efectos cuánticos en teorías no conmutativas...

TESIS DE LA CARRERA DE

MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS

Efectos cuánticos en teorías no conmutativasrenormalizables

Lic. Pablo Martín Scuracchio

Autor

Dr. César Daniel FoscoDirector

Diciembre de 2010

Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo

Comisión Nacional de Energía Atómica

San Carlos de BarilocheArgentina

A todos aquellos ávidos de conocer cuánto másretorcidas pueden volverse las QFTs.

Contenidos

Contenidos 1

Resumen 3

Abstract 5

1. Introducción 71.1. No conmutatividad desde el principio . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Campos magnéticos intensos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Descripción de álgebras no conmutativas . . . . . . . . . . . . 101.4. Operadores de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Producto estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Teoría de perturbaciones no conmutativa . . . . . . . . . . . . 131.7. Modelos matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8. Confinando nuestro sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Borde recto en 2+1 dimensiones 212.1. Descripción general del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Scattering de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. Propagador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Borde circular en dos dimensiones 313.1. Descripción general del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Propagador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1. Análisis del propagador con λ→∞ . . . . . . . . . . . 353.3. Términos de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1. Interacción cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2. Intereacción no cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.3. Corrección a primer orden del propagador . . . . . . . 36

3.4. Reglas de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Borde circular en 2+1 dimensiones 414.1. Borde circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Propagador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3. Términos de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4. Corrección a primer orden del propagador . . . . . . . . . . . 434.5. Reglas de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

CONTENIDOS

5. Modelo autodual 455.1. Descripción general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6. Conclusiones 49

Bibliografía 51

Resumen

En este pequeño aporte al conocimiento teórico estudiaremos el prob-lema de tratar de confinar un sistema descripto por una teoría de camposno conmutativa en dos dimensiones espaciales. Si bien una curva en coor-denadas conmutativas puede definirse sin inconvenientes, el principio deincertidumbre que introduce la no conmutatividad δx1δx2 ≥ θ hace que apequeñas escalas (∼ θ) la curva se vea difusa. Esto se produce claramenteporque, de manera análoga a lo que sucede en mecánica cuántica, ya nopodemos definir con total resolución un punto en el plano. Abordaremoseste problema introduciendo un Hamiltoniano cuyos autoestados, en unlímite semiclásico, representen la curva que dará forma al confinamiento.En particular nos concentraremos en imponer condiciones de borde tipoDirichlet para un campo escalar complejo en dos coordenadas espacialesque satisfacen: [x1, x2] = iθ (más eventualmente el tiempo que consider-aremos conmuta con el resto) y analizaremos concretamente dos tipos decurvas, una recta y una circunferencia. Bajo ciertas aproximaciones, calcu-laremos los propagadores, energías de Casimir y derivaremos las reglaspara los diagramas de Feynamn no conmutativos.

Palabras clave: No conmutatividad, Confinamiento, Dirichlet, Casimir, Dia-gramas de Feynman.

Abstract

In this small contribution to theoretical knowledge we will study theproblem of trying to confine a system described by a bidimensional non-commutative field theory. While a curve in commutative coordinates canbe defined without difficulty, the uncertainty principle that introduces non-commutativity δx1δx2 ≥ θ means that at small scales (∼ θ) the curve be-comes fuzzy. This clearly occurs because, similarly to what happens in quan-tum mechanics, we can’t define a point with total resolution on the plane.We address this problem by introducing a Hamiltonian whose eigenstates,in a semiclassical limit, represent the curve we are looking for. In particu-lar, we will focus on imposing Dirichlet boundary conditions for a complexscalar field in two spatial coordinates that satisfy [x1, x2] = iθ (plus even-tually the time) and discuss specifically two types of curves, a straight oneand a circle. Under certain approximations, we will calculate the propaga-tors, Casimir energies and derive the rules for noncommutative Feynamndiagrams.

Keywords: Noncommutativity, Confinement, Dirichlet, Casimir, Feynman di-agrams.

CAPÍTULO I

Introducción

”La mayor parte de las ideas fundamentales de la ciencia sonesencialmente sencillas y, por regla general, pueden ser

expresadas en un lenguaje comprensible para todos."Albert Einstein

1.1. No conmutatividad desde el principio

Las primeras ideas de introducir coordenadas espacio-temporales noconmutativas, tuvieron su motivación en la búsqueda de un cutoff ultravi-oleta efectivo que controlara las divergencias que habían plagado una granvariedad de teorías cuánticas en la época. Fue Snyder quien primero for-malizó estas ideas en un artículo totalmente dedicado a este tema [1]. En sumomento, el estudio de espacios no conmutativos competía con las ideas delattice regularization y fue opacado no solo por los importantes avances enel programa de renormalización de QFTs que habia finalmente probado sersatisfactorio en la predicción numérica de la electrodinámica cuántica, sinotambién por la introducción de algunas características físicas no deseadascomo la pérdida de localidad e invarianza de Lorentz.

La idea detrás de la no conmutatividad del espacio-tiempo se encuentrafuertemente inspirada por conceptos de mecánica cuántica. Un espacio defases cuántico se define reemplazando de las variables canónicas por oper-adores hermíticos que obedecen las relaciones de conmutación de Heisen-berg [x, p] = i~. Este espacio cuántico se encuentra difuminado y la no-ción de un punto es desplazada por el una celda de Planck. Claramente, enel límite en el que ~ → 0 la incertidumbre en las variables desaparece yrecuperamos el espacio-tiempo ordinario. Von Neumann fue uno de los pi-oneros en encaminarse a describir de forma rigurosa tales espacios cuán-ticos y el nacimiento de la geometría no conmutativa tuvo gran influenciaen las álgebras que llevan su nombre. En este contexto [2] [3] [4], el estudio

1. Introducción

de las propiedades de los espacios no conmutativos se realizó puramenteen términos algebraicos (dejando de lado la idea de un punto) y permitióimportantes generalizaciones.

Las ideas de geometría no conmutativa fueron revividas en los 80s porlos matemáticos Connes, Woronowicz y Drinfel’d quienes generalizaron lanoción de una estructura diferencial a espacios no conmutativos más gen-erales como álgebras arbitrarias y grupos cuánticos [5] [6]. Junto con ladefinición de una integración generalizada [7], esto llevó a una descrip-ción, a partir operadores algebraicos, de teorías de gauge del estilo Yang-Mills en una larga clase de espacios no conmutativos. Un ejemplo concre-to fue precisamente una teoría de Yang-Mills en un toro no conmutativo[7]. Por bastante tiempo, las aplicaciones físicas estuvieron basadas en inter-pretaciones geométricas del modelo estadar y sus diversos campos y con-stantes de acoplamiento. La gravedad fue eventualmente introducida enuna especie de unificación [8] cuya idea central detrás de era usar una for-ma modificada del mecanismo de Kaluza-Klein en el cual las dimensionesocultas son reemplazadas por estructuras no conmutativas. Este modelo,aunque con ciertos problemas, llevó a pensar que la relatividad general po-dría quebrarse a la escala de Plank dado que el espacio-tiempo ya no podríaser descripto por una variedad diferenciable. En estas escalas, las fluctua-ciones cuánticas-gravitacionales se vuelven importantes y no pueden serignoradas [9].

Evidencias más concretas de la no conmutatividad del espacio-tiempovinieron posteriormente de la mano de Connes, Douglas y Schwartz, quienesobservaron que la geometría no conmutativa surge como un posible esce-nario para ciertos límites de bajas energías en teorías de cuerdas. Seiberg yWitten identificaron límites en los cuales toda la dinámica de cuerdas puedeser descripta en términos de teorías de Yang-Mills no conmutativas [10].Desde entonces han aparecido más de 1500 artículos introduciendo nuevasaplicaciones a distintas situaciones físicas. Muchos de los recientes desar-rollos han motivados en parte por la construcción de instantones y solitonesno conmutativos, soluciones de las ecuaciones de movimiento clásicas y deltipo BPS de teorías no conmutativas.

1.2. Campos magnéticos intensos

1.2. Campos magnéticos intensos

A modo de cuantificar las ideas de espacios de fases no conmutativos,ilustramos ahora cómo la no conmutatividad emerge de un simple ejem-plo de mecánica cuántica: el problema de Landau [11]. Consideremos unapartícula cargada de masa m moviéndose en el plano x = (x1, x2) y bajoun campo magnético constanteB perpendicular al plano de movimiento. Ellagrangiano de este sistema es

L =m

2−→x

2− −→x .

−→A, (1.1)

donde Ai = −B2εijx

j es el vector potencial asociado al campo magnético. ElHamiltoniano del sistema esH = −→π 2/2m siendo −→π = m−→x = −→p +

−→A el mo-

mento invariante de gauge (que resulta ser un observable). De las relacionesde conmutación canónicas obtenemos

[πi, πj] = iBεij (1.2)

por lo que el espacio de momentos en presencia de un campo magnético re-sulta ser no conmutativo. Los puntos en el espacio de momentos son reem-plazados por celdas de Landau de área B, la cuales actúan como un cutoffinfrarrojo, es decir, −→π 2 ≥ B. La no conmutatividad espacial aparece en ellímite m→ 0 [12] donde el lagrangiano toma la forma:

L0 = −B2xiεijx

j. (1.3)

Este es un lagrangiano de primer orden que ya está expresado en el espa-cio de fases, donde las coordenadas espaciales x1 y x2 son precisamente lasvariables canónicamente conjugadas. Tenemos entonces que:

[xi, xj] =i

Bεij (1.4)

La no conmutatividad de las coordenadas en 1.4 puede derivarse alternati-vamente de la no conmutatividad en los momentos 1.2 imponiendo los vín-culos de primera clase−→π ≈ 0. El límitem→ 0 conB o lo que es equivalente,el límite B → ∞ de grandes campos magnéticos para una masa m fija, esactualmente la proyección del sistema cuántico al primer nivel de Landau.Este es uno de los ejemplos clásicos de materia condensada en donde la noconmutatividad de las coordenadas aparece en un límite en particular.

1. Introducción

1.3. Descripción de álgebras no conmutativas

Al igual que con la cuantización de un espacio de fases clásico, definimosun espacio-tiempo no conmutativo reemplazando las coordenadas espacio-temporales xi por operadores hermíticos xi, generadores de un álgebra noconmutativa que satisface la siguiente relación:

[xi, xj] = xixj − xjxi = iθij (1.5)

El caso más simple sucede cuando θij es una matriz constante, real y an-tisimétrica. Dado que las coordenadas ya no conmutan, no pueden ser si-multáneamente diagonalizadas y todo el espacio-tiempo es reemplazadopor un espacio de estados de Hilbert en donde

δxiδxj ≥1

2|θij| (1.6)

En el análisis de teorías no conmutativas supondremos que las coordenadashan sido linealmente combinadas para llevar a θij a una forma de bloquesantisimétricos de 2x2 (cuando el número de coordenadas es impar, una com-binación adecuada permite que una de las variables conmute con el resto):

θij =

θ1 0 · · · 0

0 θ2 · · · 0...

... . . . ...0 0 · · · θD

2

θi =

(0 θi

−θi 0

)(1.7)

1.4. Operadores de Weyl

Consideremos el álgebra conmutativa de funciones sobre un espacio eu-clídeo D dimensional con el producto definido por la multiplicación or-dinaria. Asumiremos que estas funciones viven dentro de un espacio deSchwartz y decrecen rápidamente a cero en infinito [13], es decir, poseenderivadas de orden arbitrario que se anulan en el infinito tanto en el espaciode coordenadas como en el de momentos. La condición de Schwartz tam-bién implica que cualquier funcion f(x) puede ser descripta por su trans-formada de Fourier:

f(k) =

∫dDx e−ikix

i

f(x) (1.8)

1.4. Operadores de Weyl

con f(−k) = f ∗(k) siempre que f(x) sea real. La cuantización de Weyl nosprovee de una correspondencia uno a uno entre el álgebra de funciones ocampos en el espacio euclídeo RD y el conjunto de operadores xi definidosen la sección 1.3. Dada una función f(x) y su correspondiente coeficiente deFourier 1.8 introducimos el operador de Weyl:

W [f ] =

∫dDk

(2π)Df(k)eikix

i

(1.9)

Notemos que la función exponencial eikixi lleva implícita un orden simétricopara los operadores xi. Escribimos ahora la expresión 1.9 en términos de unmapeo ∆(x) entre operadores y funciones:

W [f ] =

∫dDx f(x) ∆(x), (1.10)

donde

∆(x) =

∫dDk

(2π)Deikix

i

e−ikixi

(1.11)

El operador ∆(x) así definido resulta hermítico y describe una base mixtapara operadores y campos en el espacio-tiempo. De esta forma podemosinterpretar al campo f(x) como la representación en el espacio de coorde-nadas del operador de Weyl W [f ]. Notemos que en el caso conmutativoθij = 0 el mapeo 1.10 se reduce trivialmente a una función delta δD(x− x) yW [f ]|θ=0 = f(x), pero en general para θij 6= 0, la relació de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) hace que sea un operador altamente no trivial. Siguiendolos pasos de Szabo [14] podemos ver que la traza (definida en el álgebrade los operadores de Weyl) del mapeo 1.11, Tr∆(x), es independiente dex y que a partir de 1.9 TrW [f] queda determinada en forma única por unaintegración en las variables del espacio-tiempo

TrW [f] =

∫dDxf(x), (1.12)

donde hemos escogido la normalización Tr∆(x) = 1. Los productos de oper-adores ∆(x) en distintos puntos pueden ser computados usando la relaciónBCH:

eikixi

eik′ixi

= e−i2θijkik

′j ei(k+k′)ixi (1.13)

1. Introducción

y junto con 1.10 podemos escribir el producto ∆(x)∆(y) como

∆(x)∆(y) =

∫dDk′

(2π)DdDk′

(2π)Dei(k+k′)ixie−

i2θijkik

′je−ikix

i−ik′iyi

=

∫dDk′

(2π)DdDk′

(2π)DdDzei(k+k′)izi∆(z)e−

i2θijkik

′je−ikix

i−ik′iyi . (1.14)

Asumiendo que θij es una matriz invertible, la integración gaussiana en losmomentos k y k′ resulta

∆(x)∆(y) =1

πD|detθ|∫dDz∆(z)e−2iθ−1

ij (x−z)i(y−z)j . (1.15)

En particular, usando la normalización en la traza de ∆(x) y la antisimetríade θ−1 puede verse que los operadores ∆(x) forman un conjunto ortonor-mal,

Tr [(∆(x)∆(y)] = δD(x− y). (1.16)

Esta última ecuación, junto con 1.10, implica que la transformación f(x)∆(x)7→ W [f ]

es invertible con la inversa dada por

f(x) = Tr(W [f]∆(x)

). (1.17)

La función f(x) obtenida a partir de un operador cuántico es usualmentedenominada distribución de Wigner [15]. Por lo tanto el mapeo ∆(x) nosprovee de una correspondencia uno a uno entre campos de Wigner y oper-adores de Weyl.

1.5. Producto estrella

Consideremos el producto de dos operadores de Weyl W [f ] y W [g], cor-respondientes a las funciones f(x) y g(x). A partir de las ecuaciones 1.10,1.14 y 1.18 vemos que la representación del producto W [f ]W [g] en el espa-cio de coordenadas puede ser escrita como

Tr(W [f]W [g]∆(x)

)=

1

πD|detθ|

∫dDy dDz f(y)g(z)e−2iθ−1

ij (x−y)i(x−z)j . (1.18)

Usando las ecuaciones 1.8, 1.10 y 1.13 deducimos que

W [f ]W [g] = W [f ? g], (1.19)

1.6. Teoría de perturbaciones no conmutativa

donde hemos introducido el producto estrella de Groenewold-Moyal [16][17]:

f(x) ? g(x) =∫

dDk′

(2π)DdDk′

(2π)Df(k)g(k′ − k)e−

i2θijk

ik′jeik′ixi

= f(x) exp(i2

←−∂i θ

ij−→∂j)g(x). (1.20)

El producto 1.20 es asociativo, no conmutativo y está definido para θ con-stante y posiblemente degenerado (para θ = 0 se reduce al producto ordi-nario de funciones). En general, el conmutador estrella definido por [f(x), g(x)]? ≡f(x)?g(x)−g(x)?f(x) puede representarse en una forma compacta usandoel operador bi-diferencial de 1.20:

[f(x), g(x)]? = 2if(x)sen

(i

2

←−∂i θ

ij−→∂j)

g(x). (1.21)

La noconmutatividad del espacio tiempo puede entonces estudiarse a travésdel producto ordinario de operadores de Weyl en el álgebra no conmutativao de forma equivalente, a través del producto estrella de funciones en elálgebra conmutativa. Debido a la ciclicidad de la traza, la integral

Tr(W [f1]...W [fn]

)=

∫dDx f1(x) ? ... ? fn(x) (1.22)

es invariante bajo permutaciones cíclicas de las funciones fi(x). En particu-lar podemos ver que∫

dDx f(x) ? g(x) =

∫dDxf(x)g(x) (1.23)

puede obtenerse para funciones de Schuartz integrando por partes en RD.

1.6. Teoría de perturbaciones no conmutativa

En esta sección introduciremos básicamente la expansión perturbativade una teoría cuántica de campos en un ambiente no conmutativo. A modode ilustrar las ideas generales consideraremos un teorá de un campo escalarreal masivo junto con una interacción φ4 en D dimensiones. Escrita en tér-minos del operador de Weyl asociado al campo escalar φ(x), la acción toma

1. Introducción

la siguiente forma:

S[φ] = Tr

(1

2(W [∂µφ])2 +

m2

2W2[φ] +

g2

4!W4[φ]

). (1.24)

Reescribiendo esta expresión en el espacio de coordenadas con la ayuda de1.10 y 1.19, obtenemos:

S[φ] =

∫dDx

[1

2(∂µφ(x))2 +

m2

2φ2(x) +

g2

4!φ(x) ? φ(x) ? φ(x) ? φ(x)

].

(1.25)Teniendo en cuanta la propiedad 1.23, vemos que la teoría no conmutativaes idéntica a la ordinaria en lo que respecta al término cinético. El propa-gador libre por ende mantiene la misma forma y los cambios recíen se man-ifiestan en el término de interacción:

Tr(W4[φ]

) 4∏a=1

∫dDkaφ(kA)δD

(4∑

a=1

ka

)V(k1, k2, k3, k4), (1.26)

donde el vértice en espacio de momentos es

V (k1, k2, k3, k4) =∏a<b

e−i2kaiθ

ijkbj . (1.27)

Aquí podemos oberservar que la dependencia en los momentos ki del vér-tice produce que la interacción sea no local. En general el producto estrellaintroduce diversos efectos físicos dependiendo del tipo de teoría en dondeactúe. En los modelos no conmutativos que analizaremos en los capítulos3-5 veremos en detalle cuáles son las diferencias que aparecen con sus anál-ogos conmutativos.

1.7. Modelos matriciales

En un sentido formal, toda representación operatorial es una representaciónmatricial. Comenzaremos con la descripción de bases matriciales en dos di-mensiones y luego veremos brevemente la generalización a un número ar-bitrario de ellas. Definimos primero una función gausiana f0(x) sobre R2:

f0(x) = 2e−1θ

(x21+x2

2), (1.28)

1.7. Modelos matriciales

donde θ = θ12 = −θ21 > 0 es una constante. La función f0(x) definida deesta manera cumple con

f0(x) ? f0(x) = f0(x). (1.29)

Consideremos, como sucede en un oscilador armónico unidimensional, losoperadores de creación y aniquilación a y a†:

a = 1√2(x1 + ix2) a =

1√2

(x1 − ix2)

∂

∂a= 1√

2(∂1 − i∂2) ∂

∂a=

1√2

(∂1 + i∂2). (1.30)

Usando estas definiciones, para cualquier función f(x) ∈ R2 tenemos:

(a ? f)(x) =a(x)f(x) +θ1

2

∂f

∂a(x) (f ? a)(x) = a(x)f(x)− θ1

2

∂f

∂a(x)

(a ? f)(x) =a(x)f(x)− θ1

2

∂f

∂a(x) (f ? a)(x) = a(x)f(x) +

θ1

2

∂f

∂a(x).

(1.31)

De forma muy similar a como uno opera con a y a† sobre el estado vacío eloscilador, podemos observar que

a ? a?m ? f0 =

{mθ1(a?(m−1) ? f0) para m ≥ 1

0 para m = 0.

f0 ? a?n ? a =

{nθ1(f0 ? a

?(n−1)) para n ≥ 1

0 para n = 0., (1.32)

siendo a?n = a?a ? · · · ?a (n factores). Con estas herramientas, definimos loselementos de nuestra base matricial fmn como:

fmn =a?m ? f0 ? a

?n√n!m!θm+n

1

(1.33)

. Veamos ahora qué propiedades tienen estos elementos. De las ecuaciones1.29 y 1.32 obtenemos:

fmn(x) ? fkl(x) = δnkfml(x). (1.34)

La regla de multiplicación 1.34 identifica el producto estrella con el productomatricial. Para dos funciones arbitrarias a(x) =

∑∞mn=0 amnfmn(x) y b(x) =

1. Introducción∑∞mn=0 bmnfmn(x) se tiene

a(x) ? b(x) =∞∑

mn=0

(ab)mnfmn(x) (ab)mn =∞∑k=0

(ab)mkbkn. (1.35)

Con la finalidad de describir cualquier función sobre R2 los coeficientes amndeben decaer rápidamente [18]. Finalmente, usando 1.29 y 1.32 obtenemos:∫

d2xfmn(x) =1√

n!m!θm+n1

∫d2x(a?m ? f0 ? f0 ? a

?n)

=δmn

∫d2xf0(x) = 2πθ1δmn. (1.36)

La generalización de nuestra base matricial a D dimensiones puede efecu-tarse situándonos en un sistema tal que θij tiene la forma 1.7. Definimoscada elemento de la base sobre RD como:

bmn(x) = fm1n1(x1, x2)fm2n2(x3, x4) · · · fmD/2nD/2(xD−1, xD), (1.37)

siendo m = (m1,m2, · · · ,mD/2) ∈ RD/2 y n = (n1, n2, · · · , nD/2) ∈ RD/2. Unade las ventajas de este tipo de base es que el producto estrella es reemplaza-do por un producto de infinitas matrices, como se ve claramente en 1.35.Como ejemplo, la expansión de los campos de la acción 1.25 solo en dosdimensiones toma la forma:

φ(x) =∑

mn∈ND/2φmnbmn(x) (1.38)

y en particular, el término de interacción VI =∫d2xφ ? φ ? φ ? φ puede

escribirse simplemente como:

VI = 2πθ∞∑

mnkl=0

φmnφnkφklφlm. (1.39)

1.8. Confinando nuestro sistema

Una de las principales características de la presente Tesis, es la incorpo-ración de la versión no conmutativa de condiciones de borde tipo Dirichletsobre una cuerva espacial C, definida por ejemplo en forma paramétrica co-mo:

C)

ξ −→ z(ξ) , (1.40)


donde ξ es un parámetro real. Usaremos, en lo que sigue, las relaciones deconmutación 1.5 con D = 3. La coordenada x0 ≡ t representará el tiempo yconmutará con el resto de las variables x1 y x2 siendo θij = θ1εij. La curva Ces un objeto geométrico estándar y conmutativo. En la imposición de condi-ciones de borde sobre Non commutative quantum field theories (NCQFT)seguimos el enfoque de [19], donde las condiciones de tipo Dirichlet sonimpuestas por medio de una interacción específica en la acción del sistema.Esto inducirá condiciones especiales para los campos en una región difusadeterminada por la curva y al mismo tiempo preservando la propiedad demantener el correcto límite conmutativo. En los modelos que analizaremosen capítulos posteriores utilizaremos una teoría de un campo escalar com-plejo masivo junto con dos condiciones de borde no equivalentes dadas por

S(L)b

(φ†, φ

)= λL

∫d3xφ(x) ? δC(x) ? φ†(x)

S(R)b

(φ†, φ

)= λR

∫d3xφ†(x) ? δC(x) ? φ(x) (1.41)

con el mismo comportamiento en θ → 0. Aquí δC(x) es el análogo no conmu-tativo de la delta bidimensional usual, distribución que solo tiene soportesobre C. En términos de la forma paramétrica de C, el operador de Weyl 1.9asociado a δC(x) resulta:

W [δ] =

∫dξ |z(ξ)| δ(2)

[x− z(ξ)

], (1.42)

con z(ξ) ≡ ddξz(ξ). Notemos que solo x1 y x2 son objetos no conmutativos y

la función delta tiene sentido si suponemos que

δ(2)[x− z(ξ)

]=

∫d2k

(2π)2eik·[x−z(ξ)] . (1.43)

Nos será útil en ciertos casos considerar una representación alternativa dela curva. En efecto, asumiendo que C puede también ser descripta por laecuación FC(x) = 0, δC(x) puede ser escrita como sigue:

δC(x) =∣∣∇FC(x)

∣∣ δ[FC(x)]. (1.44)

Esta representación, excepto para ciertos casos espaciales, no es recomend-able en un inmediato paso a la versión no conmutativa, dado que ambosfactores en 1.44 pueden no conmutar. Existen dos casos en particular en

1. Introducción

donde esto no sucede: una función lineal, digamos FC = a1x1 + a2x2, yFC =

√x2

1 + x22 − R, que corresponde a un círculo de radio R. En el caso

general, |∇FC| no conmutará con FC . Sin embargo, con la excepción de queel gradiente se anule en puntos pertenecientes a C, podemos en principio en-contrar una función alternativa F ′C tal que su gradiente tenga módulo uno ydescriba la misma curva. Definimos entonces

F ′C(x) = g(x)FC(x) (1.45)

donde g es una función tal que

g(x) ≡∣∣∇FC(x)

∣∣−1 (1.46)

para todo x ∈ C. Cuando x 6∈ C, g se extiende suavemente de forma ar-bitraria, con la condición de ser positiva. Siempre que usemos la repre-sentación FC = 0 asumiremos que ya ha sido normalizada, y entonces:

δC(x) = δ[FC(x)

](1.47)

lo que permite que δC(x) sea traducido sin ambiguedades a su versión noconmutativa 1. La idea intuitiva de que la no conmutatividad introduce unadifusión y por lo tanto que las condiciones de borde afectarán a los camposen una región finita puede verse más concretamente teniendo en cuenta larelación desarrollada en [20]:

S(R)b = λR

∫dtd2xφ†(t, x) δC(x+ i

θ

2∂ )φ(x) (1.48)

con ∂j ≡ εjk∂k. Luego, expandiendo en potencias de θ, S(R)b = S

(R)b

∣∣θ=0

+

δS(R)b , donde el primer término contiene la parte puramente conmutativa y

δS(R)b = −iλR θ

2

∫dtd2x δC(x)εjk∂jφ

†(t, x)∂kφ(t, x)

+λR θ

2

8

∫dtd2x δC(x) ∂j1∂j2φ

†(t, x)(δj1j2∂2 − ∂j1∂j2)φ(t, x)

+ . . . (1.49)

Esto significa que en una expansión en θ la condición de borde no solo in-cluye el campo evaluado sobre la curva sino también sus valores en puntos

1Como de costumbre, mapearemos funciones a sus correspondientes operadores deWeyl.


cercanos, lo que pone en manifiesto la existencia de un ancho efectivo. Conel objetivo de comprender el efecto de este término es conveniente volver ala representación operatorial. En el caso S(R)

b tenemos:

S(R)b = 2πθ λR

∫dtTr

[φ†(t)δCφ(t)

], (1.50)

(con S(L)b la expresión es similar). Para proceder resulta conveniente intro-

ducir una representación particular para los campos en donde δC(x) sea di-agonal (o lo que es equivalente, que FC sea diagonal).

Existe una diferencia cualitativa de acuerdo a si el espectro de FC es con-tínuo o discreto y la razón está íntimamente ligada a si la curva conmu-tativa C divide al espacio en dos regiones no limitadas o encierra un áreafinita, respectivamente. El límite conmutativo puede ser obtenido asumien-do que θ es muy pequeno en comparación con un elemento de área; porlo que considerando a FC como el Hamiltoniano de una evolución tempo-ral ficticia, podemos obtener sus autovalores aplicando el procedimiento deBohr-Sommerfeld. De aquí deducimos que el área queda cuantizada solopara una curva que encierra un área finita. Este razonamiento conduce aun posible modo de construir la condición de borde para una dada cur-va: buscamos un Hamiltoniano tal que en el límite semiclásico tenga unacurva de energía constante que coincida con la que estamos considerando.Entonces, el Hamiltoniano menos la correspondiente energía, es esenciale-mente la ecuación para FC . Por ejemplo, FC = a1x1 + a2x2 se correspondecon un espectro contínuo y FC =

√x2

1 + x22 −R con uno discreto.

1. Introducción

CAPÍTULO II

Borde recto en 2+1 dimensiones

”Aprendí bien temprano la diferencia entre saber algoy saber el nombre de algo"

Richard Feynman

En una primera aproximación al confinamiento de sistemas no conmu-tativos analizaremos un modelo de un campo escalar complejo con masaen dos dimensiones espaciales no conmutativas más el tiempo, que supon-dremos conmutativo. Las curvas en la que impondremos las condiciones deborde serán rectas en donde x2 = cte. Expandiendo de los campos en ondasplanas estudiaremos el comportamiento de paquetes de ondas bajo este tipode condiciones y obtendremos una expresión explícita para el propagadorcorrespondiente.

2.1. Descripción general del modelo

El modelo que analizaremos consta de un campo escalar complejo conmasa definido sobre R3, donde [x1, x2] = iθ y [x1, t] = [x2, t] = 0. La accióneuclídea correspondiente en términos del producto estrella introducido enla sección 1.5 resulta:

S(φ†, φ

)= Sf + Sb

=

∫d3x

[(∂µφ(x))† ? ∂µφ(x) + µ2

0 φ†(x) ? φ(x)

]+ Sb , (2.1)

donde Sb incluye los términos de interacción que utilizaremos para confinaral sistema. Consideremos los dos términos de borde no equivalentes intro-ducidos en 1.8:

S(L)b

(φ†, φ

)= λL

∫d3xφ(x) ? δlC(x) ? φ†(x)

S(R)b

(φ†, φ

)= λR

∫d3xφ†(x) ? δlC(x) ? φ(x) (2.2)

2. Borde recto en 2+1 dimensiones

Aqui δlC(x) es el analogo no conmutativo de la delta bidimensional usualque solo tiene soporte sobre la recta x2 = l. Como se mencionó en 1.8, elhecho de que FC tenga un espectro contínuo se corresponde con curvas quedividen al espacio en dos regiones no acotadas, como sucede en este modelodonde C ≡ (x1, x2) : x2 = l. Sea |ε〉 una base ortonormal para FC :

FC |ε〉 = ε |ε〉 , 〈ε′|ε〉 = δ(ε′ − ε) . (2.3)

Expandiendo los campos φ y φ† en esta base obtenemos:

φ(t) =

∫dεdε′ φε,ε′(t) |ε〉〈ε′| , φ†(t) =

∫dεdε′ φ∗ε′,ε(t) |ε〉〈ε′| . (2.4)

Leugo, para el término de borde S(R)b ,

S(R)b = 2πθ λR

∫dt

∫ε

|φ0,ε(t)|2 (2.5)

que en el límite de Dirichlet (λ→∞) impone la condición:

φ0,ε(t) = 〈0|φ(t)|ε〉 = 0 , ∀ε (2.6)

o en términos de operadores, 〈0|φ(t) = 0 (y φ†(t)|0〉 = 0 1). Por otro lado, unprocedimiento análogo para el término S(L)

b nos lleva a

S(L)b = 2πθ λL

∫dt

∫dε |φε,0(t)|2 , (2.7)

que en el límite de Dirichlet toma la forma:

φε,0(t) = 〈ε|φ(t)|0〉 = 0 , ∀ε, (2.8)

o en términos de operadores φ(t)|0〉 = 0 (y 〈0|φ†(t) = 0). Ambos términos deborde pueden escribirse también como

S(R)b = 2πθ λR

∫dtTr

[φ†(t)PCφ(t)

]S

(L)b = 2πθ λL

∫dtTr

[φ(t)PCφ†(t)

], (2.9)

1Hemos adoptado una notación tipo bra-ket para denotar elementos de matriz de ob-jetos del álgebra no conmutativa. Estos no deben confundirse con los elementos de matrizen el espacio de Fock de los operadores de campo.

2.2. Scattering de ondas planas

con PC ≡ |0〉〈0|. Este razonamiento nos permite ver qué condiciones debencumplir los campos, independientemente de la forma de la base escogidapara su representación, siempre que ella sea contínua. Consideremos en par-ticular el término S(R)

b . Utilizando las propiedad 1.23 podemos eliminar unode los productos de Moyal, obteniendo:

S(R)b =λR

∫d3x δ(x2)φ(x) ? φ†(x)

=λR

∫dx0 dx1 φ(x) ? φ†(x)

∣∣x2=l

(2.10)

. El producto estrella φ(x) ? φ†(x) puede escribirse alternativamente como

φ(x) ? φ†(x) =

∫d3k d3p

(2π)6exp(ikixi) ? exp(−ipixi)φ(k)φ†(p) (2.11)

con la transformación de Fourier usual φ(x) =∫

d3k(2π)3

exp(ikixi)φ(k) y te-niendo en cuenta que x0 ≡ tApartando la dependencia temporal, resolvien-do el producto estrella y reemplazando en 2.10, obtenemos:

S(R)b = λR

∫dx0 dx1

∫dk0 dp0

(2π)6exp [ix0(k0 − p0)]

∫d2k d2pφ(k)

φ†(p)exp [ix1(k1 − p1)] exp [i

2θ12(k1p2 − k2p1)] exp [il(k2 − p2)]

= λR

∫dk0 dk1

(2π)2φ(k0, k1, l −

θk1

2)φ†(k0, k1, l −

θk1

2) (2.12)

Realizando los mismos pasos para el término S(L)b obtenemos una expresión

similar:

S(L)b = λL

∫dk0 dk1

(2π)2φ†(k0, k1, l +

θk1

2)φ(k0, k1, l +

θk1

2). (2.13)


Consideremos ahora las ecuaciones de movimiento que surgen de la ac-ción Sf+Sb para un borde recto tipoR en x2 = 0 (adoptaremos la notaciónRy L para referirnos a las condiciones S(R)

b y S(L)b ). Tomando la transformada

de Fourier de Sf en las coordenadas t y x1, obtenemos en tiempo real:

(∂22 + k2

2) φ(k, x2) =

∫dx′2 V (k, x2, x

′2) φ(k, x′2), (2.14)


donde hemos introducido el núcleo

V (k, x2, x′2) = λ δ(x2 +

θk1

2) δ(x′2 +

θk1

2) , (2.15)

con la condición de capa de masa k2 =√k2

0 − k21 −m2 > 0 (usamos el resul-

tado positivo de la raiz cuadrada a fin de considerar una solución que cor-responde a una onda plana incidente desde valores negativos de x2). Paraeste tipo de soluciones, que trataremos como inherentes a un problema descattering, utilizaremos la ecuación integral de Lippmann-Schinger (L-S):

φ(k, x2) = φ(0)(k, x2)

+

∫dx′2

∫dx′′2 ∆R(k2, x2, x

′2)V (k, x′2, x

′′2)φ(k, x′′2) , (2.16)

siendo φ(0) la solución incidente de una partícula libre definida por

(∂22 + k2

2)φ(0)(k2, x2) = 0 (2.17)

y ∆R la función de Green Retardada que satisface

(∂22 + k2

2)∆R(k2, x2 − x′2) = δ(x2 − x′2) . (2.18)

Para este problema en particular, la ecuación 2.18 tiene la siguiente soluciónexplícita:

∆R(k2, x2 − x′2) =i

2k2

eik2 |x2−x′2| . (2.19)

Procedemos ahora a resolver la ecuación de L-S 2.16 en una forma análogaa la presentada en [21], obteniendo

φ(k, x2) = eik2x2 + r(k)e−iθk1k2

2 eik2|x2+θk12| , (2.20)

donde r(k) ≡ −iλ2k2

1+ iλ2k2

. De la solución 2.20 podemos extraer, considerando

las situaciones donde x2 > 0 y x2 < 0, las propiedades de las ondas transmi-tidas y reflejadas respectivamente. En particular estudiaremos la dependen-cia de los coeficientes de transmisión y reflexión con el momento incidentek1. En este sentido, recordemos que la solución de onda tiene una depen-dencia en x1 que ha sido factorizada dado que no resulta afectada por lacondición de borde. Para la onda transmitida, φ>, se cumple:

φ>(k, x2) = [1 + r(k)] eik2x2 (2.21)


siempre que k1 > 0 y x2+ θk12> 0 (que resulta trivial) de forma similar al caso

conmutativo. En particular, no hay onda transmitida cuando λ → ∞ dadoque r(k) → −1. Notemos sin embargo que existe una diferencia cualitativapara k1 < 0. En este caso la condición x2 + θk1

2< 0 puede satisfacerse y lleva

aφ>(k, x2) = eik2x2 + r(k) e−iθk1k2e−ik2x2 , (2.22)

tomando en el límite de Dirichlet la forma:

φ>(k, x2) = eik2x2 − e−iθk1k2e−ik2x2 . (2.23)

Esta expresión es sustancialmente diferente al caso en donde x2 + θk12

>

0, existe una onda reflejada y el sistema se comporta como si hubiera unapared en x2 = − θk1

2que solo actúa si k1 < 0 (asumimos que θ > 0). El

comportamiento de la onda en x2 < 0, φ<, es consistente con los resultadosobtenidos hasta el momento. Para k1 < 0 y x2 + θk1

2< 0 (que resulta trivial)

la pared actúa de forma similar y la solución se reduce a

φ<(k, x2) = eik2x2 + r(k) e−iθk1k2e−ik2x2 . (2.24)

Con x2 < 0 y k1 > 0, φ< se anula si x2 > − θk12

en el límite de Dirichlet y tomala forma 2.24 si x2 < − θk1

2. Vemos entonces que para distintos valores de k1

tanto la función de onda transmitida como la reflejada se corresponden conel resultado conmutativo cuando λ→∞, excepto que lo hacen con la pareden x2 = − θk1

2. Resumimos el análisis anterior diciendo que si imaginamos un

paquete de ondas con una dispersión no nula en la dirección x1, el términode borde R se comporta como si tuviera un ancho finito δx2 ∼ θδk1. O, poraplicación directa del principio de incertidumbre:

δx1 δx2 ∼ θ . (2.25)

Como prueba de consistencia de la derivación anterior, notemos que la condi-ción 2.6 puede ser escrita como:

0 =

∫d2k

(2π)2〈0|eik·x|x2〉 φ(k) , ∀x2 ; (2.26)


quedando implícita la dependencia temporal en φ(k). Esta expresión con-duce directamente a

φ(−x2

θ;x2

2) = 0 , ∀x2 , (2.27)

o lo que resulta equivalente,

φ(k1;−θk1

2) = 0 , ∀k1 . (2.28)

Esto prueba que los campos deben anularse en x2 = − θk12

como mencionamosanteriormente. Una simple extensión al caso de la línea recta es el caso dedos líneas rectas paralelas en x2 = 0 y x2 = l. Ahora bien, para cada líneapodemos elegir una condición tipoR o L. En el casoRR, el término de borderesultante tiene la forma:

S(RR)b = λ

∫dk0

2π

dk1

2π

[φ†(k0, k1;−θk1

2) φ(k0, k1;−θk1

2)

+ φ†(k0, k1; l − θk1

2) φ(k0, k1; l − θk1

2)]. (2.29)

En particular, cuando when λ → ∞, encontramos que φ debe satisfacer lascondiciones φ(k0, k1;− θk1

2) = 0 y φ(k0, k1; l− θk1

2) = 0. La solución es no trivial

si k2 = nπl

, como sucede en el caso conmutativo. Esto permite asegurar quela fuerza de Casimir tiene el mismo valor. Sucede lo mismo si se imponencondiciones del estilo LL. La situación sin embargo cambia si consideramosambos tipos de borde L y R. Utilizamos una condición tipo R en x2 = l

y otra L en x2 = 0, en el límite de Dirichlet se obtienen las restriccionesφ(k0, k1; l − θk1

2) = 0 y φ(k0, k1; θk1

2) = 0. De esta manera los modos resultan

estar cuantizados y satisfacen

k2 =nπ

|l − θk1|, n ∈ N . (2.30)

La introducción de los dos tipos de borde difiere de los casos RR o LL yconduce a un ancho efectivo l− θk1

2. El desplazamiento, claramente simétri-

co, proviene de una simetría de paridad en el término de interacción conrespecto al punto medio x2 = l/2. La energía de Casimir por unidad delongitud o tensión que le corresponde a este caso híbrido puede calcularse

2.3. Propagador

directamente y resulta ser:

E =1

2

∫dk0dk1

(2π)2ln[1 − e−2

√k20+k2

1 |l−θk1|]. (2.31)

En el límite l2 >> θ la energía de Casimir tiende al valor conmutativo ycrece más rápido que l−2 a distancias cortas.

2.3. Propagador

La deducción del propagador para un borde tipo L en x2 = 0 y otro tipoR en x2 = l no resulta complicada utilizando la forma transformada de loscampos en 2.13. La acción Sf + Sb en esta base resulta:

Sf + Sb =

∫dk0dk1dx2

(2π)2φ†(k0, k1, x2)[k2

0 + k21 − ∂2

2 +m2 + λR δ(x2 − l +θk1

2)

+λL δ(x2 −θk1

2)]φ(k0, k1, x2). (2.32)

El propagador ∆(k0, k1, x2, y2) ≡ ∆(x2, y2), la inversa de la forma cuadráticaen la ecuación anterior, puede obtenerse a partir de la siguiente expresiónrecurrente:

∆(x2, y2) = ∆0(x2, y2)−∫dw2dz2∆0(x2, w2)V (w2, z2)∆(z2, y2), (2.33)

donde V (w2, z2) = δ(w2 − z2)[λLδ(w2 − θk12

) + λRδ(w2 − l + θk12

)] y ∆0(x2, y2)

es el propagador asociado a la acción libre Sf . De [19]:

∆0(x2, y2) =e−k2|x2−y2|

2k2

=

∫ds

2π

exp [is(x2 − y2)]

k2 + s2(2.34)

La evaluación en los puntos x2 = θk12

y x2 = l − θk12

nos permite despejar∆(x2, y2) en forma explícita. Si tomamos λR = λL = λ y evaluamos el límite


λ→∞ obtenemos:

∆(x2, y2) =1

2k‖

[e−k‖|x2−y2|

− 1

1− e−2k‖|l−θk1|e−k‖

(|x2−l+ θk1

2|+|y2−l+ θk1

2|)

− 1

1− e−2k‖|l−θk1|e−k‖

(|x2− θk12 |+|y2−

θk12|)

+e−k‖|l−θk1|

1− e−2k‖|l−θk1|e−k‖

(|x2−l+ θk1

2|+|y2− θk12 |

)+

e−k‖|l−θk1|1− e−2k‖|l−θk1|

e−k‖(|x2− θk12 |+|y2−l+

θk12|)]. (2.35)

Si bien 2.35 representa el caso de un borde tipo L en x2 = 0 y otro tipo R enx2 = l, podemos apropiadamente tomar l → 0 para incluir condiciones tipoR yL solo en x2 = 0. En el límite de Dirichlet, donde 〈0|φ|ε〉 = 〈ε|φ|0〉 = 0 ∀ε,el propagador ∆(x2, y2) toma la forma simplificada:

∆(x2, y2) =1

2k‖

[e−k‖|x2−y2| − e−k‖

(|x2+

θk12|+|y2+

θk12|)

− e−k‖(|x2− θk12 |+|y2−

θk12|)]. (2.36)

Ambos tipos de condiciones en x2 = 0 permiten que el sistema adquierasimetrías de paridad y conjugación de carga φ → φ†, φ† → φ. La expresión2.36, que resulta comportarse en forma simétrica frente a una onda con val-ores positivos y negativos del momento incidente k1, despierta interés en elanálisis de un paquete de ondas con una dispersión no nula en k1. De losresultados de la sección 2.2 vemos que el efecto de ambos tipos de borde esproducir un ensanchamiento efectivo de la pared en x2 = 0 que interactúaen forma diferente para cada componente de Fourier del paquete. Consider-emos en concreto un paquete de ondas con un momento definido k2 = K yuna distribución gausiana en k1 dada por g(k1) con momento medio k1 = P .La expresión para la solución de onda 2.20 con la condición de capa de masak2 =

√k2

0 − k21 −m2 y tomando λ→∞ es entonces:

φ(x1, x2, t) =

∫dk1

2πg(k1) eik1x1−i

√k21+K2+m2 t (eiKx2 − e−i

θk1K2 eiK|x2+

θk12|)

(2.37)Si bien esta solución proviene de implementar solo la condición tipo R,puede generalizarse para ambos tipos de condiciones resolviendo la ecuación2.16 con V (k;x2, x

′2) = λ [δ(x2+ θk1

2) δ(x′2+ θk1

2)+δ(x2− θk1

2) δ(x′2− θk1

2)], donde

2.3. Propagador

hemos igualado λR = λL = λ. La expresión para el paquete toma entoncesla forma:

φ(x1, x2, t) =

∫dk1

2πg(k1) eik1x1−i

√k21+K2+m2 t [eik2x2 − e−i

θk1k22 eik2|x2+

θk12|

− (eik2|x2+θk12|ei2k2|

θk12| − eik2|x2− θk12 |) γ(k1, k2, θ)], (2.38)

donde

γ(k1, k2, θ) =eiθk1k2

2 − e−iθk1k2

2 ei2k2|θk1|

2

ei2k2|θk1| − 1. (2.39)

Para aquellas componentes del paquete con k1 > 0 la solución se reduce ala ecuación 2.37 y para aquellas con k1 < 0 la expresión es exactamente lamisma intercambiando θk1/2 → −θk1/2, como esperábamos que sucedieradada la simetría del sistema. Siguiendo los pasos de [22] [23] en el análi-sis de un paquete de ondas para el caso particular de una condición tipoR, desarrollamos el término que corresponde a la energía

√k2

1 +K2 +m2

a segundo orden en k1 − P y definimos la distribución gausiana g(k1) =

exp[−α(k1 − P )2/2]. En la región donde x2 + θk12> 0 la solución se anula

como ya vimos y en donde x2 + θk12< 0 la ecuación 2.37 se reduce a:

φ(x1, x2, t) = eiKx2ei[Px1−εt]√

2π(α + i2βt)e−(x1−vgt)

2

(2α+i4βt)

− e−iKx2ei[P (x1−θK)−εt]√

2π(α + i2βt)e−(x1−θK−vgt)

2

(2α+i4βt) , (2.40)

donde ε ≡ k0(P ), vg ≡ ∂k0∂k1

(P ) y β ≡ ∂2k0∂k2

1(P ). Comparando con la situación

conmutativa, la solución reflejada se ve trasladada o demorada por un valorKθ en la variable x1.

CAPÍTULO III

Borde circular en dos dimensiones

”Lo que observamos no es la naturaleza en sí, sino lanaturaleza expuesta a nuestro método de

cuestionamiento."Werner Heisenberg

Como describimos en la sección 1.8, el confinamiento en un volumenfinito de teorías no conmutativas no es nada trivial. En el modelo que de-scribimos a continuación implementamos un borde circular en un mode-lo de un campo escalar complejo con interacciones del estilo φ4, sobre unespacio de dos dimensiones espaciales no conmutativas. Una de las her-ramientas principales que utilizaremos es la base matricial introducida en1.7. En esta representación, obtendremos el propagador que incorpora la in-formación del borde y derivaremos las reglas de Feynman asociadas a laexpansión diagramática.

3.1. Descripción general del modelo

El modelo que analizaremos consta de un campo escalar complejo conmasa definido sobre R2, donde [x1, x2] = iθ. La acción euclídea correspondi-ente en términos del producto estrella introducido en la sección 1.5 resulta:

S(φ†, φ

)= Sf + Sb + SI

=

∫d2x

[(∂µφ(x))† ? ∂µφ(x) + µ2

0 φ†(x) ? φ(x)

]+ Sb + SI , (3.1)

donde SI contiene los terminos de interacción que describiremos luego en3.3 y Sb incluye los términos de borde previamente introducidos en 1.8:

S(L)b

(φ†, φ

)= λL

∫d2xφ(x) ? δC(x) ? φ†(x)

S(R)b

(φ†, φ

)= λR

∫d2xφ†(x) ? δC(x) ? φ(x) (3.2)

3. Borde circular en dos dimensiones

Aqui, δC(x) es el analogo noconmutativo de la delta bidimensional conmu-tativa que tiene soporte sobre un círculo de radio R. Si bien λR y λL son enprincipio arbitrarias, las tomaremos iguales en lo que sigue. Pasando a larepresentación operatorial, el término de borde puede escribirse como

Sb = 2πθ λTr[φ†δCφ + φδCφ

†] , (3.3)

donde δC toma la forma:

δC = δ[FC] = δ(√

x21 + x2

2 −R). (3.4)

Introducimos a = (x1 + ix2)/√

2θ y a† = (x1 − ix2)/√

2θ con el objeto depoder escribir a la delta operatorial δC como

δ[FC] = δ[√

2θ(√

n+ 1/2− R√2θ

)] , n = a†a . (3.5)

Aquí n representa el operador de número de un oscilador armónico unidi-mensional. Notemos que para que la función FC pueda anularse, el radiodebe quedar restringido a

R√2θ

=

√N +

1

2, N = 0, 1, . . . . (3.6)

Con estas consideraciones, el siguiente paso es escoger una representacionadecuada para el campo escalar. En este caso escogemos una base matricialque diagonaliza a δC y que se corresponde, como mencionamos en 1.7, conlos autoestados de un oscilador armónico a traves del operador de creacióna† ≡ x1−ix2√

2θ. Expandiendo los campos e φ y φ† es esta base obtenemos:

φ =∞∑

nm=0

φnm|n〉〈m| , φ† =∞∑

nm=0

φ∗mn |n〉〈m| , (3.7)

donde los estados |n〉 satisfacen

FC |n〉 = εn |n〉 , 〈n|m〉 = δnm . (3.8)

3.2. Propagador

Siguiendo los pasos de la sección 2.5 con la excepción de que ahora el espec-tro para FC es discreto, obtenemos:

S(R)b = 2πθ λR

∞∑n=0

|φ0n|2 , (3.9)

Al tomar el límite λR → ∞ encontramos que el campo φ debe satisfacer lacondición

φ0n = 〈0|φ|n〉 = 0 , ∀n . (3.10)

Consideremos ahora el término Sf + Sb expandiendo a los campos según3.7:

Sf + Sb = 2πθ∞∑

n,m,k,l=0

{φ†nm[(G0

mnkl + λ(δm,lδn,kδN,k

+ δk,nδl,mδN,m)]φkl} (3.11)

El subíndice N , sobre el cual no estamos sumando, es un parámetro con-stante que queda definido una vez que fijemos el radioR de nuestro sistemasegún la relación 3.6. La inversa de la forma cuadrática G0

mnkl, que denom-inaremos propagador libre, ha sido calculada previamente por [24] y tienela siguiente expresion:

∆0nmlk =

∫ ∞0

dvvn−me−v√m!l!

n!k!

Ln−mm (v)Lk−ll (v)

2√µ2

0 + v 2θ

δm+k,n+l, (3.12)

donde la función Ln−mm (v) es el polinomio de Laguerre generalizado. El he-cho de que el propagador libre sea la inversa de la forma cuadratica G0

mnkl

significa especificamente que

∞∑k,l=0

G0mnkl∆

0lksr =

∞∑k,l=0

∆0nmlkG

0klrs = δmrδns . (3.13)

3.2. Propagador

Una vez establecida la descripción fundamental del modelo, nos pro-ponemos a encontrar una expresion para el propagador de la acción Sf +Sb.Para ello deberemos invertir la forma cuadrática:

Gmnkl = G0mnkl + λ(δm,lδn,kδN,k + δk,nδl,mδN,m) (3.14)


La relacion entre este nuevo propagador que denominaremos ∆λmnlk con

Gmnkl es similar a 3.13. Seguiremos los pasos de la sección 2.3 y partiremosde la expresión recurrente

∆λmnlk = ∆0

mnlk − λ∞∑

o,p,q,r=0

∆0mnop(δp,qδo,qδN,r + δo,rδp,qδN,p)∆

λqrlk

= ∆0mnlk − λ

∞∑g=0

(∆0mnNg∆

λgNlk + ∆0

mngN∆λNglk) . (3.15)

Evaluando en una primera instancia en a = N obtenemos:

∆λNnlk = ∆0

Nnlk − λ∞∑g=0

(∆0NnNg∆

λgNlk + ∆0

NngN∆λNglk) . (3.16)

En base a la definición 3.12 separamos la contribucion δm+k,n+l de ∆0nmlk

definiendo una funcion fnmlk tal que

∆0NmNg = fNmNg δN+N,m+g

∆0NmgN = fNmgN δN+g,N+m = fNmgN δg,m . (3.17)

Reemplazando estas expresiones en 3.16 obtenemos

∆λNnlk =

∆0Nnlk − λ

∑∞g=0 ∆0

NnNg∆gNlk

1 + λfNnnN. (3.18)

La expresión 3.18 nos permite reemplazar en 3.16 uno de los términos recur-rentes en ∆λ. Sin embargo, dado que el término de borde que hemos intro-ducido consta de dos partes no equivalentes, necesitamos de una segundaevaluación en particular para despejar completamente ∆λ. En efecto, reem-plazando 3.18 en 3.15 y evaluando en n = N , obtenemos luego de algunospasos algebraicos:

∆λmNlk =

1

Hmn

(∆0mnlk − λ

∞∑g=0

∆0mNgN∆0

Nglk

1 + λfNggN

), (3.19)

dondeHmn = 1 + λ

(fmNNm − λ

fmN,2N−m,NfN,2N−m,Nm1 + λfN,2N−m,2N−m,N

). (3.20)

3.3. Términos de interacción

Ahora sí podemos reemplazar 3.19 en 3.15 para despejar completamente elpropagador en términos de los parámetros N y λ:

∆λmnlk = ∆0

mnlk − λ∞∑z=0

∆0mnzN∆0

Nzlk

1 + λfNzzN− λ

∞∑g=0

1

Hgn

[(∆0

mnNg

− λ∞∑z=0

∆0mnzN∆0

NzNg

1 + λfNzzN)(∆0

gNlk − λ∞∑y=0

∆0gNyN∆0

Nylk

1 + λfNyyN)]. (3.21)

3.2.1. Análisis del propagador con λ→∞

En el límite λ→∞, el propagador toma forma:

lımλ→∞

∆λmnlk = ∆0

mnlk −∞∑z=0

∆0mnzN∆0

Nzlk

fNzzN−∞∑g=0

1

Hgn

[(∆0

mnNg

−∞∑z=0

∆0mnzN∆0

NzNg

fNzzN)(∆0

gNlk −∞∑y=0

∆0GNyN∆0

Nylk

fNyyN)], (3.22)

siendoHgn = (fmNNm −

fmN,2N−m,NfN,2N−m,NmfN,2N−m,2N−m,N

). (3.23)


Los términos de interaccioón permiten que los campos puedan acoplarseentre sí y dan lugar a correcciones cuánticas al propagador. La renormaliz-abilidad de una teoría de campos está por supuesto relacionada con estostérminos. En [24] se prueba que el modelo que estamos analizando paraun campo real es renormalizable con una interacción ∼ φ4. Para un cam-po escalar complejo existen dos arreglos no equivalentes del estilo φ4, quese diferencian en el orden en que multiplicamos a φ y φ†. A continuacióndescribimos en detalle cada uno de ellos.

3.3.1. Interacción cíclica

La primera de las interacciones que introduciremos se denomina cíclicay su expresión esta dada por

V(c)I (φ†, φ) = g(1)

∫d2x

(φ†(x) ? φ(x) ? φ†(x) ? φ(x)

). (3.24)


Expandiendo los campos según 3.7 y resolviendo los productos estrella obten-emos:

V(c)I (φ†, φ) = 2πθg(1)

∞∑m,n,r,s=0

φ†mnφmrφ†srφsn . (3.25)

El nombre de esta interacción proviene de la propiedad cíclica del produc-to estrella 1.22, que nos permite permutar cíclicamente los campos en 3.25obteniendo el mismo término de interacción.

3.3.2. Intereacción no cíclica

La segunda de las interacciones se denomina no cíclica y su expresión esligeramente diferente al término cíclico:

V(nc)I (φ†, φ) = g(2)

∫d2x(φ†(x) ? φ†(x) ? φ(x) ? φ(x)) (3.26)

Expandiendo los campos según 3.7 y luego de resolver los productos estrellaobtenemos:

V(nc)I (φ†, φ) = 2πθg(2)

∞∑s,t,u,z=0

φ†szφ†tsφtuφuz (3.27)

Como podemos observar, ningúna permutación cíclica en los campos puedellevar la expresión 3.26 a la forma 3.24. Por esta razón es que mencionamosque no son equivalentes.

3.3.3. Corrección a primer orden del propagador

Calcularemos las correcciones cuánticas al propagador de nuestro mod-elo con la integral funcional:

I(b, b†) = N∫Dφ†, φ exp {2πθ

∞∑m,n,r,s=0

[− φ†nmGmnrsφrs − g(1)φ†mnφmrφ

†srφsn

− g(2)φ†smφ†nsφnrφrm + φ†nmbmn + b†nmφmn

]} , (3.28)

donde hemos introducido las fuentes para el campo complejo b y b†. Pro-cedemos ahora de la misma forma que en el caso conmutativo. Extraemoslos términos de interacción intercambiendo los campos por derivadas fun-cionales con respecto a sus fuentes y resolvemos la integral funcional, que

3.4. Reglas de Feynman

solo depende de Sb + Sf , obteniendo:

I(b, b†) = N exp {−VI(∂

∂2πθb,

∂

∂2πθb†)} exp [

∞∑m,n,r,s=0

2πθ b†nm∆λnmrsbsr] .

(3.29)La expresión para el propagador con todas las correcciones en términos dela integral funcional resulta

〈φ†abφcd〉 =∂

∂2πθbba

∂

∂2πθb†dcI(b, b†) |b,b†=0 . (3.30)

Quedándonos a primer orden en g1 y g2 obtenemos:

〈φ†abφcd〉 =[∆λ

dcab

2πθ− g(1)

(2πθ)2

∞∑m,n,r,s=0

(∆λnrab∆

λsmmn∆λ

dcrs + ∆λsmab∆

λnrmn∆λ

dcrs

+ ∆λnrab∆

λsmrs∆

λdcmn + ∆λ

smab∆λnrrs∆

λdcmn)

+g(2)

(2πθ)2

∞∑s,t,u,z=0

(∆λutab∆

λzuts∆

λdcsz + ∆λ

zuab∆λutts∆

λdcsz + ∆λ

utab∆λzusz∆

λdcts

+ ∆λzuab∆

λutsz∆

λdcts)

](3.31)

Hemos diferenciado las sumas solo para distinguir entre las contribucionesde las dos interacciones. Los términos ∼

∑m,n,r,s ∆dcab∆smrs∆nrmn, que no

están en 3.31, dan lugar a diagramas desconectados de vacío que no formanparte de la expansión por la correspondiente normalización de la integralfuncional a través del factor N .


Las reglas de Feynman de teorías no conmutativas en donde se ha usa-do una base matricial para el desarrollo de los campos son levemente máscomplicadas que en el caso conmutativo. Dado que ahora distinguimos ca-da campo φmn mediante dos índices y cada propagador ∆λ

mnkl mediante cu-atro, utilizamos diagramas de dos líneas o cintas como se los suele llamar.En la figura 3.1 mostramos el diagrama asociado al propagador obtenidoen 3.21. Notemos que las líneas continuas unen los índices internos mien-tras que las de trazos unen los índices externos. De forma similar a todocampo cargado conmutativo, encontramos dos flechas (una por línea) queapuntan en sentidos opuestos. El término de interacción cíclica proporciona


b

b

b

b

dc

ba∆λ

dcab

Figura 3.1: Diagrama asociado al propagador ∆λdcab.

a la teoría un vértice de cuatro patas que diagramaticamente representamosen la figura 3.2. Como podemos observar el vértice cíclico no intercambiatipos de líneas, es decir, toda línea que entra continua sale continua y todalínea que entra de trazos sale de trazos. El término de interaccón no cíclica

b

b b

b

s

r n

m

Figura 3.2: Diagrama del vértice cíclico φ†φφ†φ.

proporciona el vértice que representamos en la figura 3.3. A diferencia delvértice cíclico, este puede intercambiar tipos de líneas. La única regla quevale para ambos es que los acoplamientos deben respetar el sentido de lasflechas sobre cada línea.

b

b b

b

t

s u

z

Figura 3.3: Diagrama del vértice no cíclico φ†φ†φφ.

La expansión de 〈φ†abφcd〉 a primer orden en g(1) tiene cuatro contribu-ciones que usualmente se denominan tadpoles planares (más las de vacío) ypueden observarse en detalle en la figura 3.4. La palabra planar hace refer-encia a que ninguna cinta del diagrama pasa por debajo de otra. La expan-sión a primer orden en g(2), que podemos observar en la figura 3.5, introducedos nuevos diagramas que llamaremos tadpoles no planares. A diferenciade los planares, aquí una de las cintas pasa por debajo de otra. La necesidad


b

b b

b

b

b

b

b

dc

ba m

r

s

n

(a)

b

b b

b

b

b

b

b

a

b

c

d rs

n

m

(b)

b

b b

b

b

b

b

b

dc

ba s

n

m

r

(c)

b

b b

b

b

b

b

b

c

d

a

b ns

r

m

(d)

Figura 3.4: Contribuciones del vértice cíclico a 〈φ†abφcd〉 a primer orden eng(1).

b

b b

b

b

b

b

b

dc

ba t

u

z

s

(a)

b

b b

b

b

b

b

b

a

b

c

d zs

t

u

(b)

b

b b

b

b

b

b

b

c

d

a

btu

z s

(c)

b

b b

b

b

b

b

b

c

d

a

b

stu z

(d)

Figura 3.5: Contribuciones del vértice no cíclico a 〈φ†abφcd〉 a primer orden eng(2).

de introducir dos tipos de líneas se basa en las dos posibles contracciones delpropagador: ∆λ

annb y ∆λnabn. Utilizando la expresión 3.21 obtenemos luego de


algunos pasos la simplificación siguiente:

∑n

∆λannb =

∑n

δa,b{fannb − λf 2anαN

1 + λfNααN

− λ

H(βN)[fanNβ − λ

fβNαNfNαna1 + λfNααN

]2} , (3.32)

donde α = N + n− a y β = N + a− n. Lo interesante de 3.32 es que permiteescribir la contracción ∆λ

nabn con solo cambiar n↔ a y α↔ β. (La existenciade la delta δa,b deja de lado cualquier regla para b). En el límite λ→∞, 3.32toma la forma:

∑n

∆λannb =

∑n

[fanna −

f 2anαN

fNααN− (fanNβfNααN − fβNαNfNαna)2

fNααN(fβNNβfNααN − f 2βNαN)

]. (3.33)

CAPÍTULO IV

Borde circular en 2+1 dimensiones

”La imaginación es más importante que elconocimiento..."

Albert Einstein

Este capítulo complementa el modelo presentado en el capítulo 3, adicio-nando una dependencia en el tiempo que consideraremos conmuta con elresto de las coordenadas. Como veremos a continuación, esta pequeña gen-eralización no presenta grandes dificultades y llevaremos a cabo su análisisde forma similar al caso de dos dimensiones.

4.1. Borde circular

La acción que describe este modelo incorpora a la que introducimos en3.1 la dependencia en la variable temporal x0 ≡ t:

S(φ†, φ

)= Sf + Sb + SI

=

∫d3x

[(∂µφ(x))† ? ∂µφ(x) + µ2

0 φ†(x) ? φ(x)

]+ Sb + SI , (4.1)

donde ahora µ = 0, 1, 2. El término SI contiene las interacciones cíclicas yno cíclicas introducidas en 3.3 y Sb incluye las dos condiciones de borde:

S(L)b

(φ†, φ

)= λL

∫d3xφ(x) ? δC(x) ? φ†(x)

S(R)b

(φ†, φ

)= λR

∫d3xφ†(x) ? δC(x) ? φ(x) (4.2)

Aquí, δC(x) es el análogo noconmutativo de la delta bidimensional con so-porte sobre el círculo de radio R y no incorpora ninguna dependencia enel tiempo. Siguiendo los pasos de la sección anterior, obtenemos para Sb laexpresión:

Sb = 2πθ λ

∫dtTr

[φ†δCφ + φδCφ

†] (4.3)

4. Borde circular en 2+1 dimensiones

Expandiendo los campos en la base matricial 1.7, el término Sf + Sb toma laforma:

Sf + Sb = 2πθ

∫dt

∞∑n,m,k,l=0

{φ†nm(t)[(G0

mnkl + λ(δm,lδn,kδN,k

+ δk,nδl,mδN,m)]φkl(t)} (4.4)

El subíndice N , sobre el cual no estamos sumando, es un parámetro con-stante que queda definido una vez que fijemos el radioR de nuestro sistemasegún la relación 3.6. La inversa de la forma cuadrática G0

mnkl, que denom-inaremos propagador libre, ha sido calculada previamente por [24] y con lasutileza de reemplazar µ2

0 por µ20 + w2 tiene en el espacio de frecuencias la

siguiente expresion:

∆0nmlk(w) =

∫ ∞0

dvvn−me−v√m!l!

n!k!

Ln−mm (v)Lk−ll (v)

2√µ2

0 + w2 + v 2θ

δm+k,n+l , (4.5)

dondew es la transformada de Fourier del tiempo t. La condición 3.13 quedaahora generalizada como:

∞∑k,l=0

G0mnkl(w)∆0

lksr(w) =∞∑

k,l=0

∆0nmlk(w)G0

klrs(w) = δmrδns (4.6)

4.2. Propagador

La forma de encontrar el propagador en el espacio de frecuencias, con lainformación del borde circular, es similar a la que realizamos en 3.2 teniendoen cuenta que los propagadores libres ∆0

mnlk deben reemplazarse por la ex-presión 4.5 dependiente de w. La forma explícita del propagador en funcióndel tiempo es bastante más complicada dado que requiere la transformacióninversa de Fourier de cada uno de los términos en 3.21.


Los términos de interacción no contienen ningún operador dependientedel tiempo, como lo tiene el término cinético. Las expresiones para las inter-

4.4. Corrección a primer orden del propagador

acciones cíclicas y no cíclicas resultan:

V(c)I (φ†, φ) =2πθg(1)

∫dt

∞∑m,n,r,s=0

φ†mn(t)φmr(t)φ†sr(t)φsn(t)

V(nc)I (φ†, φ) =2πθg(2)

∫dt

∞∑s,t,u,z=0

φ†sz(t)φ†ts(t)φtu(t)φuz(t) (4.7)

4.4. Corrección a primer orden del propagador

En la corrección a primer orden del propagador necesitamos generalizarla expresión 3.31 para 〈φ†ab(t1)φcd(t2)〉. Teniendo en cuenta que los términosde interacción contienen ahora una integral en el tiempo, debemos reem-plazar:

∆λdcab → ∆λ

dcab(t2 − t1) (4.8)∞∑

m,n,r,s=0

∆λnrab∆

λsmmn∆λ

dcrs →∫dt

∞∑m,n,r,s=0

∆λnrab(t− t1)∆λ

smmn(0)∆λdcrs(t2 − t)

(4.8)


En lo que respecta a la expansión diagramática no hay ninguna modi-ficación con la excepción de tener en cuenta la integración adicional en eltiempo en cada vértice.

4. Borde circular en 2+1 dimensiones

CAPÍTULO V

Modelo autodual

”Finalmente, se pondrá el propio Sol en el centro delUniverso."

Nicolaus Copernicus

La autodualidad en una teoría de campos se encuentra íntimamente rela-cionada con la posibilidad de encontrar soluciones exactas de movimiento ode correlación. A continuación describiremos cómo con los términos de bor-de R y L introducidos en 1.8 podemos lograr que el modelo de la sección 3sea autodual. En [25] se analiza el mismo modelo sin la condición de bordecircular.

5.1. Descripción general

El único sistema en donde podemos encontrar una base que diagonal-ice de forma simultánea a Sf y Sb definidos previamente en 4.1, consiste enel modelo autodual de Langmann-Szabo [25] con una condición de bordecircular. Para construir modelos autoduales introducimos un acoplamien-to entre φ y un campo magnético crítico o un potencial de confinamientodel estilo Grosse-Wulkenhaar. En el primero de ellos, usamos uno de losdos campos magnéticos BL o BR, correspondientes a la transformación degauge U?1 fundamental o antifundamental, respectivamente. Las derivadascovariantes que actúan sobre φ tienen la forma:

D(L)µ φ = ∂µφ+ iA(L)

µ ? φ

D(R)µ φ = ∂µφ+ iφ ? A(R)

µ , (5.0)

5. Modelo autodual

con A(L,R)j ≡ −B(L,R)

2εjkxk y A

(L,R)0 ≡ 0. La acción libre Sf que resulta para

cada caso es:

S(R)f =

∫d3x

[(D(R)µ φ

)†? D(R)

µ φ+m2φ† ? φ]

S(L)f =

∫d3x

[(D(L)µ φ

)†? D(L)

µ φ+m2φ† ? φ]. (5.0)

La autodualidad puede ser alcanzada bajo diferentes condiciones, dependi-endo de si θB(R) = −2, θB(L) = 2. Aplicando estas condiciones en 5.1:

S(R)f =

∫d3xφ† ?

[− ∂2

t +2

θ(a† ? a+

1

2) +m2

]? φ

S(L)f =

∫d3xφ ?

[− ∂2

t +2

θ(a† ? a+

1

2) +m2

]? φ† . (5.0)

El sistema con el potencial confinante, por el otro lado, se corresponde conla acción S(A)

f :

S(A)f =

∫d3x[(∂µφ)† ? ∂µφ+

2

θ2φ† ? xj ? φ ? xj +m2φ† ? φ

]=

∫d3x{φ† ? (−∂2

τ +m2)φ

+2

θ

[φ† ? (a† ? a+

1

2)φ+ φ ? (a† ? a+

1

2)φ†]}

. (5.-1)

La acción con mayor simetría [26] corresponde al caso del potencial con-finante (aquí podemos intercambiar el campo con su adjunto). Existe portanto una elección natural del término de borde: la suma de R y L, con lamisma constante de acoplamiento, es decir, con λR = λL = λ. Escribimos acontinuación, en la base matricial, la acción Sb = S

(R)b + S

(L)b bajo las condi-

ciones recién mencionadas.

S(R)b = 2πθλR

∫dt∑n

φ∗Nn(t)φNn(t)

S(L)b = 2πθλL

∫dt∑n

φ∗nN(t)φnN(t) . (5.-1)

Aquí N denota el estado correspondiente al radio R de C. El propagador enespacio de frecuencias puede ser encontrado explícitamente:

〈φ∗jk(ω)φnl(ω)〉 = (2πθ)−1 δjnδklω2 +m2 + 2

θ(j + k + 1) + λ(δjN + δkN)

.(5.0)

5.1. Descripción general

En el límite de Dirichlet, los vínculos resultantes pueden ser inmediata-mente resueltos restringiendo a los campos a ser de la forma:

φ(t) =∑

n,m 6=N

φnm(t)|n〉〈m| , φ†(t) =∑

n,m 6=N

φ∗mn(t) |n〉〈m| . (5.0)

Cuando introducimos esta expansión en cada uno de los términos de inter-acción (cíclico y no cíclico), interpretamos que hemos eliminado uno de loselementos de la base, |N〉.

La energía de Casimir en este caso es justamente la energía de vacío parael modo φNN . Este objeto tiene la misma acción que un oscilador, por lo que

su energía es: E =√

2θ

(2N + 1). En términos de R, esto corresponde a unatensión:

E =1

2π

R

θ3/2. (5.0)

Es importante notar que esta energía de vacío diverge con θ → 0, es decir, enel límite conmutativo. Los detalles de por qué sucede este fenómeno puedenverse en [27].

5. Modelo autodual

CAPÍTULO VI

Conclusiones

La imposición de condiciones de borde en una teoría no conmutativa noes algo que inmediatamente pueda obtenerse a partir del caso conmutativo.Considerando un campo escalar complejo en dos coordenadas espaciales,vimos que existen dos términos de interacción no equivalentes R y L conlos que podemos introducir condiciones del tipo Dirichlet a lo largo de unacurva espacial C. Cada uno de estos términos contiene el producto estrellade φ, φ† y δC integrado sobre todo R2 (más eventualmente el tiempo, queconmuta con el resto de las variables). Si bien δC , el análogo no conmuta-tivo de la delta bidimensional usual, puede obtenerse a partir del mapeosimétrico de Weyl; mostramos que existe una representación alternativa endonde δC = δ[FC] y FC puede interpretarse como un Hamiltoniano ficticiocon curvas de energía constante que coinciden con C en un límite semiclási-co. Siguiendo este tipo de razonamiento dedujimos que la discretización enel espectro de FC aparece únicamente cuando la curva C encierra un áreafinita.

En un primer modelo, imponiendo condiciones de borde tipo R y L so-bre rectas definidas por x2 = cte, analizamos el scattering de solucionesen forma de ondas. En particular observamos como ambos tipos de condi-ciones en x2 = 0 le brindan a la recta un ancho efectivo compatible con elprincipio de incertidumbre propio de las coordenadas espaciales no con-mutativas. Mostramos también los cambios que aparecen en la energía deCasimir para dos espejos o condiciones de borde en x2 = 0 y x2 = l y calcu-lamos el propagador en forma explícita.

En un segundo modelo, pretendiendo encerrar un área finita, impusi-mos condiciones tipo R y L sobre un círculo de radio R. Expandiendo loscampos en una base matricial que diagonaliza a FC logramos despejar unaexpresión para el propagador y así deducir las reglas de Feynman para lasdos interacciones (cíclica y no cíclica) no equivalentes del estilo∼ φ4. La gen-eralización de este modelo con la adición del tiempo no introduce nuevos

6. Conclusiones

conceptos, dado que son solo las coordenadas espaciales las que no conmu-tan.

Finalmente, mostramos que el modelo autodual de un campo escalarcomplejo con el término de Grosse-Wulkenhaar y con condiciones de bordetipoR y L sobre un círculo de radioR conduce en el límite de Dirichlet a unaernegía de Casimir E ∼ θ−3/2. En el mismo límite y usando la misma basematricial del segundo modelo calculamos explícitamente el propagador ymostramos que la condición de borde elimina uno de los elementos o modosde la base.

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[21] C. D. Fosco, F. C. Lombardo, and F. D. Mazzitelli. Neumann Casimireffect: a singular boundary-interaction approach. Phys. Lett., B690:189–195, 2010.

[22] Stephen Gasiorowicz. Quantum Physics. International, Wiley, third edi-tion, 2003.

[23] Cohen, Bernard Diu, and Frank Laloe. Quantum Mechanics. Wiley-Interscience, 1977.

[24] Harald Grosse and Raimar Wulkenhaar. Renormalisation of φ4-theoryon noncommutative r2 in the matrix base. JHEP, 12:019, 2003.

[25] Edwin Langmann and Richard J. Szabo. Duality in scalar field theoryon noncommutative phase spaces. Phys. Lett., B533:168–177, 2002.

[26] C. D. Fosco and G. A. Moreno. One-loop effects in a self-dual planarnoncommutative theory. JHEP, 11:046, 2007.

[27] C. D. Fosco and P. Scuracchio. Dirichlet boundary conditions in a non-commutative theory. JHEP, 09:066, 2010.

Agradecimientos

"In a little whileSurely you’ll be mine

In a little while I’ll be thereIn a little while this hurt will hurt no more

I’ll be home love..."In a little while, U2.

Uno no se encuentra nunca solo en el camino del conocimiento, muchaspersonas son las que colaboran diariamente en cada paso que damos y cadadecisión que tomamos. Comienzo entonces por agradecerle a mi familia portodo su apoyo en mi formación como Licenciado y Magister en ciencias físi-cas. A mamá, papá, Naty, Panchi, tías/os, abuelas/os, primas/os: Gracias!

La distancia está lejos de ser algo bueno en el amor. Vine al instituto enel 2007 estando de novio con la mujer que cambiaría muchas cosas en mí yque sigo amando profundamente en la actualidad. A ella, Estefanía, que hasabido bancarme en en los peores y mejores momentos de mi estadía en elInstituto: Gracias!

En la búsqueda de nuevas fronteras y la lucha constante frente a cadadesafío, las estrategias son importantes. No solo por una cuestión de tiempo,sino por alcanzar una verdadera comprensión de lo que estudiamos. A miquerido director de tesis, César, por su dedicación, su tiempo y sus ganas:Gracias!

En general, uno no invierte todo su tiempo en cuestiones académicas,a menos que se trate de las semanas anteriores a un final o algo parecido(como entregar esta Tesis). A esas personas que he dejado atrás en Mendoza,a aquellas que me han acompañado desde que ingresé al instituto, a misamigos: Gracias!

efectos cuánticos en teorías no conmutativas...

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