ECONOMETRIA 1 Profesor: Ramón Rosales Complementarios: Monitores: Mónica Reyes

Camilo Gutiérrez John Gómez

Andrés Camacho Silvia Flórez Daniel Gamboa Santiago León  EJC  24:  AUTOCORRELACIÓN  

 1. Estadísticas descriptivas

IV: Índice de Vacantes Desempleo: tasa de desempleo Son datos trimestrales desde 1960:2 hasta 1966:1

2. Modelo original

3. Relación entre el error rezagado y el error

error error_r error 1.000 error_r 0.5394 1.000

. predict error, resid .gen error_r=error[_n-1] (1 missing value generated) . correlate error error_r

desempleo 24 4.784583 .7942181 3.66 5.83 IV 24 142.1188 37.42976 95.96 193.33 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max

_cons 7.308439 .111029 65.82 0.000 7.078179 7.538699 lndesempleo -1.537525 .0711423 -21.61 0.000 -1.685065 -1.389985 lnIV Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total 1.65178494 23 .071816736 Root MSE = .05811 Adj R-squared = 0.9530 Residual .074301672 22 .003377349 R-squared = 0.9550 Model 1.57748326 1 1.57748326 Prob > F = 0.0000 F( 1, 22) = 467.08 Source SS df MS Number of obs = 24

. reg lnIV lndesempleo

2    

   

.twoway(scatter error error_r)

4. Estadístico Durbin-Watson 4.1. Formulación de la hipótesis y nivel de significancia

Ho: Los errores no siguen un proceso AR(1) ( 𝑢! = 𝜌𝑢!!! + 𝑒!, donde 𝝆 = 𝟎) Ha: Sí hay autocorrelación de orden uno ( 𝑢! = 𝜌𝑢!!! + 𝑒! , donde 𝝆 ≠ 𝟎 ) α=0.05

4.2. Estadístico de prueba

𝒅   =  (𝑢! − 𝑢!!!)!

!"##!!!!!"#$!!

𝑢!!!"##!!

!!!"#$!!

Donde 𝑢!    𝑦  𝑢!!! son los errores (contemporáneo y rezagado) predichos del modelo original.

4.3. Criterio de decisión El valor del Durbin Watson que se obtuvo para este caso fue:

𝒅 = 0.91076771 Para hallar los valores críticos en la tabla de Durbin-Watson, es necesario utilizar el número de observaciones, N=24 (correspondientes al total de semestres observado) y el número de variables independientes, K = 1.

                                                                                                               1 Este valor también se podría obtener utilizando el comando de Stata estat dwatson.

-.1-.05

0.05

.1

Residuals

-.1 -.05 0 .05 .1error_r

3    

   

Fuente: Welti, L (2002) Introducción al Análisis de Regresión Lineal. México, p.14

Así, los valores críticos para este ejemplo son:

• dL = 1.273 • ds = 1.446 • 4-dS = 2.554 • 4-dL = 2.727

4.4. Conclusión

Por lo tanto, como d=0.91 pertenece a la región izquierda de rechazo se puede afirmar que, con un nivel de significancia de 5%, existe autocorrelación positiva de orden uno. Es decir, con el modelo del logaritmo de las vacantes sobre el logaritmo de desempleo se está violando el supuesto de no autocorrelación o, en este caso de series de tiempo, no correlación serial.

5. Corrección de autocorrelación 5.1. Método de Cochrane – Orcutt (forma manual)

El método de Cochrane-Orcutt consiste inicialmente en tres pasos fundamentales: Paso 1: Generar un proceso auto regresivo de orden uno (AR (1)) sin constante:

𝑢! = 𝜌𝑢!!! + 𝑒!  , donde et se comporta bien. Es decir, 𝐸 𝑒! = 0          𝑣𝑎𝑟 𝑒! = 𝜎!!            𝑐𝑜𝑣 𝑒! , 𝑒!!! =0  ∀  𝑠 ≠ 0

4    

   

De ese proceso se obtiene 𝝆=0.5457084 Paso 2: Se construye el modelo transformado de la siguiente manera: Multiplicamos las variables rezagadas por el 𝜌 que acabamos de encontrar:

𝜌 log 𝐼𝑉 !!! = 𝜌β! +  𝜌(β! log 𝐷𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑜 !!!)+  𝜌𝑢!!! Luego restamos el modelo anterior al modelo original: log 𝐼𝑉 ! − 𝜌 log 𝐼𝑉 !!!

= (1− 𝜌)β! + β![log 𝐷𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑜 )! − 𝜌 log 𝐷𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑜 !!!]+ 𝑒!

𝑡 = 2,… . . ,𝑇

Donde 𝑒! = 𝑢! − 𝜌𝑢!!!. Como ya habíamos mencionados, este error se comporta bien. Después de haber generado todas las variables necesarias para correr este modelo, se obtiene:  

   Paso 3: Se obtiene de nuevo el estadístico Durbin Watson y se realiza la prueba de hipótesis sobre los nuevos errores: Ho: Los errores no siguen un proceso AR(1) ( 𝑒! = 𝜌𝑒!!! + 𝜇!, donde 𝝆 = 𝟎) Ha: Sí hay autocorrelación de orden uno ( 𝑒! = 𝜌𝑒!!! + 𝜇! , donde 𝝆 ≠ 𝟎 )

error_r .5457084 .1817533 3.00 0.007 .168775 .9226417 error Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total .074301167 23 .003230486 Root MSE = .04895 Adj R-squared = 0.2584 Residual .052704687 22 .002395668 R-squared = 0.2907 Model .02159648 1 .02159648 Prob > F = 0.0066 F( 1, 22) = 9.01 Source SS df MS Number of obs = 23

. reg error error_r,noconst

_cons 3.270725 .0910009 35.94 0.000 3.081478 3.459972 logdesemp_t -1.470957 .1306144 -11.26 0.000 -1.742584 -1.199329 logIV_t Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total .366308937 22 .016650406 Root MSE = .04978 Adj R-squared = 0.8512 Residual .052036509 21 .002477929 R-squared = 0.8579 Model .314272428 1 .314272428 Prob > F = 0.0000 F( 1, 21) = 126.83 Source SS df MS Number of obs = 23

. reg logIV_t logdesemp_t

5    

   

α=0.05

𝑑 =(𝑒! − 𝑒!!!)!

!"##!!!!!"#$!!

𝑒!!!"##!!

!!!"#$!!

𝒅 = 1.761816

En este caso, como se perdió una observación (N=23) los valores críticos cambian:

• dL = 1.25 • ds = 1.43 • 4 - dS = 2.563 • 4 - dL = 2.743

En conclusión, con un nivel de significancia de 5% no se puede rechazar Ho. Por tanto, los errores no siguen un proceso AR (1). Es decir, con el método de Cochrane-Orcutt se corrigió el problema de autocorrelación. Si en este último caso hubiera persistido la autocorrelación de orden uno, se repite el procedimiento iterativamente hasta que esta desaparezca.

5.2. Método de Praise Winter (forma directa obtenida en Stata)

Con el método de Praise Winter, que es calculado directamente por Stata, no se pierden grados de libertad, pues en el proceso se incluye la primera observación (el trimestre 1960q2). Para esto, el método transforma la primera observación de la siguiente manera:

𝑌! = (1− 𝜌!)!/!𝐿𝑜𝑔(𝐼𝑉)!

𝑋! = (1− 𝜌!)!/!𝐿𝑜𝑔(𝑑𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑜)! Posteriormente se realiza la misma transformación del modelo hecha durante el procedimiento de Cochrane – Orcutt para 𝑡 ≥ 2, agregando como primera observación el par ordenado que acabamos de generar.

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Durbin-Watson statistic (transformed) 1.760968Durbin-Watson statistic (original) 0.910768 rho .5457084 _cons 7.209517 .200363 35.98 0.000 6.79284 7.626195 logdesemp -1.471198 .1304702 -11.28 0.000 -1.742525 -1.19987 logIV Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total .367130333 22 .016687742 Root MSE = .04978 Adj R-squared = 0.8515 Residual .052039743 21 .002478083 R-squared = 0.8583 Model .31509059 1 .31509059 Prob > F = 0.0000 F( 1, 21) = 127.15 Source SS df MS Number of obs = 23

Cochrane-Orcutt AR(1) regression -- twostep estimates

Iteration 1: rho = 0.5457Iteration 0: rho = 0.0000

. prais logIV logdesemp, corc twostep

r(199);unrecognized command: praise. praise logIV logdesemp, corc twostep

r(199);unrecognized command: praise. praise

r(199);unrecognized command: praise. praise logIV logdesemp, corc twostep