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Ejemplos de Distribuciones

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procesos industriales area manufacturera

ejemplos de distribuciones de probabilildad

ana karen rivas betancourt

lic. edgar gerardo mata ortiz

estadistica

2 b

torreon caohuila a 18 de marzo del 2012

BERNOULLI1-.ejemplo

"lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz". se trata de un solo experimento, con dos resultados

posibles: el xito (p) se considerar sacar cruz. valdr 0,5. el fracaso (q) que saliera cara , que vale (1 - p) = 1 - 0,5 =

0,5.

la variable aleatoria x medir "nmero de cruces que salen en un lanzamiento", y slo existirn dos resultados posibles:

0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).por tanto, la v.a. x se distribuir como una bernoulli, ya que cumple

todos los requisitos.

2-.ejemplo:

"lanzar un dado y salir un 6". cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

estamos realizando un nico experimento (lanzar el dado una sola vez). se considera xito sacar un 6, por tanto, la

probabilidad segn el teorema de laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) ser 1/6.

se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

3-.ejemplo

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1 de 11 15/05/2015 12:28 a. m.

la probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que x sea igual a 1.

la probabilidad de que no obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que x sea igual a 0.

4-ejemplo.

hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las

mujeres ocupen los lugares pares. de cuntas maneras puede hacerse?

solucin

ya que la fila es de 9 individuos en total , hay 4 posiciones pares (que

deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los

5 hombres). por lo tanto, pueden colocarse de p4 p5 = 4! 5! = 2880

maneras.

5-.ejemplo

cuntos nmeros de 4 dgitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9

1. permitiendo repeticiones;

2. sin repeticiones;

3. si el ultimo dgito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?

solucin

asumamos que para que un nmero sea de 4 dgitos su primer dgito debe ser distinto de cero.

1. puesto que debe formarse un numero de 4 dgitos, el primero de

estos no puede ser cero. por lo tanto, hay nueve posibilidades para

el primer dgito y diez para cada uno de los tres dgitos restantes, obtenindose un total de 9 103 = 9000 nmeros

posibles.

2. al igual que en el apartado anterior, el primer dgito no puede ser cero. como adems no se permiten repeticiones, hay

nueve posibilidades

el segundo dgito: el cero y las ocho no escogidas para el primer dgito. por tanto, se pueden formar 92 8 7 = 4536

nmeros.

3. fijamos el ultimo dgito y, como no puede haber repeticiones, se obtiene un total de 9 8 7 1 = 504 nmeros.

EJEMPLOS DE BINOMIAL1-.ejemplo

la variable que representa el nmero del tema seleccionado para el examen sigue una distribucin uniforme con

parmetros a=1 y b=50. la persona aprueba el examen si le toca un tema del 1 al 35; por tanto, la probabilidad que se

pide es la cola a la izquierda de 35. para obtener los resultados en epidat 3.1 basta con proporcionarle los parmetros

de la distribucin, y seleccionar calcular probabilidades para el punto 35.

resultados con epidat 3.1

clculo de probabilidades. distribuciones discretas

uniforme discreta (a,b)

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Ejemplos de DistribucionesA continuacin presento en ste archivo Word

varios ejemplos de las distribuciones comnmente

usadas que realic durante sta unidad: Bernoulli,

Binomial, Gamma, Normal, Poisson y T de

student. Saludos. Ejercicios ... Leer ms

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2 de 11 15/05/2015 12:28 a. m.

b : mximo 50

punto k 35

probabilidad pr[x=k] 0,0200

cola izquierda pr[xk] 0,3000

media 25,5000

varianza 208,2500

la persona tiene una probabilidad de aprobar igual a 0,7.

2-.ejemplo

un ejemplo de variable binomial puede ser el nmero de pacientes ingresados en una unidad hospitalaria que

desarrollan una infeccin nosocomial.

un caso particular se tiene cuando n=1, que da lugar a la distribucin de bernoulli.

valores:

x: 0, 1, 2, ..., n

parmetros:

n: nmero de pruebas, n > 0 entero

p: probabilidad de xito, 0 < p < 1

3-.ejemplo

en un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde declarando verdadero o falso, el

alumno sabe que, histricamente, en el 75% de los casos la respuesta correcta es verdadero y decide responder al

examen tirando dos monedas, pone falso si ambas monedas muestran una cara y verdadero si al menos hay una

cruz. se desea saber qu probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos. hay que proporcionarle a epidat 3.1 los

parmetros de la distribucin y el punto k a partir del cual se calcular la probabilidad. en este caso n=20, p=0,75 y el

punto k=14.



binomial (n,p)

n: nmero de pruebas 20

p: probabilidad de xito 0,7500

punto k 14



media 15,0000

varianza 3,7500

la probabilidad de que el alumno tenga ms de 14 aciertos se sita en 0,61.

4-.ejemplo

un examen consta de 10 preguntas a las cuales hay que responder si o no. suponiendo que als personas que se les

aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y , en consecuencia , contestan al azar, hallar :

a) probabilidad de obtener cinco aciertos:

5-.ejemplo

calcula la probabilidad de que una familia que tiene 3 hijos , tre de ellos sean nios.

p(x=3)=4*(0,5)3*(0,5)1*=0.25

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3 de 11 15/05/2015 12:28 a. m.

OTRAS DISTRIBUCIONERS1-.jemplo

se tiene una poblacin finita con n elementos, de los cuales r tienen una determinada caracterstica que se llama xito

6 (diabetes, obesidad, hbito de fumar, etc.). el nmero de xitos en una muestra aleatoria de tamao n, extrada sin

reemplazo de la poblacin, es una variable aleatoria con distribucin hipergeomtrica de parmetros n, r y n. cuando el

tamao de la poblacin es grande, los muestreos con y sin reemplazo son equivalentes, por lo que la distribucin

hipergeomtrica se aproxima en tal caso a la binomial.

valores: x: max{0,n-(n-r)}, ..., min{r,n}, donde max{0,n-(n-r)} indica el valor mximo entre 0 y n-

(n-r) y min{r,n} indica el valor mnimo entre r y n.

parmetros:

n: tamao de la poblacin, n>0 entero

r: nmero de xitos en la poblacin, r 0 entero

n: nmero de pruebas, n>0 entero

2-.ejemplo

se sabe que el 7% de los tiles quirrgicos en un lote de 100 no cumplen ciertas especificaciones de calidad. tomada

una muestra al azar de 10 unidades sin reemplazo, interesa conocer la probabilidad de que no ms de dos sean

defectuosos. el nmero de tiles defectuosos en el lote es r=0,07 100=7. para un tamao muestral de

n=10, la probabilidad buscada es p{nmero de defectuosos 2}.



hipergeomtrica (n,r,n)

n : tamao de la poblacin 100

r : nmero xitos en la pob. 7

n : nmero de pruebas 10

punto k 2



media 0,7000

varianza 0,5918

la probabilidad de que a lo sumo haya dos tiles defectuosos en el lote es aproximadamente

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4 de 11 15/05/2015 12:28 a. m.

POISSON1-.ejemplo

el nmero de enfermos que solicitan atencin de urgencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una

media de 43,2 pacientes. se sabe que el servicio se colapsar si el nmero de enfermos excede de 50. cul es la

probabilidad de que se colapse el servicio de urgencias del hospital? representar la funcin de densidad de probabilidad.

para calcular la probabilidad pedida y, adems, representar la funcin de densidad de probabilidad hay que marcar el

cuadro situado en la parte inferior derecha de la pantalla:

obtener las funciones de distribucin y densidad.

11



poisson (lambda)

lambda : media 43,2000

punto k 50



media 43,2000

varianza 43,2000

la probabilidad de que el servicio colapse est cerca de 0,13.

2-.ejemplo

en una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos

hablen ruso.

n=20

p=0.15

x=3

lambda=3

p(x=3)=(e-3)(38)/3!=22404118

3-.ejemplo

se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defectos en la vista si tomamos una muestra de 50 personas

al azar calcular la probabilidad de que 10 de ellas tengan defectos en la vista?

n=50

p=0.2

lambda=10 p(x=10)=(e-10)(1010))/10!=0.12511

4-.ejemplo

el 8% de los registros contables de una empresa presentan algn problema, si un auditor toma una muestra de 40

registros calcular la probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

n=40

p=0.08

labmda=3.2

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5 de 11 15/05/2015 12:28 a. m.

5-.ejemplo

la produccin de televisores de samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma una muestra o un

lote de 85 televisores obtener la probabilidad de que 4 de los televisores con defecto.

n=85

p=0.02

labmda=1.7

x=4

p(x=5)=(e-1.7)(1.74)/4!=0.0635756

NORMAL1-.ejemplo

se supone que el nivel de colesterol de los enfermos de un hospital sigue una distribucin normal con una media de

179,1 mg/dl y una desviacin estndar de 28,2 mg/dl.

1. calcule el porcentaje de enfermos con un nivel de colesterol inferior a 169 mg/dl.

14

1. resultados con epidat 3.1

clculo de probabilidades. distribuciones continuas

normal (mu,sigma)

mu : media 179,1000

sigma : desviacin estndar 28,2000

punto x 169,0000

cola izquierda pr[x=k] 0,6399

dos colas 1-pr[|x|

3-.ejemplo

3. represente la funcin de densidad.

en este caso, se tendr que ejecutar epidat 3.1 dos veces: en el primer caso para calcular una probabilidad, en el

segundo caso el dato de entrada es una probabilidad, concretamente la cola de la derecha, lo que permitir obtener el

punto. en ambas ejecuciones se ofrece, de manera opcional, la funcin de densidad del nivel de colesterol.

a partir de 215,24 mg/dl se encuentran los valores de colesterol del 10% de los enfermos

que tienen los valores ms altos.

15

4-.ejemplo

el tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye segn una

distribucin normal, con media de 5 das y desviacin tpica 1 da. calcular el porcentaje de empleados que realizan la

tarea en un tiempo inferior a 7 das.

t1 = - y t2 = (7 -5)/1 = 2

en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un tiempo inferior a 7 das.). esta probabilidad es

0,9772. por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 das es del 97,7%

5-.ejemplo

la vida media de una lmpara, segn el fabricante, es de 68 meses, con una desviacin tpica de 5. se supone que se

distribuye segn una distribucin normal en un lote de 10.000 lmparas. a) cuntas lmparas superarn

previsiblemente los 75 meses?. b) cuntos lmparas se estropearn antes de 60 meses?

a)t = (75 -68)/5 = 1,4

p (x > 75) = (t > 1,4) = 1 - p (t 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808

luego, el 8,08% de las lmparas (808 lmparas) superarn los 75 meses

b)t = (60 -68)/5 = -1,6

p (x 60) = (t -1,6) = p (t> 1,6) = 1 - p (t 1,6) = 0,0548

luego, el 5,48% del lote (548 lmparas) no llegarn probablemente a durar 60 meses

GAMMA1-.ejemplo

ejemplo en una consulta mdica tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo

paciente).

campo de variacin:

0 < x <

parmetros:

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7 de 11 15/05/2015 12:28 a. m.

2-.ejemplo

el nmero de pacientes que llegan a la consulta de un mdico sigue una distribucin de poisson de media 3 pacientes

por hora. calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.

debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente sigue una

distribucin gamma (6, 2).

resultados con epidat 3.1 clculo de probabilidades. distribuciones continuas

gamma (a,p)

a : escala 6,0000

p : forma 2,0000

punto x 1,0000


media 0,3333

varianza 0,0556

moda 0,1667

la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente

es 0,98.

3-.ejemplo

suponiendo que el tiempo de supervivencia, en aos, de pacientes que son sometidos a una cierta intervencin

quirrgica en un hospital sigue una distribucin gamma con parmetros

a=0,81 y p=7,81, calclese:

1. el tiempo medio de supervivencia.

2. los aos a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.



gamma (a,p)

a : escala 0,8100

p : forma 7,8100


punto x 14,2429

media 9,6420

varianza 11,9037

moda 8,4074

el tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 aos.

4-.ejemplo

suponga que cierta pieza metlica se romper despus de sufrir dos ciclos de esfuerzo. si estos ciclos ocurren de

manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. obtener la probabilidad de que el intervalo

de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

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8 de 11 15/05/2015 12:28 a. m.

b. a ms de dos desviaciones por encima de la media.

solucin:

x: lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas.

x=numero de ciclos/100 horas

y=numero de ciclos/hora

x(2,02)

p(x>+2)=p(x0

2-.ejemplo

la distribucin t de student se aproxima a la normal a medida que aumentan los grados de libertad.

1. calcular, para una distribucin n(0,1), el punto que deja a la derecha una cola de probabilidad 0,05.



normal (mu,sigma)

mu : media 0,0000

sigma : desviacin estndar 1,0000

cola izquierda pr[x

520 521 511 513 510

513 522 500 521 495

496 488 500 502 512

510 510 475 505 521

506 503 407 493 500

punto x 1,6449

media 0,0000

varianza 1,0000

en el segundo apartado se ejecutar dos veces epidat 3.1: la primera vez con una distribucin t de student con 10

grados de libertad y la segunda vez con 500 grados de libertad.

3-.ejemplo

calcular, para una distribucin t de student, la probabilidad de que la variable tome un valor a la derecha de ese punto.

tomar como grados de libertad sucesivamente n= 10 y n= 500. para el primer apartado hay que seleccionar en la lista de

distribuciones la normal de parmetros mu=0 y sigma=1.



t de student (n)

n : grados de libertad 10

punto x 1,6449


dos colas 1-pr[|x|

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(a) para un cliente cualquiera decimos que ha sucedido el suceso:

m_ cuando el cliente es moroso,

a _ cuando el cliente se ha atrasado en un pago mensual.

los conjuntos de sucesos {m, m} y {a, a} son dos sistemas completos de sucesos. a continuacin reescribimos

los datos que nos proporciona el enunciado en trminos de probabilidades.

p(m) = 0.05,

p(a| m) = 0.2, p(a|m) = 1.

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