distribuciones discretas de...

Dr. Víctor Aguirre Torres, ITAM. Guión 6.

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Distribuciones Discretas de

Probabilidad


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Contenido

1. Variables Aleatorias.2. Distribuciones Discretas de

Probabilidad.3. Valor Esperado y Varianza.

Propiedades.4. Distribución de Probabilidad Binomial.


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1. Variables Aleatorias (VA)

Asocia un número al resultado de un experimento. Puede ser un conteo, una medición, un valor, una ganancia monetaria, etc.


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1. Variables Aleatorias Discretas

VA Discretas: solo toma los valores 0,1,2,...,etc.Ejemplos:

ExperimentoVariable aleatoria

Valores posibles de la variable aleatoria

Inspección de una muestra de 50 radios

Número de radios

defectuosos 0, 1, 2,..., 49, 50

Llenado de un formato

Número de errores en el

llenado 0, 1, 2,...

Intento de venta de un bien raíz

Resultado del intento 0, 1

Funcionamiemto de una agencia de autos

un díaNúmero de autos

vendidos 0, 1, 2,...


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1. Variables Aleatorias Contínuas.

Conceptualmente podrían tomar TODOS los valores sobre un intervalo o conjunto de intervalos. (exactitud del aparato de medición)Ejemplos:

ExperimentoVariable aleatoria

Valores posibles de la variable aleatoria

Fabricación de barras de jabón

Humedad de la pasta de jabón. 0<x<100%

Manufactura de un detergente

Concentración de ingrediente activo 0<x<30%

Llenar un botella de cerveza. (max

365 ml)Volumen de

líquido 0<x<365 ml


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2. Distribuciones Discretas de Probabilidad.

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta: describe las probabilidades de cada uno de los valores posibles de la variable aleatoria.Función de probabilidad: define numéricamente la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria. Se denota por f(x).


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Ejemplo: DiCarlo Motors, NY.x=número de autos vendidos al día.Método frecuentista para asignar probabilidaes, ventas de 300 días.

x f(x)0 0.181 0.392 0.243 0.144 0.045 0.01

Para x=0:En 54 días de los 300no se vendió un solo auto.


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Algunos ejemplos de uso de f(x).La cantidad más probable de autos que se venda en un día es de uno.Si A={Se venden 3 o más autos}, entonces

P(A)=f(3)+f(4)+f(5)=0.19


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Condiciones requeridas para cualquier función de probabilidad discreta.

Representación gráfica.

∑ =≥ 1)x(f0)x(f y

01

23

45

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

f(x)

Autos vendidos por día

Distribución Discreta de Probabilidad


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3. Valor Esperado.

Valor esperado de una variable aleatoria: medida de tendencia central de la variable.También coincide con el valor promedio de la VA si se observara una gran cantidad de veces. Valor promedio a la larga.Fórmula de cálculo: ∑== )x(xf)x(E µ


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3. Valor Esperado.

Ejemplo: Di Carlo Motors

Se espera que en 30 días de operaciones se vendan alrededor de 30(1.5)=45 autos.

x f(x) x*f(x)0 0.18 01 0.39 0.392 0.24 0.483 0.14 0.424 0.04 0.165 0.01 0.05

E(x)= 1.5 ∑== )x(xf)x(E µ


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2. Distribuciones Discretas de Probabilidad

Representación gráfica valor esperado.

01

23

45

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

f(x)

Autos vendidos por día

Distribución Discreta de Probabilidad

E(x)=1.5


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3. Varianza.

Varianza de una variable aleatoria: Es una medida de dispersión o variabilidad alrededor del valor esperado.Resume la variabilidad de los valores de la variable aleatoria.Fórmula de cálculo:

222 )x(E)x(f)x()x(Var µµσ −=−== ∑


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3. Varianza.

Ejemplo: Di Carlo Motors.

Var(x)=1.25 autos2

x x-µ (x-µ)^2 f(x) f(x)*(x-µ)^20 -1.5 2.25 0.18 0.4051 -0.5 0.25 0.39 0.09752 0.5 0.25 0.24 0.063 1.5 2.25 0.14 0.3154 2.5 6.25 0.04 0.255 3.5 12.25 0.01 0.1225µ= 1.5 Var(x)= 1.25


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3. Desviación Estándar.

Es una medida de variabilidad que tiene las mismas unidades que la variable aleatoria.

Ejemplo Di Carlo Motors: σ=1.118 autos

2σσ =


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3. Propiedades del Valor Esperado y la Varianza.

Si a es una constante entonces:)x(aE)x(axf)ax(E == ∑

)x(Ea)x(xf)x(af

)x(f)xa()xa(E

+=+=

=+=+

∑∑∑

)x(Vara)ax(Var 2=

)x(Var)xa(Var =+


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3. Ejemplo, utilidad esperada.

Juego con dados. Jugar cuesta 100 pesos. Si la suma sale 7 se le pagan 200 pesos. ¿Vale la pena jugar?

==7 sale si 200

7 sale no si pagan me que lo

0x

==

=200 xsi 1/60 xsi 6/5

)x(f

...33.33)6/1(200)6/5(0)x(E =+=


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3. Ejemplo, utilidad esperada.

Lo que importa es la utilidad.

Mi utilidad esperada.

La mayoría de los juegos de azar tienen una utilidad esperada positiva para la casa. En promedio ¡la casa gana!

100xu −=

-66.66...100-33.33... ==−=−= 100)x(E)100x(E)u(E


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4. Distribución de Prob. Binomial

Experimento binomial.1. n intentos o ensayos idénticos.2. Solo dos resultados en cada ensayo:

éxito ó no éxito.3. Probabilidad de éxito en cada ensayo = p4. Los ensayos son eventos independientes

x= Número de éxitos en n ensayos


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4. Distribución de Prob. Binomial

x= Número de éxitos en n ensayos.x=Variable aleatoria binomial.Valores posibles de x

0,1,2,...,nSu distribución de probabilidad se llama distribución de probabilidad binomial.


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4. Distribución de Prob Binomial

Experimento: lanzar 5 veces una moneda

Éxito = cae águila x=número de águilasM=32 puntos muestrales n=5 p=0.5

Lanzamientopunto

muestral 1 2 3 4 5 x1 águila águila águila águila águila 52 águila águila águila águila sol 43 águila águila águila sol águila 44 águila águila sol águila águila 4... ...30 sol sol sol águila sol 131 sol sol sol sol águila 132 sol sol sol sol sol 0


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4. Distribución de Prob. BinomialExperimento: 3 clientes entran a una tienda de ropa

Éxito = compra x = número clientes que compranM=8 puntos muestrales n=3 p = 0.3

Clientepunto

muestral 1 2 3 x Probabilidad1 compra compra compra 3 ppp2 compra compra no compra 2 pp(1-p)3 compra no compra compra 2 p(1-p)p4 compra no compra no compra 1 p(1-p)(1-p)5 no compra compra compra 2 (1-p)pp6 no compra compra no compra 1 (1-p)p(1-p)7 no compra no compra compra 1 (1-p)(1-p)p8 no compra no compra no compra 0 (1-p)(1-p)(1-p)

x 0 1 2 3f(x) (1-p)(1-p)(1-p) 3p(1-p)(1-p) 3pp(1-p) ppp (en general)f(x) 0.343 0.441 0.189 0.027 (en particular)


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4. Función de Probabilidad Binomial

Para x=0,1,2,...,n.f(x)=probabilidad de x éxitos en nintentos.p=probabilidad de éxito en cada intento

xnxnx )p1(pC)x(f −−=

en xn de nesCombinacio =nxC


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Cálculo con Excel:=DISTR.BINOM(0,3,0.3,0)

xnpAcumulado (0=no, 1=si)


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Cálculo con TABLA 5

n x 0.1 ... 0.3 ... 0.5

3 0 0.729 ... 0.343 ... 0.1251 0.243 ... 0.441 ... 0.3752 0.027 ... 0.189 ... 0.3753 0.001 ... 0.027 ... 0.125

4 0 0.6561 ... 0.2401 ... 0.06251 0.2916 ... 0.4116 ... 0.252 0.0486 ... 0.2646 ... 0.3753 0.0036 ... 0.0756 ... 0.254 0.0001 ... 0.0081 ... 0.0625


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4. Gráficos Función de Probabilidad Binomial

3.0p3n

==

0 2 4 6 8

10 12 14

00.05

0.1

0.150.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

f(x)

x

Función de Probabilidad Binomial

0 2 4 6 8

10 12 14

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

f(x)

x

Función de Probabilidad Binomial

5.0p5n

==


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4. Distribución de Prob Binomial

Valor Esperado, Varianza y Desviación Estándar.Fórmulas particulares:

(se obtienen también de la fórmula con sumatoria)

)p1(np

)p1(np)x(Varnp)x(E

−=

−==

σ


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4. Distribución de Prob Binomial.

Ejemplo, Valor Esperado, Varianza y Desviación Estándar.

n 3p 0.3

x f(x) x*f(x) x-µ (x-µ)^2 f(x)*(x-µ)^20 0.343 0 -0.9 0.81 0.277831 0.441 0.441 0.1 0.01 0.004412 0.189 0.378 1.1 1.21 0.228693 0.027 0.081 2.1 4.41 0.11907

µ= 0.9 Var(x)= 0.63


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4. Distribución de Prob Binomial. Ejemplo.

40% de las personas que viajan por negocios llevan laptop o celular (USA Today, 12 sep 2000). En una muestra aleatoria de 15 personas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tres tengan laptop o celular?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que doce no tengan laptop ni celular?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres tengan laptop o celular?

d) ¿Cuál es el número esperado y desviación estándar de personas que tengan laptop o celular?


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4. Distribución de Prob Binomial. Ejemplo.a) p = 0.4, n =15; f(3)=0.0634 de TABLA 5b) p’ = 0.6, n =15; f(12)=0.0634 con Excelc) A={por lo menos 3 tienen laptop o celular},

p = 0.4, n =15; P(A)=1-P(AC)= 1-[f(0)+f(1)+f(2)]= 1-[0.0005+0.0047+0.0219] de TABLA 5

d) E(x)=15(0.4)=6; Var(x)=15(0.4)(0.6)=3.6; σ=1.8973


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Problemas recomendados Capítulo 5.1. Variables Aleatorias: 3, 6.2. Distribuciones Discretas de

Probabilidad: 8, 10.3. Valor Esperado y Varianza: 17, 21.4. Distribución de Probabilidad Binomial:

28, 30.

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