoparaelajustedepesasmayoresa50kgqueseutilizanenla verificacin de instrumentos para pesar de alto alcance. Elmtodoconsisteencolocarunapesapatrn(A)sobreelplatodelabalanzadeigualvalor nominal que la pesa desconocida (B) con la finalidad de obtener una diferencia de lecturas entre ambas pesas. Las balanzas presenten una deriva a corto plazo (corrimiento del cero) cuyo efecto sedisminuyeconlasecuenciadecalibracinABBA,tabla1,ademsdepermitircolocaruna pesadesensibilidadquepermitedeterminarcomosunombreloindicalasensibilidaddela balanza en la parte de la escala ptica de la balanza que se esta trabajando en el momento de la calibracin, LECTURAPESA SOBRE EL PLATO DE LA BALANZA L1A (pesa patrn) L2B (pesa desconocida) L3B + ps (ms una pesa de sensibilidad) L4A + ps (ms una pesa de sensibilidad) Tabla 1.- Lecturas en el mtodo de doble sustitucin. Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 6 / 20 donde, Lison las lecturas de la balanza en divisiones Aes la pesa patrn Bes la pesa desconocida pses una pesa pequea normalmente de 10 a 20 veces la diferencia esperada entre la pesa patrn y la pesa muestra. Para determinar la diferencia de masa entre las pesas se utiliza la ecuacin 6, Sb L m = (6) donde la diferencia de lecturas ( L ) entre las pesas, obtenida en divisiones de la balanza, ( ) ( )((

+ = 24 3 1 2L L L LL(7) y la inversa de la sensibilidad del instrumento para pesar ( Sb ) se calcula de la siguiente forma, ||.|

\|||.|

\|=psacpsL LmSb 2 , 112 3(8) por lo tanto el modelo matemtico para la determinacin del valor de masa convencional de una pesa es, ( )( ) LSb V V m mx p acpcx + = 2 , 1 (9a) lacualpuedeserexpresadaenfuncindeladensidaddelosmaterialestomalaformadela ecuacin 9b, ||.|

\| +||.|

\| =xapa cpcxLSb mm2 , 112 , 11(9b) donde: mxc es la masa convencional de la pesa desconocida (objeto) en mg mpc es la masa convencional de la pesa patrn en mg a es la densidad del aire en el laboratorio en mg/cm3 1,2 es la densidad del aire convencional en mg/cm3

pVes el volumen de la pesa patrn en cm3 xV es el volumen de la pesa a desconocida (objeto) en cm3 Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 7 / 20 p es la densidad de la pesa patrn en mg/cm3 x es la densidad de la pesa desconocida en mg/cm3

L es el promedio de las lecturas de la balanza en divisiones div Sb es la sensibilidad inversa de la balanza en mg/div LadensidaddelairesecalculamediantelaecuacinpropuestaporelBIPM[2],enfuncinde temperaturadelaireenellaboratorio,lapresinbaromtricaylahumedadrelativa principalmente. 2.Identificacin de las fuentes de incertidumbre Las fuentes de incertidumbre de la calibracin de masa convencional son las siguientes, 2.1.Incertidumbre de la masa convencional de la pesa patrn La incertidumbre de la masa convencional del patrn se obtiene del certificado de calibracin. 2.2.Incertidumbre del volumen de la pesa patrn La incertidumbre del volumen del patrn se obtiene del certificado de calibracin. Se desprecia el efectodebidoalaexpansintrmicadelapesa,yaqueenlacalibracinambaspesassonde acero inoxidable. 2.3.Incertidumbre del volumen de la pesa desconocida Delcertificadodecalibracindelvolumenseobtienelaincertidumbreexpandida,delacualse calcula la incertidumbre estndar 2.4.Incertidumbre del promedio de las lecturas del instrumento para pesar (balanza) Lasfuentesdeincertidumbredelasdiferenciadelaslecturasdemasaentrelapesapatrnyla desconocida que se calcula de las lecturas de la balanza se obtiene de la desviacin estndar de la media de los ciclos que se realizan en la medicin, 2.5.Incertidumbre de la sensibilidad inversa Laincertidumbredelasensibilidadinversaseobtienedeladesviacinestndardelamediade losciclosqueserealizanenlamedicin.Se asumequelasfuentesdeincertidumbredebidasal valorconvencionaldelapesadesensibilidadyaladensidaddestanoafectan significativamente a la estimacin de la incertidumbre. 2.6.Incertidumbre de la densidad del aire Laincertidumbredeladensidaddelaireseestimamediantelacombinacinde5fuentesde incertidumbre, 2.6.1.La incertidumbre debida a la presin atmosfrica La incertidumbre de la presin atmosfrica se obtiene a su vez de tres componentes, i.La incertidumbre de calibracin del barmetro Laincertidumbredecalibracindelbarmetroseobtienedelcertificadodecalibracin expresada como incertidumbre expandida con un factor de cobertura ii.La incertidumbre debida a la resolucin del barmetro Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 8 / 20 La incertidumbre estndar de la resolucin del barmetro cuyo ltimo dgito significativo representa cambios de dB unidades. iii.La incertidumbre debida a la variacin de la presin atmosfrica durante la calibracin Laincertidumbredebidalavariacindelapresinatmosfricaseestimaasumiendoque varialinealmenteenelperiodoqueduralacalibracin,debidoaestaconsideracinse asume una distribucin de probabilidad triangular 2.6.2.Incertidumbre debida a la temperatura Al igual que en la incertidumbre debida a la presin atmosfricala incertidumbre debida a la temperatura del aire se obtiene de los siguientes componentes, i.Incertidumbre debida a la calibracin del termmetro Laincertidumbredecalibracindeltermmetroseobtienedelcertificadodecalibracin expresada como incertidumbre expandida con un factor de cobertura ii.Incertidumbre debida a la resolucin del instrumento, Laincertidumbreestndardelaresolucindeltermmetrocuyoltimodgito significativo representa cambios de dT unidades. iii.Incertidumbre debida a la variacin de temperatura durante la calibracin Laincertidumbredebidalavariacindelatemperaturaseestimaasumiendoquevaria linealmenteenelperiodoqueduralacalibracin,debidoaestaconsideracinseasume una distribucin de probabilidad triangular. 2.6.3.Incertidumbre debida a la humedad relativa del aire Demanerasimilarlaincertidumbredelahumedadrelativadelaireseestimadelos siguientes factores i.Incertidumbre de calibracin del higrmetro Laincertidumbredecalibracindelhigrmetroseobtienedelcertificadodecalibracin expresada como incertidumbre expandida con un factor de cobertura ii.Incertidumbre debida a la resolucin del higrmetro La incertidumbre estndar de la resolucin del higrmetro cuyo ltimo dgito significativo representa cambios de dH unidades. iii.Incertidumbre debida a la variacin de la humedad relativa del aire durante la calibracin, La incertidumbre debida la variacin de la humedad relativa se estima asumiendo que varia linealmente en el periodo que dura la calibracin, debido a esta consideracin se asume una distribucin de probabilidad triangular 2.6.4.Incertidumbre debida a la constante R de los gases ideales La incertidumbre de R se obtiene de tablas como una incertidumbre estndar [2] 2.6.5.Incertidumbredebidaalajustedelaecuacinparaladeterminacindela densidad del aire Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 9 / 20 Laincertidumbredelaecuacinseofrececomounaincertidumbreestndarexpresada como incertidumbre relativa [2]. 2.7.La resolucin de la balanza Lacomponentedebidaalaresolucinfinitadelabalanzaseobtieneasumiendountipode distribucin uniforme, Fig. 2.- Diagrama de rbol de las fuentes de incertidumbre en la calibracin de masa convencional Ajuste mcxaSb L Vp Vx Certificado mcp T P HR Certificado Resolucin Estabilidad Certificado Resolucin Estabilidad Certificado Resolucin Estabilidad R Tablas Ecuacin Mediciones Mediciones Resolucin de la balanza Certificado Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 10 / 20 3.Cuantificacin y Reduccin La cuantificacin y reduccin se desarrollar mediante un ejemplo numrico. Datos de la pesa patrn obtenidos del certificado de calibracin Masa convencional1 kg + 0,032 mg0,16 mg (k=2) Volumen 124,23 cm3 0,03 cm3 (k=2) k es el factor de cobertura declarado en el certificado de calibracin. La calibracin se har con una balanza comparadora con alcance mximo de 1 100 g y resolucin 0,01 mg Condiciones ambientales medidas, inicial y final t1 = 20,5 Ch1 = 45,3%p1 = 80 960 Pa t2 = 20,7 Ch2 = 46,0%p2 = 81 020 Pa La incertidumbre de calibracin de los sensores con un factor de cobertura de 2 son, ctu = 0,05 C, chu = 2% cpu = 20 Pa ElmejorestimadodeladensidaddelaireseobtieneutilizandolaecuacindelBIPM[2]de acuerdo al promedio de las variables ambientales, a = 0,955 7 mg/cm3 el volumen de la pesa desconocida obtenido del certificado de calibracin, Valor nominal1 kg Volumen127,32 cm3 0,03 cm3(k=2) Datos de la pesa de sensibilidad obtenidos del certificado de calibracin Masa convencional50 mg + 0,000 2 mg 0,001 4 mg (k=2) Densidad7 200 mg/cm3 Las lecturas de la calibracin se encuentran en la tabla 2, Ciclo/LecturaL1L2L3L4 L SbC10,00-1,0448,9950,01-1,0300,9994 C20,01-0,9949,0350,05-1,0100,9996 C30,06-0,9849,0350,03-1,0200,9998 C40,09-0,9349,0450,13-1,0551,0006 C50,11-0,9049,1050,16-1,0351,0000 C60,17-0,8349,1550,16-1,0051,0004 Promedio-1,025 80,99997 Correccin de la pesa muestra en valor de masa convencional cxm = -1,75 mg Tabla 2.- Tabla de lecturas en la calibracin de la pesa, Nota: En caso de utilizar la ecuacin 9a, se puede determinar directamente la correccino el valor de masa convencional, ya que el valor nominal de las pesas se elimina de ambos lados de la igualdad, a diferencia del uso de la ecuacin 9b. Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 11 / 20 3.1.Masa Convencional del Patrn El certificado de calibracin de la pesa patrn declara una incertidumbre de 0,16 mg con k=2, por lotantoparaobtenerlaincertidumbreestndarsedividelaincertidumbreexpandidaentreel factor de cobertura, 08 , 0216 , 0= = =kUumpmp mg 3.2.Volumen del patrn ELcertificadodecalibracindelpatrnindicaunaincertidumbredelvolumende0,03cm3con k=2 015 , 0203 , 0= = =kUuVpVpcm3 3.3.Volumen de la pesa muestra Elcertificadodecalibracindelvolumendelapesamuestradeclaraunaincertidumbredel volumen de 0,03 cm3 con un factor de cobertura igual a 2 015 , 0203 , 0= = =kUuVxVx cm3 3.4.Diferencias de lecturas Ladiferenciadelaslecturasseobtienedela desviacinestndardelamediadelosseisciclos, tabla 3 ( ) 0075 , 05161612= ==ii LL L udiv 3.5.Sensibilidad inversa de la balanza Laincertidumbredelasensibilidadinversaseobtienedelacombinacindeladesviacin estndar de la media de los ciclos, ( )4612110 9 , 15161= = =ii Sbb S Sb umg/div Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 12 / 20 3.6.Densidad del aire 3.6.1.Incertidumbre debida a la presin baromtrica i.Incertidumbre de calibracin del barmetro La incertidumbre estndar se obtiene al dividir la incertidumbre expandida entre el factor de cobertura 102201= = =kUuBp Pa ii.La incertidumbre debida a la resolucin del barmetro Laincertidumbreestndarseobtieneasumiendounadistribucindeprobabilidad rectangular 9 , 21210122= = =BpduPa iii.Laincertidumbredebidaalavariacindelapresinatmosfricadurantela calibracin La incertidumbre estndar se obtiene al asumir una distribucin de probabilidad triangular 3 , 122480960 81020243=== +p pup Pa La incertidumbre combinada debida a la presin baromtrica, 16232221= + + =p p p pu u u uPa 3.6.2.Incertidumbre de la temperatura del aire i.Incertidumbre de calibracin del termmetro 025 , 0205 , 01= = =kUuTt C ii.La incertidumbre debida a la resolucin del termmetro 003 , 01201 , 0122= = =TtduC Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 13 / 20 iii.La incertidumbre debida a la variacin de la temperatura del aire durante la calibracin 041 , 0245 , 20 7 , 20243=== +T Tut C La incertidumbre combinada debida a la temperatura del aire, 048 , 0232221= + + =t t t tu u u uC 3.6.3.Incertidumbre de la humedad relativa del aire i.Incertidumbre de calibracin del higrmetro 1221= = =kUuHh % ii.La incertidumbre debida a la resolucin del higrmetro 29 , 0121122= = =Hhdu% iii.Laincertidumbredebidaalavariacindelahumedadrelativadelaire durante la calibracin 14 , 0243 , 45 46243=== +H Huh % La incertidumbre combinada debida a la humedad relativa del aire, 1 , 1232221= + + =h h h hu u u u% 3.6.4.Constante R de los gases de los gases ideales 710 84 =Ru J/mol K 3.6.5.Incertidumbre del ajuste de la ecuacin ( )( )5 410 557 , 9 9557 , 0 10 1 = =ecumg/cm3 Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 14 / 20 Laincertidumbredeladensidaddelaireseobtienedelacombinacindelasfuentesde incertidumbre [2], ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0003 , 02 2 2 2 2= + + + + =ec ec R R h h t t p p au c u c u c u c u c u mg/cm3. Los coeficientes de sensibilidad tienen los siguientes valores, 510 1865 , 1 ==pcap mgcm-3Pa-1 00356678 , 0 ==tcat mgcm-3C-1 0108473 , 0 ==hcah mgcm-3 11494916 , 0 ==RcaR mgcm-3J-1molK 1 =ecc 3.7.Resolucin de la balanza 0029 , 01201 , 0= =dumg 4.Combinacin Los coeficientes de sensibilidad cx de cada fuente x en base de la ecuacin 5 son, 4.1.Masa convencional del patrn 1 ==pcxmmmccp 4.2.Volumen del patrn ( ) 2442541 , 0 2 , 1 = ==apcxVpVmc mg/cm3 4.3.Volumen de la pesa desconocida 2442541 , 0 2 , 1 = ==axcxVxVmc mg/cm3 Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 15 / 20 4.4.Promedio de las lecturas de la balanza 99997 , 0 = = =SbLmccxL mg/div 4.5.Sensibilidad inversa de la balanza 0258 , 1 = == LSbmccxSb div 4.6.Densidad del aire 09 , 3 = ==x pacxaV Vmc cm3 4.7.Resolucin de la balanza 1 =dc Lacontribucindecadafuentedeincertidumbreseobtienefinalmentemultiplicandosu respectivo factor de sensibilidad con su incertidumbre estndar:) ( ) (i i ix u c y u = . Suponiendoquetodaslasvariablessonindependienteslaincertidumbrecombinadadelamasa convencionaldelapesadesconocidaseobtieneporlasumacuadrticadelascontribuciones individuales: | | 081 , 0 ) ( 2= = ii imx u c ucx mg 5.Grados efectivos de libertad Los grados efectivos de libertad se estiman con la ecuacin de Welch-Satterthwaite [1] tomando en cuenta las componente de incertidumbre y sus grados de libertad correspondientes, VariableGrados de libertadFuente Masa del patrn100Certificado Volumen del patrn100Certificado Volumen de la pesa desconocida100Certificado Densidad del aire279Ecuacin W-S Presin atmosfrica207Ecuacin W-S Temperatura166Ecuacin W-S Humedad relativa120Ecuacin W-S Constante R 5090 % de confianza Ecuacin5090 % de confianza Diferencia de Lecturas5Mediciones (n-1) Sensibilidad inversa de la balanza5Mediciones (n-1) Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 16 / 20 Aplicando la ecuacin de Welch-Satterhwaite los grados efectivos de libertad de la calibracin de la masa convencional de la pesa desconocida son, 102444 4 44 4444=+ + + + + += =ddaaSbSbLLVxVxVpVpmpmpmxni ixiYefuuu u uu uuuu (30) 6.Incertidumbre expandida, informe del resultado La incertidumbre expandida se obtiene al multiplicar la incertidumbre estndar combinada por el factor de cobertura correspondiente para el nivel de confianza deseado. En este ejemplo el nivel de confianza deseado es del 95,45% por lo tanto le corresponde un factor de cobertura de 2,025 [1] 164 , 0 081 , 0 025 , 2 = = =cxcxm mu k Umg El resultado de la calibracin se expresa como Valor Nominal Correccin en masa convencional Incertidumbre (95,45% aprox.) Grados de libertad 1 kg-1,75 mg 0,17 mg102 7.Discusin Particularmente en este ejemplo numrico la fuente de incertidumbre que mayor impacto tiene en laestimacindelaincertidumbresedebealamasaconvencionaldelpatrn,situacinqueno necesariamentesepresentaenotrascalibracionesdepesas,yaquelacomponentedebidaal promediodelecturasyalasensibilidadinversapuedensermuchomayoresdependiendodela desviacin estndar de la balanza y la resolucin de sta. Encalibracindepesasesprcticacomnexpresarlaincertidumbreconunfactordecobertura k=2, sin embargo es conveniente que se declaren los grados efectivos de libertad de la calibracin 162 , 0 081 , 0 2 = = =mx mxu k Umg Sin embargo por el redondeo a 2 dgitos significativos la incertidumbre expandida toma el mismo valor en este caso particular Valor Nominal Correccin en masa convencional Incertidumbre (k=2) Grados de libertad 1 kg-1,75 mg 0,17 mg102 Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 17 / 20 La Recomendacin R-111 de la OIML establece que la incertidumbre expandida de la calibracin de la masa convencional con un factor de cobertura k=2 no debe ser mayor a un tercio del Error Mximo Tolerado de la clase de exactitud de la pesa, en este caso el EMT de la pesa es 1,5 mg, porlotantolaincertidumbredelacalibracinesadecuadalaclasedeexactituddelapesa desconocida, sin embargo la pesa no cumple con el error mximo tolerado para su clase ya que al sumar la correccin a la incertidumbre sobrepasa el EMT. Referencias [1]BIPM,IEC,IFCC,ISO,IUPAC,IUPAP,OIMLGuidetotheexpressionof Uncertainty on measurement Reimpresa en 1995. [2]CENAM, Becerra Luis O., Determinacin de la densidad de solidos y lquidos,[3]CENAM,DivisindeMasayDensidad,NotasdelCursoBsicodeMetrologade Masa. [4]OIML Recomendacin 111 Weghts of classes E1, E2, F1, F2, M1, M2, M3, 1994 [5]OIML Recomendacin 33, Conventional value of the result of eighing in air, 1979 Autor(es): M.enC.LuisOmarBecerra,CoordinadorCientficodelaDivisindeMasayDensidad, CENAM. lbecerra@cenam.mx, Tel (52) 4 2 11 05 00 ext 3602; Fax (52) 4 2 15 39 04 Ing.JorgeNava,ResponsabledelLaboratoriodePatronesdeReferencia,DivisindeMasay Densidad, CENAM. jnava@cenam.mx, Tel (52) 4 2 11 05 00 ext 3541; Fax (52) 4 2 15 39 04Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 18 / 20 Anexo A: Presupuesto de incertidumbre NMagnitud de entrada Xi

Fuente de incertidumbre Valor estimado xi Fuente de informacin Incertidumbre original Tipo, Distribucin Incertidumbre estndar u(xi) Grados de libertad Coeficiente de sensibilidad ci Contribucin ui(y) 1Correccin del Patrn mp +0,032 mg Certificado de calibracin 0,16 mgB normal, k=2 0,08 mg10018 x 10-2 mg 2Volumen del Patrn Vp 124,23 cm3 Certificado de calibracin 0,03 cm3 B normal, k=2 0,015 cm3 1000,244 2541 mg/cm3 3,7 x 10-3 mg 3Volumen de la pesa desconocida Vx 127,32 cm3 Certificado de calibracin 0,03 cm3 B normal, k=2 0,015 cm3 100-0,244 2541 mg/cm3 3,7 x 10-3 mg 4Diferencia de Lecturas L-1,025 8 divMediciones repetidas 0,007 5 divA Normal, k=1 0,007 5 div50,999 97 mg /div7,463 x 10-3 mg 5Sensibilidad inversa de la balanza Sb 0,999 97 mg/div Mediciones repetidas 1,9 x 10-4 mg/divA Normal, k=1 1,9 x 10-4 mg/div 5-1,025 8 div1,94 x 10-4 mg 6Densidad del aire a 0,955 7 mg/cm3 Combinacin de incertidumbres Anexo A-1 0,000 3 mg/cm3 B Normal, k=1 0,000 3 mg/cm3 2793,09 cm3 8,804 x 10-4 mg 7Resolucin de la balanza---Indicacin digital 0, 01 mgB normal, k=1 2,89 x 10-3 mg10012,89 x 10-3 mg Correccin de la masa convencional mcx -1,75 mg--------- ( ) mx ef --- 102 =cxmu0,081 mg Tabla 3.- Presupuesto de incertidumbre en la calibracin de la masa convenional Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 19 / 20 Anexo A-1: Presupuesto de incertidumbre para la densidad del aire NMagnitud de entrada Xi

Fuente de incertidumbre Valor estimado xi Fuente de informacin Incertidumbre original Tipo, Distribucin Incertidumbre estndar u(xi) Grados de libertad Coeficiente de sensibilidad Ci Contribucin ui(y) 1Presin atmosfrica80990 Pa Combinacin de incertidumbres 16 PaB normal, k=1 16 Pa2071,1865 x 10-5 mg cm-3 Pa-1 19,1 x 10-5 mg/cm3 1.1Calibracin del barmetro ---Certificado20 Pa B normal, k=2 10 Pa1001 10 Pa 1.2Resolucin del barmetro ---Resolucin digital 10 Pa B rectangular, k=1 2,9 Pa1001 2,9 Pa 1.3Estabilidad de la presin atm. ---Variacin de la presin 60 PaB Triangular, k=1 12,2 Pa1001 12,2 Pa 2Temperatura del aire 20,6Combinacin de incertidumbres 0,048 C B normal, k=1 0,048 C166-0,003 566 78 mg cm-3 C-1 17 x 10-5 mg/cm3 2.1Calibracin del Termmetro ---Certificado0,05 C B normal, k=2 0,025 C1001 0,025C 2.2Resolucin del termmetro ---Resolucin digital 0,01 C B rectangular, k=1 0,003 C1001 0,003 C 2.3Estabilidad de la temperatura ---Variacin de la temperatura 0,2 CB Triangular, k=1 0,041 C1001 0,041 C 3Humedad Relativa del aire 45,65 %Combinacin de incertidumbres 1,1 %B Normal, k=1 1,1 %1200,010 847 3 mg cm-3 11,4 x 10-5 mg/cm3 3.1Calibracin del higrmetro ---Certificado2 % B normal, k=2 1 %1001 1 % Contina... Rev2: Incertidumbre en la calibracin de pesas por el mtodo ABBA / CENAM / Enero 2004 20 / 20 ...continuacin 3.2Resolucin del higrmetro ---Resolucin digital 1 % B rectangular, k=1 0,3 %1001 0,3 % 3.3Estabilidad de la H.R.---Variacin de la H.R. 0,7 %B Triangular, k=1 0,14 %10010,14 % 4Constante R de los Gases 8,314 51 J mol-1 K-1 Tablas8,4 x 10-6 J mol-1 K-1

B Normal, k=1 8,4 x 10-6 J mol-1 K-1

50-0,114 949 16mg cm-3 J-1 mol K 9,7 x 10 -7 mg/cm3 5 Ajuste de la ecuacin ---Tablas1 x 10-4 B Relativa, normal k=1 9,557 x 10-5 mg/cm3 5019,557 x 10-5 mg/cm3 Densidad del aire 0,955 7 mg/cm3 --------- ( ) a ef279 =au 0,000 3 mg/cm3 Tabla 4.- Presupuesto de Incertidumbre en la determinacin de la densidad del aire