B

A

B

AB

B

A

B

A

AB

BA

B

A

Ejemplo: En Salta se venden sólo los periódicos A y B. Cuando una persona ha comprado el periódico A, hay una probabilidad del 90% que la siguiente compra también sea el A. Si una persona compró el periódico B, hay una probabilidad del 80% que su próxima compra sea el B. Si actualmente, una persona es compradora del periódico B, ¿cuál es la probabilidad que compre el A pasadas tres compras a partir de ahora?.

Solución: El sistema presenta dos estados,

s1: acaba de comprar el periódico As2: acaba de comprar el periódico B

P =|0 . 90 0. 100 . 20 0 . 80

|

n=0 n=1 n=2 n=3

P3=P*P2=(0 .9 0 .10 .2 0 .8 )(0 . 83 0 . 17

0 . 34 0 . 66 )=(0 .781 0 .2190. 438 0 . 562 )

O sea que la probabilidad de que una persona compre el periódico A en la tercera

compra, si en la primera compró B, es 43,8%, PBA(3 )=0 . 438

Tema 1

La eficiencia operativa de una máquina que produce partes tiende a deteriorarse en forma aleatoria a partir de una condición de (1) ajustadamente adecuadamente (2) ligeramente desajustada y a partir de esa condición a (3) totalmente desajustada. La condición de la máquina puede evaluarse sólo al final de cada período de una hora, con base en el número de partes defectuosas producidas durante la hora anterior. Si la maquina estaba ajustada en forma desajustada, la tasa es de 5%, y si estaba totalmente desajustada, la tasa es de 20%. La experiencia anterior indica que si la máquina resulta estar ajustada adecuadamente al final de un periodo de 1 hora, la probabilidad es 0.1 de que al final del siguiente período de una hora resulte estar ligeramente desajustada. Si está ligeramente desajustada, la probabilidad de que la máquina resulte estar totalmente desajustada al final de la siguiente hora es de 0.25. Una vez que este totalmente desajustada, permanecerá en esa condición. Cada hora, la máquina produce 100 partes. Al inicio de cualquier hora, la máquina puede desajustarse adecuadamente mediante una operación que dura 12 minutos y reduce asi la producción de la maquina durante la siguiente hora es un 20 %. Las partes defectuosas tienen que volverse a trabajar empleando una máquina distinta con un costo de $2.50 por parte. Cada parte producida de una ganancia neta (ganancia bruta menos costo del material) de $2.

E1=ajustadaE2=ligeramente desajustadaE3=totalmente desajustadaE4= defectuosaE5=No defectuosa

E1 E2 E3 E4 E5E1 0.7 0.1 0.09 0.01 0.1E2 0 0.5 0.25 0.05 0.20E3 0 0 0.3 0.2 0.5

E4 0 0 0 1 0E5 0 0 0 0 1

Estados: % Defectuosas U. DefectuosasAjustada E1 0.01 1ligeramente desajustada E2 0.05 5Desajustada E3 0.2 20

Matriz de transicion: E1 E2 E3 E1 0.9 0.1 0 E2 0 0.75 0.25 E3 0 0 1 estado abs.

La matriz de transición se forma del análisis de las probabilidades que existen en el proceso de pasar de un estado a otro.   Es decir que durante los periodos de funcionamiento y chequeo puede variar el estado de la maquina por su uso

E1 E2 E3 E4 E5E1 0.7 0.1 0.09 0.01 0.1E2 0 0.5 0.25 0.05 0.20E3 0 0 0.3 0.2 0.5E4 0 0 0 1 0E5 0 0 0 0 1

Donde   P= I 0A N

E3 E1 E2E3 1 0 0E1 0 0.9 0.1E2 0.25 0 0.75

Absorbentes x Absorbentes 1 00 1

I-N= 0.1 -0.1Pasos para absorcion (I-N)^-1 0 0.25

(I-N)^-1 E1 E2E1 10 4E2 0 4

Pasos para ser absorbido 14

E1 E2 E3E1 0.9 0.1 0E2 0 0.75 0.25E3 0 0 1

Formando un sistema de ecuaciones con la matriz de transición y la ecuación X+Y+Z=1, se procede a desarrollar la solución para encontrar la matriz de probabilidades de estado estable.

X Y Z 0.9 0 1 X0.1 0.75 0 Y0 0.25 0 Z

Probabilidades encontradas X 0.67Y 0.27Z 0.07

a) Determínese la matriz de transición para este proceso, si la máquina se ajusta siempre que se encuentre que la tasa de partes defectuosas producidas durante la hora anterior es de 20%.Según el enunciado, se disminuye un 20% la producción cada vez que se alcanza el estado de absorción, por lo que podemos indicar que el ciclo de la maquina se repite cada 13 pasos y en el paso 14 llegamos a la absorción restando ese 20% de la tasa de rendimiento normal.

% rendimiento Unidades/hr ProducciónPasos en periodos normales 13 100 100 1300Paso en absorción 1 80 100 80Total producido 1380Unidades promedio por ciclo 98.5714286

En general, las unidades en promedio por ciclo es de 99 unidades y con esto podemos calcular las unidades en promedio que se producen por ciclo en cada estado de   la maquina para determinar las unidades promedio a largo plazo.

unidades/hr % defectuosos Probabilidad Total Ajustada E1 99 0.99 0.67 65.34 66Ligeramente desajustada E2 99 0.95 0.27 25.08 25Desajustada E3 99 0.8 0.07 5.28 6Total 97

En total se están produciendo un promedio de 97 unidades por ciclo.

b) Determínese las probabilidades de estado estable para este modo de operación y determínese el número total promedio a largo plazo de partes y el número promedio a largo plazo de partes defectuosas producidas por hora. ¿Cuál es el beneficio bruto promedio a largo plazo por hora (ganancia neta menos el costo de volver a trabajar las partes defectuosas)?

Para calcular los beneficios a largo plazo se procede a multiplicar las ganancias por la cantidad de unidades producidas restándole el número de unidades producidas sin defecto y esta diferencia se multiplica por el costo que implica el proceso adicional de corregir una pieza defectuosa.

Costo o ganancia TotalUnidades producidas 97 2 194Defectuosas 2 0.5 1Total 193

Para determinar el ajuste ideal a la maquina tenemos que eliminar el estado de maquina desajustada y procedemos a calcular nuevamente los pasos para cambiar de estado.Nueva matriz de transición E1 E2E1 0.9 0.1

E2 0 1

Total de pasos para la absorción 10 Por calculadora

Al igual que en el inciso anterior, se determinan los pasos antes de llegar a la absorción que para este caso son 9 y calculamos la producción promedio.

% rendimiento Unidades/hr ProducciónPasos en periodos normales 9 100 100 900Paso en absorción 1 80 100 80Total producido 980

Unidades promedio por ciclo 98

c) Determínese la política óptima para ajustas la máquina.

Nuevamente calculamos la matriz de probabilidades y procedemos a calcular las ganancias brutas utilizando esta política de ajuste en la maquina.

E1 E2E1 0.9 0.1E2 1 0

X 0.90909091Y 0.09090909

unidades/hr % defectuosos Probabilidad Total Ajustada E1 98 0.99 0.91 88.2 88Ligeramente desajustada E2 98 0.95 0.09 8.46363636 9Total 97

Costo o ganancia TotalUnidades producidas 97 2 194Defectosas 1 0.5 0.5Total 193.5

Con esto concluimos que la mejor política para ajuste de maquina es realizar el ajuste antes de que la maquina este totalmente desajustada.