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EDUCACION BÁSICA - SECUNDARIA
ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO SÉPTIMO
TALLER DE NIVELACIÓN SEGUNDO PERIODO
UNIDAD DOS LOS NUMEROS ENTEROS Y SUS OTRAS OPERACIONES
UNIDAD DIDÁCTICA: OPERACIONES INVERSAS
LOGRO: Aplica adecuadamente el algoritmo de la potenciación en la
solución de variados problemas además aplica sus propiedades y operaciones inversas par solucionar problemas de su entorno.
COMPETENCIAS:
Interpretativa: Establece relaciones entre las operaciones vistas.
Argumentativa: Sustenta (por escrito) con sentido crítico sus opiniones y
razones acerca de los problemas detectados en su barrio, con respecto al
pandillismo.
Propositiva: Plantea soluciones viables a la problemática y las potencias.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN:
Momento A: Apropiación de conceptos
Momento B: Análisis y propuesta de soluciones a problemas
Momento C y D: Desarrollo de acciones en su comunidad tendientes a la
posible solución de la problemática analizada, utilizando los conceptos
vistos. Puntualidad y asistencia
Participación durante las clases y en las actividades extraclase
Responsabilidad
Respeto por compañeros, profesores y su entorno
Uso adecuado del uniforme.
CONTENIDOS
NIVELACIÓN SEGUNDO PERIODO
GUÍA Nº5
Otras operaciones Con los enteros
GUÍA Nº6
Logaritmación con enteros(Z)
GUÍA Nº7
Pasos para la solución
de problemas
GUÍA Nº4 Estadística
- Potenciación,
- Radicación exacta de números enteros.
- Propiedades de las operaciones básicas.
Logaritmación
Términos
Propiedadades.
El procedimiento. La operación
La respuesta del
problema.
Generalidades. Manejo de datos.
Lee la siguiente información y basado en ella, resuelve el taller de
nivelación para el segundo periodo
Términos de la potencia
Base.- Es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indica el
exponente. Observa que en nuestro ejemplo la base es el 5.
Exponente.- Indica el número de veces que se debe multiplicar por sí
misma la base. Se lo coloca en la parte superior derecha de la base. En
nuestro ejemplo el exponente es 2, es decir debemos multiplicar el 5 por si
mismo 2 veces.
Potencia.- Es el producto o resultado de la potenciación. En nuestro
ejemplo la potencia de 5 elevado al cuadrado es igual a 25.
La ley fundamental
La ley fundamental de la potenciación nos dice: El producto de
factores iguales puede representarse mediante una forma corta llamada
potencia. La potenciación es una multiplicación abreviada de factores
iguales; analicemos algunos ejemplos; observando el siguiente cuadro.
Para la potenciación de números enteros es importante tener en cuenta las
siguientes consideraciones:
1. Todo número entero negativo elevado a un exponente impar, nos da
como resultado una potencia negativa.
(-8)3 = (-8) X (-8) X (-8)= -512
2. Todo número entero negativo elevado a un exponente par, nos da como
resultado una potencia positiva.
(-8)2 = (-8) X (-8) = +64
3. Cualquier número positivo, elevado a exponente par o impar tiene
resultado positivo.
4. Todo número entero elevado al exponente cero es igual a uno.
50 = 1 , 250 = 1
2² = 2×2 = 4
-3³ = -3×-3×-3 = -27
-5⁴ = - 5×-5×-5×-5 = 625
POTENCIA DE NÚMEROS ENTEROS
5. Cuando un número entero es elevado a exponente negativo debemos
hacer lo siguiente:
Por ejemplo si queremos elevar (-2)3
1. Colocar 1 sobre la base (se convierte el entero en fracción, con
numerador igual a 1.
2. El exponente negativo pasa a ser positivo
3. Resolvemos el denominador
Raíz de un Número La raíz de un número es otro número que multiplicado por sí mismo dos o
más veces es igual al número dado. Si el número se multiplica por sí mismo
2 veces se llama raíz cuadrada, si se multiplica 3 veces, raíz cúbica; 4 veces,
raíz cuarta, etc.
Los términos que intervienen en la radicación son:
El índice, la cantidad subradical, el radical (símbolo de la radicación) y la raíz
(el resultado buscado). Recordemos que la radicación es la operación inversa de la potenciación y se
representa con el símbolo de la figura
La potenciación y la radicación son operaciones respectivamente opuestas.
En el cuadro de la parte inferior encontrarás la relación entre la potenciación
y la radicación.
Cuando resolvemos raíces con números enteros se pueden presentar los
siguientes casos:
La raíz impar de un número entero positivo es siempre positivo: fig. 1
La raíz par de un entero positivo tiene dos resultados; uno positivo y otro negativo fig. 2
La raíz impar de un número negativo es siempre negativo: fig.3
La raíz par de un número negativo no se puede determinar fig.4
Fig.1 fig.2 fig.3 fig.4
Propiedades de la radicación de números enteros
7. RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:
Raíz de un producto:
Si y solo si cada una de las raíces existe
Ejemplo:
Raíz de un cociente
Entonces:
Si y solo si cada una de las raíces existe. Ejemplo:
TALLER DE NIVELACIÓN SEGUNDO PERIODO
APLICA LO APRENDIDO
1. Expresa cada potencia como raíz
2. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificar
cada respuesta
La potenciación y la radicación son operaciones inversas
Las raíces de índice par de cantidades negativas siempre existen.
Todo numero entero tiene raíz cuadrada exacta
Cero tiene raíz cuadrada
Las raíces pares de números negativos pertenecen a los números naturales.
Todos los números negativos tienen raíz cuarta.
Si un numero entero tiene dos raíces diferentes, es porque el índice
de la raíz es impar.
3. Calcula las siguientes potencias y comprueba los
resultados aplicando las propiedades de la
potenciación.
a) (-3)5 b) (-3)2 c) (-4)4 d) (-4)3 e) (-10)5 f) (-13)2
4. Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de
potencia:
a) 23 * 27 b) 35 * 33 c) 55 * 53
5. Expresa en forma de producto de potencias los siguientes expresiones:
a) (2*5)6 b) (3*4)2 c) (2*8)3 d) (4*6)4
6. Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia:
a) 27 / 23 b) 35 / 33 c) 56 / 53
2² = 4
=2
-3 3 = -27
=
-5 4 = 625
=-5
-1² = 1
=
-1 5 = -1
=
2 3 = 8
=
-2 4 = 16
=
-x 2 = m =
7. Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones:
a) (18/2)6 b) (8/4)2 c) (10/5)3 d) (12/3)4
8. Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia
con un solo exponente:
a) (23)7 b) (35)3 c) (55)3
9. Teresa ha cubierto completamente el suelo de un salón cuadrado con 81 baldosas cuadradas. ¿Cuántas ha puesto en cada lado del salón?
LEE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Y RESUELVE LA ACTIVIDAD QUE HAY
AL FINAL
LOGARITMACION
Es la otra operación inversa de la potenciación. A través de esta operación podemos
hallar el exponente si conocemos la base y la potencia.
Si a,b Z y a n b entonces n es el logaritmo en base a de b
Se escribe así: Log a b n
Observe los ejemplos
Log 2 32 5
Log 5 1253
log 10100004
Relación entre potencia, radical y logaritmo
Para recordar:
· El logaritmo, en cualquier base, de uno, es 0:
· El logaritmo de una potencia de la base es el exponente:
· Solo tienen logaritmos los números positivos.
Propiedades de la logaritmación
A los logaritmos en base 10
se les conoce con el
nombre de logaritmos
vulgares o naturales
- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
- El logaritmo de una división es igual a la diferencia (resta) del logaritmo del
numerador menos el logaritmo del denominador.
RESUELVE RELACIONADO CON LA LOGARITMACIÓN
1. Completar la siguiente tabla
POTENCIACION RADICACION LOGARITMACION
4 3 64 64 Log 4 64
7 2 49 49 log 7 49
5 3 125 125 Log 5 125
10 4 10000 10000 Log 10 10000
2. Resuelve aplicando las propiedades de la logaritmación
Log 5 ( 625 3125)
Log 3 ( 9 243)
Log 5 ( 3125 625)
Log 3 ( 243 9)
Ln ( 10000 10000)
TALLER DE NIVELACIÓN TERCER PERIODO
EDUCACION BÁSICA - SECUNDARIA
ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO SÉPTIMO
Lee la siguiente información y resuelve el taller que está al final.
n problemas anteriores se vio que existían algunas operaciones que no tenían solución en el conjunto de los números enteros.
Por ejemplo: 1 ÷ 2; (-3) ÷ 5; (-5) ÷(-2), y en general todas aquellas
divisiones en las que el dividendo no es múltiplo del divisor.
Para solucionar estas situaciones se define un nuevo conjunto numérico
llamado el conjunto de los números racionales que se nota con la letra Q
Gráficamente
REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN LA RECTA NUMERICA
La representación de fracciones positivas y negativas en la recta numérica te
resulta conocida.
Los números racionales se localizan en la recta numérica a lado y lado del
cero, a la izquierda los racionales negativos y a la derecha los racionales positivos.
Por ejemplo, los números 5
2, -
4
1,
2
3 ,
8
9 y
1
3 son números racionales.
Es importante anotar que expresiones decimales como 75,0 y 3,0 también
son números racionales, pues 4
375,0 = 75% y
3
13,0
TÉRMINOS
En todo número racional se puede determinar cuatro términos que son:
E
NUMEROS RACIONALES ( Q )
A todo número racional le corresponde una fracción, y
a toda fracción le corresponde un número racional.
a. El numerador: Es el número entero escrito en la parte superior.
b. El denominador: Es el número entero escrito en la parte inferior.
c. El signo: Puede ser positivo o negativo y se escribe antes de la fracción.
d. El vinculo: línea que separa el numerados del denominador
PRODUCTO DE RACIONALES
Para recordar:
En general
Ejemplos
Observe los siguientes ejemplos donde se aplican a la vez las propiedades:
e)
COCIENTE DE RACIONALES
Tomando en cuenta la idea de recíproco, se puede expresar una regla para
efectuar la división de dos fracciones: El cociente de una división de
fracciones es el producto del dividendo por el recíproco del divisor.
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores y el denominador producto de los denominadores.
El orden de los factores no altera el producto (conmutativa)
Agrupando los factores, los productos no se alteran(asociativa)
Todo número multiplicado por 1 da como resultado el mismo numero(elemento neutro)
Todo número multiplicado por cero, da cero.
Dos números fraccionarios que al multiplicarse dan como resultado la unidad, se llaman inversos multiplicativos o recíprocos.
1
Una forma más simple y directa de resolver una división de fracciones es
utilizando los productos cruzados. Para recordar:
Ejemplo
LA LEY DE LOS SIGNOS
Las reglas de los signos en los racionales son las mismas que se utilizan en
los enteros
(+)(+)= + (+)(-)= - (-)(-)= + (-)(+)= -
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (fracciones) Al presentarse el problema de sumar o restar fracciones con diferente
denominador, es conveniente emplear el mínimo común múltiplo para que la
resolución sea menos laboriosa.
Tómese como ejemplo la siguiente adición: Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores
El número 18 será el común denominador de las fracciones por sumar, el
cual se divide entre cada uno de los denominadores:
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene
como numerador el producto del numerador del dividendo
por el denominador del divisor, y cuyo denominador es el
producto del denominador del dividendo por el numerador
del divisor.
Enseguida, los cocientes obtenidos se multiplican por los numeradores de
cada fracción:
También pudiste pensar en el número que multiplicó a 9 para convertirlo en 18 y en el que multiplicó a 6 para transformarlo en 18. Los numeradores
respectivos se multiplican por ese mismo número.
Los resultados son los numeradores de las nuevas fracciones equivalentes:
Finalmente, se resuelve la operación con las nuevas fracciones, sumándolas
en forma directa.
En las sustracciones con diferentes denominadores se sigue un proceso
semejante al utilizado en la adición de fracciones con distinto denominador.
Tómese para ejemplificar la siguiente sustracción
Se saca el mcm de los denominadores
Se convierten en fracciones equivalentes con igual denominador y se efectúa
la operación entre los numeradores, simplificando el resultado, en caso de
que se pueda:
Habrá situaciones, tanto en la adición como en la sustracción, en las que
aparezcan números enteros; esto obliga a colocarles la unidad como
denominador para que quede expresado como fracción común o bien convertirlos en fracciones con el denominador que se requiera.
Se convierten los números enteros en fracciones comunes colocándoles la
unidad como denominador:
el mcm de los denominadores es 7, se convierten las fracciones equivalentes
con denominador 7 y se efectúa la operación.
Para efectuar operaciones de adición y sustracción en donde las fracciones
tengan signos diferentes, se sigue un procedimiento semejante.
se convierten en fracciones con igual denominador
Ejemplo: sumar
Siguiendo los mismos lineamientos para la adición de números enteros, el
resultado tendrá el mismo signo que el sumando de mayor valor absoluto.
Restar
Se convierten en fracciones con igual denominador
Se efectúa la operación
Se plantea la operación
Observen que en este caso la sustracción la transformamos en adición.
TALLER DE NIVELACIÓN TERCER PERIODO MATEMÁTICAS
Resuelve en tu cuaderno:
1. En un estacionamiento hay 100 carros, 1/5 son carros verdes,2/4 son
carros rojos y el resto de otros colores.
¿Cuantos carros son verdes?
¿Cuántos carros son rojos?
¿Cuantos carros son de otros colores?
¿Cuál es la mayor fracción en carros?
2. Responder
¿Qué letra representa los números racionales?
¿Qué criterio se sigue para establecer la relación de orden entre dos
racionales, uno positivo y el otro negativo?
3. Argumentar
Podrías explicar por qué ⅔, ⅛, - ¾ y ½ son racionales el igual
que 6̂6.,0 ; 125,0 ; - 75,0 y 50%
4. Representar en la recta numérica las fracciones
- 2/4 , 5/6 , - 3/8 , 2/3 , - 6/10 , -1/9
5. Representar cada fracción anterior, como un decimal y ordenar las fracciones de mayor a menor
6. Resolver
A. Calcular los 4
3
de 20
B. A cuánto equivale los 7
8
de 98?
C. A cuánto equivale los 5
12
de 8.900?
D. José calculó los 5
3
de 40 y Margarita los 10
6
de 40. Al comparar sus
resultados, se sorprendieron por el valor obtenido. ¿Qué sucedió?
E. Si los 6
5
de un número equivalen a 320 Hallar el número.
Se convierte en fracciones con igual denominador
Se suma al minuendo el simétrico del sustraendo
7. Una botella de vinagre contiene ¾ de litro. ¿Cuántos litros contienen 80
m botellas?
8. Escribe el producto de las siguientes multiplicaciones y no olvides
simplificar los resultados.
9. Resuelve las siguientes divisiones de números racionales en tu cuaderno
10. Realiza las divisiones de fracciones con igual denominador
11. Resuelve las siguientes sumas y restas de números fraccionarios
a. 49
2
2
1
21
3
b. 18
1
16
1
12
1
c. 6
44
6
20
6
15
6
23
d. 7
15
7
10
7
8
7
5
e. 35
10
35
24
f. 90
1
80
7
g. 15
14
10
11
TALLER DE NIVELACIÓN CUARTO PERIODO
EDUCACION BÁSICA - SECUNDARIA
ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO SÉPTIMO
LEE EL SIGUIENTE TEXTO, ESCRIBE LO MAS IMPORTANTE Y
COPIALO EN TU CUADERNO; luego resuelve el taller que hay al final.
Los números decimales con frecuencia los utilizamos para manejar cantidades de dinero en moneda extranjera, para determinar la estatura de una persona, para sacar las calificaciones en las universidades, y para muchas situaciones en general, por las cuales es importante saber resolver operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división con números decimales. Por ejemplo, los termómetros están graduados desde 35 grados de temperatura hasta 41. Cada una de las temperaturas está dividida en diez partes, cada parte es una décima y se puede representar con una fracción 1/10 o con un número decimal 0,1. Los números decimales están formados por dos partes separadas por una coma: parte entera, a la izquierda de la coma, y parte decimal, a la derecha de la coma. EJEMPLO:
Una décima = 1,010
1
Las unidades decimales resultan de dividir una unidad en diez, cien, mil o más partes. Si la unidad se divide en diez partes, se llama décima (o décimo).
DÉCIMA: es 1 unidad dividida en 10 partes iguales.
Cada parte de la unidad es 1,010
1
Si la unidad se divide en cien partes iguales, se llama centésima (o céntimo) y si se divide en mil partes iguales, se denomina milésima (o milésimo).
NUMEROS DECIMALES ( Q )
5, 7 5
Parte entera
Parte decimal
7, 2 5 3
Parte entera
Parte decimal
MILÉSIMA: es 1 unidad dividida en 1.000 partes iguales.
Cada parte de la unidad es 001,0000.1
1
I. LOS NÚMEROS DECIMALES Al leer un número decimal, decimos primero la parte entera, seguida de la palabra “unidades” o “enteros”, y a continuación la parte decimal, seguida de la palabra décimas, centésimas o milésimas, según tenga una, dos o tres cifras decimales. EJEMPLOS: NÚMERO LECTURA
3,4 : Tres unidades y cuatro décimas (o tres enteros y cuatro
décimas).
12,58 : Doce unidades y cincuenta y ocho centésimas (o doce
enteros y cincuenta y ocho centésimas).
45,786 : Cuarenta y cinco unidades y setecientas ochenta y seis
milésimas (o Cuarenta y cinco enteros y setecientas ochenta
y seis milésimas
Dentro del trabajo que nos disponemos a realizar con los números decimales están las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.
1. ADICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Para sumar números decimales, primero se ubican los sumandos de modo que coincida la coma decimal, luego completa con ceros para que haya el mismo número de cifras decimales, a continuación se suma como si se tratara de naturales y finalmente al resultado se le escribe la coma en el mismo lugar de la de los sumandos.
CENTÉSIMA: es 1 unidad dividida en 100 partes iguales.
Cada parte de la unidad es 01,0100
1
II. LECTURA DE NUMEROS DECIMALES ( Q )
III .OPERACIONES BÁSICAS CON NUMEROS DECIMALES ( Q )
EJEMPLO: Un campesino organiza su cosecha en cuatro cestas grandes que monta sobre una carreta. En la primera lleva 20,8 kg de mangos, en la segunda lleva 12,56 kg de zanahorias, en la tercera lleva una carga de 19, 01 kg de naranjas y en la cuarta lleva 23 kg de peras. ¿Cuánto pesa la cosecha del campesino? SOLUCIÓN
2. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Para restar números decimales, colocamos el minuendo arriba y debajo, el sustraendo, haciendo coincidir las unidades y las comas, unas debajo de otras. Después restamos normalmente, y al final, colocamos la coma en el lugar que le corresponde.
EJEMPLO: Un bebé recién nacido midió 51,4 cm. Ahora que tiene 8 meses, mide 66 cm, ¿Cuánto ha crecido el bebé? SOLUCIÓN
3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Para multiplicar números decimales, hacemos primero la operación y después, una vez que tengamos el resultado, contamos de derecha a izquierda tantos lugares como cifras tengan en total los dos números decimales y colocamos la coma.
EJEMPLO 1: Nicolás corre 3,9 km diarios alrededor de un parque. ¿Al cabo de una semana cuántos kilómetros habrá recorrido?
d u , dec cen
2 0 , 8 0
2 3 , 0 0
1 2 , 5 6 +
1 9 , 0 8
7 5 , 4 4
Respuesta: La cosecha del campesino
pesa 75,44 Kg.
d u , dec
6 6 , 0
5 1 , 4 -
1 4 , 6
Respuesta: El bebé ha crecido 14,6 cm.
SOLUCIÓN MULTIPLICACIÓN POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, basta con corres la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros sigan a la unidad. Si es necesario se añaden ceros a la derecha. EJEMPLO 2: Un bote de tomate en lata pesa 0,540 gramos, ¿cuánto pesarán 10, 100 y 1.000 botes?
4. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES La División también puede ser vista como un conjunto de restas sucesivas. Sin embargo, el algoritmo de la división resulta mucho más sencillo que encontrar un resultado a punto de restas; aunque esta operación como tal recoja todos los conocimientos adquiridos anteriormente con todas las operaciones vistas como son la suma, la resta y la multiplicación, al tiempo en que se esta dividiendo. Por tanto, vamos a recordar los nombres que reciben cada uno de sus términos.
EJEMPLO: Adelaida se dedicó al negocio de la costura y pasados unos días, ya tenía 36 vestidos para dama totalmente terminados. Si por cada día alcanzaba a elaborar 3 trajes, entonces ¿cuántos días tardó para la lograr este resultado final? SOLUCIÓN Como se dijo anteriormente, la división también es considerada como un conjunto de restas sucesivas. Para resolver este ejercicio, tenemos dos alternativas.
1. Dividiendo
3 6 3
1 2 0 6
0
Dividendo Divisor
Cociente Residuo
6 , 9
7 x
2 7 , 3
Respuesta: Nicolás ha recorrido 27,3 km. Como sólo hay una cifra decimal en los factores,
el resultado también tiene sólo una cifra decimal.
Taller de nivelación cuarto periodo
1. Ordena de menor a mayor estos números decimales:
a. 5,4 5,004 5,0004 5,04 4,4 4,98 5,024
b. 7,3 7,003 7,0003 7,03 6,5 6,87 7,037
2. Resuelve los siguientes ejercicios de números decimales.
a. 23,143 + 3,2756 + 11,48 =
b. 3,2756 + 11,48 =
c. 11,48 – 3,2756 =
d. 372,528 – 69,68452 =
e. 46,562 · 38,6 =
f. 3,6669 · 1000 =
g. 0,000012 · 10 000 =
h. 324 ÷ 0.018 =
i. 12,96 ÷ 6 =