ejemplo 1 de equilibrio - ocw

Indice del capítulo 1

Por métodos de equilibrio

Ejemplos de cálculo

Ejemplo 1


Ejemplo 1


Ejemplo 1

Caso 1 Caso 2 Caso 3

Caso 4 Caso 5

Cálculo de los diagramas de momentos por métodos de equilibrio y representación aproximada de las deformadas de las estructuras del dibujo


Ejemplo 1

Caso 1 Caso 2 Caso 3

Caso 4 Caso 5

Cálculo de los diagramas de momentos por métodos de equilibrio y representación aproximada de las deformadas de las estructuras del dibujo

En todos los casos se interpretará la estructura como tres nudos y dos tramos



Ejemplo 1




Ejemplo 1

Caso 1



Caso 1


Caso 1

Calcular el diagrama de momentos y la deformada aproximada de la estructura siguiente

mKg

120q

ConstanteEI

m 3

m 3



Ejemplo 1

Caso 1




Ejemplo 1

Caso 1

Por el método de Maney




2º Obtener las ecuaciones de momentos de Maney

1º Plantear una deformada genérica de la estructura (una suma de deformadas)

3º Calcular las ecuaciones de equilibrio de los nudos

4º Resolver las incónitas del sistema de ecuaciones anterior

5º Obtener los momentos hiperestáticos

6º Representar el diagrama de momentos y la deformada


Deformada por desplazamiento










A

CB

No existe









A

CB








Deformada por giro del nudo B


No existe


A

CB









A

C

B


No existe


A

CB








A

C

B



No existe


Expresión general de la ecuación:MNENMMN M)

L

3Δθ(2θ

L

EI2M








A

CB

A

C

B



No existe









A

CB

A

C

B

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M

Expresión general de la ecuación:



No existe

45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC









A

CB

A

C

B

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M




No existe

45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC


A

B

C








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC


A

B

C








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC


A

B

C

BAM

BCM








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M

0MB


45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC


A

B

C

BAM

BCM

0MM BCBA








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M

0MB


45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC


A

B

C

BAM

BCM








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M

012

qL)(2θ

3

EI2)(2θ

3

EI2 2

BB

0MM BCBA

0MB


45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC


A

B

C

BAM

BCM








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M

012

qL)(2θ

3

EI2)(2θ

3

EI2 2

BB

EI

33,75

8EI

270θB

0MM BCBA

0MB


45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC


A

B

C

BAM

BCM








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M

012

qL)(2θ

3

EI2)(2θ

3

EI2 2

BB

EI

33,75

8EI

270θB

45)(2θ3

EI2M

22,50)(θ3

EI2M

BBA

BAB

5,11212

qL)(θ

3

EI2M

4512

qL)(2θ

3

EI2M

2

BCB

2

BBC

0MM BCBA

0MB










Momentos hiperestáticos totales

45M

22,5M

BA

AB

5,112M

45M

CB

BC









A

CB

Diagrama de momentos


45M

22,5M

BA

AB

5,112M

45M

CB

BC

45

5,112

5,22

(Kg.m)









A

CB

A

C

B


Deformada

EI

33,75θB


45M

22,5M

BA

AB

5,112M

45M

CB

BC

45

5,112

5,22

(Kg.m)









A

CB

A

C

B


Deformada

EI

33,75θB

Repetir la secuencia


45M

22,5M

BA

AB

5,112M

45M

CB

BC

45

5,112

5,22

(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1





Ejemplo 1

Caso 1

Por el método de ManeyPor el método de Cross



Por el método de Cross



2º Calcular los momentos producidos por una deformada genérica

5º Obtener los momentos hiperestáticos totales


1º Calcular las rigideces relativas de los nudos







A

B C

3m

3m







EI3

4

3

EI4

L

EI4BC Barra

EI3

4

3

EI4

L

EI4AB Barra

BC

AB

5,0

Rigideces relativas en el nudo B:

A

B C

3m

3m

5,0







EI3

4

3

EI4

L

EI4BC Barra

EI3

4

3

EI4

L

EI4AB Barra

BC

AB

5,0

A

B C

3m

3m

5,0







1º Calcular las rigideces relativas de los nudosMomentos por desplazamientos







La estructura es indesplazable

A

CB

Momentos por desplazamientos








A

CB


Momentos por la carga repartida








A

CB



A

B C


A

B C



A

CB








A

B C







A

CB




9012

qLMM

2

BCCB

A

B C







A

CB




9012

qLMM

2

BCCB

0,50

0,50

A

B C







A

CB




9012

qLMM

2

BCCB

0,50

0,50

0

-90

+90

0

90 90

A

B C







A

CB




9012

qLMM

2

BCCB

90 90 +4500

00

0

0+22,5

00

+45

0 0 0 0

0 0 0 +22,5

0

0,50

0,50

0

-90

+90

0A

B C



A

CB








+4500

00

+45

0

0+22,5

00

+22,5

+45

0 0 0 0 -45

+112,5

0 0 0 +22,5

0

0,50

0,50

0

-90

+90

0

9012

qLMM

2

BCCB

90 90

A

B C



A

CB








Momentos totales en los nudos:












5,112M

45M

45M

5,22M

CB

BC

BA

AB



5,112M

45M

45M

5,22M

CB

BC

BA

AB

A

CB






1º Calcular las rigideces relativas de los nudosMomentos totales en los nudos:


5,112M

45M

45M

5,22M

CB

BC

BA

AB

A

CB

45

5,112

5,22







(Kg.m)


5,112M

45M

45M

5,22M

CB

BC

BA

AB

A

CB

A

C

B

Deformada







45

5,112

5,22

(Kg.m)


5,112M

45M

45M

5,22M

CB

BC

BA

AB

A

CB

A

C

B








Deformada


45

5,112

5,22

(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1





Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2




Caso 2


Caso 2


mKg

120q

ConstanteEI

m 3

m 3



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2











Deformada por una hipótesis de desplazamiento



A

B

C











A

B

C








Deformada por los giros de los nudos




A

B

C









A

CB



A

B

C








A

CB





A

B

C








A

CB


L

3Δθ(2θ

L

EI2M





A

B

C








A

CB

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M






B

C

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M



B

C

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB


B

C

BAM

BCM

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB


B

C

BAM

BCM0MM BCBA

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB


B

C

BAM

BCM0MM BCBA

012

qL)θ(2θ

3

EI2)(2θ

3

EI2 2

CBB

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB


B

C

BAM

BCM0MM BCBA

2EI

270θ4θ CB

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB


B

C

BAM

BCM0MM BCBA

2EI

270θ4θ CB

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

0MC


B

C0MM BCBA BCM

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

0MC

2EI

270θ4θ CB


B

C0MM BCBA BCM

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

0MCB

0MC

2EI

270θ4θ CB


B

C0MM BCBA

0MCB

012

qL)θ(2θ

3

EI2 2

BC

BCM

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

0MC

2EI

270θ4θ CB


B

C0MM BCBA

0MCB

EI

135θ2θ BC

BCM

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

0MC

2EI

270θ4θ CB


B

C

EI

135θ2θ BC

BCM

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


2EI

270θ4θ CB


B

C

EI

135θ2θ BC

BCM

A








12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

0)(θ3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


2EI

270θ4θ CB

EI

57,8571θB

EI

96,429θC


B

C

EI

135θ2θ BC

BCM

A








2EI

270θ4θ CB

EI

57,8571θB

EI

96,429θC

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

14,7712

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

77,14)(2θ3

EI2M

38,570)(θ3

EI2M

BBA

BAB


L

3Δθ(2θ

L

EI2M









0M

143,77M

143,77M

571,38M

CB

BC

BA

AB











0M

143,77M

143,77M

571,38M

CB

BC

BA

AB

A

C

B

143,77

571,38


(Kg.m)










Deformada

0M

143,77M

143,77M

571,38M

CB

BC

BA

AB

A

C

B

571,38

A

C

A

B

EI

57,8571θB

EI

96,429θC


143,77

(Kg.m)










Deformada

0M

143,77M

143,77M

571,38M

CB

BC

BA

AB

A

C

B

571,38

A

C

A

B

EI

57,8571θB

EI

96,429θC



143,77

(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2










A

B

C

3m

3m








428570,

571430,

A

B

C

3m

3m

EIL

EI3BC Barra

EI3

4

3

EI4

L

EI4AB Barra

BC

AB







A

B

C

3m

3m


428570,

571430,

EIL

EI3BC Barra

EI3

4

3

EI4

L

EI4AB Barra

BC

AB




A

CB







A

B

C



A

CB








A

B

C

13512

qL

2

3MM

2

BCCB



A

CB








A

B

C

13512

qL

2

3MM

2

BCCB

0,42857

0,57143

0



A

CB








0,42857

0,57143

0

13512

qL

2

3MM

2

BCCB

135

A

B

C

0

-135

0

0



A

CB








0

0

0

0 00

0

+77,143

0

0

0

+57,8

57

0 0-135

0

0

+38,571

0

0 0 0 0

0

0

A

B

C0,42857

0,57143

13512

qL

2

3MM

2

BCCB

135



A

CB








A

B

C0

+77,143

+38,571

-77,1

42

13512

qL

2

3MM

2

BCCB

1350

0

0

0 00

0

+77,143

0

0

0

+57,8

57

0 0-135

0

0

+38,571

0

0 0 0 0

0

0

0,42857

0,57143



A

CB








0M

143,77M

143,77M

571,38M

CB

BC

BA

AB


Momentos totales






0M

143,77M

143,77M

571,38M

CB

BC

BA

AB

A

C

B0


Momentos totales






143,77

571,38

(Kg.m)


0M

143,77M

143,77M

571,38M

CB

BC

BA

AB

A

C

B0

A

C0

A

B


Momentos totales






143,77

571,38

(Kg.m)


Deformada

0M

143,77M

143,77M

571,38M

CB

BC

BA

AB

A

C

B0

A

C0

A

B


Momentos totales






143,77

571,38

(Kg.m)


Deformada

0M

143,77M

143,77M

571,38M

CB

BC

BA

AB

A

C

B

143,77

571,38

0

A

C0

A

B


Momentos totales







(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2






Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2



Caso 3



Caso 3


Caso 3


mKg

120q

ConstanteEI

m 3

m 3



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2



Caso 3




Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2




Caso 3







4º Resolver las incógnitas del sistema de ecuaciones anterior











Deformada por el desplazamiento


A

B

C










A

B

C








Deformada por el desplazamientoDeformada por los giros de los nudos


A

B

C









A

CB


A

B

C









A

CB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M



A

B

C









A

CB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


B

C

A

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


B

C

A

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB

0MB


A

B

C

BAM

BCM








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB


A

B

C

BAM

BCM0MM BCBA








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB


A

B

C

BAM

BCM








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

012

qL)θ(2θ

3

EI2)(2θ

3

EI2 2

CBB

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB


A

B

C

BAM

BCM








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB


A

B

C

BAM

BCM








MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB

0MC









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

A

B

CBCM

0MC

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

A

B

CBCM

0MC

012

qL)θ(2θ

3

EI2 2

BC

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

A

B

CBCM

0MC

EI

135θ2θ BC

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

A

B

CBCM

0MC

EI

135θ2θ BC

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB

0FH









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

0MC

EI

135θ2θ BC

0FH

A

C

B

IV

IIV

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

0MC

EI

135θ2θ BC

0FH

A

C

B

IV

IIV

0VI

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

0MC

EI

135θ2θ BC

0FH

A

C

B

IV

IIV

0)(2θ3

EI2)(θ

3

EI2BB

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


0MB

2EI

270θ4θ CB

0MC

EI

135θ2θ BC

0FH

A

C

B

IV

IIV

023θB

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


2EI

270θ4θ CB

EI

135θ2θ BC

A

C

B

IV

IIV

023θB

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


2EI

270θ4θ CB

EI

135θ2θ BC

A

C

B

IV

IIV

023θB

EI

101,35θB

EI

13,118θC

EI

151,875Δ

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









2EI

270θ4θ CB

EI

135θ2θ BC

A

C

B

IV

IIV

023θB

EI

101,35θB

EI

13,118θC

EI

151,875Δ

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB









2EI

270θ4θ CB

EI

135θ2θ BC

A

C

B

IV

IIV

023θB

EI

101,35θB

EI

13,118θC

EI

151,875Δ

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

6833,3312

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

6833,33)(2θ3

EI2M

6833,33)3

3(θ

3

EI2M

BBA

BAB

MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M










6833,33M

6833,33M

BA

AB

0M

6833,33M

CB

BC


A

B

C33,68









6833,33M

6833,33M

BA

AB

0M

6833,33M

CB

BC

(Kg.m)


A

B

C33,68

A

B

C


Deformada








6833,33M

6833,33M

BA

AB

0M

6833,33M

CB

BC

EI

101,35θB EI

13,118θC

EI

151,875Δ

(Kg.m)


A

B

C33,68

A

B

C








6833,33M

6833,33M

BA

AB

0M

6833,33M

CB

BC

EI

101,35θB EI

13,118θC

EI

151,875Δ



Deformada

(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2




Caso 3








A

B

C

3m

3m







A

B

C

3m

3m


428570,

571430,

EIL

EI3BC Barra

EI3

4

3

EI4

L

EI4AB Barra

BC

AB






1º Calcular las rigideces relativas de los nudosMomentos por una hipótesis de

desplazamiento


A

B

C






desplazamiento


A

B

C0,42857

0,57143






desplazamiento


0,42857

0,57143

A

B

C

α100L

EIΔ6MM

2BAAB

100α

-100

0

-100

0






desplazamiento


0

0

0,42857

0,57143

+57,1429

0

0

0

0+28,5714

00

+42,8

571

0 0 0 0

0 0 0 0

-100

0

0-100

0

0

A

B

C

100α






desplazamiento

α100L

EIΔ6MM

2BAAB


0

0

0,42857

0,57143

+57,1429

0

0

0

0+28,5714

00

+42,8

571

0 0 0 0

0 0 0 0

-100

0

0-100

0

0

0

-42,857

+42,8

571

A

B

C

100α-71,429






desplazamiento

α100L

EIΔ6MM

2BAAB







A

B

C

100α

0

0

0,42857

0,57143

+57,1429

0

0

0

0+28,5714

00

+42,8

571

0 0 0 0

0 0 0 0

-100

0

0-100

0

0

0

-42,857

+42,8

571

-71,429

Momentos por una hipótesis de desplazamiento

α100L

EIΔ6MM

2BAAB



A

B

C







A

B

C

100α

0

0

0,42857

0,57143

+57,1429

0

0

0

0+28,5714

00

+42,8

571

0 0 0 0

0 0 0 0

-100

0

0-100

0

0

0

-42,857

+42,8

571

-71,429


α100L

EIΔ6MM

2BAAB


A

B

C

13512

qL

2

3MM

2

BCCB







A

B

C

100α

0

0

0,42857

0,57143

+57,1429

0

0

0

0+28,5714

00

+42,8

571

0 0 0 0

0 0 0 0

-100

0

0-100

0

0

0

-42,857

+42,8

571

-71,429


α100L

EIΔ6MM

2BAAB


A

B

C

0,42857

0,57143

0







A

B

C

100α

0

0

0,42857

0,57143

+57,1429

0

0

0

0+28,5714

00

+42,8

571

0 0 0 0

0 0 0 0

-100

0

0-100

0

0

0

-42,857

+42,8

571

-71,429


α100L

EIΔ6MM

2BAAB

13512

qL

2

3MM

2

BCCB


0,42857

0,57143

0

135

A

B

C

0

-135

0

0







A

B

C

100α

0

0

0,42857

0,57143

+57,1429

0

0

0

0+28,5714

00

+42,8

571

0 0 0 0

0 0 0 0

-100

0

0-100

0

0

0

-42,857

+42,8

571

-71,429


α100L

EIΔ6MM

2BAAB

13512

qL

2

3MM

2

BCCB


A

B

C

0

0

0,42857

0,57143

+77,143

0

0

0

0+38,571

00

+57,8

57

0 0 0 0

0 0 0 0

0

-135

0

0

0

0135







A

B

C

100α

0

0

0,42857

0,57143

+57,1429

0

0

0

0+28,5714

00

+42,8

571

0 0 0 0

0 0 0 0

-100

0

0-100

0

0

0

-42,857

+42,8

571

-71,429


α100L

EIΔ6MM

2BAAB

13512

qL

2

3MM

2

BCCB


0

0

0,42857

0,57143

+77,143

0

0

0

0+38,571

00

+57,8

57

0 0 0 0

0 0 0 0

0

-135

0

0

0

0

A

B

C0

+77,143

+38,571

-77,1

42

135







A

B

C

100α

0

0

0,42857

0,57143

+57,1429

0

0

0

0+28,5714

00

+42,8

571

0 0 0 0

0 0 0 0

-100

0

0-100

0

0

0

-42,857

+42,8

571

-71,429


α100L

EIΔ6MM

2BAAB

13512

qL

2

3MM

2

BCCB


0M

42,857α77,143M

42,857α77,143M

71,429α38,571M

CB

BC

BA

AB






Momentos totales


0M

42,857α77,143M

42,857α77,143M

71,429α38,571M

CB

BC

BA

AB






Momentos totales

Ecuación de equilibrio por el desplazamiento


A

B

C0M

42,857α77,143M

42,857α77,143M

71,429α38,571M

CB

BC

BA

AB






Momentos totales



A

B

C0M

42,857α77,143M

42,857α77,143M

71,429α38,571M

CB

BC

BA

AB






Momentos totales


0FH


A

B

C

ABV

0M

42,857α77,143M

42,857α77,143M

71,429α38,571M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

0FH


A

B

C

ABV

0M

42,857α77,143M

42,857α77,143M

71,429α38,571M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

03

MM BAAB

0FH


A

B

C

ABV

0M

42,857α77,143M

42,857α77,143M

71,429α38,571M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

042,857α77,14371,429α38,571

03

MM BAAB

0FH


A

B

C

ABV

0M

42,857α77,143M

42,857α77,143M

71,429α38,571M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

03

MM BAAB

0FH

1,0124949α


A

B

C

ABVEcuación de equilibrio por el desplazamiento






Momentos totales

03

MM BAAB

0FH

1,0124949α

0M

7505,3342,857α77,143M

7505,3342,857α77,143M

7505,3371,429α38,571M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

0M

7505,3342,857α77,143M

7505,3342,857α77,143M

7505,3371,429α38,571M

CB

BC

BA

AB

A

B

C

33,7505


(Kg.m)







Momentos totales

0M

7505,3342,857α77,143M

7505,3342,857α77,143M

7505,3371,429α38,571M

CB

BC

BA

AB

A

B

C

33,7505

A

B

C


Deformada

(Kg.m)







Momentos totales

0M

7505,3342,857α77,143M

7505,3342,857α77,143M

7505,3371,429α38,571M

CB

BC

BA

AB

A

B

C

33,7505

A

B

C


Deformada


(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2




Caso 3




Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2




Caso 4

Caso 3



Caso 4


Caso 4


mKg

120q

ConstanteEI

m 3

m 3



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2




Caso 4

Caso 3




Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2





Caso 4

Caso 3



A

B

C


















A

BC









Deformada por los giros de los nudosDeformada por una hipótesis de

desplazamiento

A

BC










A

CB


A

BC










MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


A

CB


A

BC










MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


A

CB

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB


A

BC









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

B

C

A

B









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

B

C

A

B

0MB









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

0MB

A

B

BAM

BCM C









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

0MM BCBA

0MB

A

B

BAM

BCM C









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

012

qL)θ(2θ

3

EI2)(2θ

3

EI2 2

CBB

0MM BCBA

0MB

A

B

BAM

BCM C









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

A

B

BAM

BCM C









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

A

B

BAM

BCM C

0MC









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

0MC

A

BBCM C









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

0MC

0MCB

A

BBCM C









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

0MC

0MCB

012

qL)θ(2θ

3

EI2 2

BC

A

BBCM C









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

0MC

0MCB

EI

135θ2θ BC

A

BBCM C









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

0MC

0MCB

EI

135θ2θ BC

A

BBCM C

0FV









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

0MC

0MCB

EI

135θ2θ BC

0FV

A

BBCM C

0180VH









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

0MC

0MCB

EI

135θ2θ BC

0FV

540)θ(2θ3

EI2)θ(2θ

3

EI2BCCB

A

BBCM C

0180VH









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

0MM BCBA

0MB

0MC

0MCB

EI

135θ2θ BC

0FV

EI

8102Δ3θ3θ CB

A

BBCM C

0180VH









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

EI

135θ2θ BC

EI

8102Δ3θ3θ CB

A

BBCM C









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


12

qL)θ(2θ

3

EI2M

12

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

)(2θ3

EI2M

)(θ3

EI2M

BBA

BAB

2EI

270θ4θ CB

EI

135θ2θ BC

EI

8102Δ3θ3θ CB

A

BBCM C

EI

405θB

EI

945θC

EI

2430Δ









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M


2EI

270θ4θ CB

EI

135θ2θ BC

EI

8102Δ3θ3θ CB

A

BBCM C

EI

405θB

EI

945θC

EI

2430Δ

012

qL)θ(2θ

3

EI2M

54012

qL)θ(2θ

3

EI2M

2

BCCB

2

CBBC

540)(2θ3

EI2M

270)(θ3

EI2M

BBA

BAB









540M

270M

BA

AB

0M

540M

CB

BC

Momentos hiperestáticos









A

B

540


C

270

540M

270M

BA

AB

0M

540M

CB

BC


(Kg.m)









A

B

540


C

A

B

270

C

Deformada

540M

270M

BA

AB

0M

540M

CB

BC

EI

405θB

EI

945θC

EI

2430Δ


(Kg.m)









A

B

540


C

A

B

270

C

Deformada

540M

270M

BA

AB

0M

540M

CB

BC

EI

405θB

EI

945θC

EI

2430Δ



(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2





Caso 4

Caso 3








A

B

C

3m

3m







A

B

C

3m

3m


428570,

571430,

EIL

EI3BC Barra

EI3

4

3

EI4

L

EI4AB Barra

BC

AB


A

B

C








A

BC








A

BC

100L

EIΔ3M

2BC







α001 0α


A

BC

0,42857

0,57143

100L

EIΔ3M

2BC







α001 0α


A

BC

0,42857

0,57143

0

-100

0

0







100L

EIΔ3M

2BC

α001 0α








A

BC

0,42857

0,57143

α001

0

-100

0

00

+57,14

0

0+28,56

0

+42,8

5

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00α

100L

EIΔ3M

2BC








A

BC

0,42857

0,57143

α001

0

-100

0

00

+57,14

0

0+28,56

0

+42,8

5

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00α

100L

EIΔ3M

2BC

+57,14

+28,56

+57,1

5

0


A

B

C







A

BC

0,42857

0,57143

α001

0

-100

0

00

+57,14

0

0+28,56

0

+42,8

5

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00α

100L

EIΔ3M

2BC

+57,14

+28,56

+57,1

5

0



A

B

C0,42857

0,57143

0







A

BC

0,42857

0,57143

α001

0

-100

0

00

+57,14

0

0+28,56

0

+42,8

5

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00α

100L

EIΔ3M

2BC

+57,14

+28,56

+57,1

5

0



A

B

0,42857

0,57143

0

C

13512

qL

2

3MM

2

BCCB







A

BC

0,42857

0,57143

α001

0

-100

0

00

+57,14

0

0+28,56

0

+42,8

5

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00α

100L

EIΔ3M

2BC

+57,14

+28,56

+57,1

5

0


135


135

A

B

0,42857

0,57143

0

-135

0

0

0

C







A

BC

0,42857

0,57143

α001

0

-100

0

00

+57,14

0

0+28,56

0

+42,8

5

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00α

100L

EIΔ3M

2BC

+57,14

+28,56

+57,1

5

0


13512

qL

2

3MM

2

BCCB


A

B

0

0

0,42857

0,57143

+77,143

0

0

0

0+38,571

00

+57,8

57

0 0 0 0

0 0 0 0

0

-135

0

0

0

0135

C







A

BC

0,42857

0,57143

α001

0

-100

0

00

+57,14

0

0+28,56

0

+42,8

5

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00α

100L

EIΔ3M

2BC

+57,14

+28,56

+57,1

5

0


13512

qL

2

3MM

2

BCCB


A

B

00

0

0,42857

0,57143

+77,143

0

0

+77,143

0

0+38,571

00

+38,571

+57,8

57

0 0 0 0 -77,1

42

0 0 0 0

0

-135

0

0

0

0135

C







A

BC

0,42857

0,57143

α001

0

-100

0

00

+57,14

0

0+28,56

0

+42,8

5

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00α

100L

EIΔ3M

2BC

+57,14

+28,56

+57,1

5

0


13512

qL

2

3MM

2

BCCB







Momentos totales

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB


B

C

A







Momentos totales

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB


B

C

A







Momentos totales

0FV

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB








Momentos totales

0FV

C

HVB

A

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB


0180VH







Momentos totales

0FV

C

HVB

A

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB








Momentos totales

0FV

01803

MM BCCB

C

HVB

A

0180VH

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB








Momentos totales

0FV

54057,14α77,143

C

HVB

A

0180VH

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB








Momentos totales

0FV

C

HVB

A8,10α

0180VH

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB








Momentos totales

0FV

8,10α

C

HVB

A

0180VH

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB


A

B

540


C

270,007






Momentos totales

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB

(Kg.m)


A

B

540


Deformada

C

A

B

270,007

C






Momentos totales

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB

(Kg.m)


A

B

540


Deformada

C

A

B

270,007

C






Momentos totales

0M

540,147577,14M

54057,14α77,14M

270,007α56,2838,57M

CB

BC

BA

AB


(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2





Caso 4

Caso 3




Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2





Caso 5

Caso 4

Caso 3



Caso 5



Caso 5

mKg

120q

ConstanteEI

m 3

m 3

3

4

α



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2





Caso 5

Caso 4

Caso 3




Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2






Caso 5

Caso 4

Caso 3










A

CB

3

4

α










α

AB

BC

ABBC4

3

4

3tanα


A

CB

3

4

α










A

CB

α

AB

BC

ABBC4

3

4

3tanα


A

CB

3

4

α









MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M



A

CB

α

AB

BC

ABBC4

3

4

3tanα


A

CB

3

4

α


MNENMMN M)L

3Δθ(2θ

L

EI2M








012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB



A

CB

α

AB

BC

ABBC4

3

4

3tanα


A

CB

3

4

α


A

CB

m 3

3

4

α








012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB


A

CB

m 3

3

4

α








012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MB









012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

A

CB

m 3

3

4

αBAM

BCM

0MB









0MB

0MM BCBA

A

CB

m 3

3

4

αBAM

BCM

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB









0MB

0MM BCBA

009)Δθ(2θ3

EI2)0,75Δ(2θ

3

EI2BCCBBCB

A

CB

m 3

3

4

αBAM

BCM

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

A

CB

m 3

3

4

αBAM

BCM

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

A

CB

m 3

3

4

αBAM

BCM

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MC









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

A

C

B

m 3

3

4

α

CBM

0MC









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

A

C

B

m 3

3

4

α

CBM

0MC0MCB









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

A

C

B

m 3

3

4

α

CBM

0MC0MCB

009)Δθ(2θ3

EI2BCBC









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

A

C

B

m 3

3

4

α

CBM

0MC0MCB

EI

135Δθ2θ BCBC









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MC0MCB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

m 3

3

4

α1V

BAM









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MC0MCB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

A

m 3

3

4

α1V

BAM









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MC0MCB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

A

m 3

3

4

α

α

1V

BAM









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MC0MCB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MC0MCB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0MA´









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MC0MCB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0MA´

1,53qM4V BA1









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MC0MCB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0MA´

1,53qM4V BA1

1620))0,75Δ(2θ3

EI2(7))0,75Δ(θ

3

EI24( BCBBCB









0MB

0MM BCBA

EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

0MC0MCB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0MA´

1,53qM4V BA1

EI

24308,25Δ18θ BCB









EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

EI

24308,25Δ18θ BCB









EI

1350,25Δθ4θ BCCB

012

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

84,15712

qL)Δθ(2θ

3

EI2M

157,84)0,75Δ(2θ3

EI2)Δ(2θ

3

EI2M

128,766)0,75Δ(θ3

EI2)Δ(θ

3

EI2M

2

BCBCCB

2

BCCBBC

BCBBABBA

BCBABBAB

EI

135Δθ2θ BCBC

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

EI

24308,25Δ18θ BCB

EI

199,38Δ

EI

3846,10θ

EI

43,6154θ

BC

C

B









0M

157,84M

157,84M

128,766M

CB

BC

BA

AB

Momentos totales









A

CB


0

766,128

0M

157,84M

157,84M

128,766M

CB

BC

BA

AB

84,571

Momentos totales

(Kg.m)









A

CB

A

CB


Deformada

0

766,128

0M

157,84M

157,84M

128,766M

CB

BC

BA

AB

84,571

Momentos totales

(Kg.m)









A

CB

A

CB


Deformada

0

766,128

0M

157,84M

157,84M

128,766M

CB

BC

BA

AB

84,571

Momentos totales


(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2






Caso 5

Caso 4

Caso 3








3m

3m

A

CB

3

4

α








428570,

571430,

EIL

EI3BC Barra

EI3

4

3

EI4

L

EI4AB Barra

BC

AB

3m

3m

A

CB

3

4

α


A

CB

3

4

α








3

4

α

A

CB








3

4

α

A

CB







α

AB

BC

ABBC4

3

4

3tanα


3

4

α

A

CB







α

AB

BC

ABBC4

3

4

3tanα

66,6α EI3

1

3

EI3

L

EIΔ3MM

100αEI9

675,0

3

EI675,0

L

)(0,75ΔEI6

L

EIΔ6MM

BC2

BC

2

BCCBBC

BC2

BC

2

BC

2

ABBAAB


3

4

α

A

CB







0,42857

0,57143

66,6α EI3

1

3

EI3

L

EIΔ3MM

100αEI9

675,0

3

EI675,0

L

)(0,75ΔEI6

L

EIΔ6MM

BC2

BC

2

BCCBBC

BC2

BC

2

BC

2

ABBAAB


3

4

α

A

CB







66,6α EI3

1

3

EI3

L

EIΔ3MM

100αEI9

675,0

3

EI675,0

L

)(0,75ΔEI6

L

EIΔ6MM

BC2

BC

2

BCCBBC

BC2

BC

2

BC

2

ABBAAB

0,42857

0,57143

-100

-100+66,6

0








3

4

α

A

CB

66,6α EI3

1

3

EI3

L

EIΔ3MM

100αEI9

675,0

3

EI675,0

L

)(0,75ΔEI6

L

EIΔ6MM

BC2

BC

2

BCCBBC

BC2

BC

2

BC

2

ABBAAB

0,42857

0,57143

+19,08

0

0

+9,54

0

+14,3

1

0 0 0 0

0 0 0 0 0

-100

+66,6

0

-100

0

0

0

0

0







3

4

α

A

CB


66,6α EI3

1

3

EI3

L

EIΔ3MM

100αEI9

675,0

3

EI675,0

L

)(0,75ΔEI6

L

EIΔ6MM

BC2

BC

2

BCCBBC

BC2

BC

2

BC

2

ABBAAB

0,42857

0,57143

+19,08

0

0

-80,91

+9,54

0

-90,45

+14,3

1

0 0 0 0 +80,9

1

0 0 0 0 0 0

-100

+66,6

0

-100

0

0

0

0

0








3

4

α

A

CB


0,42857

0,57143

+19,08

0

0

-80,91

+9,54

0

-90,45

+14,3

1

0 0 0 0 +80,9

1

0 0 0 0 0 0

-100

+66,6

0

-100

0

0

0

0

0








A

B

C

3

4

α

A

CB


0,42857

0,57143

+19,08

0

0

-80,91

+9,54

0

-90,45

+14,3

1

0 0 0 0 +80,9

1

0 0 0 0 0 0

-100

+66,6

0

-100

0

0

0

0

0








A

B

135

C

13512

qL

3

2MM

2

BCCB

3

4

α

A

CB


0,42857

0,57143

+19,08

0

0

-80,91

+9,54

0

-90,45

+14,3

1

0 0 0 0 +80,9

1

0 0 0 0 0 0

-100

+66,6

0

-100

0

0

0

0

0








A

B

135

0,42857

0,57143

C

13512

qL

3

2MM

2

BCCB

3

4

α

A

CB


0,42857

0,57143

+19,08

0

0

-80,91

+9,54

0

-90,45

+14,3

1

0 0 0 0 +80,9

1

0 0 0 0 0 0

-100

+66,6

0

-100

0

0

0

0

0








A

B

135

0,42857

0,57143

C

0

-135

0

0

13512

qL

3

2MM

2

BCCB

3

4

α

A

CB


0,42857

0,57143

+19,08

0

0

-80,91

+9,54

0

-90,45

+14,3

1

0 0 0 0 +80,9

1

0 0 0 0 0 0

-100

+66,6

0

-100

0

0

0

0

0








A

B

135

C

13512

qL

3

2MM

2

BCCB

0,42857

0,57143

+77,143

0

0

+38,571

0

+57,8

57

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

-135

0

0

0

0

0

0

0

3

4

α

A

CB


0,42857

0,57143

+19,08

0

0

-80,91

+9,54

0

-90,45

+14,3

1

0 0 0 0 +80,9

1

0 0 0 0 0 0

-100

+66,6

0

-100

0

0

0

0

0








A

B

135

C

13512

qL

3

2MM

2

BCCB

0,42857

0,57143

+77,143

0

0

+77,143

+38,571

0

+38,571

+57,8

57

0 0 0 0 -77,1

42

0 0 0 0 0 0

0

-135

0

0

0

0

0

0

0

3

4

α

A

CB


0,42857

0,57143

+19,08

0

0

-80,91

+9,54

0

-90,45

+14,3

1

0 0 0 0 +80,9

1

0 0 0 0 0 0

-100

+66,6

0

-100

0

0

0

0

0







Momentos totales

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

A

CB

3

4

α1V

BAM

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

1V

BAM

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0MA´

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0MA´

1,53qM4V BA1

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0MA´

1,53qM4V BA1

0621)77,14α91,80(738,57)α45,904(

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0MA´

1,53qM4V BA1

0,997α

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB







Momentos totales

A

CB

A

m 3

3

4

α

4 α

4

3

h

3tgα

4h

1V

BAM

0MA´

1,53qM4V BA1

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB

0,997α







Momentos totales

A

CB


0

74,128

8,571

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB

(Kg.m)







Momentos totales

A

CB

A

CB


Deformada

0

0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB

74,128

8,571

(Kg.m)







Momentos totales

A

CB

A

CB


Deformada

0


0M

157,8077,14α91,80M

157,8077,14α91,80M

128,7438,57α45,90M

CB

BC

BA

AB

74,128

8,571

(Kg.m)



Ejemplo 1

Caso 1

Caso 2






Caso 5

Caso 4

Caso 3


ejemplo 1 de equilibrio - ocw

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