Efectos de esbeltez en elementos sometidos a compresinDiagrama de flujo segn las Normas NSR-98

Alfonso J. Barrios Garca*

Resumen

Se pretende con este artculo aclarar los procedimientos bsicos que deben seguirse para teneren cuenta los efectos de ;sbeltez evaluados segn las disposiciones de las Normas Colombianasde Diseo y Construcciones Sismo Resistente NSR-98, siguiendo paso a paso un diagramade flujo, concatenando el articulado de las Normas.

Como propsito fundamental se tiene el de llenar un vaco en el proceso de la enseanzade este tema, pues si bien la bibliografa referente al mismo es bastante amplia y ftmdamentada,est basada en cdigosforneos, particularmente el del American Concrete InstituteACI-318-95, que a pesar de ser el sostn primario del Ttulo e de nuestra Norma, temas como el de losefectos de esbeltez ode segundo orden son tratados con diferencias importantes que imposibilitansu total adaptacin.

El diagrama de flujo tiene pues propsitos acadmicos, pero se puede convertir en unalgoritmo eficiente, introducindole algunas sentencias menores, para que pueda desarrollarseen un programa de computadora.

Debe entenderse que el flujograma slo se usar como complemento de la Seccin el 0.1 ode la Norma ypara nada se pretende remplazarla; por el contrario, sedebe analizar su contenidopara proponer una mejor forma de adaptar y complementar la secuencia del diagrama.Palabras claves: Anlisis, esbeltez, derivas, estructura, carga crtica, ndice de estabi-lidad, ladeo, arriostrado, mayoracin de momentos, rigidez, coeficientes de restriccin,prticos, columnas, segundo orden.

Abstraet

This artiele pretends to make elear the basic procedures which must befollowed for taking intoaccount the slender efects evaluated according to the Normas Colombianas de Diseo yConstruccin Sismo Resistente NsR-98, by foltowing step by step aflowclu>rt made for linkingup the artieles of this standard.

Isa majorpurposefillingavoid in the learningprocess ofthis issue, when the bibliography,nevertheless it is very wideand deep, its based on foreign standards, particularlyon AmericanConcrete Institutes ACI-318-95, which in spite ofbeing the main base ofour standards TitleC, issues like the slender or second order effects, are managed with important differences whichmake impossible its overall adaptation.

"Ingeniero Civil de la Universidad del Norte. Especialista en Anlisis y Diseo de Estructuras. Profesor delDepartamento de Ingeniera Civil de la misma universidad. (E-mail: ABARRI0@edt.net.coJ

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Then Ihis jlowchnrl hns leaching purposes, bul il can become an e!ficienl algorilhm, byintroducng some minor sentences for its development in a computer programo

It must be elear Ihis jlowchnrl will only be used like a suplemenlfor the See/ion CID.lO01our slandard and in no way this jlowchnrl prelends lo replace il. By lhe conlrary, i thinkils content must be analized for proposing a better way far adapting and suplementing thejlowcharl.Key words: Analysis, slender, deflections, estructure, critic load, estability index,sidesways, braced, magnification moments, stiffness, end restraintcoefficients, frames,colurnns, second arder.

Introduccin

El propsito fundamental de este ar-tculo es encadenar en una secuencialgica las disposiciones para evaluarlos efectos de esbeltez en los elementossometidos a flexocompresin de las es-tructuras de concreto reforzado, acordecon los lineamientos de las Normas Co-lombianas de Diseo y ConstruccinSismo Resistente, Decreto 33 de 1998(NSR-98).

Se ha escogido el esquema del dia-grama de flujo porque representa unaforma sencilla para comprender las dis-posiciones de las Normas. Adicional-mente, al enlazar estas disposiciones sehace ms eficiente el anlisis yestima-cin de los efectos de esbeltez.

Tambin se ha procurado que el dia-grama de flujo contenga en detalle todaslas ecuaciones y todas las sentencias delas Normas referente a este proceso. Seincluyen, adems, algunas frmulas queno hacen parte de contenido de las Nor-mas, pero que ayudan a complementarel algoritmo.

Antes de mostrar en toda su exten-

sin el diagrama de flujo, que es, enesencia, el objetivo primordial de estetrabajo, describir brevemente los fen-menos de esbeltez, asociados siempreal comportamiento no lineal de las es-tructuras, y luego har algunas consi-deraciones con relacin al Decreto 1400de 1984 (Cdigo Colombiano de Cons-trucciones Sismo Resistente), ya queexisten algunas diferencias respecto a laNSR-98.

1. Definicin de efectos de esbeltez

Los efectos de esbeltez o efectos de se-gundo orden se presentan en mayor omenor grado en casi todas las estructu-ras de concreto reforzado y acero sinimportar qu tan bajas o altas sean.Pueden afectadas globalmente comoconjunto o en particular a uno o variosde sus elementos.

Se aclara que el trmino global>,empleado aqu se refiere a unoo avariosniveles de la estructura comprometidoscon este problema.

El fenmeno de esbeltez se presentacuando una estructura es sometida a laaccin de las fuerzas gravitatorias muer-

Ingeniera & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 66-79, 1999 67

tas y vivas con o sin la contribucin delas fuerzas laterales causadas por el em-puje esttico de tierras yIo las fuerzasde carcter dinmico de origen natural,como son las fuerzas ssmicas o de vien-to.

La permanencia de las cargas sobrela estructura elsticamente deformada,ms la contribucin de los fenmenosreolgicos del concreto, y disminucinde la rigidez de los elementos causadapor la progresiva fisuracin de sus sec-ciones transversales, entre otras causas,originan nuevas deformaciones e in-crementos en las fuerzas internas de loselementos.

La asimetra estructural y los asenta-mientos diferenciales en la cimentacinpueden contribuir a que el efecto seacente.

En trminos generales, los efectos deesbeltez afectan principalmente a lascolumnas, sobre todo cuando tiene mo-mentos y cargas axiales de considerablemagnitud, o cuando stas pertenecen aestructuras sometidas a la combinacinde cargas verticales y horizontales im-portantes, en cuyo caso tambin las vigaspueden verse afectadas.

2. Columnas esbeltas

Sepuede definir una "columna esbeltacoma aquella cuya resistencia dependefundamentalmente de su capacidad pa-ra ser estable lateralmente, adems dela resistencia intrnseca de su seccintransversal.

En ella, la capacidad a la carga axialP se reduce por la deformacin lateralprovocada por la flexin.

En la figura 1 se ilustra el fenmenopara el caso particular de una columnacargada en flexocompresin uniaxialen la que la carga P acta a una distanciae del centroide de la seccin en cadaextremo.

p

!"\'\, \, \

I 1\\

i ~: \ A, "e 1-", ", ,1 II 1.' I,1 I: 11 I I 11 I I

I :/ " /' I/~----:/ /"----------J/,Ji /T7-7-7 /

p

Figura l.Columna esbelta cargada

excntricamente

La columna, que inicialmente es rec-ta, tiene para el tiempo cero, cuando secoloca la carga, un momento M igualPe. Bajo esta accin, la columna sedeforma y adquiere la forma mostrada.Ya en este instante, gracias a su desalo-jamiento lateral, el nuevo momento esMfinal=P(e+(D.).

68 Ingeniera & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 66~79,1999

Esto es a lo que comnmente se lellama efecto P-Delta.

En la figura 2 se muestra el compor-tamientode una columna bajo una cargacreciente.

P

--

3. Factores que influyen en los efectosde esbeltez

Entre los aspectos ms sobresalientesque intervienen en la magnitud de losfenmenos de esbeltez de las columnasse mencionan los siguientes:

- Rigidez global de la estructura.

P ..,IIIII

P.

o M

Relacin entre la longitud no sopor-tada del elemento y su seccin trans-versal.

- Magnitud y permanencia de las car-gas sobre la estructura.

Lamagnitud de los desplazamientoslaterales.

Curvatura elstica de los elementos.

La relacin Momento-Curvatura.Figura 2

Diagrama de interaccitl P-M de unacolumna que muestra su

comportamiento como columna cortay como columna esbelta

Si la columna es corta, su compor-tamiento estar definido por la lnearecta OC, en cuyo caso su falla se alcan-zara en el punto C del diagrama deinteraccin. En cambio, si la columna eslarga, su comportamiento estar defini-da por la lnea curva OB y su falla sealcanzar, obviamente, para una menorcarga axial, en el punto Bdel diagramade interaccin.

- Cuantas de refuerzo y resistenciade materiales.

El flujo plstico y la retraccin defraguado del concreto.

Interaccin suelo-estructura.

4. Evaluacin de los efectos de esbel-tez

Existen bsicamente dos formas paraevaluar los efectos de segundo orden enlas estructuras de concreto reforzadode acuerdo con las Normas NSR-98:

1. Un procedimiento riguroso o de enfoqueexacto.

Ingenier[a & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 66-79, 1999 69

2. Un procedimiento aproximado o de en-foque prctico.

Con relacin al primero, la Normaestablece en la SeccinC.1O.10.110sfun-damentos bsicos que deben seguirsepara ejecutar ese anlisis, en el cualdeben utilizarse las relaciones realistasde momento-curvatura y tener encuenta, entre otras cosas, el efecto de lacarga axial en la rigidez torsional y deflexin de las columnas, como tambinel efecto de los desplazamientos y girossobre la magnitud de los momentos.

Como este procedimiento es muyelaborado y complejo, es necesario recu-rrir a programas de computadora escri-tos apropiadamente.

El segundo procedimiento es tal vezel ms usado, y en las Normas NSR-98se dan los criterios suficientes para quese estimen razonablemente, y fue el quese adopt para desarrollado en el dia-grama de flujo.

5. Clasificacin de los efectos deesbel-tez

Los efectos de esbeltez se clasifican, parasu evaluacin aproximada, en dos im-portantes grupos:

Efectos locales de esbeltez

Efectos globales de esbeltez

Elprimer grupo afecta a las columnasindivid ualmente y se deben evaluar porseparado en cada sentido principal de

su seccin.

El segundo grupo afecta a todas lascolumnas y vigas que pertenecen a unpiso en particular, y deben estimarse encada sentido principal del nivel conside-rado.

6. Importancia de los efectos de es-beltez

Con un anlisis elstico de primer ordenslo podemos obtener los efectos sobrela estructura al suponer que las accionesactan de manera instantnea o sim-plemente suponiendo que no modificansu geometria inicial.

Por el contrario, con el anlisis desegundo orden se obtiene la respuestafinal de los efectos, cuyas magnitudesson, por lo general, casi siempre mayo-res, en la medida que la estructura notenga la suficiente rigidez o las accionessobre ella sean importantes.

7. Efectos de esbeltez segn el Decreto1400 versus NSR-98

Existe una diferencia considerable entreel Cdigo Colombiano de Construccio-nes Sismo Resistente (Decreto 1400 de1984),que estuvo vigente para nuestrosprocesos por ms de 10 aos, y las nue-vas Normas de Construccin Sismo Re-sistente-NSR-98 que nos rige desde me-diados de 1998.

Especficamente, en lo que conciernea la evaluacin de los efectos de esbeltezo de segundo orden en las estructuras

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de concreto reforzado, las diferenciasson importantes y considero til analizaralgunos de sus planteamientos y crite-rios.

Enamboscdigos,losefectospuedenevaluarse considerando las caracte-rsticas reales de la estructura, en laque sus propiedades reflejen su gra-do de fisuracin, las deformacionescausadas porel flujo plsticoy retrac-cin del concreto, la influencia de lascargas axiales y los efectos causadospor la deformacin sobre losmomen-tos y las fuerzas.

De igual forma, como alternativa pa-ra evaluar estos efectos de esbeltez,ambos cdigos establecen unas for-mulaciones y procedimientos se-cuenciales. Su punto de partida sonlos resultados del anlisis elsticolineal de primer orden, que para suelaboracin deben hacerse algunasconsideraciones bsicas can relacina las propiedades inercia les y de rigi-dez de los elementos estructurales.

En este caso, la Norma NSR-98 esclara y propone alternativas paraconsiderar las rigideces en el procesoanaltico.

Con base en los desplazamientos late-rales o derivas que se obtienen delanlisis de primer orden se estable-cen criterios que nos permiten decidirsi es requerid o o no un anlisis adicio-nal para considerar la esbeltez de loselementos. Estas propuestas estnformuladas de manera diferente en

ambos cdigos.

Tal vez la diferencia ms notoria esten el hecho que las Normas NSR-98no considera evaluar separadamentelos efectos de esbeltez para cargasgravitacionales, muertas y vivas ylas laterales, provenientes del empujepermanente de tierras, sismo oviento, corno s ocurra con el Decreto1400 de 1984, que de acuerdo con lamagnitud de los corrimientos hori-zontales obtenidos para cada condi-cin de carga, vertical y horizontalera necesario o no un nuevo anlisispara considerar los efectos de segun-do orden.

Referencias

Normas Colombianas de Diseos y Construc-ciones Sismo Resistente. NSR-98.

Cd igoColombiano de Construcciones Sis-mo Resistentes. Decreto 1400 de 1984.

Bui Id ing Cnde Requiremen ts ForStructura IConcrete. - ACI 318M-95.

CARRElRA, Domingo J. COIlcrete Inferna-tinal, vol 20 NI 20, November 1998.

CHU-KIA WANG, ChARLES G SAL-MONS. Reinforced Concrete Desing. Six Editions.Harper Rows.

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jAME5 G MacGREGOR. Reinforced Cnn-crete. Third Editions. Prentice-Hall.

NILSON, Arthur H. Dcsign o/ ConcreteStructllrcs. Twelfth Editions. McGraw-Hill.

MEYER, Christians. Dcsign o/ COl1creteStrllctllrcs. Printice~HalL

LEET, Kenneth y BERNAL, Dinisio. Reill-forced Concrete Design. Third Editions. Mac-Graw-Hill.

PARK y PAULAY. Estructllrasde ConcretoReforzado. Limusa.

Ingeniera & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 66-79, 1999 71

DIAGRAMA DE FLUJO. Efectos de esbeltez en elementos sometidosa compresin segn La Norma NSR-98

Si

Elaborar anlisis de segundoorden de acuerdo a la SeccinC.IO.IO.I

Para un anlisis de segundo ordendeben hacerse las siguientes conside-raciones:

La no linealidad de los materiales. La fisuracin de los elementos. Efectos de permanencia de las cargas. La retraccin de fraguado. El flujo plstico del concreto. In teraccin suelo estructura.

Proceso Analtico, obtencin delas fuerzas internas de todos loselementos. Verificacin de derivas

Diseo de todos loselementos

No

Elaborar un anlisis de los efectosde esbeltez de acuerdo a la SeccinC.l0.10.2, especficamente segnlo establece la SeccinC.IO.U

La evaluacin aproximada de los efectosde esbeltez consiste en la amplificacinde ciertas fuerzas internas de las columnasy elementos sometidos a compresin porunos factores de mayoracin, olocal (01)y oglobal (og) que sern definidas msadelante, y para lo cual se harn algunasconsideraciones.

Definir propiedades para elaboraranlsis elstico de primer orden.VerSeccinC.IO.U.I

Definir radio de giro: Seccin C.lO.ll.2

~

g o r=0.3h para secciones rectan-r = -, gulares, o r = 0.250

Ag para secciones circulares . Definir longitud no soportada del ele-mento a comprensin Lu: Seccin C.lO.ll.3

Fin

Si El disear establece criteriosparticulares para definir laspropiedades que sern usadasen el anlisis estructural

No

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A B

Propiedades de la seccin

Alternativamente, las propedades de laseccin puedendefinirse de acuerdo a loestablecdo en la SeccinG.8.5.3.3.

Miembro Enservicio Enltha Vigas 0.50Edg O.35BJ. Columnas l.OOEdg O.7(lIJJg Muros fisurados O.50IJdg O:35IJdg Muros sin furas l.OOEdg MOEd.-Losas en sistemaLosa-columna

Areas

Propiedades de la seccin

Las propiedades de las seccionesdeben definirse teniendo encuenta las consideraciones des-critas en las Secciones C.8.5.3~1yC.8.5.3.2 y tienen relacin con: Influencia de las cargas Fisuracin a lo largo delelemento.

Efecto de duracin de las cargas3.35E,lgl.OA.

O.25Edg1.OA,

Para defnirE, deben seguirse lasdispq

D e

Se considera piso susceptiblede ladeo -Piso no arriostrado--Seccin C.lO.ll.6.2.

Se considera piso no susceptiblede lado -Piso arriostrado-Seccin C.lO.ll.6.1

Seccin C.lO.ll.4 Deben evaluarse nicamente losefectos locales de esbeltez - Pan-deo Local de acuerdo a la

Seccin C.lO.ll.9No

!Como Q>O.50 el pisose considera inesta-ble y se debe rigidi-zar apropiadamente

E

Los efectos globa-les de esbeltezdeben evaluarsesegn la SeccinC.lO.lO.l

No

Si

Seccin C.lO.ll.4 Deben evaluarse los efectoslocales de esbeltez -Pandeolocal- Seccin C.lO.ll.9

Deben evaluarse los efectosglobales de esbeltez -Pandeoglobal o efecto P-Ll.. -SeccinC.lO.ll.l0

CALCULO DE LAS RESTRICCIONES DE EXTREMOS EN LAS COLUMNAS, 'I'iIECC~IICCOI

'P1:c w/LECVif

FClculo del coeficiente de longi-tud efectiva ky el factor deflujo plstico Jjd

Seccin C.lO.U.9.l

Se toma k=1.00 a menos que se ela~bore un anlisis ms preciso.

El valor de k puede obtenerse delmonograma de Jackson y Moreland(Figura 3A).

Tambin puede utilizarse el menorvalor obtenido de las siguientesfrmulas aproximadas, tomadas delACI-3l8-95:

k = 0.70+0.05['1'.+'1'. J51.00k = 0.85+0.05['I'mi" ]51.00Donde 't'min es el menor valor de larestriccin.

Seccin C.lO.U.lO.l

El valor de k debe tomarse mayor queuno.

Para determinar k pueden utilizarse elmonograma de Jackson y Moreland(Figrua 36)

Pueden tambien utilizarse las siguientes frmulas dadas en el ACI-3l8-95:

k 20-'1' ....,'" ~+'P....w.>1.00 Para\flmrd",

No

JI

SeccinC.lO.11.10.4

111 35->--r{Ij',Ag

Seccin C.lO.1l.7

~ > 100r

Clculo del amplifica-dor de Momento O/ocal

Si

Clculo del amplificador deefectos Oglobal

Amplificador global dglobal:1

OX/oIml= l-QVer ecuacin C.l0.~16

Cuando hay fuerzas lateralesde carcter permanente comoempuje de tierra, su efecto setiene en cuenta reemplazandoen la ecuacin CIO-lb, el valorde Q por el valor de Q' halladoas: Q'=Q [1 + ~d]

Ver Ecuacin C.l0.~17

Si

Debe elaborarse un anlisisdetallado de los efectos de es-beltez de acuerdo a los plan-teamientos de la SeccinC.lO.lO.l

Seccin C.lO.1l.7

~ > 100r

Ver ecuacin C.10.1O

Clculo del amplificadorde momentos l51ocd/

Curvatura Simple Curvatura DobleMl/M2 es positivo Ml/M2 es negativo

Amplificador local O/oca/: I,","~I= c., 2: LO1-~

0.75PMI

~

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Obtencin de la carga crtica de pandeo Pcr

La cargacrtca de pandeo de las colurnnas Pcrdeben obtener-se para cada sentio con relacin a sus ejes principales separa-damente.

O,2Edg + E.I, Rigidez a la flexin: El: 1 + ~d

R' 'd I fl ' El O,4Edg

19t ezaa eXln: =1+ ~d

,,'El Carga crtica: Pe,= {klu)2

El resto de trminos ya han sido definidos.

Ecuacin C.10.12

Ecuacin C.10.13

Ecuacin C.10.11

Regresar

p" = 1.4PD+1.7PL M2 = 1.4Mw+ 1.7M21. M:: SI(1.4M2D+ 1.1M1Lp" = 1.05Pv+1.28PL+PE Me = & [1.05Mw+l.28M2LJ + MEp" = O.9Pr>+PE Me = 01 [O.9M2vJ +ME

Diseo de elementos en pisos no susceptibles de ladeo

Momento de diseo: Me = ()/ocul M2 Ver Seccin C.I0.11.9.2Disee para p" yMe como columna corta. Para flexin biaxiallos momentos alrededorde cada eje deben ser magnificados separadamente basados en las condiciones derestriccin correspondientes a cada uno de ellos.

Los efectos de diseo para los elementos de acuerdo a su combinacin de carga son:

Columnas:Condicin: 1.4D + t.7L

1.050 + 1.28L + E0.90 : E

Para el cortante se aplica la misma forma que para la carga axial FIl.

Vigas:Condicin: 1.40 + 1.7L

1.050 + 1.28L + E0.90 + E

Mil = 1.4Mv+l.7MLMI< = 1.05MD+l.28ML+MEMil = O.9MD+ME

VII = 1.4VD+l.7VLVI< = 1.05VD+l.28VL+MEVI< = O.9Vv+ME

Fin

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p~_1.4Pv+l.7FL M2'" 1.4M2D+l.7M2L M. '" 01[l.4Mw+1.7Mu1P_1.05Pv +1.28PL+OgPr M. '" t (l.05Mw +1.2SM2L+8,Mt;]P".O.9Pv+IogPc M.=1[O.9Mzo+o.ilMd

Diseo de elementos en pisos susceptibles de ladeo

Las fuerzas internas de las vigas y columnas que correspondan a fuerzas horizon-tales mayorales deben amplificarse por el coeficiente Ogtobld (og). Ver SeccinC.10.11.10.3Las columnas pueden disearse como columnas cortas. Para flexin biaxiallos mo-mentos alrede30r de cada eje deben ser magnificados separadamente basados enlas condiciones de restriccion correspondientes a cada uno de ellos.

Los efectos de diseo para los elementos de acuerdo a su condicin de carga son:

Columnas:Condicin: 1.4D+1.7L

1.0SD+1.28L+EO.9D+E

Para el cortante se aplica la misma forma que para la carga axial Pu.

Vigas:Condicin: 1.4D+1.7L

1.0SD+1.28L+EO.9D+E

M.""t.4MD+l.7ML V""1.4Vo+l.7VLM~ _1.0SMo+l.28ML +&Ml: v z:: 1.05VD +l.28VL +O,Mr.M~'" O.9MD + ~E v. z:: O.9VD + SgM[

Fin

Diseo de elementos en pisos susceptibles de ladeo.

Las fuerzas internas de las vigas y columnas que correspondan a fuerzas horizon-tales mayorales deben amplificarse por el coeficiente Oglobal (og). Ver SeccinC.10.11.10.3Las columnas pueden disearse como columnas cortas. Para flexin biaxiallos mo-mentos alrededor de cada eje deben ser magnificados separadamente basados enlas condiciones de restriccin correspondientes a cada uno de ellos.

Los efectos de diseo para los elementos de acuerdo a su condicin de carga son:

Columnas:Condicin: 1.4D+1.7L

1.0SD+1.28L+EO.9D+E

P_t.4PD +1.7PLP 1.OSPo +1.28PL+agPt:P O.9PD+3gPt:

Ml:Z::t.4MlD+l.7MlL M< lisll.4M1D+l.7Mu IM. = 81[1.05Mw +1.28M1L) +&MEM

Monogramas de Jckson yMoreland, para obtener los factoresde lon~itud efectiva de columnas

,. k " ,. k "

50.0. 1.0. 50.0. - - -20.0.10..0. 10.0 100.0 10.0 100.0.50.0. ~.o.i.8 5.0. 30.0. 5.0. 30..0.4.0.3.0. 0..9 3.0. 20.0. 4.0. 20.0.2.0. 2.0.

10.0 3.0. 19:80..8 Ro.U 1.0.

.0. B.O.7.0. 7.0.0..9 8.0. 6.0.0..80..7 0..7 5.0. 5.0.0..6

0..7 0..6 4.0. 2.0. 4.0.0..5 0..50.4 0..4 3.0. 3.0.0..3 0..3 2.0. 2.0.

0..6 1.60..2 0..21.0. 1.0.

al 0..1

a 0..6 a O. 1.0. a(a) Sdesw8V prevenled (b) Sidesway nOI prevented

(8raced frame) IUnbraced framel

A BSistemas arriostrados Sistemas no arriostrados

Figura 3

Ingeniera & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 66-79,1999 79

page1titlesEfectos de esbeltez en elementos sometidos a compresin Alfonso J. Barrios Garca* Resumen Abstraet

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page12titlesO,2Edg + E.I, ,,'El Columnas: Condicin: 1.4D + t.7L Mil = 1.4Mv+l.7ML Fin Ingeniera & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 66-79, 1999

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page13titlesDiseo de elementos en pisos susceptibles de ladeo Los efectos de diseo para los elementos de acuerdo a su condicin de carga son: Columnas: Vigas: M~ '" O.9MD + ~E v. z:: O.9VD + SgM[ Diseo de elementos en pisos susceptibles de ladeo. 78 Ingeniera & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 66-79, 1999

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page14titlesMonogramas de J ckson y Moreland, para obtener los factores Ingeniera & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 66-79,1999 79

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