VARIABLES ALEATORIAS: Valor Esperado

En una clínica para tratamiento de cáncer de mama no se tiene manera de saber con exactitud cuántas mujeres van a ser atendidas en un día cualquiera, de modo que el número de mujeres del día siguiente es una variable aleatoria. Los registros diarios de la clínica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 mujeres al día (Variable Aleatoria Discreta).

La tabla 5-3 lista el número de veces que se ha alcanzado cada nivel

durante los últimos 100 días; proporciona una distribución de frecuencias. En la tabla 5-4 se ha utilizado el registro de la tabla 5-3 para asignar una probabilidad a cada número posible de mujeres y encontrar una distribución de la probabilidad, mediante la normalización (se dividió cada valor que aparece en la columna derecha de la tabla 5-3 entre 100, número total de días en que se tomaron los registros.

La tabla 5-5 ilustra el procedimiento de obtención del Valor Esperado para la clínica. El total de la tabla indica que el Valor Esperado de la Variable Aleatoria Discreta “Número de mujeres examinadas al día” es de 108.02, lo que significa que en un periodo largo, el número de mujeres examinadas diariamente deberá tener un promedio aproximado de 108.02; no significa que al otro día asistan 108.02 mujeres a la clínica.

VALOR ESPERADO EN LA TOMA DE DECISIONES

Tomemos el caso de un vendedor al mayoreo de frutas y legumbres que comercia con frambuesas. Este producto tiene una vida útil muy limitada: si no se vende el día que llega, ya no tiene valor. Una caja de frambuesas cuesta $20 y el vendedor recibe $50 por ella. Este no puede especificar el número de cajas que un cliente pedirá en cualquier día dado, pero su análisis de registros pasados ha producido la siguiente información:

La tabla 5-7 es una tabla de pérdidas condicionales. Cada valor en ella está condicionado a un número específico de cajas que se encuentran en

TABLA 5-3 EXAMINADAS

NÚMERO DE DÍAS QUE SE

OBSERVÓ ESTE

NIVEL

TABLA 5-4

EXAMINADAS (Valor de la

Variable Aleatoria)

PROBABILIDAD DE QUE LA VARIABLE

ALEATORIA TOME ESTE

VALOR

Número de mujeres

examinadas diariamente

durante 100 días

100 1

Distribución de

Probabilidad por número de mujeres examinadas

100 0.01101 2 101 0.02102 3 102 0.03103 5 103 0.05104 6 104 0.06105 7 105 0.07106 9 106 0.09107 10 107 0.10108 12 108 0.12109 11 109 0.11110 9 110 0.09111 8 111 0.08112 6 112 0.06113 5 113 0.05114 4 114 0.04115 2 115 0.02

100 1.00

TABLA 5-5

Valores posibles de la Variable Aleatoria

(1)

Probabilidad de que la Variable Aleatoria tome

estos valores (2)

(1) X (2)

Cálculo del Valor Esperado de la

Variable Aleatoria Discreta

“Número de mujeres

examinadas al día”

100 0.01 1.00101 0.02 2.02102 0.03 3.06103 0.05 5.15104 0.06 6.24105 0.07 7.35106 0.09 9.54107 0.10 10.70108 0.12 12.96109 0.11 11.99110 0.09 9.90111 0.08 8.88112 0.06 6.72113 0.05 5.65114 0.04 4.56115 0.02 2.30

Valor Esperado = 108.02

Tabla 5-6Venta

s Diarias

Número de días de Ventas

Probabilidad de Venta de cada

cantidad

Ventas durante 100 días

10 15 0.1511 20 0.2012 40 0.4013 25 0.25

100 1.00

existencia y a un número específico de solicitudes. Los valores de esta tabla incluyen no solamente las pérdidas por la fruta descompuesta, sino también las que se derivan de los ingresos perdidos cuando el vendedor no es capaz de suministrar un pedido. Cuando el número de cajas en existencia en un día cualquiera es igual al número de cajas solicitadas no ocurre ninguno de estos dos tipos de perdida. En tales casos, el vendedor vende todo lo que tiene almacenado y no sufre pérdidas. Esta situación se indica con el cero en negrita que aparece en la columna correspondiente. Las cifras que se encuentren por encima de un cero cualquiera representan las pérdidas sufridas al tener que tirar la fruta. Los valores que se encuentran debajo de los ceros en negrita representan las pérdidas de oportunidad derivadas de pedidos que no se pueden cumplir.

Tabla 5-7Posibles

peticiones de frambuesas

Opciones de existencias

10 11 12 13

Tabla de perdidas condicionales

10 $0 $20 $40 $6011 30 0 20 4012 60 30 0 2013 90 60 30 0

Tabla 5-8Posibles

SolicitudesPérdida

Condicional

Probabilidad de que se

tengan estas solicitudes

Pérdida Esperada

Pérdida esperada al

tener en existencia 10 cajas

10 $0 X 0.15 $0.0011 30 X 0.20 6.0012 60 X 0.40 24.0013 90 X 0.25 22.50

1.00 $52.50

Tabla 5-9Posibles

SolicitudesPérdida

Condicional

Probabilidad de que se

tengan estas solicitudes

Pérdida Esperada

Pérdida esperada al

tener en existencia 11

cajas

10 $20 X 0.15 $3.0011 0 X 0.20 012 30 X 0.40 12.0013 60 X 0.25 15.00

1.00 $52.50

Tabla 5-8Posibles

SolicitudesPerdida

Condicional

ProbabilidadDe que se

Tengan estassolicitudes

Perdida Esperada

PerdidaEsperada al

Tener en Existencia 13

cajas

10 $60 X 0.15 $9.0011 40 X 0.20 8.0012 20 X 0.40 8.0013 0 X 0.25 0.00

1.00 25.00

Tabla 5-8Posibles

SolicitudesPérdida

Condicional

Probabilidad de que se

tengan estas solicitudes

Pérdida Esperada

Pérdida esperada al

tener en existencia 10 cajas

10 $0 X 0.15 $0.0011 30 X 0.20 6.0012 60 X 0.40 24.0013 90 X 0.25 22.50

1.00 $52.50