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22016

matemáticas do veciñosA

015Actas do Seminario de Iniciación á Investigación

EDITORES

G. Castiñeira VeigaJ. Losada RodríguezA. M. González RuedaC. Vidal Castiñeira

INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

22016

matemáticas do veciñosA

015Actas do Seminario de Iniciación á Investigación

EDITORES

G. Castiñeira VeigaJ. Losada RodríguezA. M. González RuedaC. Vidal Castiñeira

INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

ACTAS DO SEMINARIO

DE

INICIACION A INVESTIGACION

CURSO 2015 – 2016

Editores:Gonzalo Castineira VeigaAngel M. Gonzalez RuedaJorge Losada RodrıguezCristina Vidal Castineira

c© 2016 Seminario de Iniciacion a Investigacion.

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Coordina:

Seminario de Iniciacion a Investigacion (SII)

[email protected]

Edita:

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Nino Centro de Impresion Digital

Rosalıa de Castro, 58

15706 Santiago de Compostela

A Coruna

ISSN: 2171-6536

Deposito Legal: C 1873-2015

Ninguna ciencia, en cuanto a ciencia, engana; el en-gano esta en quien no la sabe.

Mas quiero ser malo con esperanza de ser bueno, quebueno con el proposito de ser malo.

Miguel de Cervantes Saavedra (1547–1616).

Your bait of falsehood takes this carp of truth.

The course of true love never did run smooth.

William Shakespeare (1564–1616).

iii

Prefacio

Es un orgullo ver como los seminarios del SII, iniciados como una actividadinformal hace ya mas de 10 anos, se han consolidado como una de las actividadesperiodicas mas reconocibles de nuestra facultad. Los seminarios han crecido y ma-durado casi desde sus orıgenes bajo el paraguas del Instituto de Matematicas, loque les ha permitido adquirir un grado de “oficialidad” que para nada hubieramosanticipado en sus comienzos, alla por 2005.

Como comento Ana en su prefacio de la pasada edicion, el SII surgio para “en-cher un baleiro” que algunos percibıamos en la facultad. Muchos de los estudiantesde doctorado en aquellos tiempos, a pesar de ser buenos amigos y coincidir muchashoras tanto dentro como fuera de la facultad, practicamente no conocıamos nadadel trabajo que hacıamos unos y otros. Por ello decidimos iniciar una serie de char-las en las que nos fuesemos contando no solo nuestros trabajos de investigacion,sino tambien otros aspectos que considerasemos interesantes de nuestros campos deespecializacion. Se trataba, por tanto, de sesiones distendidas y participativas, enlas que cada uno intentaba hacer dicho campo accesible a cualquier matematico.

Asimismo, Ana tambien menciono en su prefacio una de las principales razo-nes a la hora de ser conscientes de ese vacıo que se pretendıa llenar con el SII.Todos nosotros habıamos vivido durante distintas estancias de investigacion la fre-netica actividad de los centros que visitabamos. La gran cantidad de seminariosy charlas eran el germen perfecto para fomentar el nacimiento de nuevas ideas yla transversalidad en la investigacion, dando lugar con frecuencia a colaboracionesinterdisciplinares. En este sentido, la existencia del SII no es mas que una pequenamuestra la importancia del intercambio de ideas entre gente de distintas areas, unapequena muestra de lo que aportan las estancias de investigacion a la formacionintegral de un investigador, tanto a nivel profesional como a nivel personal. En es-tas estancias no solo se acerca uno a la transversalidad cientıfica, sino tambien avisiones existentes desde distintas escuelas, distintas culturas e investigadores conmuy diversas inquietudes. Como enfatizo el Medalla Fields Cedric Villani en unade las charlas de su reciente visita a Santiago de Compostela dentro del programaConciencia, “my greatest scientific accomplishments have been the result of collabo-rations stemming from the exchange of ideas with researchers from different fieldsand countries”.

Santiago de Compostela, outubro de 2016.

Julio Gonzalez Dıaz

v

Indice xeral

Introducion 1

Manuel Cremades Bujan“Resolucion Numerica da Ecuacion de Transporte de Boltzmann para fotons” 3

Javier Valle Regueiro“Xeometrıa semi-riemanniana: variedades con densidade” 9

Lucıa Lopez Somoza“Funciones de Green y teorıa espectral para la ecuacion de Hill” 15

Carlos Franco Sanmartın“Superficies non compactas” 21

Jorge Rodrıguez Lopez“A Transformada de Laplace” 27

Marıa Jose Ginzo Villamayor“Modelizacion Onomastica” 33

Daniel Cao Labora“Os cuaternios” 39

Vıctor Sanmartın Lopez“El dibujo de un algebra de Lie” 45

Alejandro Fernandez Farina“Una historia sobre isomorfıa natural” 51

Joaquın Ossorio Castillo“Shor’s Quantum Factoring Algorithm” 57

Ana Mascato Garcıa“De Gauss a Hilbert: un recorrido por las leyes de reciprocidad” 63

Arıs Fanjul Hevia“Una introduccion a las curvas ROC” 69

vii

Mercedes Conde Amboage“A Regresion Loxıstica: exito ou fracaso” 75

Jesus Conde Lago“Que e un esquema?” 81

Pedro Fontan Muinos“Interaccion fluido-estructura, distintas formulaciones de las ecuaciones de lamecanica de fluidos.” 87

viii

Introducion

E imposible que unha area das matematicas progrese se as achegas que se fannela quedan esquecidas nos caixons dos seus descubridores. A comunicacion entreos investigadores e fundamental, pero tamen o e a interdisciplinaridade, sobre todoentre os que comezan as suas carreiras investigadoras.

Con este espırito nace o Seminario de Iniciacion a Investigacion (SII), unhaentidade encadrada dentro do Instituto de Matematicas. O SII ten por finalidadeque aqueles que se estan a dar os seus primeiros pasos como investigadores tenan aoportunidade de escoitar aos seus companeiros que traballan noutros departamentose de exponer as suas ideas.

As actividades do SII consisten nun conxunto de charlas que tenen lugar durantetodo o curso academico na Facultade de Matematicas da Universidade de Santiagode Compostela. Abertas a todo o mundo, estas reunions, en xeral quincenais, sonun lugar para a discusion, o afloramento de ideas e a vida social na Facultadealen da rutina investigadora ou docente. Nelas, profesores, alumnos e investigadorestenen a oportunidade de conecerse, emprender proxectos comuns e descubrir novosintereses. Ademais, para os ponentes supon unha oportunidade unica de desenvolvercompetencias transversais fundamentais para as suas carreiras como son falar enpublico, a capacidade argumentativa e a adecuacion a audiencia, pois cabe salientarque as charlas estan destinadas a xente que non e especialista no tema do que tratan.

E imprescindible destacar ademais a riqueza da procedencia dos ponentes dosSII. Moi a miudo temos o pracer de poder escoitar a xente chegada doutras faculta-des ou incluso doutras universidades, o cal da idea da capacidade de convocatoria eo alcance transversal das actividades do SII.

O Comite Organizador do SII, encargado de organizar as actividades do SII,facelas publicas e atender as necesidades loxısticas das mesmas, e tamen o respon-sable de elaborar estas actas que reflicten o enorme esforzo que, entre ponentes,oıntes e organizadores, estamos a realizar para que este proxecto sexa posible. Ospropios ponentes foron os encargados de revisar os resumos das charlas, de xeitoque cada quen tivo que corrixir un correspondente a unha area distinta a da suaespecialidade, asegurando ası que estes sexan comprensibles para todos.

Por ultimo engadir que, como non poderıa ser doutra maneira, o curso que venhabera cambios destinados a mellorar as actividades que o SII leva a cabo. Quizaiso mais importante e a renovacion do Comite Organizador, axudando ası a mantervivo o espırito iniciador ao que previamente facıamos alusion.

1

Agradecementos

Non podemos esquecernos de todos aqueles aos que tanto lles debemos e quefan posible o SII. Aos anteriores organizadores do SII polo seu esforzo e consellose por suposto aos ponentes: Manuel Cremades, Daniel Cao, Jesus Conde, MercedesConde, Arıs Fanjul, Alejandro Fernandez, Carlos Franco, Pedro Fontan, Marıa JoseGinzo, Lucıa Lopez, Ana Mascato, Jorge Rodrıguez, Vıctor Sanmartın, JoaquınOssorio e Xabier Valle.

Tamen agradecemos sinceramente a elaboracion do prefacio destas actas a JulioGonzalez Dıaz, quen fai dez anos comezou, xunto cos seus companeiros do primeirocomite organizador, este proxecto.

Santiago de Compostela, novembro de 2016.

O Comite Editorial.

2

Seminario de Iniciacion a InvestigacionInstituto de Matematicas

Resolucion Numerica da Ecuacion de Transporte deBoltzmann para fotons

Manuel Cremades BujanInstituto Tecnoloxico de Matematica Industrial

16 de setembro de 2015

A Ecuacion de Transporte de Boltzmann para fotons

A Ecuacion de Transporte de Boltzmann para fotons en estado estacionario tomaa forma

ω · ∇ψph(x,ω, ε) = [IS(ψph)](x,ω, ε)− [OS(ψph)](x,ω, ε), (1)

onde a incognita e o fluxo angular de densidade de fotons ψph. O lado dereito estadescomposto en dous termos con importantes interpretacions fısicas.

Dispersion entrante:

[IS(ψph)](x,ω, ε) = ρe(x)

∫S2

∫ ∞0

σC(ε′, ε,ω′ · ω) ψph(x,ω′, ε′) dε′ dω′. (2)

Dispersion saınte:

[OS(ψph)](x,ω, ε) = ρe(x) σtotC (ε) ψph(x,ω, ε). (3)

En [1] atopase unha completa descricion das variables e parametros fısicos invo-lucrados nas expresions anteriores.

Dominio e condicions de contorno

Imos denotar o dominio espacial no que imos traballar por Ω ⊂ R3. Ademaissuponemos que a fronteira consta dunha parte irradiada por onde entran os fotonsno dominio e outra parte por onde non entra radiacion. E dicir:

∂Ω = Γ t Λ, (4)

onde Γ representa a parte irradiada e Λ = ∂Ω\Γ o resto da fronteira. Para completara Ecuacion (1) imponemos a condicion de contorno:

ψph(x,ω, ε) =

ψinph(x,ω, ε) se x ∈ Γ e ω · n < 0,

0 se x ∈ Λ e ω · n < 0.(5)

Estamos a denotar por ψinph o fluxo angular de densidade de fotons que entra nodominio sendo n o vector normal unitario exterior nun punto da fronteira.

Palabras Clave: ecuacion de transporte de Boltzmann; integracion numerica; radioterapia.

3

4 SII Resolucion Numerica da ETB para fotons

Ω

Γ

Figura 1: Dominio Ω = (0, L1) × (0, L2) × (0, L3) con rexion irradiada de formaΓ = [l1A, l1B]× [l2A, l2B]× L3 composto por auga e aire.

Modelo simplificado

Imos empregar unha tecnica chamada desenvolvemento en ordes de dispersiondescrita con detalle en [2] para descomponer o problema en problemas mais sinxelos.Fixando N ∈ N podemos escribir:

ψph(x,ω, ε) =N−1∑i=0

ψ(i)ph(x,ω, ε) + ψ

(≥N)ph (x,ω, ε). (6)

Na expresion anterior:

ψ(i)ph e o fluxo angular de densidade de fotons que son dispersados exactamente

en i = 0, 1, ... , N − 1 ocasions.

ψ(≥N)ph e o fluxo angular de densidade de fotons que son dispersados polo menos

en N ocasions.

Fixando M ∈ N tense a aproximacion:

ψph(x,ω, ε) ≈M∑i=0

ψ(i)ph(x,ω, ε). (7)

A validez desta aproximacion recae obviamente no valor de M . Canto maisalto e este numero mellor e a aproximacion, pero o custo computacional aumentaenormemente. En [2] chegase a probar ata segundo orde e comprobase que nonmerece a pena incorporar termos de orde superior. Polo tanto imos considerar:

ψph(x,ω, ε) ≈ ψ(0)ph (x,ω, ε) + ψ

(1)ph (x,ω, ε). (8)

Manuel Cremades Bujan SII 5

Resolucion das ecuacions de transporte

Para o fluxo de fotons non dispersados tense a ecuacion de transporte:

ω · ∇ψ(0)ph (x,ω, ε) = −[OS(ψ

(0)ph )](x,ω, ε). (9)

Para o fluxo de fotons dispersados nunha unica ocasion tense:

ω · ∇ψ(1)ph (x,ω, ε) = [IS(ψ

(0)ph )](x,ω, ε)− [OS(ψ

(1)ph )](x,ω, ε). (10)

Ademais, da Ecuacion (5) deducese que ditas ecuacions de transporte debenverificar as condicions de contorno seguintes:

ψ(0)ph (x,ω, ε) =

ψinph(x,ω, ε) se x ∈ Γ e ω · n < 0,

0 se x ∈ Λ e ω · n < 0.(11)

ψ(1)ph (x,ω, ε) = 0 se x ∈ ∂Ω e ω · n < 0. (12)

Empregando o metodo das caracterısticas ditas ecuacions en derivadas parciaisreducense a ecuacions diferenciais ordinarias con solucion analıtica conecida:

Formula para ψ(0)ph :

ψ(0)ph (r(s),ω, ε) =

ψinph(x?,ω, ε) exp(− σtotC (ε)

∫ s

0ρe(r(t)) dt

)se x? ∈ Γ,

0 se x? ∈ Λ.

Formula para ψ(i)ph :

ψ(i)ph(r(s),ω, ε) =

∫ s

0

[IS(ψ

(i−1)ph )](r(s),ω, ε) exp

(−σtotC (ε)

∫ s

tρe(r(u)) du

)dt.

Formula para IS(ψ(i−1)ph ):

[IS(ψ(i−1)ph )](x,ω, ε) = ρe(x)

∫S2

∫ ∞0

σC(ε′, ε,ω′ · ω) ψ(i−1)ph (x,ω′, ε′) dε′ dω′.

Disponemos dunha solucion analıtica das ecuacions de transporte pero a integralque aparece no termo de dispersion entrante non ten solucion analıtica conecida epolo tanto imos ter que recorrer a integracion numerica.

A idea e reducir o soporte da integral sobre a esfera pois o integrando vai ter unsoporte ınfimo e tomar valores moi altos o que vai requirir dunha malla moi fina.O custo computacional da integracion sobre dita malla sobre toda a esfera serıainabordable pois ademais dita integral forma parte de outra integral unidimensional.


Reduccion do soporte das integrais sobre a esfera

Definicion 1. Integral de dispersion entrante de orde k ∈ N ∪ 0:

I(k)(t) =

∫S2

∫ ∞0

σC(ε′, ε,ω′ · ω) ψ(k)ph (x,ω′, ε′) dε′ dω′. (13)

Definicion 2. Dado ω ∈ S2 e ε ∈ (0,∞) defınese

U = U(ω, ε) = ω′ ∈ S2 : ω′ · ω > (ε− 1)/ε. (14)

Este conxunto e de vital importancia pois permıtenos reducir a integral sobreo total da esfera a integral sobre dito conxunto. Ten forma de paraugas e para orango de enerxıa considerado ocupa rexions moi pequenas da esfera.

En [1] obtemos a partir da Ecuacion (13) a expresion:

I(0)(t) =

∫S2

H(0)1 (ω′, t) dω′ =

∫UH

(0)2 (ω′, t) dω′. (15)

Aında que xa reducimos considerablemente o soporte da funcion que se pretendeintegrar aında e posible reducilo mais. Para iso imos ter en conta a relacion existenteentre dito soporte e a proxeccion da rexion irradiada sobre a esfera.

Definicion 3. Sexa x = (x1, x2, x3) ∈ Ω = [0, L1]× [0, L2]× [0, L3]. Definimos

V = V (0)(x) = ω ∈ S2 : x?ω ∈ Γ. (16)

Observacion 4. O punto x?ω ∈ ∂Ω e o punto que atopamos na fronteira do dominio

se partimos de x con direccion −ω. No caso dun dominio paralelepıpedo e sinxeloconstruır un algoritmo para calculalo. Dominio mais xeral: Ray tracing.

Finalmente somos capaces de reducir a Ecuacion (15) a expresion seguinte:

I(0)(t) =

∫U∩V

H(0)2 (ω′, t) dω′. (17)

Cambio a coordenadas esfericas

Consideramos a aplicacion definida por: Psph(ϕ, θ) = (senϕ cos θ, senϕ sen θ, cosϕ).

Definicion 5. Sexa Z un subconxunto de S2. Definimos

Z? = P−1sph(Z) ⊂ (0, π)× (0, 2π). (18)

Como (U ∩ V )? = U? ∩ V ? tense que

I(0)(t) =

∫U?∩V ?

H(0)2 (Psph(ϕ, θ), t) senϕ dϕ dθ. (19)

O conxunto U?∩V ? e difıcil de expresar mediante lımites de integracion sinxelos.Para solventar este problema imos ter que obter o menor rectangulo, ou union destes,que conten ao conxunto U? ∩ V ?. Denotarase por R(U? ∩ V ?) = R(U?) ∩R(V ?).

O primeiro que hai que aclarar e a nosa definicion de rectangulo sobre a esfera.Se ben en astronomıa existe unha definicion clara nos necesitamos algo mais xeral.

Manuel Cremades Bujan SII 7

Definicion 6. Por rectangulo sobre S2 entendemos un subconxunto aberto e nonbaleiro sobre devandita esfera limitado no norte e no sur por dous paralelos, ou noeste e no oeste por dous meridianos, ou no este e no oeste por dous meridianos eno sur por un paralelo, ou no este e no oeste por dous meridianos e no norte porun paralelo, ou no este e no oeste por dous meridianos e no norte e no sur por dousparalelos.

Calculo de R(U)

Imos denotar por P = PN , PS ∈ S2 o conxunto dos polos da esfera. Enton:

1. Se ε ≤ 12 : R(U?) = (S2)? = [0, π]× [0, 2π].

2. Se ε > 12 e ω ∈ P : R(U?) = U?

3. Se ε >1

2, ω /∈ P , αε ≤ π

2 e P ∩ U = ∅ : R(U?) = Z?. Aquı Z e o menor

rectangulo sobre S2 que conten a U .

4. Se ε >1

2, αε ≤ π

2 e P ∩ U 6= ∅ : R(U?) = Z?1 ∪ Z?2 . Aquı Z1 e a menor

semicunca de S2 que conten a U ∩0 < θ < π e Z2 e a menor semicunca queconten a U ∩ π < θ < 2π.

5. Se ε >1

2, αε >

π2 e P ∩ U = P : R(U?) = (S2 \ Z)?. Aquı Z e o maior

rectangulo en S2 contido en S2 \ U .

6. Se ε >1

2, αε >

π2 e P ∩ U 6= P : R(U?) = Z?1 ∪ Z?2 . Aquı Z1 e Z2 xogan o

mesmo papel ca no Caso 4.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

ϕ ∈ [0,π]

θ∈

[0,2π]

E = 0.5110 MeV and ω = (0.5774,0.5774,-0.5774).

Figura 2: En azul amosase o conxunto U e en vermello descontinuo a R(U) tantosobre a esfera coma sobre o plano. Este e o Caso 4.

Aında que intuitivamente poda parecelo, a proxeccion central dun rectangulo sobre aesfera non e un rectangulo sobre a esfera. Isto motiva o calculo do menor rectanguloque conten devandita proxeccion o cal pode consultarse en [1].


Resultados Numericos

Consideramos os segmentos de recta l1(s) = (hW , hW , s) e l2(s) = (s, hW , 0.2)onde hW denota a altura da auga no dominio. Imos suponer condicions de hospitalpara dar valores aos parametros fısicos involucrados no modelo.

Empregaremos formulas de cuadratura de Simpson para computar as integraisinvolucradas. Na Figura 3 amosase a esquerda como o fluxo de fotons que non se

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.56.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10x 10

12

x3 ∈ [0,L3]

ψ(0)

ph

E = 10.0000 MeV and ω = (0.0000,0.0000,-1.0000).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

12

x1 ∈ [0,L1]

ψ(0)

ph

E = 10.0000 MeV and ω = (0.0000,0.0000,-1.0000).

Figura 3: Valores de ψ(0)ph sobre l1 e l2 tomando ω = −e3 e ε = 10

0.511dispersan decrece drasticamente a medida que afondamos na zona de auga. Noteseque como a radiacion e vertical so habera fluxo na proxeccion da rexion irradiada.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14x 10

9

x1 ∈ [0,L2]

ψ(1)

ph

E = 10.0000 MeV and ω = (0.0000,0.0000,-1.0000).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1

2

3

4

5

6

7x 10

9

x1 ∈ [0,L1]

ψ(1)

ph

E = 10.0000 MeV and ω = (0.0000,0.0000,-1.0000).

Figura 4: Valores de ψ(1)ph sobre l1 e l2 tomando ω = −e3 e ε = 10

0.511

Na grafica da esquerda da Figura 4 comprobase que o cambio na densidade domedio implica unha maior dispersion das partıculas.

Bibliografıa

[1] Cremades, M. (2014). Problemas Geometricos Simples Relacionados con la In-tegracion Numerica. Traballo Fin de Grado. Universidade de Santiago de Com-postela.

[2] Taposh, D. e Lopez-Pouso, O. (2014). New insights into the numerical solutionof the Boltzmann transport equation for photons. Kinetic and Related Models.AIMS.


Xeometrıa semi-riemanniana: variedades con densidade

Javier Valle RegueiroDepartamento de Xeometrıa e Topoloxıa

30 de setembro de 2015

Resumo

O estudo das variedades (semi-)riemannianas (i.e. dotadas dunha metrica) ocu-pa un lugar moi importante na xeometrıa diferencial. Estas xeneralizan a teorıaclasica de superficies e permiten introducir na variedade a idea de volume. A partirdeste ultimo concepto, a variedade (semi-)riemanniana pode dotarse dunha medi-da. Ademais, a introducion dunha funcion (de densidade) sobre a variedade permitemodificar a medida e xorde ası o concepto de variedades con densidade. Para maisinformacion sobre este tema consultense as referencias [3, 4].

Por unha banda, o concepto de densidade permite definir a integral sobre avariedade e, por outra, xorden ecuacions diferenciais cun gran contido xeometrico.Un caso particular destas e a conecida como ecuacion quasi-Einstein, que caracterizaas variedades do mesmo nome.

Introducion

Por simplicidade, a maior parte dos elementos cos que imos traballar seranintroducidos sobre superficies no canto de sobre variedades. En calquera caso, imosir comentando aqueles aspectos nos que existe diferenza entre a teorıa clasica desuperficies e a de variedades.

Comezamos pois coas definicions de superficie e de variedade diferenciable.

Definicion 1. Dise que S ⊂ R3 e unha superficie regular se para todo p ∈ S existenunha vecinanza V ⊂ S de p e unha aplicacion x : U ⊂ R2 → V ⊂ R3 tal que:

1. x e diferenciable (se e so se xi diferenciable),

2. x e un homeomorfismo e x−1 e diferenciable, e

3. (dx)q : R2 → R3 e inxectiva (i.e. ten rango maximo), para todo q ∈ U .

Por outra banda, imos presentar o concepto de variedade diferenciable, maispara isto temos que definir alguns conceptos previos.

Palabras Clave: xeometrıa semi-riemanniana; variedades con densidade; superficies; formasde volume; area; integracion sobre variedades.

9

10 SII Variedades con densidade

Definicion 2. Sexa M un espazo topoloxico. Se se verifica que para todo p ∈ Mexiste unha vecinanza aberta U de p tal que U e homeomorfo a un aberto de Rn,dise de M que e localmente euclidiano de dimension n.

Definicion 3. Dado un espazo topoloxico M , dise que M e unha variedade topolo-xica de dimension n se e localmente euclidiano de dimension n e Hausdorff.

Observacion 4. Algunhas definicions de variedade topoloxica esixen que M sexaademais paracompacto, i.e., todo recubrimento por abertos admite un refinamentopor abertos localmente finito.

Definicion 5. Sexa M unha variedade topoloxica de dimension n e p un puntode M . Unha carta e un par (U,ϕ) onde ϕ e un homeomorfismo de U ⊂ M enRn. Un atlas sobre M e unha coleccion de cartas a = (Uα, ϕα) : α ∈ Asobre Mverificando:

1. M = ∪α∈AUα,

2. Se α, β ∈ A, as cartas (Uα, ϕα) e (Uβ, ϕβ) son compatibles, e dicir, ϕβ ϕ−1α

e ϕα ϕ−1β son C∞ como aplicacions entre abertos de Rn.

Se o atlas a e maximal (i.e., se dado outro atlas b sobre M tal que a ⊂ b, entona = b) dise atlas maximal ou completo e denotamolo por [a]∞. Dado un atlascompleto en M , chamaremos estrutura diferenciable sobre M ao par (M, [a]∞).

Figura 1: Cambio de cartas sobre unha variedade.

Definicion 6. Unha variedade diferenciable de dimension n e un par (M, [a]∞) ondeM e unha variedade topoloxica de dimension n e [a]∞ e unha estrutura diferenciablesobre M .

Javier Valle Regueiro SII 11

Primeira forma fundamental vs. metrica riemanniana

Volvendo agora a superficies regulares, recordamos que a primeira forma funda-mental dunha superficie S e a forma cuadratica:

Ip : TpS → R,

dada por Ip(v) = 〈v, v〉, onde 〈·, ·〉 e un produto escalar en R3. Adoitase denotareste produto escalar por g.

Dun xeito analogo, podemos dotar unha variedade M cun produto escalar enTpM . Isto e, definir un tensor g de tipo (0, 2) sobre M ,

gp : TpM × TpM → R.

En coordenadas (x1, ... , xn), podemos expresar g como:

g = gijdxi ⊗ dxj ,

onde empregamos o convenio de Einstein para a suma de ındices repetidos.

Observacion 7. O produto que define o tensor da metrica gp en TpM non ten porque ser definido positivo. No caso no que g sexa definido positivo, M dise variedaderiemanniana, mentres que se e indefinido e non dexenerado, diremos que M e semi-riemanniana. No sucesivo, denotaremos por (M, g) a variedade (semi-)riemanniana.

Outro caso moi importante dentro da xeometrıa semi-riemanniana e o lorent-ziano, que consiste nunha metrica indefinida cun autovalor dun signo e n − 1 designo contrario.

Exemplo 8. Consideremos o plano π ≡ R2 ⊂ R3 como unha superficie regularco produto escalar habitual. Imos parametrizar o plano en coordenadas cartesianase polares, vendo ası que a primeira forma fundamental non sempre ten a mesmaexpresion dependendo da base que escollamos de vectores tanxentes. Distinguimosdous casos:

Coordenadas cartesianas. Sexa x(u1,u2) = (u1, u2, 0) unha parametriza-cion de π en coordenadas cartesianas. En tal caso, x1 = (1, 0, 0) e x2 = (0, 1, 0),polo que a matriz que representa g na base x1, x2 e a identidade.

Coordenadas polares. Sexa y(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ, 0) unha parametriza-cion de π en coordenadas polares. Enton tense que y1 = (cos θ, sen θ, 0) ey2 = (−ρ sen θ, ρ cos θ, 0), de onde obtemos que a matriz que representa a g eda forma:

g =

(1 00 ρ2

).

Temos mostrado ası que o mesmo produto escalar pode ter expresions distintaspara a primeira forma fundamental dependendo da base que escollamos (en particu-lar, da base dos vectores tanxentes as curvas parametricas no caso de superficies).


Variedades con densidade

Dada unha variedade (semi-)riemanniana (M, g), diremos que unha funcion dedensidade en M e unha funcion positiva, f : M → R+. Por simplicidade, imosconsiderar a nosa funcion de densidade como f = eϕ para unha funcion ϕ : M → R.

A continuacion imos definir o que se conece como forma de volume dunha va-riedade (semi-)riemanniana.

Definicion 9. Sexan (M, g) unha variedade (semi-)riemanniana e (x1, ... , xn) co-ordenadas locais. Chamase forma de volume de (M, g) a:

dVg =√|det(g)|dx1 ∧ ··· ∧ dxn.

A partir da forma de volume riemanniana podemos definir unha nova forma devolume empregando a funcion de densidade eϕ. Isto e, dV = eϕdVg. Deste xeito,temos contruıdo unha nova medida en M , polo que podemos definir o concepto deintegral sobre M .

Como caso particular do anterior imos obter a area dunha superficie.

Exemplo 10. Sexa S ⊂ R3 unha superficie tal que S e a traza dunha funcionf : R2 → R. Podemos parametrizar S como X(u1, u2) = (u1, u2, f(u1, u2)) e destexeito, os vectores X1(u1, u2) = (1, 0, ∂1f(u1, u2)) e X2(u1, u2) = (1, 0, ∂1f(u1, u2))son tanxentes a S no punto f(u1, u2) ∈ S.

Calculamos a area de X(U) ⊂ S, sendo U un aberto de R2, como∫U‖X1(u1, u2) ∧ X2(u1, u2)‖du1du2 ≡

∫U

√|g|du1du2,

onde g e a matriz dada por elementos gij = g(Xi,Xj).

Imos considerar agora un novo exemplo de variedade con densidade moi ligadoa teorıa da medida pola sua relacion coa campa de Gauss.

Exemplo 11. Sexa ψ(θ, r) = 12πe− r

2

2 , para a cal se define a forma de volumedV = ψdVg sobre (R2, g = Id).

A continuacion, calculamos a integral dunha seccion circular con respecto a for-ma de volume dV . Por exemplo, nun cırculo de raio R, a cuarta parte da area queencerra, responde a integral:∫ R

0

∫ π2

0

r

2πe−

r2

2 dθdr =1

4

(1− e−R

2

2

).

Deste xeito, podemos saber cal e a circunferencia que encerra unha certa probabili-dade en R2 con esta densidade de probabilidade.

Javier Valle Regueiro SII 13

Variedades quasi-Einstein

Para rematar, introducimos unhas pequenas nocions (sen dar definicions ninresultados teoricos) das posibles aplicacions das variedades con densidade a inves-tigacion actual en xeometrıa diferencial (semi-)riemanniana.

Para ponernos en contexto, e interesante salientar que no eido da xeometrıa(semi-)riemanniana, un tema central ocupao o estudo das ecuacions diferenciaisde evolucion xeometrica, e dicir, aquelas que estan asociadas a certos dominioscaracterısticos. Entre estas, destacan a ecuacion Einstein (ρ = λg, λ ∈ R) ou ossolitons de Ricci, que responden a ecuacion:

LXg + ρ = λg,

onde L denota a derivada de Lie, X e un campo de vectores sobre M , ρ o tensorde Ricci de tipo (0, 2) e λ ∈ R. Para mais informacion consultense as referencias[1, 2]. Un caso particular deste tipo de variedades son os solitons de Ricci gradientes(GRS polas suas siglas en ingles), onde a derivada de Lie e simplemente o hessianodunha funcion f sobre a variedade. Unha extension natural da ecuacion dos GRS ea conecida como ecuacion quasi-Einstein, dada por:

Hesf + ρ− 1

mdf ⊗ df = λg, con 0 < m ≤ ∞,

onde Hesf denota o tensor hessiano de f de tipo (0, 2) definido por Hesf (X,Y ) =XY (f) − ∇XY (f) e ∇ e a conexion de Levi-Civita de (M, g). Esta ecuacion ca-racteriza as variedades do mesmo nome. A partir destes conceptos nace o tensorde m-Bakry-Emery definido por ρmf = ρ + Hesf − 1

mdf ⊗ df , con 0 < m ≤ ∞. Estetensor xoga o papel do Ricci nas variedades con densidade e permite aglutinar osconceptos anteriores (de variedade Einstein, quasi-Einstein e os GRS) mediante aecuacion ρmf = λg. En particular, se consideramos esta ecuacion sobre unha varieda-de M con funcion de densidade constante, tense que ρmf = ρ e daquela M e Einstein,mentres que se f non e constante e m =∞, enton M e un GRS.

Para poder traballar coa ecuacion quasi-Einstein, moitas veces resulta apropiadoredefinila mediante o seguinte cambio de variable. Para isto, tomamos unha novafuncion u = e−f/m, obtendo ası a ecuacion quasi-Einstein linearizada:

ρ− m

uHesu = λg.

Non obstante, o estudo deste tipo de variedades en xeral e difıcil de abordar enon se conecen demasiados resultados ao respecto. Poren, existen caracterizacionslocais deste tipo de variedades ao engadirmos algunha condicion mais as hipotesesde partida. Por exemplo, o estudo destas variedades verificando certas propiedadesalxebricas ou tendo algunha estrutura adicional. Neste sentido podemos salientar ocaso das variedades localmente conformemente chas ou as variedades Kahler (dota-das dunha estrutura complexa). En particular, engadindo algunha destas hipotesesao noso estudo, a obtencion de caracterizacions (locais) destas metricas resulta moi-to mais sinxela e semella un bo punto de inicio para abordar o problema desde unpunto de vista mais xeral.


Bibliografıa

[1] Batat, W., Brozos-Vazquez, M., Garcia-Rio, E. e Gavino-Fernandez, S. (2011).Ricci Solitons on Lorentzian Manifolds with Large Isometry Groups, Bull. Lond.Math. Soc., 43, pp. 1219–1227.

[2] Brozos-Vazquez, M. e Garcıa-Rıo, E. Four-dimensional neutral signature self-dual gradient Ricci solitons, Indiana Univ. Math. J., a aparecer.

[3] Corwin, I., Hoffman, N., Hurder, S., Sesum, V. e Xu, Y. (2006). DifferentialGeometry of Manifolds with Density, Rose-Hulman Und. Math. J. 7(1), 15 pp.

[4] Morgan, F. (2005). Manifolds with density, Notices Amer. Math. Soc., 52,pp. 853–858.


Funciones de Green y teorıa espectral para la ecuacionde Hill

Lucıa Lopez SomozaDepartamento de Analise Matematica

14 de octubre de 2015

Resumen

Se mostraran ciertas propiedades de las funciones de Green relativas a la ecuacionde Hill con diferentes condiciones de frontera de dos puntos. Se obtendra la expresionexplıcita de la funcion de Green de los problemas de Neumann, Dirichlet, Mixtos yAntiperiodico como combinacion lineal de funciones de Green relativas a problemasperiodicos.

Como consecuencia se deduciran resultados en teorıa espectral y se compararanlas soluciones de la ecuacion de Hill bajo diferentes condiciones de contorno.

Todos los resultados enunciados a continuacion pueden verse en [3].

Preliminares

La ecuacion de Hill

u′′(t) + [a(t) + λ]u(t) = 0, t ∈ [0, T ]

bajo condiciones de contorno periodicas

u(0) = u(T ), u′(0) = u′(T )

ha sido ampliamente estudiada.Nuestro objetivo es estudiar otros problemas de contorno utilizando para ello

los resultados existentes para el problema periodico.Supongamos que el problema homogeneo

u′′(t) + (a(t) + λ)u(t) = 0, t ∈ [0, T ] ≡ I, u ∈ X (1)

con a ∈ L1(I), tiene unicamente la solucion trivial. Es un resultado conocido que siσ ∈ L1(I) y se satisface esta condicion, entonces el problema no homogeneo

u′′(t) + (a(t) + λ)u(t) = σ(t), t ∈ I, u ∈ XPalabras Clave: Ecuacion de Hill; Funciones de Green; Teorıa Espectral.

15

16 SII Funciones de Green y teorıa espectral para la ecuacion de Hill

tiene solucion unica dada por

u(t) =

∫ T

0G[a, T ](t, s)σ(s) ds, ∀ t ∈ I.

G[a, T ](t, s) es la llamada funcion de Green, la cual existe y es unica si y solo si elproblema (1) tiene unicamente la solucion trivial, es decir, si y solo si λ no es unautovalor del problema (1).

A continuacion, expresaremos la funcion de Green de los diferentes problemasde contorno como combinacion lineal de funciones de Green periodicas. Esto nospermitira relacionar el espectro de los distintos problemas ası como las solucionesde los mismos.

Problemas de Neumann y Dirichlet

Supongamos que el problema de Neumann

u′′(t) + (a(t) + λ)u(t) = σ(t), t ∈ I, u′(0) = u′(T ) = 0 (N, T )

tiene solucion unica u para todo σ ∈ L1(I).Supongamos ademas que el problema periodico en J

u′′(t) + (a(t) + λ)u(t) = σ(t), t ∈ J, u(0) = u(2T ), u′(0) = u′(2T ), (P, 2T )

con a la extension par de a, tiene solucion unica para todo σ ∈ L1(J).Sea u la unica solucion del problema (N, T ) y v su extension par. Entonces, v

es una solucion de (P, 2T ) en el caso particular de que σ sea la extension par de σ.Denotando por GN [a, T ] a la funcion de Green de (N, T ) y por GP [a, 2T ] a la

de (P, 2T ), tenemos lo siguiente∫ T

0GN [a, T ](t, s)σ(s) ds = u(t) = v(t) =

∫ 2T

0GP [a, 2T ](t, s) σ(s) ds

=

∫ T

0GP [a, 2T ](t, s)σ(s) ds+

∫ 2T

TGP [a, 2T ](t, s)σ(2T − s) ds

=

∫ T

0(GP [a, 2T ](t, s) +GP [a, 2T ](t, 2T − s)) σ(s) ds ∀ t ∈ [0, T ].

Como σ es arbitrario, deducimos que

GN [a, T ](t, s) = GP [a, 2T ](t, s) + GP [a, 2T ](t, 2T − s) ∀ (t, s) ∈ I × I.

Ademas, como a es par, GP [a, 2T ](t, 2T − s) = GP [a, 2T ](2T − t, s), por lo que

GN [a, T ](t, s) = GP [a, 2T ](t, s) + GP [a, 2T ](2T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I.

Por otra parte, v tambien es la unica solucion del problema de Neumann en J

u′′(t) + (a(t) + λ)u(t) = σ(t), t ∈ J, u′(0) = u′(2T ) = 0 (N, 2T )

Lucıa Lopez Somoza SII 17

y un razonamiento analogo al anterior nos permite concluir que

GN [a, T ](t, s) = GN [a, 2T ](t, s) + GN [a, 2T ](2T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I.Sea ahora GD[a, T ](t, s) la funcion de Green del problema de Dirichlet

u′′(t) + (a(t) + λ)u(t) = σ(t), t ∈ I, u(0) = u(T ) = 0 (D,T )

y u la unica solucion del mismo. Tomando v como la extension impar de u, deducimosque v es solucion de (P, 2T ) para el caso particular de tomar σ como la extensionimpar de σ. Razonando de forma analoga al caso anterior, concluimos que

GD[a, T ](t, s) = GP [a, 2T ](t, s)−GP [a, 2T ](2T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I.Ademas, v tambien es solucion del problema de Dirichlet en J

u′′(t) + (a(t) + λ)u(t) = σ(t), t ∈ J, u(0) = u(2T ) = 0, (D, 2T )

y llegamos a que

GD[a, T ](t, s) = GD[a, 2T ](t, s)−GD[a, 2T ](2T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I.Como consecuencia directa obtenemos

GN [a, T ](t, s) +GD[a, T ](t, s) = 2GP [a, 2T ](t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I (2)

y

GN [a, T ](t, s)−GD[a, T ](t, s) = 2GP [a, 2T ](2T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I. (3)

Puesto que, tal y como se comento anteriormente, la funcion de Green relativaa un problema existe y es unica si y solo si dicho problema tiene solucion unica, de-ducimos que (P, 2T ) tiene solucion unica si y solo si (N, T ) y (D,T ) tienen solucionunica.

Ademas, denotando por Λ al conjunto de autovalores de cada problema, podemosconcluir que

ΛN [a, T ] ∪ ΛD[a, T ] = ΛP [a, 2T ].

Problemas Mixtos

Considerando ahora los problemas de frontera Mixtos,

u′′(t) + (a(t) + λ)u(t) = σ(t), t ∈ I, u′(0) = u(T ) = 0 (M1, T )

yu′′(t) + (a(t) + λ)u(t) = σ(t), t ∈ I, u(0) = u′(T ) = 0, (M2, T )

y el problema antiperiodico

u′′(t)+(a(t)+λ)u(t) = σ(t), t ∈ J, u(0) = −u(2T ), u′(0) = −u′(2T ), (A, 2T )

podemos obtener, de forma totalmente analoga a la seccion anterior, las funcionesde Green de los problemas mixtos como combinacion lineal de funciones de Green deotros problemas (vease [3]). De todas estas expresiones podemos deducir lo siguiente:


1. (A, 2T ) tiene solucion unica si y solo si (M1, T ) y (M2, T ) tienen solucionunica.

2. (N, 2T ) tiene solucion unica si y solo si (N, T ) y (M1, T ) tienen solucion unica.

3. (D, 2T ) tiene solucion unica si y solo si (D,T ) y (M2, T ) tienen solucion unica.

Se obtienen tambien las siguientes relaciones entre los espectros de los problemas:

ΛM1 [a, T ] ∪ ΛM2 [a, T ] = ΛA[a, 2T ],

ΛN [a, T ] ∪ ΛM1 [a, T ] = ΛN [a, 2T ],

ΛD[a, T ] ∪ ΛM2 [a, T ] = ΛD[a, 2T ].

Signo constante de las funciones de Green

A partir de las relaciones obtenidas se puede relacionar el signo constante de lasfunciones de Green de los distintos problemas. En particular, se tiene lo siguiente:

Teorema 1. 1. GP [a, 2T ] ≥ 0 en J × J si y solo si GN [a, T ] ≥ 0 en I × I.

2. Son equivalentes:

GP [a, 2T ] < 0 en J × J .

GN [a, T ] < 0 en I × I.

GN [a, 2T ] < 0 en J × J .

3. Si GN [a, 2T ] > 0 en (0, 2T )×(0, 2T ), entonces GN [a, T ] > 0 en (0, T )×(0, T ).

4. Si GN [a, T ] tiene signo constante en I × I entonces

GD[a, T ] < 0 en (0, T )× (0, T ).

GM1 [a, T ] < 0 en [0, T )× [0, T ).

GM2 [a, T ] < 0 en (0, T ]× (0, T ].

GD[a, 2T ] < 0 en (0, 2T )× (0, 2T ).

5. GD[a, 2T ] < 0 en (0, 2T )×(0, 2T ) si y solo si GM2 [a, T ] < 0 en (0, T ]×(0, T ].

6. Si GM2 [a, T ] < 0 en (0, T ]× (0, T ], entonces GD[a, T ] < 0 en (0, T )× (0, T ).

Lucıa Lopez Somoza SII 19

Principios de comparacion

Por otra parte, si en las ecuaciones del tipo de (2) y (3) suponemos que unade las funciones de Green tiene signo constante, podemos comparar las otras dosfunciones de forma puntual. Un ejemplo de ello serıa el siguiente resultado:

Corolario 2. Si GP [a, 2T ] < 0 en J × J , entonces GN [a, T ](t, s) < GD[a, T ](t, s)para todo (t, s) ∈ I × I.

Como consecuencia inmediata, podemos comparar las soluciones de dos proble-mas distintos, tal y como se observa en el siguiente teorema:

Teorema 3. Supongamos que GP [a, 2T ] < 0 en J × J . Sea uD la unica soluciondel problema (D,T ) para σ = σ1 y uN la unica solucion del problema (N, T ) paraσ = σ2.

1. Si 0 ≤ σ2(t) ≤ σ1(t), entonces uN (t) ≤ uD(t) ≤ 0 para todo t ∈ I.

2. Si 0 ≥ σ2(t) ≥ σ1(t), entonces uN (t) ≥ uD(t) ≥ 0 para todo t ∈ I.

Resultados analogos a estos pueden obtenerse para los diversos problemas con-siderados, utilizando para ello expresiones similares a (2) y (3) que involucren a lasdistintas funciones de Green. Todos ellos aparecen recogidos en [3].

Orden global de autovalores

Por ultimo, se puede demostrar la existencia de un cierto orden de aparicion delos autovalores asociados a los problemas (N, T ), (D,T ), (M1, T ) y (M2, T ). Paraello se tendra en cuenta la siguiente observacion.

Observacion 4. Se verifica que todos los autovalores de los problemas de Neumann,Dirichlet y Mixtos son simples y que la autofuncion asociada al k-esimo autovalor(con k = 0, 1, ... ) se anula exactamente k veces en el intervalo abierto (0, T ). Esteresultado general de teorıa espectral puede verse en [2].

Consideremos entonces los siguientes hechos:

(i) Sean λN,Tk , λN,Tk+1 ∈ ΛN [a, T ] dos autovalores consecutivos del problema (N, T )

y sean uN,Tk y uN,Tk+1 sus autofunciones asociadas, con k y k + 1 ceros en elintervalo [0, T ], respectivamente.

Si consideramos las extensiones pares de uN,Tk y uN,Tk+1 al intervalo [0, 2T ] ob-servamos que tienen 2k y 2k + 2 ceros en [0, 2T ], respectivamente, por loque debe existir un autovalor λ ∈ ΛN [a, 2T ], λN,Tk < λ < λN,Tk+1 tal que suautofuncion asociada tenga exactamente 2k + 1 ceros en el intervalo [0, 2T ].Necesariamente, λ ∈ ΛM1 [a, T ].

Como se tiene que λN, 2T0 = λN,T0 concluimos que

··· < λN,Tk < λM1,Tk < λN,Tk+1 < λM1,T

k+1 < ...


(ii) Analogamente, puede verse facilmente que ΛM2 [a, T ] se corresponde con losautovalores de ΛD[a, 2T ] cuyas autofunciones tienen un numero par de cerosen (0, 2T ) y ΛD[a, T ] se corresponde con los autovalores de ΛD[a, 2T ] cuyasautofunciones tienen un numero impar de ceros en (0, 2T ). Puesto que se sabeque λD, 2T0 = λM2,T

0 concluimos que

··· < λM2,Tk < λD,Tk < λM2,T

k+1 < λD,Tk+1 < ...

(iii) El Teorema de Oscilacion ([1, Capıtulo 2]) garantiza que los autovalores delos problemas periodico y antiperiodico relativos al mismo intervalo (que de-notaremos por λn y λ′n, respectivamente) siempre aparecen en el siguienteorden

λ0 < λ′1 ≤ λ′2 < λ1 ≤ λ2 < λ′3 ≤ λ′4 < λ3 ≤ λ4 ...

Consecuentemente, si consideramos el item (iii) para los problemas (P, 2T ) y(A, 2T ) y tenemos en cuenta las desigualdades obtenidas en (i) e (ii) podemosafirmar que

En cada par λ2k−1, λ2k de dos autovalores consecutivos del problema (P, 2T ),uno pertenece a ΛN (a, T ) y el otro a ΛD(a, T ).

En cada par λ′2k−1, λ′2k de dos autovalores consecutivos del problema (A, 2T ),

uno pertenece a ΛM1(a, T ) y el otro a ΛM2(a, T ).

El razonamiento previo permite concluir que siempre se tiene el siguiente ordenpara los autovalores de los problemas considerados:

λN,T0 <λM1,T

0 , λM2,T0

<λD,T0 , λN,T1

<λM1,T

1 , λM2,T1

<λD,T1 , λN,T2

< ...

Bibliografıa

[1] Magnus, W. y Winkler, S. (1979). Hill’s equation, Dover Publications.

[2] Weinberger, H. F. (1995). A first course in partial differential equations withcomplex variables and transform methods, Dover Publications.

[3] Cabada, A., Cid, J. A. y Lopez Somoza, L. (2016). Green’s Functions and Spec-tral Theory for the Hill’s Equation, Applied Mathematics and Computation,286, pp. 88–105.


Superficies non compactas

Carlos Franco SanmartınDepartamento de Xeometrıa e Topoloxıa

28 de outubro de 2015

Introducion

Entendese a clasificacion de superficies como o exercicio de atopar resultadosque permitan determinar cando duas superficies son ou non topoloxicamente equi-valentes, e dicir, homeomorfas.

O punto de partida para o estudo dos invariantes topoloxicos das superficiessituase no seculo XVIII coa famosa formula de Euler para poliedros. As primeirasaproximacions a clasificacion das superficies pechadas (compactas e sen bordo) fo-ron obra de Mobius e Jordan no caso orientable (decada de 1860), e de von Dyckno caso non orientable (1888). Sen embargo, as nocions de variedade topoloxica ehomeomorfismo que estes autores manexaban eran moi imprecisas. Non foi ata 1907cando apareceu a primeira proba rigorosa do teorema de clasificacion de superficiescompactas, elaborada por Dehn e Heegaard. A conecida demostracion alxebrica detal teorema foi publicada en 1921 por Brahana, quen tamen ideou o teorema declasificacion para superficies compactas con bordo.

En 1923 o matematico hungaro Bela Kerekjarto estableceu un teorema paraa clasificacion das superficies non compactas sen bordo. Posteriormente, no ano1963, Ian Richards, en [5], recolle detalladamente o traballo de Kerekjarto e aportaun metodo explıcito para a construcion dun representante de calquera clase dehomeomorfıa a partir dunha esfera.

Referencias nas que se tratan con detalle a maiorıa dos conceptos cos que aquıse aume certa familiaridade son [1, 2, 3, 4].

Preliminares

Sexa n ≥ 1 un enteiro positivo. Unha variedade sen bordo de dimension n e unespazo topoloxico localmente homeomorfo ao espazo euclidiano Rn. Unha variedadecon bordo M de dimension n e un espazo topoloxico tal que todo punto ten unhavecinanza aberta homeomorfa a un aberto de Rn−1 × [0,∞). O bordo ∂M defınesecoma o subespazo correspondente a Rn−1×0 e tratase dunha variedade sen bordode dimension n− 1.

Palabras Clave: Superficie; compacidade; espazo de finais; Kerekjarto; conxunto de Cantor.

21

22 SII Superficies non compactas

As variedades de dimension 2 reciben o nome de superficies. Neste texto presen-tanse as nocions basicas relativas a clasificacion das superficies non compactas senbordo. Consideraranse unicamente as superficies Hausdorff e segundo numerables,porque nunha maior xeneralidade aparecen casos patoloxicos que semellan impo-sibles de clasificar. Cabe destacar que, segundo demostrou Tibor Rado en 1925, apropiedade de segundo numerabilidade en superficies equivale a condicion de trian-gularizabilidade. Ademais asumirase que as superficies son conexas, xa que en casocontrario basta con aplicar os resultados aquı incluıdos a cada unha das componen-tes conexas da superficie.

Dise que unha superficie e orientable se non conten ningunha faixa de Mobius, edicir, se non conta con ningun “bonete cruzado” (plano proxectivo sen un disco). Tale como estableceu Felix Klein na decada dos setenta do seculo XIX, a orientalidadee unha propiedade global das superficies. Deste xeito, duas superficies homeomorfasteran necesariamente o mesmo tipo de orientalidade. Exemplos de superficies com-pactas orientables son a esfera S2 e o toro T 2 (esfera cunha asa), mentres que o planoproxectivo P 2 (esfera cun bonete cruzado) e a garrafa de Klein K son non orienta-bles. Nunha superficie non orientable dous bonetes cruzados equivalen a unha asa,sempre e cando se conserve polo menos un bonete cruzado que mantena o caracternon orientable. Ası, por exemplo, sucede que

T 2#P 2 ≈ P 2#P 2#P 2 = K#P 2 .

Enunciase a continuacion o teorema de clasificacion de superficies compactas.

Teorema 1. Toda superficie compacta (sen bordo) e homeomorfa a unha esfera, oua unha suma conexa de n toros ou a unha suma conexa de n planos proxectivos, paraalgun n ∈ N. Ademais, estas superficies corresponden todas a tipos de homeomorfıadiferentes.

A caracterıstica de Euler dunha superficie compacta e un invariante topoloxicoque se define como

χ(M) = (# caras) + (# vertices)− (# aristas)

para calquera triangulacion de M , e non depende da mesma.

Proposicion 2. A caracterıstica de Euler dunha superficie compacta ven dada por:2 se e unha esfera

2− 2n se e suma conexa de n toros

2− n se e suma conexa de n planos proxectivos

O xenero dunha superficie compacta sen bordo defınese como

g(M) =

12(2− χ(M)) se M e orientable

2− χ(M) se M e non orientable .

Carlos Franco Sanmartın SII 23

No caso orientable o xenero indica o numero de asas que presenta a superficie,mentres que no caso non orientable indica o numero maximo de bonetes cruzadosque posue (i.e. contando cada asa como un par de bonetes).

A continuacion incluese a version do Teorema 1 para superficies con bordo.

Teorema 3. Duas superficies compactas con bordo e triangularizables son homeo-morfas se e so se ambas tenen o mesmo numero de curvas fronteira, a mesmacaracterıstica de Euler, e ambas son ou ben orientables ou ben non orientables.

Finais dunha superficie non compacta

O concepto fundamental empregado na clasificacion topoloxica das superficiesnon compactas e o de compactificacion, que consiste no mergullo denso dunha su-perficie non compacta noutra que sexa compacta. Deste xeito, os teoremas de clasi-ficacion de superficies compactas (Teoremas 1 e 3) seran a base para o tratamentodas non compactas.

Definicion 4. Unha compactificacion dunha superficie non compacta M e un mer-gullo f : M → f(M) ⊂M∗ que verifica as propiedades seguintes:

(i) M∗ e compacto.

(ii) M e denso en M∗; e dicir, M = M∗.

Ademais defınese a coroa de M como β = M∗ \M .

Duas compactificacions de M dinse equivalentes se existe un homeomorfismoentre elas tal que a sua restricion a M sexa a identidade. A relacion ası definidano conxunto das compactificacions de M e de equivalencia, polo que cando se falede unicidade de compactificacion debese entender que e salvo equivalencias nestesentido. Considerarase aquı unha rexion dun espazo topoloxico X coma un abertoconexo de X. Ası mesmo, dirase que un conxunto A ⊂ X non separa as rexionsde X cando U \ A e conexo para calquera rexion U ⊂ X. A partir destas premisastense o seguinte resultado.

Teorema 5. Dada unha superficie non compacta M , existe unha unica compactifi-cacion M∗ de M con coroa β verificando as condicions seguintes:

(1) M∗ e un espazo Hausdorff e localmente conexo.

(2) β e totalmente desconexo.

(3) β e un conxunto que non separa as rexions de M∗.

A proba deste teorema involucra ao axioma da eleccion e basease nunha cons-trucion explıcita de β e dunha topoloxıa en M∗ = M ∪ β. Tal compactificacion M∗

chamase compactificacion por finais de M , e β recibe o nome de espazo de finais deM . Denotarase por Q calquera rexion de M que non sexa compacta en M pero quetena fronteira compacta.


Definicion 6. Un final de M (un elemento de β) e unha coleccion non baleira q desubconxuntos Q de M do tipo anterior tales que:

(a) se Q0 ∈ q e Q0 ⊂ Q, enton Q ∈ q;

(b) Q1, Q2 ∈ q ⇒ ∃Q3 ∈ q | Q3 ⊂ Q1 ∩Q2; e

(c)⋂Q∈q Q = ∅.

Unha vecinanza basica dun final q de M consiste nun subconxunto de M∗ daforma Q ∪ β(Q), onde Q ∈ q e β(Q) = q′ ∈ β | Q ∈ q′ . Ası, a topoloxıa de M∗

construese como a union da topoloxıa de M e dos sistemas de vecinanzas basicasdos finais. Logo M e un aberto da compactificacion, polo que o espazo de finais β ecompacto por ser pechado no compacto M∗.

Existe outra caracterizacion equivalente dos finais dunha superficie non compac-ta, que e a empregada en [5] por presentar certas vantaxes tecnicas.

Definicion 7. Considerense as sucesions encaixadas, P1 ⊃ P2 ⊃ ··· , de rexions nonrelativamente compactas en M verificando as propiedades seguintes:

(i) A fronteira de Pn en M e compacta para todo n.

(ii) Para calquera conxunto relativamente compacto A de M , tense que Pn∩A = ∅para algun n suficientemente grande.

Dise que duas sucesions deste tipo, P1 ⊃ P2 ⊃ ··· e P ′1 ⊃ P ′2 ⊃ ··· , son equivalentesse para todo n existen outros enteiros positivos N1 e N2 tales que PN1 ⊂ P ′n eP ′N2

⊂ Pn. A clase de equivalencia dunha familia p = (P1 ⊃ P2 ⊃ ··· ) deste tipodenotarase por p∗.

Proposicion 8. Para cada clase de equivalencia p∗ do tipo anterior, a familiaq = P ∈ p0 | p0 ∈ p∗ e un final da superficie M .

Clasificacion

Tipos de superficies non compactas

Unha superficie e planar se toda subsuperficie compacta dela e de xenero ce-ro. Un final p∗ ∈ β, con representante p = (P1 ⊃ P2 ⊃ ··· ), dise que e planar(respectivamente, orientable) se os Pn son subsuperficies planares (respectivamente,orientables) de M , para algun n suficientemente grande.

Polo tanto, o espazo de finais considerarase coma unha terna (β, β′, β′′) conβ ⊃ β′ ⊃ β′′, onde β′ e o conxunto dos finais non planares e β′′ o conxunto dosfinais non orientables.

Proposicion 9. β′ e β′′ son pechados en β.

Corolario 10. β′ e β′′ son compactos.

Carlos Franco Sanmartın SII 25

Proposicion 11. β e un espazo ultrametrico.

Dise que unha superficie M ten xenero infinito se non existe ningun subespazocompacto A de M tal que o complementario M \ A sexa de xenero cero. Tratasedaquelas superficies que contan cunha cantidade infinita de asas ou bonetes cruza-dos. Analogamente, dise que M e infinitamente non orientable se non existe ningunsubespazo compacto A de M tal que M \A sexa orientable (aquelas superficies quetenen infinitos bonetes cruzados). Ası, as superficies non compactas de xenero infi-nito poden ser orientables, finitamente non orientables (e dicir, tenen infinitas asaspero unha cantidade finita e non nula de bonetes cruzados) ou infinitamente nonorientables. A sua vez, as superficies finitamente non orientables poden ser de tipopar ou impar, en funcion da paridade do numero de bonetes cruzados que posuan.

Por outra banda, as superficies non compactas de xenero finito (i.e. aquelas quetenen unha cantidade finita de asas e de bonetes cruzados) poden ser orientables ounon orientables. As orientables divıdense en planares e non planares, mentres queas non orientables divıdense segundo a paridade do mesmo xeito que as finitamentenon orientables. Por exemplo, un plano tratase dunha superficie non compacta dexenero cero que ten un unico final (planar).

Teorema de Kerekjarto

Teorema 12. Sexan M e M ′ duas superficies non compactas sen bordo co mesmoxenero e tipo de orientabilidade. Enton M e M ′ son homeomorfas se e so se os seusespazos de finais (considerados como ternas) son homeomorfos.

Debido a que o espazo de finais dunha superficie, o seu espazo de finais nonplanares e o seu espazo dos finais non orientables estan intrinsecamente definidosen termos topoloxicamente invariantes da superficie, tense que son invariantes porhomeomorfismos. Logo a “necesidade” da condicion do teorema e trivial.

Non obstante, a demostracion da “suficiencia” e moi extensa e presenta numero-sas dificultades tecnicas. A idea xeral consiste en considerar en M e M ′ sucesionscrecentes recubridoras K1 ⊂ K2 ⊂ ... e K ′1 ⊂ K ′2 ⊂ ... de subsuperficies compactascon bordo, de xeito que se poidan establecer de maneira alternada homeomorfismosfr entre as correspondentes subsuperficies de cada unha das sucesions. Finalmentedefinirase o homeomorfismo global f entre M e M ′ como a extension comun dosfr. A existencia dos homeomorfismos fr esta garantida por certos resultados sobrehomeomorfismos de superficies compactas con bordo, os cales se obtenen a partirdo teorema de clasificacion das mesmas e do estudo das isotopıas.

Construcion de superficies

Definicion 13. Un conxunto de Cantor e un espazo metrizable, compacto, total-mente desconexo e no cal todo punto e de acumulacion (e dicir, non existen puntosillados).


O seguinte teorema indica que os conxuntos de Cantor son espazos topoloxicossorprendentemente estables.

Teorema 14. Dous conxuntos de Cantor son homeomorfos.

A partir da propiedade anterior deducese facilmente o seguinte resultado.

Proposicion 15. Todo espazo metrico, compacto e totalmente desconexo X e ho-meomorfo a un subconxunto do conxunto ternario de Cantor.

Como consecuencia do Teorema 5 e da Proposicion 11, o espazo de finais β e unespazo metrico, compacto e totalmente desconexo. Logo β verifica as hipoteses daProposicion 15. O teorema que segue establece que calquera terna de espazos coaspropiedades anteriores e realmente o espazo de finais para algunha superficie noncompacta.

Teorema 16. Sexa (X,Y, Z) unha terna de espazos metricos, compactos e total-mente desconexos tal que X ⊃ Y ⊃ Z. Enton existe unha superficie conexa senbordo M cuxo espazo de finais (β, β′, β′′) e homeomorfo a terna (X,Y, Z).

A proba obtense mediante a construcion explıcita da superficie como unha esferana que se suprime un certo conxunto de puntos (contido nun mergullo do conxuntoternario de Cantor e que se correspondera co espazo de finais da superficie) e dediscos abertos, con fronteiras escollidas especificamente para que a sua identificaciondea lugar a todalas asas e bonetes cruzados desexados.

Unha aplicacion

A continuacion enunciase un teorema sobre homeomorfismos de conxuntos deCantor en cuxa demostracion se emprega o teorema de Kerekjarto. Sucede que esteresultado deixa de ser certo se en lugar do plano R2 se considera o espazo R3.

Teorema 17. Sexa C ⊂ R2 un conxunto de Cantor e sexa h : C → C un homeo-morfismo. Enton existe un homeomorfismo h : R2 → R2 que estende a h.

Bibliografıa

[1] Ahlfors, L.V. e Sario, L. (1960). Riemann Surfaces, Princeton University Press.

[2] Hirsch, M.W. (1976). Differential Topology, Springer-Verlag.

[3] Massey, W.S. (1967). Algebraic Topology: An Introduction, Springer-Verlag.

[4] Moise, E.E. (1977). Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Springer-Verlag.

[5] Richards, I. (1963). On the Classification of Noncompact Surfaces, Transactionsof the American Mathematical Society, 106, pp. 259–269.


A Transformada de Laplace

Jorge Rodrıguez LopezDepartamento de Analise Matematica

11 de novembro de 2015

Introducion

A transformada de Laplace e unha transformada integral. Isto e, dada unhafuncion f definida nun intervalo −∞ ≤ a ≤ t ≤ b ≤ ∞, a sua transformada defınesecomo

T [f(t)] (s) =

∫ b

aK(t, s)f(t)dt,

onde a funcion K que aparece no integrando se conece como o nucleo da transfor-mada. Unha propiedade obvia das transformadas integrais e a sua linearidade quese deduce da linealidade da integral.

En concreto, a transformada de Laplace empezouse a utilizar na resolucion deecuacions diferenciais ordinarias (EDOs) a finais do seculo XIX na teorıa de circuıtoselectricos, aında que xa fora descrita polo matematico frances Pierre-Simon Laplaceno seculo anterior dentro da sua teorıa da probabilidade, seguindo os traballos deEuler.

Definicion e existencia

Agora definimos formalmente a transformada de Laplace considerandoa comounha funcion de variable complexa.

Definicion 1. Dada a funcion f : (0,∞) ⊂ R→ R, a sua transformada de Laplacee a funcion de variable complexa

L[f ](z) =

∫ ∞0

e−zsf(s)ds; z ∈ Ω,

onde Ω e o conxunto de puntos do plano complexo para os cales a integral anteriore converxente.

O seguinte teorema da certas condicions nas que a transformada de Laplace eanalıtica. A sua proba, ası como a de gran parte das propiedades que aquı enuncia-mos, podemos vela en [1].

Palabras Clave: transformada; Laplace; ecuacion diferencial; inversa.

27

28 SII Transformada de Laplace

Teorema 2. Suponamos que e−atf(t), a ∈ R, e continua a anacos e absolutamenteintegrable en [0,∞) . Enton L[f ](z) e unha funcion analıtica no semiplano Ha =z ∈ C : Re(z) > a.

Agora, usando o principio de identidade de variable complexa sabemos que cal-quera funcion analıtica definida nun aberto queda totalmente determinada se seconece o seu valor sobre un conxunto que posua puntos de acumulacion interioresao seu dominio de definicion. Ası, e evidente que a transformada de Laplace quedadeterminada para os valores reais de z.

Deste xeito aparece a seguinte definicion alternativa de dita transformada.

Definicion 3. A transformada de Laplace de f defınese como

L[f ](p) =

∫ ∞0

e−pxf(x)dx para p > 0.

Observemos que ası a definimos como unha integral impropia. Dita definicionsera a empregada no que segue ata o momento de tratar a Transformada inversade Laplace. Ademais, usaremos as notacions L[f ](p) ou F (p) indiferentemente paradenotar a transformada de Laplace da funcion f .

Poren, e necesario estudar cando existe dita transformada. Resulta sinxelo pro-bar que a transformada de Laplace da funcion f(x) = ex

2non existe para ningun

valor de p.Unha condicion suficiente da sua existencia ven dada polas funcions de orde

exponencial como mostra o seguinte teorema.

Teorema 4. Sexa f : [0,∞) → R unha funcion continua a anacos, con valoresreais e de orde exponencial, e dicir, existen constantes K > 0 e a ∈ R tales que

|f(x)| ≤ Keax, para todo x ≥ 0.

Enton L[f ](p) esta ben definida para todo p ∈ R tal que p > a.

Dita condicion e suficiente pero non necesaria. Pois a funcion f(x) = x−12 non e

de orde exponencial, pero a sua transformada de Laplace existe para todo p > 0 etoma o valor

L[x−12 ](p) =

√π

p.

A transformada de Laplace da maiorıa de funcions elementais pode calcularsefacilmente usando integracion por partes. Aquı so obteremos a modo de exemplo atransformada das funcions polinomicas.

Exemplo 5. Sexa f(x) = xn, n ∈ N, enton usando integracion por partes reitera-damente chegase a que sua transformada de Laplace e

F (p) =

∫ ∞0

xne−pxdx = lımN→∞

xne−px

−p

∣∣∣∣N0

+n

p

∫ ∞0

xn−1e−pxdx =

=n

pL[xn−1](p) = ··· = n!

pnL[1](p) =

n!

pn+1,

para todo p > 0.

Jorge Rodrıguez Lopez SII 29

Funcion gamma

Unha funcion relevante en moitos campos da matematica e a funcion gamma.Chegamos a ela a partir do calculo da transformada de Laplace de fs(t) = ts definidapara t > 0 e s > −1.

L[fs](p) =

∫ ∞0

e−pttsdt =1

p

∫ ∞0

e−u(u

p

)sdu =

1

ps+1

∫ ∞0

e−uusdu.

A integral do ultimo membro da igualdade anterior e o que se conece como funciongamma e que xeralmente se define como

Γ(s) =

∫ ∞0

e−uus−1du,

para s > 0.Dita funcion esta relacionada coa transformada das funcions ts como segue

L[ts](p) =Γ(s+ 1)

ps+1,

con p > 0 e s > −1.Usando o Exemplo 5 obtense a conecida propiedade Γ(n+1) = n!. Ademais, non

resulta difıcil ver que Γ(s + 1) = sΓ(s) para todo s > 0. Polo tanto, isto convirtea funcion Γ na extension natural do factorial dun numero natural ao conxunto dosnumeros reais salvo os enteiros negativos.

Propiedades da transformada de Laplace

Ademais da xa mencionada linearidade e aında que verifica numerosas propie-dades (ver [1]), aquı so nos centraremos nunhas poucas que son as que mais nosinteresan para a aplicacion da transformada a resolucion de ecuacions diferenciais.

No enunciado das seguintes propiedades non vamos entrar a valorar as condi-cions de regularidade necesarias para que tenan sentido, senon que se supon que asintegrais involucradas sempre estan ben definidas.

Xa sabemos como se comporta a suma de transformadas, pero tamen serıa intere-sante conecer que ocorre co seu produto. Para iso defınese o produto de convolucionde duas funcions f e g como segue

f ∗ g(x) =

∫ x

0f(x− t)g(t)dt.

A relacion buscada danola o seguinte resultado.

Proposicion 6. Dadas as funcions f e g, tense que L[f ∗ g](p) = L[f ](p) ·L[g](p).

Poren, unha das principais aplicacions da transformada de Laplace e a resolucionde ecuacions diferenciais. Para iso e necesario ver como actua sobre as derivadas.


Proposicion 7. L[y′](p) = p · L[y](p)− y(0).

En xeral, L[y(n)] = pnL[y]− y(n−1)(0)− py(n−2)(0)− ··· − pn−1y(0), ∀n ∈ N.Polo tanto, a transformada de Laplace aplicada a un problema de Cauchy como

o seguinte:

y′′(x) + ay′(x) + by(x) = f(x)

y(0) = y0

y′(0) = y1, a, b ∈ R,

transforma a resolucion dunha ecuacion diferencial nun simple problema alxebrico.Aplicando a transformada de Laplace a ambos lados da ecuacion diferencial

anterior e usando as propiedades vistas chegase sen dificultade a expresion

L[y] =(p+ a)y(0) + y′(0) + L[f ]

p2 + ap+ b.

Desta forma, conecidas as condicions iniciais y(0) e y′(0) temos univocamentedeterminada a transformada de Laplace da solucion. Usando a transformada deLaplace inversa, que veremos a continuacion, pode obterse a solucion do problemade partida.

Transformada de Laplace inversa

A transformada de Laplace ten a sua principal aplicacion na simplificacion queprovoca ao aplicala a problemas difıciles, en xeral de ecuacions diferenciais. Dadaunha ecuacion diferencial resolvese o problema transformado, mais facil, pero istonon nos servirıa de nada se logo non somos capaces de inverter o proceso para chegara solucion do problema de partida. Isto e o que fai a transformada inversa.

Definicion 8. Unha funcion v definida nun intervalo (a,∞) ten transformada in-versa de Laplace se existe unha unica funcion u definida en [0,∞) tal que

L[u] = v.

Neste caso dise que u e a transformada inversa de Laplace de v e denotase porL−1[v].

Definicion 9. Denomınase funcion nula aquela que presenta o valor cero en todolospuntos excepto nun conxunto discreto deles.

O teorema de Lerch aseguranos, salvo funcions nulas, a unicidade da transfor-mada inversa. A sua demostracion pode verse en [3].

Teorema 10. Sexan f e g duas funcions para as que existe a transformada deLaplace, enton salvo funcions nulas, verifıcase que

L[f(t)] = L[g(t)]⇔ f(t) = g(t),

para todo t > 0.

Jorge Rodrıguez Lopez SII 31

En xeral o calculo da transformada inversa pode resultar difıcil. A formula deinversion de Mellin-Fourier e o uso da variable complexa pode facilitalo. Usaremosa version vista en [2].

Teorema 11. Sexan ω > 0, Ωω := z ∈ C : Re(z) > ω e g : Ωω → C unha funcionholomorfa da forma

g(z) =a

z+h(z)

zλ,

con a ∈ C, λ > 1 e |h(z)| ≤ M para cada z ∈ Ωω, sendo M > 0 unha constante.Enton, a funcion f definida por

f(t) :=1

2πi

∫ ω+i∞

ω−i∞g(z)eztdz :=

1

2πilımR→∞

∫[ω−iR,ω+iR]

g(z)eztdz, t > 0,

verifica que L[f ](s) = g(s), s > ω.

Ademais, usando teorıa de residuos, en determinadas condicions sobre as fun-cions as que lles queremos calcular a transformada inversa, por exemplo para asfuncions racionais, podemos asegurar que a seguinte formula e certa

f(t) = lımR→∞

1

2πi

∫ ω+iR

ω−iReztg(z)dz =

n∑i=1

Res(eztg(z); zi),

sendo f a transformada de Laplace inversa da funcion g e denotando por Res(h; z)os residuos da funcion h no punto z.

Aplicacion a resolucion de ecuacions diferenciais

Xa vimos como resolver unha EDO lineal de coeficientes constantes e segundoorde. O proceso pode xeneralizarse sen dificultade a orde n. Dun modo similar podenresolverse sistemas de ecuacions lineais con coeficientes constantes. En ambolos douscasos necesıtase que as condicions iniciais sexan conecidas.

A transformada de Laplace tamen pode empregarse para resolver algunhas ecua-cions diferenciais en derivadas parciais (EDP). Para isto e necesario que a variabletemporal ou espacial (no caso dunha funcion de duas variables) estea definida en(0,∞) e que a ecuacion sexa conecida con condicions iniciais dadas.

O problema mecanico de Abel

Imaxinemos que unha pelota se desliza sen friccion por un cable dobrado deforma suave ata a orixe, representando a grafica dunha funcion y = y(x), baixo aunica forza da gravidade. O tempo total de descenso da pelota dende a altura y vendado pola funcion T (y) e depende da forma do cable.

O problema de Abel consiste en inverter o proceso. Conecida a funcion de descen-so T queremos determinar a curva y que ten a T como funcion tempo de descenso.


A transformada de Laplace axudanos a resolver dito problema e no caso particularde que a funcion de descenso sexa constante obtense como solucion a cicloide.

A solucion de dito problema pode verse detallada en [4].

Outras aplicacions: funcions completamente monotonas

Ademais da resolucion de ecuacions diferenciais a transformada de Laplace podeaplicarse a outros problemas das matematicas. A continuacion presentamos unhacaracterizacion das funcions completamente monotonas mediante a transformada deLaplace dada polo teorema de Bernstein. En [5] podemos ver un problema abertosobre as funcions completamente monotonas que se pode polo tanto estudar dendeo punto de vista da transformada de Laplace.

Definicion 12. Unha funcion f : (0,∞) → R e unha funcion completamente mo-notona se f e de clase C∞ e (−1)nf (n)(p) ≥ 0 para todo n ∈ N ∪ 0 e p > 0.

Se temos unha medida µ con soporte en [0,∞) podemos definir a sua transfor-mada de Laplace como

L[µ, p] =

∫[0,∞)

e−ptµ(dt).

Teorema 13 (Bernstein). Sexa f : (0,∞)→ R unha funcion completamente mono-tona. Enton e a transformada de Laplace dunha unica medida µ en [0,∞), e dicir,para todo p > 0,

f(p) = L[µ, p] =

∫[0,∞)

e−ptµ(dt).

Reciprocamente, se L[µ, p] <∞ para todo p > 0, a funcion p 7→ L[µ, p] e completa-mente monotona.

Bibliografıa

[1] Almira Picazo, J. M. (2005). Matematicas para la recuperacion de senales: unaintroduccion, Grupo Editorial Universitario.

[2] Lopez Gomez, J. (2001). Ecuaciones diferenciales y variable compleja: con teo-rıa espectral y una introduccion al grado topologico de Brouwer, Prentice Hall.

[3] Palacio, J. M. (1990). Calculo operacional: la transformada de Laplace, Univer-sidad de Oviedo.

[4] Simmons, G. F. e Krantz, S. G. (2007). Ecuaciones diferenciales: teorıa, tecnicay practica, McGraw Hill.

[5] Shemyakova, E.; Khashin, S.I. e Jeffrey D.J. (2010). A conjecture concerninga completely monotonic function, Computers and Mathematics with Applica-tions, 60(5), pp. 1360–1363.


Modelizacion Onomastica

Marıa Jose Ginzo VillamayorDepartamento de Estatıstica e Investigacion Operativa

25 de novembro de 2015

Resumo

Os apelidos poden ser utilizados como unha fonte de informacion para caracte-rizar a poboacion dunha rexion, dado que a analise dos patrons que se observan nadistribucion dos apelidos reflicte aspectos importantes dos movementos poboacio-nais. As investigacions desenvolvidas no contexto de estudo, ata a data, non tenenen conta a dimension espacial e espazo–temporal da evolucion dos apelidos; por iso,este traballo centrase na introducion de metodos estatısticos para o procesamentode datos e o modelado en xeolinguıstica, especificamente, nos apelidos de Galicia.

Introducion

O obxectivo principal deste traballo e o modelado espacial e espazo-temporal depatrons de apelidos en Galicia. Fixando rexions administrativas, como por exemplo,concellos, pode facerse uso de metodos espaciais e espazo–temporais para a analisede datos de conteo que permitan modelar o patron subxacente a evolucion dos apeli-dos. Estes metodos seran utiles para caracterizar patrons de evolucion dos apelidosformulados mediante modelos xerarquicos. Para o axuste de modelos xerarquicosneste contexto faise uso da metodoloxıa INLA (Integrated Nested Laplace Approxi-mation) proposta por [5] que se aplica aos datos dos apelidos en Galicia, proporcio-nados polo Instituto de Estatıstica de Galicia (censo de 2011, http://www.ige.eu/).

Neste traballo analızase o patron espacial, por concellos, dos apelidos“Crujeiras”,“Ginzo” e “Rodrıguez” en Galicia para o ano 2011. Ademais, faise unha analiseespazo–temporal para o apelido“Ginzo”. Para este analise usanse os datos do Padroncontinuo de poboacion dende o ano 2010 ata 2015.

Datos

Os datos dos que se dispon son os do censo de todolos Concellos de Galicia parao ano 2011. Neste traballo estudaranse tres apelidos de forma espacial: “Crujeiras”,“Ginzo” e “Rodrıguez”, so cando as persoas o levan no primeiro apelido.

Palabras Clave: Besag-York-Mollie; inferencia Bayesiana; INLA; onomastica.

33

34 SII Modelizacion onomastica

Crujeiras1: 488 persoas, localızase principalmente na comarca do Barbanza,concretamente no concello de Ribeira. Crujeiras e a castelanizacion de Cruxei-ras, e a maior parte dos seus portadores proceden do lugar Cruxeiras concellode Ribeira.

Ginzo1: 130 persoas, localızase principalmente na comarca da Marina Orien-tal, mais precisamente na Pontenova. Ginzo e a castelanizacion de Xinzo,toponimo de orixe prerromana (med. Genitio) que se repite en 12 lugares deGalicia, amais de dar nome a un concello (Xinzo de Limia).

Rodrıguez1: 118209 persoas. No ano 2011 era o apelido mais comun, re-partido por toda Galicia. Rodrıguez e o mais frecuente dos apelidos galegos,presente en todolos concellos de Galicia, con case 240.000 ocorrencias se temosen conta primeira ou segunda posicion no apelido. E de tipo patronımico consufixo “-ez”, que era o procedemento unsado na Idade Media para significar“fillo de”, porque daquela os apelidos non eran hereditarios, e cambiaban dexeracion en xeracion.

No perıodo 2000–2015 o numero medio de persoas que levan o apelido Ginzo deforma indistinta no primeiro ou no segundo lugar e de 261, cun comportamentobastante uniforme no perıodo. Salientar que nos anos 2000 e 2015 son nos quemenos persoas levan o apelido (252) e pola contra no ano 2008 e o ano que mais serexistran (267).

Metodoloxıa

Nas ultimas decadas, a disponibilidade de datos espaciais e espazo–temporaisaumentou de forma considerable, principalmente debido ao avance das ferramentascomputacionais que permiten recoller os datos en tempo real.

A analise da distribucion xeografica e temporal dos apelidos permite estudara variabilidade espacial e temporal da estrutura das poboacions humanas. Destexeito, os apelidos poden empregarse como fonte de informacion das caracterısticasda poboacion. Ademais, a analise de patrons de apelidos proporciona informaciondinamica dos movementos de poboacion. En [3] mostrase como a traves do estudodos apelidos mediante medidas de isonimia combinadas con ferramentas de analisecluster se poden obter mapas de apelidos que reflicten o proceso de urbanizacion daszonas rurais as urbanas, entre outros. Presentanse a continuacion os dous modelosestudados, espacial e espazo–temporal, empregados neste traballo.

Modelizacion espacial

Para analizar o patron espacial dos apelidos en Galicia, considerando o efectosda covariable numero de habitantes por concellos, axustouse o modelo proposto en

1Dicionario dos apelidos galegos, que se esta a elaborar na seccion de Onomastica doInstituto da Lingua Galega (USC) dirixido por Ana Isabel Boullon Agrelo.

Marıa Jose Ginzo Villamayor SII 35

[2] (modelo BYM), adaptado a este contexto. Un dos supostos deste modelo e que olog-risco2 podese descomponer como suma dunha componente espacial estruturadae un erro aleatorio, pero tamen se pode incluır o efecto suave dalgunha covariable.En primeiro lugar, para formular o modelo BYM, necesitamos definir cal vai ser anosa variable de conteo:

Yi = numero de persoas con ese apelido no concello i, para cada i = 1, ... , n.

Este proceso de conteo sera modelado a traves dun modelo Poisson–LogNormal(ver [1] pax. 162). E dicir, Yi|ηi ∼ Pois(Ei exp(ηi)) onde Ei e a poboacion en risco(estimacion da poboacion que leva o apelido en estudo), ηi (os riscos log–relativos)un predictor lineal e as variables Yi condicionalmente en ηi son independentes. Ocampo latente ηi terase en conta para modelar a estrutura subxacente e recoller avariabilidade espacial. Unha formulacion sinxela ven dada por: ηi = µ + fs(si) +fu(si), onde si e o centroide de cada concello e fs e fu denotan os efectos espaciaisestruturado e o non estruturado, respectivamente. Para fs, imporase un campoaleatorio Gaussiano de Markov (GMRF) intrınseco ([4]). Para fu, considerase oproceso de ruıdo branco que representa a “sobredispersion” que poden presentar osconcellos:

Denotando por z(si) ≡ fs(si), i = 1, ... , n, Z e un GMRF, (vexase a Seccion2.2 no libro de [4] para unha definicion precisa de GMRF). Os z(si), z(sj) coni 6= j son dependentes con estrutura de Markov e seguen unha distribucionN(0, τ2).

Por outra banda, denotase por w(si) ≡ fu(si), i = 1, ... , n, W e ruido branco.Os w(si), i = 1, ... , n son independentes con distribucion N(0, τ1).

Modelizacion espazo–temporal

Investigando so o patron espacial dos apelidos non nos permite concluır nadasobre outra das componentes de variacion, a temporal, que poder ser igualmentede interese. O modelo anterior pode estenderse facilmente ao caso espazo–temporalincluındo o tempo. A variable resposta para un concello i sera:

Yit = o numero de persoas con ese apelido no concello i no tempo t,

que sera observada nos n concellos e en T instantes do tempo. O modelo es-pacial anterior estendese ao permitir a componente temporal quedando: Yit|ηi ∼Pois(Eit exp(ηit)). A formulacion que seguira neste caso o campo latente e: ηit =µ+ fs(si) + fu(si) + fT (t), con t = 1, ... , T , onde en fT (t) se especifica a estruturatemporal. Dita estrutura pode corresponder a unha componente lineal no tempo, aunha componente suave ou ben a un proceso que inclua correlacion temporal.

2Estes modelos empreganse no ambito da epidemioloxıa. Aquı log–risco entendese como a po-boacion susceptible de posuır o apelido en estudo, en palabras epidemioloxicas, o risco de “padecer”un determinado apelido.


Inferencia Bayesiana con INLA

O axuste dos modelos realizouse empregando o metodo baseado na aproximacionpor integradores de Laplace aninados INLA3, proposto en [4].

INLA propociona unha ferramenta rapida e util para axustar modelos gaussianoslatentes (os procesos que rixen fs, fu e fT tenen distribucions Gaussianas), incluındomodelos con estrutura temporal ou espacial nun contexto Bayesiano. Neste traballofarase uso deste metodoloxıa para axustar un modelo aos datos de tres apelidosen Galicia, Crujeiras, Ginzo e Rodrıguez e detallarase como se fixo o axuste conR-INLA4 (disponible en www.r-inla.org).

Os obxectivos da inferencia Bayesiana son as distribucions marxinais a posterioripara cada componente do vector de parametros. O procedemento INLA calcula aaproximacion numerica das distribucions a posteriori que sexan de interese, baseadosno metodo de aproximacion de Laplace.

Para levar a cabo a inferencia Bayesiana hai que especificar os hiperparametrosdo efecto espacial a priori e da parte aleatoria. Os hiperparametros son a precision doτ1 no modelo iid5 e a precision τ2 do modelo besag6, como θ = (log τ1, log τ2). Sobreestes parametros consideranse unhas distribucions a priori, log–gamma neste caso,con parametros iniciais (1,0.00005). A analise de sensibilidade do modelo a elecciondo parametro das distribucions a priori pode facerse en base ao criterio Criterio deInformacion de Desviacion (DIC). Este criterio basease na desviacion Bayesiana.E unha xeneralizacion do Criterio de Informacion de Akaike (AIC) e do Criteriode Informacion Bayesiano (BIC). O criterio DIC empregase, especialmente, sobredistribucions a posteriori obtidas mediante metodos Markov chain Monte Carlo(MCMC).

Ademais e un criterio que proporciona bos resultados para modelos xerarquicoscomo os aplicados neste traballo. Os modelos que tenen un valor DIC mais pequenoson os preferidos. O DIC penaliza tanto polo axuste como pola complexidade do mo-delo. O axuste soe ser mellor ao introducir un numero maior de parametros ao mo-delo, pero isto compensase no criterio DIC cunha penalizacion segundo o numero deparametros buscando un equilibrio entre a bondade do axuste e a complexidade domodelo. Para a sua construcion debese definir a desviacion: D(λ) = −2 ln (p (Y |λ)),onde Y representa a variable resposta, λ os parametros especıficos de cada modelo(os parametros que aparecen no BYM son µ, τ1 e τ2). Ası mesmo pode obterse adesviacion media a posteriori como: D = E [D(λ)]. Por outra banda a desviacionBayesiana das medias a posteriori e D = D [E(λ)]. Deste xeito temos que o criterioDIC ven definido por: DIC = 2D − D.

3Bayesian computing with INLA!, (2009) URL: http://www.r-inla.org/.4R-INLA e un paquete de R que implementa a aproximacion da inferencia Bayesiana usando

INLA (Martino e Rue, 2010a).5ver http://www.math.ntnu.no/inla/r-inla.org/doc/latent/indep.pdf6ver http://www.math.ntnu.no/inla/r-inla.org/doc/latent/besag.pdf

Marıa Jose Ginzo Villamayor SII 37

Resultados e conclusions

Resultados da modelizacion espacial con INLA

Para o ano 2011 en Galicia hai 488 persoas que levan o apelido Crujeiras, 130 oapelido Ginzo e 118209 o apelido Rodrıguez. Fıxose un axuste de acordo ao expostona Seccion referida a Modelizacion espacial tomando os hiperparametros a priorique emprega por defecto en inla, xa que o emprego de outros non melloran osresultados. O grafo de Galicia non e un conxunto conexo, senon que esta formado porduas componentes conexas: a Illa de Arousa e os 314 restantes concellos integradosna Penınsula Iberica. Isto hai que indicarllo ao modelo. A funcion inla devolve unobxecto da clase inla, que conten unha serie de elementos que poden ser explorados,como son a media, desviacion tıpica e cuantiles. Na Figura 1 mostrase o patronespacial dos apelidos Crujeiras, Ginzo e Rodrıguez tendo en conta o numero dehabitantes por concello, e representa a media a posteriori do efecto estruturado.Por outra banda, na Figura 2 mostrase a parte aleatoria non estruturada.

Figura 1: Media a posteriori da parte estruturada do campo latente ηi. De esquerdaa dereita: para os apelidos Crujeiras, Ginzo e Rodrıguez dos datos do censo 2011.

Figura 2: Media a posteriori do efecto non estruturado do campo latente ηi. Deesquerda a dereita: para os apelidos Crujeiras, Ginzo e Rodrıguez dos datos docenso 2011.

Resultados da modelizacion espazo–temporal con INLA

Neste apartado fıxose un axuste sinxelo de acordo ao exposto na Seccion referidaa Modelizacion espazo–temporal. Eliximos como parametro para o efecto temporal oprior.iid=c(1,1) e axustamos o modelo ao segundo conxunto de datos. Neste casoempregase como“poboacion en risco”o 20 % da poboacion total do concello, facendo


unha estimacion naqueles concellos que o apelido Ginzo esta mais presente. Tantoo intercepto como o coeficiente asociado a variable ano, que recolle a componentetemporal, son significativos.

Figura 3: Esquerda: Media a posteriori da parte non estruturada do campo latenteηi para o axuste do modelo espazo–temporal. Dereita: Efecto debido o tempo.

A conclusion que se extrae deste estudo unha vez aplicado o modelo espazo–temporal fronte ao modelo espacial e que os mapas das distribucions dos apelidosson similares. Quizas poida dicirse que nas vecinanzas desas 261 persoas que levano apelido Ginzo non hai moito movemento nin no espazo nin ao longo do tempo.Seguramente se tiveramos mais anos poderıamos obter resultados mais interesantes,xa que tendo en conta a idade das persoas e facendo cortes temporais como en [3]mediante tecnicas de analise cluster podese detectar o proceso de urbanizacion enGalicia ou mesmo o mapa das dioceses de Galicia (antes do proceso urbanizacion omapa dos apelidos de Galicia distribuıase da mesma forma que o mapa das dioceses).

Bibliografıa

[1] Banerjee S., Carlin, B. E., Gelfand, A. (2004). Hierarchical Modeling and Analy-sis for Spatial Data. Chapman & Hall/CRC Monographs on Statistics & Ap-plied Probability

[2] Besag, J., York, J. e Mollie, A. (1991). Bayesian image restoration with twoapplications in spatial statistics. Annals of the Institute of Statistical Mathe-matics, 43, pp. 1–59.

[3] Ginzo-Villamayor, M.J.; Crujeiras, R. M. e Sousa Fernandez, X. (2013). Sur-name patterns in Galicia. Libro de Actas do congreso. XI Congreso Galego deEstatıstica e Investigacion de Operacions. A Coruna (Espana).

[4] Rue, H., e Held, L. (2005). Gaussian Markov random fields: theory and appli-cations. Chapman & Hall, CRC Press.

[5] Rue, H., Martino, S. e Chopin, N (2009). Approximate Bayesian inference forlatent Gaussian models using integrated nested Laplace approximations. Journalof the Royal Statistical Society, Series B, 71, pp. 319–392.


Os cuaternios

Daniel Cao LaboraDepartamento de Xeometrıa e Topoloxıa

16 de decembro de 2015

Resumo

Comezaremos introducindo o corpo non conmutativo (ou anel con division) doscuaternios H, que pode ser visto como R4 onde existe, ademais da suma habitual,un produto. Ademais C pode contemplarse como un subcorpo de H, podendo xene-ralizar neste ultimo conceptos tales como norma, conxugacion, calculo de potenciase extraccion de raıces.

Toda esa bagaxe previa permite formular e resolver, parcialmente, unha pregun-ta semellante ao Teorema Fundamental da Alxebra, todo polinomio con coeficientescuaternionicos posue ceros en H? En xeral, a resposta a pregunta e negativa. Nonobstante, Eilenberg e mais Niven, mediante tecnicas propias da topoloxıa e da xeo-metrıa diferencial, proban en 1944 a veracidade do TFA suponendo que o polinomioposue un unico termo de grao maximo; o cal non pasa sempre ao ser H non conmu-tativo. Ademais unha pequena xeneralizacion propia da unha condicion algo maislaxa ca de Eilenberg e Niven sobre o polinomio para a cal segue a verificarse o TFA.

Finalmente, mencionaremos a utilidade dos cuaternios para a descricion dasrotacions no espazo tridimensional. Realizaremos unha breve comparativa entre adescricion cuaternionica das rotacions e a propia dos angulos de Euler. Tamen fa-remos unha breve incursion a Teorıa de Numeros onde bosquexaremos unha probado Teorema dos Catro Cadrados de Lagrange.

Os cuaternios

Consideremos o conxunto H = s+ xi + yj + zk : (s, x, y, z) ∈ R4. De agora endiante, por simplicidade de notacion, sexan q = s+xi+yj+zk e ql = sl+xli+ylj+zlkonde l ∈ 1, 2. Ademais sexan v = xi + yj + zk e vl = xli + ylj + zlk con l ∈ 1, 2.

Definicion 1. Definimos a suma de q1 e q2 como

q1 + q2 := (s1 + s2) + (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k.

Palabras Clave: cuaternios; TFA; rotacions; teorıa de numeros.

39

40 SII Os cuaternios

Definicion 2. Definimos o produto de q1 por q2 como

q1q2 := (s1s2 − x1x2 − y1y2 − z1z2)+(s1x2 + x1s2 + y1z2 − z1y2)i+

(s1y2 − x1z2 + y1s2 + z1x2)j+(s1z2 + x1y2 − y1x2 +−z1s2)k.

Esta ultima definicion pode semellar intricada, pero xorde de modo naturalaplicando a distributividade a partir da seguinte taboa de multiplicacion, onde oprimeiro factor aparece no bloque esquerdo e o segundo no superior.

· 1 i j k

1 1 i j ki i -1 k -jj j -k -1 ik k j -i -1

Observacion 3. O produto tamen pode ser descrito, en funcion dos produtos escalar〈 , 〉 e vectorial ×, como

q1q2 = s1s2 + s1v2 + s2v1 − 〈v1, v2〉+ v1 × v2.

Proposicion 4. Coas operacions antes definidas (H,+, ·) e un corpo non conmu-tativo.

Definicion 5. Dado o cuaternio q definimos:

a sua parte real como Re(q) = s,

a sua parte imaxinaria como =(q) = xi + yj + zk,

o seu conxugado como q = s− xi− yj− zk,

a sua norma como ||q|| =√s2 + x2 + y2 + z2.

Observacion 6. A aplicacion || · || e unha norma ao coincidir coa de R4.

Ademais podemos definir unhas coordenadas polares xeneralizadas que simplificanestupendamente os calculos como amosaran os resultados relativos a potencias eraıces.

Observacion 7. Todo cuaternio q 6∈ R pode ponerse de xeito unico como

q = ||q||(

cos θ +v

||v|| sen θ), con θ ∈ (0, π).

Esta expresion permite lanzar un resultado analogo a formula de De Moivre paracuaternios.

Proposicion 8. Se n ∈ Z e q 6∈ R temos que

qn = ||q||n(

cosnθ +v

||v|| sennθ), con θ ∈ (0, π).

Daniel Cao Labora SII 41

Ademais obtemos de aı un resultado sobre a extraccion de raıces.

Teorema 9 (Cantidade de raıces dun cuaternio). Sexa q ∈ H:

Se q 6∈ R, enton q ten n raıces n−esimas.

Todo real non nulo ten infinitas raıces n-esimas, agas se e positivo e n = 2.

O TFA en H

O problema da existencia de raıces de polinomios con coeficientes en R ou C eun problema estupendamente estudado, onde existen resultados totalmente satis-factorios no caso de C e razoablemente no caso de R. En particular, ao ser H un enteque conten a C, un pode pensar que todo polinomio con coeficientes cuaternionicosten ceros; non obstante, isto non e ası debido a existencia de polinomios con variostermos de grao maximo. Inspiramonos fundamentalmente no artigo [1] e utilizamos[2] para os resultados tecnicos relativos ao grao topoloxico.

Exemplo 10. O polinomio p(ξ) = ξi + iξ + j non ten ceros en H.

Para lograr un marco de hipoteses que pedir ao polinomio para que verifique oTFA necesitamos dunha ferramenta chamada grao topoloxico. Nos formularemolaxa para Sn, pois nos interesa usalo exclusivamente para S4; xa que S4 e homeomor-fa, mediante a proxeccion estereografica, a compactificacion de Aleksandrov de Hmandando (0, 0, 0, 0, 1) ∈ S4 no punto ∞ da compactificacion.

Definicion 11. Se f : Sn −→ Sn e unha aplicacion diferenciable entre variedadesdefinimos o grao topoloxico de f como

deg(f) =∑

q∈f−1(p)

sign(detTqf),

que e independente do punto p escollido, sempre que Tqf sexa sobrexectiva para todoq ∈ f−1(p).

Corolario 12. Nas hipoteses anteriores se deg(f) 6= 0 temos que f e sobrexectiva.

Proposicion 13. Se f, g : Sn −→ Sn son aplicacions diferenciables homotopas,enton f e g tenen o mesmo grao.

Utilizamos agora as ferramentas desenvolvidas para o caso que nos incumbe.

Definicion 14. Dicimos que un polinomio p : H −→ H e compactificable se e so se

lım||ξ||→∞

||p(ξ)|| = +∞.

Observacion 15. Neste caso podemos definir unha extension na compactificacionde Aleksandrov (que por comodidade denotamos igual) p : S4 −→ S4 que e diferen-ciable. Este enfoque permite usar a Teorıa do Grao mencionada anteriormente.


Temos os dous seguintes resultados fundamentais:

Proposicion 16. A compactificacion de p(ξ) = ξn existe e ten grao topoloxico n.

Proposicion 17. A compactificacion dun polinomio cun unico termo de grao ma-ximo n > 0 existe e e homotopa a compactificacion de p(ξ) = ξn.

A invariancia homotopica do grao permite afirmar que todo polinomio cun unicotermo de grao maximo n > 0 ten grao topoloxico n > 0 e, polo tanto, e sobrexectiva.

Teorema 18 (TFA en H). Todo polinomio de coeficientes cuaternionicos cun unicotermo de grao maximo n > 0 e sobrexectivo en H e, polo tanto, ten algunha raız enH.

Observacion 19. O Teorema admite unha sinxela xeneralizacion ao caso no cal opolinomio ten varios termos de grao maximo, pero un deles maiora en norma a sumadas normas dos outros. Por exemplo, p(ξ) = 3ξ(i+j)ξ+iξ2+2jξ2k+iξ(3j+2)+jξ+kten polo menos unha raız ao ser compactificable pois ||3(i + j)|| > ||i||+ ||2ik||.

Rotacions

O estudo das rotacions constitue un piar fundamental da mecanica clasica. Xun-to coas translacions permiten describir calquera movemento elemental sen deforma-cions ao que estea sometido un solido rıxido. O enfoque habitual para o estudo dasrotacions en R3 adoita ir emparellado co uso das matrices ortogonais de determinan-te positivo. Non obstante, existe unha descricion das rotacions mediante cuaterniosque aporta numerosas vantaxes, a cal exponemos a continuacion.

Teorema 20. Sexa q = cos θ + v sen θ un cuaternio unitario e Aq : R3 −→ R3

definida por Aq(h) = qhq−1. A aplicacion Aq consiste na rotacion de angulo 2θ queten por eixo a recta xerada por v.

Aında que de comprobacion sinxela, son fundamentais os seguintes feitos:

Observacion 21. Se q e q′ son cuaternios unitarios temos as propiedades

Aq A′q = Aqq′ , Aq−1 = A−1q e Aq = Aq′ ⇔ q′ ∈ q,−q.

Desprendese enton o seguinte corolario de ındole topoloxica.

Corolario 22. A aplicacion π : S3 −→ SO(3) dada por π(q) = Aq e un recubri-mento de duas follas. De feito e o recubrimento universal.

Sen entrar en formalidades, este resultado de recubrimento universal transmiteque, dalgun xeito, o modo optimo ou “o mais natural” de describir as rotacions epensalas como elementos de S3 (e dicir, cuaternios unitarios); onde cada rotacion Aqe descrita por dous elementos de S3 que son q e −q. Pola contra os modelos clasicosmiden a magnitude de 3 angulos (chamados angulos de Euler) entre certos eixos daposicion nova e outros da posicion vella.

Daniel Cao Labora SII 43

Exemplo de medicion dos angulos de Euler nunha aeronave7.

O uso dos cuaternios na descricion das rotacions presenta duas vantaxes fundamen-tais respecto ao uso dos angulos de Euler.

Eficiencia computacional dos cuaternios respecto aos angulos de Euler paraa composicion de rotacions (16 multiplicacions contra 27). Tamen sucede nocalculo da rotacion inversa (conxugar un cuaternio e dividir polo cadrado danorma contra inverter unha matriz).

Os cuaternios non presentan o problema do bloqueo do cardan (gimbal lock8,[3]) polo cal en certas posicions do obxecto non se poden realizar todolosmovementos. Ademais as posicions proximas a do bloqueo dan lugar a errosde precision nos movementos.

A idea xeral e que dende o punto de vista cuaternionico todas as rotacionsson igual de boas, mentres que dende o punto de vista clasico hai algunhas maisintricadas que levan asociados problemas (ou incluso imposibilidades) no calculo. Enresumo, os cuaternios dan unha vision homoxenea das rotacions a vez que eficientee precisa.

Teorıa de Numeros

E un resultado relativamente conecido que un numero primo impar p podeseexpresar como suma de dous cadrados se e so se p ten resto 1 ao dividirse entre 4.Unha das posibles probas pasa por utilizar o subconxunto de C chamado conxuntodos enteiros gaussianos Z[i]. Analogamente, utilizando os cuaternios, podese pro-bar o seguinte Teorema relativo a expresion como suma de catro cadrados; onde areferencia fundamental e [4].

Teorema 23. Todo enteiro positivo a ∈ Z+ pode expresarse como suma de catrocadrados de numeros enteiros.

7https://www.youtube.com/watch?v=UpSMNYTVqQI (6/12/15)8https://www.youtube.com/watch?v=zc8b2Jo7mno (6/12/15)


A primeira observacion consiste en que a interpretacion como dous cuaterniosq1 e q2 de duas cuaternas de enteiros (a1, a2, a3, a4), (b1, b2, b3, b4) ∈ Z4 xunto coapropiedade

||q1q2||2 = ||q1||2||q2||2,leva a seguinte identidade.

Proposicion 24 (Identidade de Euler dos catro cadrados).

(a21 + a2

2+a23 + a2

4)(b21 + b22 + b23 + b24) =

=(a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4)2 + (a1b2 + a2b1 + a3b4 − a4b3)2

+ (a1b3 + a3b1 + a4b2 − a2b4)2 + (a1b4 + a4b1 + a2b3 − a3b2)2.

Corolario 25. A proba do Teorema 23 pode reducirse a demostracion no caso deque a sexa un numero primo.

Definicion 26. Consideremos o conxunto dos enteiros de Hurwitz

H =1

2t1(1 + i + j + k) + t2i + t3j + t4k : (t1, t2, t3, t4) ∈ Z4

,

e dicir, cuaternios con todalas coordenadas enteiras ou todas elas semienteiras.

Proposicion 27. Todos os elementos de H tenen como cadrado da sua norma unnumero natural. Ademais un enteiro de Hurwitz ten inverso en H se e so se tennorma igual a 1.

Unha serie de argumentos basicos sobre teorıa de aneis e ideais levan ao seguinteresultado, cuxa obtencion pode verse en [4].

Proposicion 28. Ningun enteiro e primo en H.

En consecuencia, dado un primo p ∈ Z partimos dunha factorizacion p = αβ enH onde α e β non son unidades e, por tanto, tenen norma distinta de 1. Notemosque p2 = ||αβ||2 = ||α||2||β||2. Como ||α||2 e ||β||2 son naturais distintos de 1 a unicaposibilidade e ||α||2 = ||β||2 = p.

Se α ten as coordenadas enteiras xa estarıa, pois resultarıa p = ||α||2 = α21 +

α22 + α2

3 + α24. Noutro caso, sexa f : R → −1, 1 que envıa en 1 os reais con parte

enteira impar e en −1 os reais con parte enteira par. Enton definimos ε = 12(f(α1)+

f(α2)i + f(α3)j + f(α4)k) e pode verificarse que p = ||(α+ ε)ε− 1||2, onde ademais(α+ ε)ε− 1 ten as coordenadas enteiras.

Bibliografıa

[1] Eilenberg, S. e Niven, I. (1944). The “fundamental thoerem of algebra” for qua-ternions. Bulletin of the American Mathematical Society, 50(1), pp. 246–248.

[2] Madsen, I. e Tornehave, J. (1997) From Calculus to Cohomology, Cambridge.

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Gimbal lock (6/12/15)

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange %27s four-square theorem (6/12/15)


El dibujo de un algebra de Lie

Vıctor Sanmartın LopezDepartamento de Geometrıa y Topologıa

3 de febrero de 2016

Introduccion

La teorıa de grupos de Lie fue introducida en la segunda mitad del siglo XIXde la mano del matematico noruego Sophus Lie a raız de su estudio de sistemasde ecuaciones diferenciales. En cierto modo, podrıa decirse que los grupos de Lieaparecen de manera natural en el estudio de ecuaciones diferenciales, o en el desus simetrıas continuas, de la misma manera que los grupos finitos aparecen en elestudio de ecuaciones algebraicas. De ahı que los grupos de Lie puedan entendersecomo grupos de transformaciones continuos. El siguiente paso para un mejor enten-dimiento de estos grupos, serıa tratar de comprender sus elementos generadores, loque al final se traduce en el estudio de lo que actualmente conocemos como algebrasde Lie. Los grupos y algebras de Lie han jugado un rol esencial en el seno de lageometrıa diferencial, especialmente en el estudio de los espacios simetricos. Porotra parte, es tambien evidente la creciente importancia de los grupos de Lie dentrode la fısica, con especial relevancia en la teorıa de la perturbacion.

En las siguiente lıneas explicaremos algunas de las principales ideas detras dela clasificacion de las algebras de Lie semisimples complejas. ¿Por que precisamenteeste tipo de algebras tan concreto? Porque resulta interesante la posibilidad de cla-sificar algo tan abstracto como a priori lo es un algebra de Lie semisimple complejaatendiendo a diagramas. De hecho, el proceso recuerda a lo que sucede con el functorgrupo fundamental, que constituye una herramienta vital para la clasificacion de lassuperficies compactas. Este functor asigna a cada objeto topologico (superficie) unobjeto algebraico (grupo) que nos permite afirmar cuando dos superficies son nohomeomorfas. En el caso que nos ocupa, asignaremos un diagrama (diagrama deDynkin) a cada algebra de Lie semisimple compleja y deduciremos una clasificacionde las mismas a partir de una clasificacion en los diagramas de Dynkin. Por tanto,para completar el proceso, habrıa que probar la correspondencia biunıvoca existenteentre algebras de Lie semisimples complejas y diagramas de Dynkin. Sin embargo,la prueba, que puede consultarse en [2], es complicada. Por ello, aquı explicaremossimplemente el paso desde un algebra de Lie a un diagrama y expondremos losprincipales argumentos para, asumida la biyeccion entre tales objetos, comprender

Palabras Clave: algebra de Lie; semisimple; matriz de Cartan; diagrama de Dynkin.

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46 SII El dibujo de un algebra de Lie

la clasificacion.

Pasamos a continuacion a introducir los conceptos que se emplearan durante elproceso que venimos de explicar.

Un algebra de Lie g es un espacio vectorial sobre un cuerpo K dotado de unaoperacion binaria bilineal, [·, ·], que satisface las siguientes propiedades:

[X,Y ] = −[Y,X], ∀ X,Y ∈ g,

[[X,Y ], Z] + [[Y,Z], X] + [[Z,X], Y ] = 0, ∀ X,Y, Z ∈ g.

De la misma manera que en el contexto de grupos algebraicos se definen lossubgrupos como aquellos subconjuntos para los cuales la operacion heredada delgrupo es una operacion interna, diremos que h ⊂ g es una subalgebra de Lie de g si,y solo si, h es subespacio vectorial de g y ademas [h, h] ⊂ h. Asimismo, de maneraanaloga a como se definen los ideales en los anillos algebraicos, diremos que h es unideal de g si, y solo si, h es una subalgebra de g y ademas [h, g] ⊂ h.

Estructura del algebra de Lie. Raıces simples

En las siguientes lıneas centraremos nuestra atencion sobre las algebras de Liesemisimples complejas, esto es, algebras de Lie sobre el cuerpo de los numeros com-plejos y que pueden escribirse como suma directa de algebras de Lie complejas conproducto corchete no nulo y sin ideales propios distintos de cero.

Sea entonces h una subalgebra de un algebra de Lie semisimple compleja g.Definimos entonces la aplicacion [·, ·] : h → End(g), que a cada elemento H ∈ h leasocia el endomorfismo [H, ·] de g, que actua sobre cada elemento X ∈ g asignandole[H, ·](X) = [H,X]. Es posible considerar entonces la familia de endomorfismos deg parametrizada por h, ([H, ·])H∈h. Si asumimos en este punto que todos estosendomorfimos diagonalizan simultaneamente, es decir, que existe una base respectoa la cual sus matrices asociadas son todas diagonales, podemos escribir, de manerainformal, la ecuacion

[H,X] = λ(H)X,

donde X es cualquiera de los elementos de esa base, base que, con la asuncion previa,no depende del endomorfismo escogido. Sin embargo, escribimos λ(H) para reflejarque aunque las matrices son todas diagonales, los coeficientes de la diagonal sı de-penden, en general, del endomorfismo determinado por el elemento H ∈ h escogido.Este proceso bien puede entenderse como una generalizacion de la teorıa de autova-lores y autovectores. De hecho, suelen denominarse como autoespacios generalizadoslos conjuntos definidos por gα = X ∈ g | [H,X] = α(H)X, ∀ H ∈ h, para α ∈ h∗.

Hechas estas consideraciones, se enuncia el siguiente esultado.

Vıctor Sanmartın Lopez SII 47

Teorema 1. Sea g un algebra de Lie semisimple compleja de dimension finita y huna subalgebra de Cartan de h, esto es, h = g0. Entonces tenemos que:

g = h⊕⊕α∈∆ gα.

∆ es un conjunto finito.

El conjunto ∆ suele denominarse conjunto de raıces. Como suele ser habitual,la notacion ⊕ se refiere a la suma directa de espacios vectoriales. En adelante,consideraremos el menor espacio vectorial real que contiene al conjunto de raıces,y lo denotaremos, como suele ser habitual, por R∆. De una manera mas o menossencilla, siguiendo por ejemplo [2], se define un producto interior, 〈·, ·〉, sobre R∆.

En el contexto de los numeros reales, uno tiene asumida de manera natural unanocion de positividad. En otros terminos, dado cualquier elemento de R\0, siconsideramos tal elemento y su opuesto, uno sabe discernir cual de ellos es positivoy cual negativo. Ademas, la suma de elementos positivos debe seguir siendo unelemento positivo. En cierto modo, estas dos propiedades permiten establecer ocaracterizar una nocion de positividad en el conjunto de los numeros reales. Puesbien, en este punto tratamos de imitar para R∆\0 esta nocion de positividad.Existen varias maneras de realizar este procedimiento, una de ellas, utilizando elproducto interior. Ası, escogemos ϕ1, ... , ϕn una base ordenada de R∆. Cualquierelemento no nulo ψ ∈ R∆ puede expresarse entonces de la forma ψ = a1ϕ1 +···+ anϕn. De este modo, diremos que ψ es positivo si el primer coeficiente real nonulo que aparece al expresar el elemento respecto a la base es positivo. Es sencillocomprobar que efectivamente dado un elemento y su opuesto, uno de ellos serapositivo, y que la suma de dos elementos positivos es siempre un elemento positivo.

Definicion 2. Se dice que una raız positiva α ∈ ∆ es simple si no puede escribirsecomo la suma de dos raıces positivas.

Proposicion 3. El conjunto de todas las raıces simples de ∆, Γ = α1, ... , αn,forma una base para el espacio vectorial real R∆.

Resulta importante remarcar aquı que la proposicion anterior no afirma que delas raıces simples uno pueda extraer una base para R∆, sino que el propio conjuntode todas las raıces simples constituye en sı mismo una base, lo que nos permite afir-mar que el numero de raıces simples coincide con la dimension del espacio vectorialreal generado por las raıces.

Estudiando con un poco mas de profundidad Γ, se puede deducir que si unoexpresa un elemento de R∆ respecto a la base constituida por las raıces simples, loscoeficientes que aparecen en tal expresion son enteros del mismo signo o cero.

Del algebra de Lie a la matriz de Cartan

En esta seccion se construye, a partir del conjunto Γ de las raıces simples, una

matriz A de orden n × n, mediante la asignacion Aij = 2〈αi,αj〉|αi|2 . Esta matriz se

denomina matriz de Cartan.


Proposicion 4. La matriz de Cartan A de un algebra de Lie semisimple complejaverifica:

1. Aii = 2,

2. Aij ∈ Z,

3. Aij ≤ 0, i 6= j,

4. Aij = 0 si, y solo si, Aji = 0,

5. Existe una matriz diagonal D con entradas positivas tal que DAD−1 es unamatriz simetrica y definida positiva.

Los apartados 1. y 4. de la proposicion anterior se siguen directamente de ladefinicion de A. Por otra parte, el apartado 2. es consecuencia de que los coeficientesresultantes de expresar un elemento respecto a la base de raıces simples son enteros.La justificacion de los restantes ıtems puede encontrarse en [2].

De la matriz de Cartan al diagrama de DynkinEn este punto pasamos a construir un diagrama. Cada una de las raıces simples

constituira un nodo o vertice en el diagrama, al que asignaremos un valor o pesoproporcional a la norma al cuadrado de la raız. Conviene senalar que no importatanto el peso en sı mismo como la proporcionalidad entre los pesos. En otras pa-labras, no importa tanto si a un vertice le asigno peso dos y al siguiente peso unosino conocer que el segundo vertice pesa la mitad que el primero. A continuacion,unimos los vertices i y j, los asociados a las raıces simples αi y αj respectivamente,mediante tantas aristas como resulte el producto Aij · Aji, que sera mayor o igualque cero en virtud de 4.3.

De este modo, hemos obtenido un diagrama (que suele denominarse en la li-teratura como diagrama de Dynkin) a partir de una matriz de Cartan, la cual seconstruıa a partir de las raıces simples de un algebra de Lie semisimple compleja.Finalmente, el diagrama queda completamente determinado por unos pesos y unosejes. Sin embargo, cabe preguntarse que pasa si uno puede observar unicamente lamatriz de Cartan pero sin conocer las raıces simples que la han engendrado. Puesbien, parece claro que apareceran tantos nodos como dimension tenga la matriz yque estaran unidos atendiendo a los productos Aij · Aji de los coeficientes de lamatriz. Solo resta averiguar los pesos.

En el fondo, la pregunta que esta presente en esta discusion es: ¿como de bienrecoge la matriz de Cartan la informacion del algebra de Lie? Como respuesta,podrıamos decir que esta informacion se encuentra perfectamente codificada en lamatriz de Cartan. De hecho, los pesos son precisamente proporcionales al cuadradode los elementos de la diagonal de la matriz D que aparece en el aparatado 5. de laProposicion 4.

Como conclusion, se deduce que una matriz de Cartan determina completamen-te un diagrama de Dynkin. Ası, en cierto modo, parece que diagramas de Dynkin y

Vıctor Sanmartın Lopez SII 49

matrices de Cartan empiezan a adquirir cierto sentido en sı mismos, alejados inclusodel algebra de Lie inicial. De hecho, si pretendemos dar una clasificacion de diagra-mas de Dynkin que permita deducir a continuacion una clasificacion de las algebrasde Lie semisimples complejas, de alguna manera los diagramas de Dynkin debenquedar completamente definidos como objetos matematicos. Por ello, como se haceen multitud de ocasiones en el seno de las matematicas, si queremos trabajar con unobjeto que verifique ciertas propiedades, lo definimos precisamente exigiendo esaspropiedades. Ası, y ya que la matriz de Cartan parece codificar bien la informaciondel algebra de Lie, diremos que una matriz es una matriz de Cartan abstracta cuan-do satisfaga todas las propiedades de la Proposicion 4. A su vez, un diagrama deDynkin abstracto sera el obtenido con el proceso detallado arriba a partir de unamatriz de Cartan abstracta.

Proposicion 5. De cualquier vertice de un diagrama de Dynkin abstracto asociadoa una matriz de Cartan abstracta pueden salir a lo sumo tres ejes.

Esta propiedad puede demostrarse empleando dos operaciones que uno puederealizar sobre un diagrama de Dynkin abstracto obteniendo como resultado todavıaun diagrama de Dynkin abstracto. En primer lugar, es sencillo ver que si en unamatriz de Cartan abstracta eliminamos la fila y la columna i, el resultado es todavıauna matriz de Cartan abstracta, pues verifica las cinco condiciones de la Proposicion4. Ello se traduce en que en un diagrama de Dynkin abstracto, si eliminamos unvertice y todos los ejes unidos a el, lo que obtenemos es todavıa un diagrama deDynkin abstracto. Por otra parte, es posible demostrar que si dos vertices estanunidos por un solo eje entonces ambos tienen el mismo peso. De este modo, podemoscolapsar ambos vertices en uno solo y asignarle el mismo peso que tenıan los dosvertices iniciales. De nuevo, la manera de comprobar la legitimidad de esta operaciones argumentando en terminos de matrices de Cartan abstractas.

Ası pues, hechas las consideraciones previas, es evidente que son imposibles lassiguientes configuraciones para un diagrama de Dynkin:

En los tres casos, tal y como se ha explicado anteirormente, podrıamos ir colap-sando en uno los vertices unidos por un solo eje. Iterando el proceso, obtendrıamosun vertice del que salen cuatro vertices, lo cual contradirıa la Proposicion 5.

De este modo, deducimos que cuando en un diagrama aparezca una bifurcacion(dos ejes que conectan dicho vertice con otros dos vertices distintos) o un eje doble,entonces el resto del diagrama solo puede estar constituido por ejes simples. Conargumentos algo mas profundos [2], puede probarse en estos casos una cota para


el numero de vertices. De esta manera, aparecen los diagramas Bn, Cn, F4, Dn,E6, E7 y E8. Por otra parte, si tenemos dos vertices conectados por tres ejes ya nopuede aparecer nada mas en ese diagrama. Se trata del diagrama G2. Ademas, nadaimpide que tengamos una cadena de vertices unidos cada uno al siguiente por ununico eje. Se trata del diagrama An. Finalmente, presentamos la clasificacion de losdiagramas de Dynkin.

Por completitud, enunciamos las algebras de Lie semisimples complejas que ge-neran los diagramas de Dynkin expuestos en la clasificacion anterior. En otras pa-labras, exponemos la clasificacion de algebras de Lie. El diagrama An procede delalgebra de Lie sl(n+1,C), a su vez, Bn de so(2n+1,C), Cn procede de sp(n,C) y Dn

se puede obtener trabajando con el algebra de Lie so(2n,C). El resto se denominanexcepcionales, ya que no se conocıan las algebras de Lie que los generaban, sino queaparecieron primero sus diagramas de Dynkin. Uno puede tratar de construir unsistema de raıces simples que de lugar a estos diagramas excepcionales de maneramas o menos sencilla. Sin embargo, aunque sabemos por el Teorema de Ado quedebe existir un algebra de Lie de matrices que genere tales diagramas, son muycomplicadas de obtener. Dos de las que sı han sido obtenidas explıcitamente comoalgebras de Lie de matrices son F4 [3] y G2 [1].

Bibliografıa

[1] Castrillon-Lopez, M., Gadea, P. M. y Oubina, J. A. (2009). Homogeneous qua-ternionic Kahler structures on eigth-dimensional non-compact quaternionic-Kahler symmetric spaces, Math. Phys. Anal. Geom., pp. 47–74.

[2] Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction, Second edition, Pro-gress in Mathematics, 140, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA.

[3] Postnikov, M. (1995). Lie groups and Lie algebras, Lectures in Geometry, 5,Moscow, URSS.


Una historia sobre isomorfıa natural

Alejandro Fernandez FarinaDepartamento de Algebra

17 de febrero de 2016

Resumen

Teniendo como objetivo final la definicion de naturalidad, se muestra una breveintroduccion a la teorıa de categorıas. En cualquiera de las referencias [1, 2, 3] sepueden consultar los principios basicos de la teorıa de categorıas.

Para ello, se definiran los conceptos de categorıa, objeto y flecha. Una vez hechoesto, se dara nombre a cierto tipo de flechas importantes, apareciendo el conceptode isomorfismo. Se mostrara tambien un modo de relacionar las categorıas entre sı,los funtores. A continuacion, se mostrara un tipo especial de funtor, el isomorfismofuntorial. Posteriormente, se definira una herramienta para relacionar funtores, lastransformaciones naturales y, a partir de ellas, los isomorfismos naturales. Estosultimos permitiran hablar del concepto de equivalencia y de categorıas equivalentes.Usando esto, se tratara de mostrar que un espacio vectorial y su doble dual sonnaturalmente isomorfos, mientras que un espacio vectorial y su dual no lo son.

Categorıas

Definicion 1. Una categorıa C es una construccion matematica compuesta de:

Dos clases (no necesariamente conjuntos):

• La clase Ob(C) de objetos de la categorıa.

• La clase Arw(C) de flechas (o morfismos) de la categorıa.

Ambas clases tienen a su vez los siguientes datos asociados:

• Para cada flecha f vienen dados 2 objetos d0(f),d1(f).

d0(f) se denomina dominio de f y d1(f) codominio de f .

Si d0(f) = A y d1(f) = B escribiremos f : A −→ B o Af−−→ B.

• A cada objeto A se le asocia la flecha IdA : A −→ A. Dicha flecha sedenomina identidad en A.

Palabras Clave: categorıa; funtor; transformacion natural; isomorfismo natural; equivalen-cia.

51

52 SII Una historia sobre isomorfıa natural

• Dadas dos flechas f : A −→ B y g : B −→ C se les asocia una flechah : A −→ C que se denomina composicion de f con g y se denota porg f .

Ademas, los datos anteriores deben cumplir:

(f : A −→ B, g : B −→ C, h : C −→ D)⇒ h (g f) = (h g) f. (1)

f : A −→ B ⇒ IdB f = f = f IdA. (2)

Esto ultimo suele expresarse como que “” es asociativa y tiene unidad.

Ejemplo 2. La teorıa de categorıas puede verse como una generalizacion de la teorıade conjuntos y aplicaciones, pues tomando como objetos los conjuntos y como flechaslas aplicaciones, la composicion usual y las funciones identidad usuales cumplen (1)y (2). Se denota a la categorıa de conjuntos y aplicaciones por Set.

Por lo general, cualquier estructura sobre conjuntos con aplicaciones relaciona-das, que funcionen bien con la composicion e identidad usuales, forman una catego-rıa (espacios topologicos, espacios metricos, grupos, anillos, espacios vectoriales...).

Se define a continuacion el concepto de categorıa dual, importante en defini-ciones posteriores. Notese que se trata de una categorıa donde las flechas no sonaplicaciones.

Definicion 3. Sea C una categorıa. Se define Cop, la categorıa dual de C, comola categorıa con los datos que se enumeran a continuacion.

Como objetos y flechas tomamos los objetos y flechas de C.

Si A es un objeto de C, escribiremos Aop para referirnos a el dentro de Cop.Si f es una flecha de C, la denotaremos por fop si estamos trabajando en Cop.Ademas, diremos que fop : Aop −→ Bop si y solo si f : B −→ A.

Como composicion e identidad se toman las siguientes definiciones:

• Si Aopfop−−→ Bop gop−−→ Cop entonces se tiene que C

g−→ Bf−→ A y, por tanto,

se puede definir gop op fop = (f g)op.

• Se define IdAop = IdAop.

Con estas definiciones se cumplen las propiedades (1) y (2) de categorıa, al here-darlas de C.

Isomorfismos en categorıas

Definicion 4. Sea C una categorıa.

Se dira que un morfismo Af−→ B de C es un isomorfismo si y solo si existe

Bg−→ A flecha de C, cumpliendo que g f = IdA y f g = IdB. En este caso diremos

que A y B son isomorfos y lo denotaremos por A ' B.

Alejandro Fernandez Farina SII 53

Se tienen las siguientes propiedades:

Proposicion 5. Sea C una categorıa.

Si f : A −→ B un isomorfismo de C entonces la flecha g : B −→ A que cumplela definicion de isomorfismo, es unica y se denota por f−1.

Para todo A objeto de C, IdA : A −→ A es un isomorfismo y (IdA)−1 = IdA

Si f : A −→ B y g : B −→ C son isomorfismos en C entonces tambien lo esg f . Ademas (g f)−1 = f−1 g−1.

Observacion 6. Es facil observar por la unicidad que (f−1)−1 = f .

Funtores

Definicion 7. Sean A y B dos categorıas. Un funtor F entre dichas categorıas se

denota por AF−−→ B y esta formado por dos asignaciones:

Una asignacion entre objetos de A y B, de modo que a cada objeto A de Ase le asigna un unico objeto F (A) (o FA) de B.

Una asignacion entre flechas de A y B, donde se le asigna a cada flecha f deA una unica flecha F (f) (o Ff) de B.

Ademas estas asignaciones deben cumplir las siguientes propiedades:

Para toda flecha Af−→ B de A debe darse que F (A)

F (f)−−−→ F (B).

F conserva las flechas identidad: F (IdA) = IdF (A) para todo objeto A de A.

F conserva la composicion, es decir, si f y g son flechas de A que puedancomponerse entonces F (f g) = F (f) F (g).

Indicaremos la asignacion en objetos y flechas indiferentemente, usando la ex-presion

F (Af−→ B) = FA

Ff−−→ FB.

Definicion 8. Sean A y B dos categorıas

Un funtor AF−→ B se denomina covariante entre A y B.

Un funtor Aop F−→ B se dice contravariante entre A y B.

Ejemplo 9. Algunos ejemplos usuales de funtores son los siguientes:

El funtor identidad en A: IdA : A −→ A se define como IdA(Af−→ B) = A

f−→ B.

El funtor composicion de dos funtores AF−→ B

G−→ C es el funtor AGF−−−→ C

definido como G F (Af−→ B) = G(FA)

G(Ff)−−−−→ G(FB).


Sea VectK la categorıa de K-espacios vectoriales y aplicaciones K-lineales. Lue-go el funtor dualidad de espacios vectoriales ( ) : VectK

op −→ VectK definido por

( )(W op fop−−−→ V op) = (Wf−−→ V ),

donde H = Hom(H,K) y f esta definido por f(g) = (g f) para g ∈ W , es unejemplo de funtor contravariante. Otros ejemplos son el paso al grupo fundamentalde un espacio topologico con punto distinguido o el paso al espacio tangente de unavariedad diferenciable con punto distinguido.

Proposicion 10. Los funtores conservan la isomorfıa, es decir, si F : A −→ B esun funtor y k es un isomorfismo en A, entonces F (k) es un isomorfismo en B.

A veces, puede ser interesante reflejar la isomorfıa (que en general no se refleja,como puede verse con el funtor grupo fundamental), para ello surge el concepto deisomorfismo funtorial.

Definicion 11. Se dira que un funtor AF−→ B es un isomorfismo funtorial si y solo

si existe un funtor BG−→ A, cumpliendo G F = IdA y f g = IdB.

En este caso diremos que A y B son categorıas isomorfas y lo denotaremos porA ' B.

Observacion 12. Al definirse del mismo modo que los isomorfismos previamentecitados, cumplen las propiedades de los isomorfismos mostradas en la Proposicion 5.

Transformaciones Naturales

Definicion 13. Sean F,G : A −→ B dos funtores.

Una transformacion natural τ de F a G, denotada por τ : F −→ G es unacorrespondencia que asocia a cada objeto A de A una unica flecha τA : FA −→ GA

de B verificando la propiedad de que para toda flecha Af−→ A′ en A se cumple el

siguiente diagrama conmutativo:

FA

Ff

τA // GA

Gf

Fa′τA′ // GA′.

Ejemplo 14. Sea F : A −→ B un funtor. Se define su funtor dual F op : Aop −→ Bop

como F op(Aopfop−−−→ Cop) = (FA)op

(Ff)op−−−−→ (FC)op.

Se define el funtor paso al doble dual como ( ) = ( ) ( )op : VectK −→ VectK .Ası, tenemos que τ : IdVectK −→ ( ), correspondencia que a cada K-espacio vectorial

V le asocia la aplicacion τV : V −→ ˆV definida por τV (a) = evala, para todo a ∈ V ,

donde evala(f) = f(a) para f ∈ V es una transformacion natural.

Alejandro Fernandez Farina SII 55

Isomorfismos Naturales

Definicion 15. Sean F,G : A −→ B dos funtores.

Se dira que una transformacion natural τ : F −→ G es un isomorfismo naturalsi y solo si para todo objeto A de A la flecha τA : F (A) −→ G(A) es un isomorfismo.

Se dira que F y G son naturalmente isomorfos si y solo si existe un isomorfismonatural τ : F −→ G. Si es ası se denotara F ∼= G.

Observacion 16. Puede definirse la composicion de transformaciones naturales(F

µ−→ Gτ−→ H) como (τ µ)A = τA µA y la transformacion natural IdF : F −→ F

como (IdF )A = IdFA. En ese caso, un isomorfismo natural es una transformacionnatural con inversa; luego se cumplen las propiedades de la Proposicion 5.

Ejemplo 17. Si restringimos los funtores del Ejemplo 14 a la categorıa de espa-cios vectoriales de dimension finita (notese que es posible hacerlo tanto en dominiocomo en codominio), entonces, dado que τV es inyectiva en todos los espacios vec-toriales, τV es una aplicacion lineal inyectiva entre espacios vectoriales de la mismadimension (en dimension finita coincide la dimension del espacio y su doble dual).

Por tanto, τ : IdFVectK −→ ( ) dado por τV (a) = evala es un isomorfismo natural.

De lo anterior se deduce que un espacio vectorial de dimension finita es natu-ralmente isomorfo a su doble dual.

La no naturalidad del paso de un espacio vectorial a su dual

Una respuesta facil a la cuestion de por que un espacio vectorial de dimensionfinita no es naturalmente isomorfo a su dual (a pesar de que si son isomorfos portener la misma dimension), puede basarse en la definicion de naturalidad: no puedenser naturalmente isomorfos un funtor covariante y un funtor contravariante de unacategorıa en si misma, ya que no puede haber transformaciones naturales entre ellos.

Demos, por tanto, una nueva definicion que permita la naturalidad entre estosfuntores.

Definicion 18. Se dira que dos funtores F : A −→ B y G : Aop −→ B son na-turalmente isomorfos de modo contravariante si existe una correspondencia que acada objeto A de A (recordemos que A = Aop) le asigna un unico isomorfismoτA : FA −→ GA de B cumpliendo la siguiente propiedad:

Para toda flecha Af−→ A′ en A se cumple el siguiente diagrama conmutativo:

FA

Ff

τA // GA

Fa′τA′ // GA′.

Gf

OO

De este modo generalizamos el concepto de isomorfismo natural a funtores queno son simultaneamente covariantes o contravariantes necesariamente.


Aun con esta definicion, puede probarse que no puede existir un isomorfismonatural contravariante entre un espacio vectorial y su dual. El isomorfismo masintuitivo entre dichos espacios (el que lleva una base en su dual) necesitarıa quela matriz asociada a cualquier aplicacion, multiplicada por su transpuesta (matrizasociada a la funcion dual mediante las bases duales) fuese la identidad.

De modo similar, complicaciones de este tipo surgen con cualquier isomorfismonatural contravariante teorico.

Sin embargo, esto da una idea de como arreglar dicho problema. Tomando aho-ra como dominio espacios vectoriales de dimension finita con producto interior yaplicaciones que preservan el producto interior, el isomorfismo que lleva una baseen su dual puede reescribirse como el isomorfismo que lleva v en 〈v,−〉. Obtenemosası un isomorfismo natural contravariante entre un espacio vectorial y su dual.

Equivalencias

Definicion 19. Sean A y B dos categorıas.Un funtor F : A −→ B se denomina equivalencia entre A y B si y solo si existe

un funtor G : B −→ A cumpliendo que F G ∼= IdB y G F ∼= IdA.Se dira que A es equivalente a B si y solo si existe una equivalencia entre ellas.

Proposicion 20. Sean A y B dos categorıas.Sea F : A −→ B una equivalencia entre A y B. Entonces φ : A −→ A′ es

isomorfismo en A ⇔ Fφ : FA −→ FA′ es isomorfismo en B.

Ejemplo 21. Mediante el Ejemplo 14 puede verse que las categorıas FVectK yFVectopK son equivalentes.

Otra equivalencia importante se encuentra en geometrıa algebraica, entre la ca-tegorıa de algebras reducidas y la categorıa de variedades afines, ambos sobre elmismo cuerpo algebraicamente cerrado.

Bibliografıa

[1] Awodey, S. (2010). Category Theory. 2 ed. Oxford Logic Guides, 52. OxfordUniversity Press, Oxford.

[2] Adamek, J., Herrlich, H. y Strecker, G. E. (1990). Abstract and Concrete Cate-gories. The Joy of Cats. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons,Inc., New York.

[3] Simmons, H. (2011). An introduction to Category Theory. Cambridge Univer-sity Press, Cambridge.


Shor’s Quantum Factoring Algorithm

Joaquın Ossorio CastilloInstituto Tecnologico de Matematica industrial

2nd March, 2016

Introduction

In 1994 Peter W. Shor described the first advance of quantum computationon classical computation: an efficient algorithm for prime factorization designedfor a quantum computer now known as Shor’s Quantum Factoring Algorithm, formore information see [4]. Both the algorithm and the basic principles of quantumcomputing needed for its understanding are exposed in this work.

The interested reader can find more on this topic in [1, 2, 3].

Quantum Mechanics and Quantum Computation

Bits and Qubits

In classical computation, the basic unit of information is the bit. A bit can haveonly two possible states, and may therefore be physically implemented with a two-state device. This pair of values is commonly represented with 0 and 1.

In quantum computation, we have an analogous concept, the qubit (short forquantum bit).

Definition 1. The basis states of a quantum bit are the vectors |0〉 and |1〉, whosematrix representations are:

|0〉 =

[10

]and |1〉 =

[01

].

However, there is a difference between bits and qubits: a qubit can also be in astate other than |0〉 and |1〉. It can also be a linear combination of both.

Definition 2. A pure qubit state is a linear combination of the basis states

|ψ〉 = α |0〉+ β |1〉 ,Keywords: quantum computing; algorithms; prime factorization.

57

58 SII Shor’s QFA

for some α, β ∈ C holding the following constraint:

|α|2 + |β|2 = 1.

Thus, we can say that |0〉 and |1〉 form an orthonormal C-basis of C2 and thata pure qubit state |ψ〉 is a unit vector of C2, i.e. |ψ〉 ∈ C2 with || |ψ〉|| = 1.

Measuring a single-qubit quantum system

A measurement of a generic state |ψ〉 = α |0〉+β |1〉 yields a result from the basis(i.e. |0〉 or |1〉) with probability α and β respectively. However, the measurementprocess inevitably disturbs |ψ〉 forcing it to collapse to |0〉 or |1〉. This collapse isnon-deterministic and it is ruled by the given probabilities |α|2 and |β|2. Later wewill show how to control these probabilities in the multiple qubit case.

Quantum Entanglement

Definition 3. The basis states of a two-qubit system are the tensor products of thebasis states of a single-qubit system.

We shall see what happens when two qubits interact. The general state of twoqubits, described independently, are as follows:

|ψ0〉 = α |0〉+ β |1〉 = α

[10

]+ β

[01

]=

[αβ

]

|ψ1〉 = γ |0〉+ δ |1〉 = γ

[10

]+ δ

[01

]=

[γδ

]So, the state of this 2-qubit system is:

|ψ〉 = |ψ0〉 ⊗ |ψ1〉 =

[αβ

]⊗[γδ

]=

αγαδβγβδ

=

α0

α1

α2

α3

|ψ〉 = α0 |0〉2 + α1 |1〉2 + α2 |2〉2 + α3 |3〉2

with the following constraints:

|α0|2 + |α1|2 + |α2|2 + |α3|2 = 1

α0α3 = α1α2

Thus, if we have a two-qubit general state |ψ〉 = α0 |0〉2+α1 |1〉2+α2 |2〉2+α3 |3〉2such that |α0|2 + |α1|2 + |α2|2 + |α3|2 = 1, it can be decomposed in two independentqubit states if and only if α0α3 = α1α2.

Joaquın Ossorio Castillo SII 59

This is very important, because there exists a physical phenomenon called quan-tum entanglement which implies that the quantum state of each particle may notbe described independently. In other words, the constraint α0α3 = α1α2 disappearsand we have the following general definitions:

Definition 4. A two-qubit general state is a linear combination of the basis statesof a two-qubit system:

|ψ〉 = α0 |0〉2 + α1 |1〉2 + α2 |2〉2 + α3 |3〉2holding the following constraint:

|α0|2 + |α1|2 + |α2|2 + |α3|2 = 1

Definition 5. A two-qubit general state |ψ〉 is called entangled if there does notexist two one-qubit states |φ〉 and |φ′〉 such that |ψ〉 = |φ〉 ⊗ |φ′〉.

Theorem 6. Quantum computers that do not use entanglement cannot be exponen-tially faster than classical computers.

Multiple qubit case

Definition 7. The state |ψ〉 of a general n-qubit system is a superposition of the2n states |0〉n,|1〉n,...,|2n − 1〉n,

|ψ〉 =2n−1∑i=0

αi |i〉n ,

with amplitudes αi constrained to

2n−1∑i=0

|αi|2 = 1.

A measurement of this system yields non-deterministically a number i ∈ 0, ..., 2n − 1with probability αi.

Elementary Quantum Gates

It is interesting to see what kind of transformations we can apply to the stateof an n-qubit system. Note that a quantum state is represented by a unit vector, sowe need the most general operator that preserves this property and the dimensionof the vector.

Definition 8. U ∈MC(n) is unitary if

U †U = UU † = I,

where I is the identity matrix and U † is the conjugate transpose of U .

60 SII Shor’s QFA

Proposition 9. Let U ∈ MC(n) be a unitary matrix and let v ∈ Cn be a unitvector. Then Uv ∈ Cn is also a unit vector.

In this context, a unitary transformation acting on n-qubits is called an n-qubitquantum gate. Let us expand this concept and its physical implications.

Definition 10. A quantum gate that operates on a space of one qubit is a unitarymatrix A ∈MC(2). More generally, a quantum gate acting on an n-qubit system isa unitary matrix A ∈MC(2n).

Shor’s Factoring Algorithm

Definition

STEP 1

Choose a random integer x such that 1 < x < Nd← gcd(x,N)if d > 1 then

return delse

go to STEP 2end if

STEP 2 (Quantum part)

r ← multiplicative order of x module Ngo to STEP 3

STEP 3

if 2 - r thengo to STEP 1

elsego to STEP 4

end if

STEP 4

Joaquın Ossorio Castillo SII 61

if xr/2 + 1 ≡ 0 mod N thengo to STEP 1

elsego to STEP 5

end if

STEP 5

d← gcd(xr/2 + 1, N)d′ ← gcd(xr/2 − 1, N)return d and d′

Quantum Part of Shor’s Factoring Algorithm

n = dlog2Ne and t = 2n

|ψ0〉 = |0〉t |0〉n

H =1√2

[1 11 −1

]

|ψ1〉 = H⊗t |ψ0〉

|ψ1〉 =1√2t

2t−1∑j=0

| j〉t |0〉n

Ux(| j〉 |k〉) = | j〉 |k + xj mod N〉

|ψ2〉 = Ux |ψ1〉

|ψ2〉 = Ux |ψ1〉 =1√2t

2t−1∑j=0

Ux(| j〉t |0〉n) =1√2t

2t−1∑j=0

| j〉t |xj mod N〉n

=1√2t

r−1∑b=0

2t

r−1∑

a=0

|ar + b〉t

|xb mod N〉n

62 SII Shor’s QFA

|ψ3〉 = Measure the last n qubits of |ψ2〉

|ψ3〉 =

√r

2t

2t

r−1∑

a=0

|ar + b0〉t

|xb0〉nDFT†(|k〉) =

1√2t

2t−1∑j=0

e−2πijk/2t | j〉

|ψ4〉 = DFT†(|ψ3〉)

|ψ4〉 =1√r

(r−1∑k=0

e−2πi krb0

∣∣∣∣k2t

r

⟩t

)|xb0〉n

And now it is time to measure the first register.

|ψ5〉 = Measure the first t qubits of |ψ4〉

We get the value a = k02t/r from the first register, with k0 ∈ 0, 1, ..., r − 1.Thus we can obtain r or a factor of r and the algorithm ends.

References

[1] Barenco, A., Bennett, C. H., Cleve, R., DiVincenzo, D. P., Margolus, N., Shor,P. W., Sleator, T., Smolin, J. A. and Weinfurter, H. (1995). Elementary Gatesfor Quantum Computation, Phys. Rev. A, 52, pp. 3457-3467.

[2] Jozsa, R. and Linden, N. (2002). On the Role of Entanglement in QuantumComputational Speed-up, Proc. R. Soc. London Sec. A., 459, pp. 2011-2032.

[3] Lavor, C., Manssur, L. R. U. and Portugal, R. (2008). Shor’s Algorithm forFactoring Large Integers. arXiv:quant-ph/0303175v1

[4] Shor, P. W. (1997). Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization andDiscrete Logarithms on a Quantum Computer, SIAM J. Comput., 26, pp. 1484-1509.


De Gauss a Hilbert: un recorrido por las leyes dereciprocidad

Ana Mascato GarcıaDepartamento de Alxebra

16 de marzo de 2016

La cuadratica fue la primera ley de reciprocidad en aparecer historicamente. Fueenunciada por Euler en 1772, pero no fue hasta 1796 cuando Gauss la demostro consolo 18 anos. A lo largo de su vida Gauss dio 8 demostraciones diferentes de esteresultado, que junto con el Teorema de Pitagoras, aunque este ultimo es mucho maselemental, es el resultado matematico del que mas demostraciones esencialmentedistintas se han realizado. El problema que se plantea en la ley de reciprocidadcuadratica es generalizable, tanto que en el Congreso Internacional de Matematicosde 1900 Hilbert en su 9o problema conjeturo la “ley de reciprocidad mas generalpara los ln-esimos restos potenciales y cuerpos de numeros arbitrarios”. A pesar deesto todavıa hay una generalizacion posible mas, que inicio Wiles en 1978 y es la deplantear las leyes de reciprocidad en el marco mas general de los grupos formales.

Ley de reciprocidad cuadratica

Antes de dar el enunciado de la ley de reciprocidad cuadratica, debemos intro-ducir algunos conceptos previos que son necesarios.

Definicion 1. Sea a ∈ Z y n > 1. Se dice que a es un residuo cuadratico modulo nsi se verifican las siguientes condiciones:

mcd(a, n) = 1 y x2 ≡ a (mod n) tiene solucion.

Es decir, que a ∈ U2n (Un denota el grupo de unidades del anillo Z/nZ).

En el caso de que n sea un primo impar p, sabemos que su grupo de unidades,Up, es un grupo cıclico, por lo que podemos escribir la siguiente sucesion exactacorta que nos dara la definicion del sımbolo de Legendre:

1→ U2p → Up

(−)p−12−−−−−→ U

p−12

p = ±1 → 1.

La tercera de las aplicaciones, que es sobreyectiva, es la que consideramos comodefinicion del sımbolo de Legendre, y toma valores en las raıces cuadradas de la

Palabras Clave: reciprocidad; primos; ramificacion.

63

64 SII Leyes de reciprocidad

unidad: (a

p

):= a

p−12 (mod p) =

1 si a ∈ U2

p ,

−1 si a /∈ U2p .

De esta sucesion exacta se obtienen propiedades del sımbolo de Legendre, co-

mo que(abp

)=(ap

)(bp

)y que el valor del sımbolo solo depende de la clase de

congruencia de a mod p.

Queremos ahora calcular(qp

)con q primo impar y q 6= p. Gauss descubrio que

existe una relacion entre(qp

)y(pq

).

Teorema 2 (Ley de reciprocidad cuadratica). Tenemos tres casos:

a) Ley principal: sean p y q dos primos impares distintos. Se verifica:

(q

p

)= (−1)(p−1)(q−1)/4

(p

q

)=

−(pq

)si p ≡ q ≡ 3 (mod 4),(

pq

)en otro caso.

b) Primera suplementaria: sea p un primo impar. Se verifica:(2

p

)= (−1)(p2−1)/8 =

1 si p ≡ ±1 (mod 8),−1 si p ≡ ±3 (mod 8).

c) Segunda suplementaria: sea p un primo impar. Se verifica:(−1

p

)= (−1)(p−1)/2 =

1 si p ≡ 1 (mod 4)−1 si p ≡ 3 (mod 4).

¿Pero que pasa si queremos ver si un elemento a ∈ Z es un residuo cuadraticomodulo un entero no primo? Pues que el sımbolo de Legendre no nos sirve. Parasolventar el problema, tenemos el sımbolo de Jacobi, que se define como sigue:

Definicion 3. Sea a ∈ Z y n un entero positivo impar, cuya factorizacion en primos

es n =k∏i=1

peii , pi primos, ei ∈ Z, ei ≥ 0. Se define el sımbolo de Jacobi,(an

), como:

(an

):=

k∏i=1

(a

pi

)ei(si n ≥ 3).

Para n = 1, se define(a1

):= 1.

Vamos a analizar un poco las propiedades de este sımbolo:

Proposicion 4 (Propiedades del sımbolo de Jacobi). Se tiene que:

a) Si n es primo, el sımbolo de Jacobi(an

)es igual al sımbolo de Legendre.

Ana Mascato Garcıa SII 65

b) Al igual que el sımbolo de Legendre, el sımbolo de Jacobi solo depende de laclase de congruencia, es decir,

(an

)=(a mod n

n

).

c) El sımbolo de Jacobi es totalmente multiplicativo en ambos argumentos.

d) En este caso, que(an

)= 1 no significa que a sea un residuo cuadratico modulo

n.

Claramente para el sımbolo de Jacobi se tiene una ley de reciprocidad cuadraticacomo la del sımbolo de Legendre, sin mas que sustituir un sımbolo por otro.

Algunas de las aplicaciones de la ley de reciprocidad cuadratica son: resolucionde ecuaciones diofanticas no lineales, representacion de enteros como formas cua-draticas y el Teorema de Kronecker-Webber cuadratico, que dice que todo cuerpocuadratico esta contenido en uno ciclotomico. La mas inmediata es que reduce el

calculo del caracter cuadratico(a−

)de a ∈ Z−0 (es decir, para que primos p > 2

es a un residuo cuadratico modulo p) a un numero finito de computaciones. Ademasel resultado es en terminos de congruencias modulo |a| o |4a|.

Generalizaciones

Las leyes de reciprocidad explıcitas son resultados terminales de la Teorıa deNumeros, es decir, son importantes por sı mismas, ası como sus metodos de de-mostracion. Pero su interes se debe tambien a sus aplicaciones diofanticas, entreotras.

A lo largo del siglo XIX han ido apareciendo generalizaciones de las leyes dereciprocidad a residuos potenciales, motivadas por problemas diofanticos tales comolos criterios de residualidad. El sımbolo de Legendre (−/p) se generaliza al sımbolode residuo ln-potencial (−/π)ln , donde l es un primo, l ≥ 2, y n ≥ 1, como sigue:sea k una extension finita de Q que contiene al grupo µln de raıces ln-esimas de launidad, y B su anillo de enteros. Sea π - l un numero primo de B. Se define:

(−/π)ln := (−)q−1ln : Uπ → µln ,

siendo q el orden del cuerpo B/π y Uπ su grupo multiplicativo. Las leyes de reci-procidad para este sımbolo pasaron a ser ası un objetivo principal de la Teorıa deNumeros. Entre estas leyes destacan la cuartica, cubica, quıntica y la de Eisensteinpara residuos l-potenciales, l primo mayor que 2. Los metodos se basan sobre todo enlas sumas de Gauss-Jacobi y en las funciones elıpticas. Son resultados bastante masdifıciles que la ley de reciprocidad cuadratica, por ejemplo, Gauss en 1832 formulo laley de reciprocidad bicuadratica pero no pudo probarla completamente. “Pertenecea los misterios de la aritmetica”, decıa. La ley de reciprocidad bicuadratica tiene laforma: sean π, λ dos numeros primos distintos de Z [i], π, λ ≡ 1 (mod 2 + 2i). En-

tonces(πλ

)4

(λπ

)−1

4= (−1)

Nπ−14

Nλ−14 , siendo N(π) = ππ la norma en Q(i). Tambien

tiene leyes suplementarias.


El resultado clave de este proceso es la formula producto de Hilbert, que aportoun cambio en la vision del problema: sustituyo potencias por normas, es decir, elsımbolo de residuo potencial por el sımbolo de residuo normico (a, b)v, que lleva sunombre. Ası reformulo la ley de reciprocidad cuadratica como una formula productopara el sımbolo de Hilbert cuadratico. Lo que se tiene es la siguiente igualdad:∏

v

(a, b)v = 1,

donde v recorre todos los primos de Q incluido el primo del infinito.

Gracias a todo el desarrollo de la Teorıa de Cuerpos de Clases experimentado alinicio del siglo XX, se llego a la ley de reciprocidad de Artin (1927) que es la masgeneral posible, pues todas las leyes se derivan de esta. Esta ley reduce las leyesde reciprocidad ln-potenciales al calculo de determinados sımbolos de Hilbert, losasociados al primo l ≥ 2. Dentro de este proceso de generalizacion, destaca la ley dereciprocidad de Safarevic de 1950 ([4]) y culmina con la de Iwasawa de 1968 ([3]),que es el resultado mas general.

Una nueva lınea de investigacion derivada del 9o problema de Hilbert relativaa leyes de reciprocidad explıcitas surgio de la mano de Andrew Wiles en 1978 ([7])(el mismo que luego demostrarıa el Ultimo Teorema de Fermat). Este autor vioque las formulas explıcitas para el sımbolo de Hilbert deberıan ser planteadas enel marco mas general de los grupos formales de Lubin-Tate (grupos que habıanjugado un papel crucial en Teorıa de Cuerpos de Clases local), obteniendose entonceslas anteriores relativas al 9o problema de Hilbert cuando el grupo formal fuese elmultiplicativo. Lo que hizo fue reformular el trabajo de Iwasawa de 1968 en el marcode grupos formales, resultando este ultimo en el caso de que el grupo formal fueseel grupo multiplicativo Gm.

Los grupos formales surgen de la estructura analıtica de los grupos de Lie cla-sicos de la siguiente forma: si en un entorno de la identidad de un grupo de Lieordinario elegimos un sistema de coordenadas analıticas y escribimos las coordena-das del punto z = xy como funciones analıticas de las coordenadas de x e y, estandosuficientemente cerca del origen obtenemos un sistema de series de potencias:

zi = ϕi(x1, ... , xn; y1, ... , yn), i = 1, ... , n,

la estructura del grupo de Lie impone las siguientes identidades en el sistema ϕ =(ϕ1, ... , ϕn):

• Asociatividad: ϕ(x, ϕ(y, z)) = ϕ(ϕ(x, y)z).

• Elemento neutro: ϕ(0, x) = ϕ(x, 0) = x.

• Elemento inverso: se sigue de la existencia de elemento neutro y de la analiti-cidad de las funciones.

• Conmutatividad: se expresa con ϕ(x, y) = ϕ(y, x).

El sistema de series de potencias zi, convergente en un entorno del origen ysatisfaciendo los axiomas anteriores, define una ley de grupo formal.

Ana Mascato Garcıa SII 67

La definicion de grupo formal en la que estamos interesados se obtiene de des-cartar la necesidad de la convergencia de la serie de potencias y simplemente con-siderandolo como un sistema de series de potencias formales. Si el grupo de Lie esGl(C, 1) = C− 0 entonces el grupo formal es Gm = X + Y +XY ∈ C [[X,Y ]], elgrupo formal multiplicativo.

Actualmente el concepto de grupo formal tiene una interpretacion funtorial quepermite trabajar con este concepto en el marco de la teorıa de Categorıas: son elcaso liso conexo de los objetos grupo en la categorıa de esquemas formales (afines)de Grothendieck.

Las leyes de reciprocidad mas generales son las de Abrashkin [1] y TavaresRiveiro [5] (esta ultima suprime una restriccion impuesta en [1]), ya que son paragrupos formales de dimension y altura arbitrarias. La restriccion a subsanar delultimo trabajo es que se considera el grupo formal sobre el anillo de vectores deWitt, lo que impide tener ramificacion, a pesar de ser este un fenomeno de lo masusual.

Definicion 5. Sea K|k una extension finita de cuerpos completos discretos de ca-racterıstica 0. Se dice que:

• K|k es no ramificada si e(K|k) = 1.

• K|k es totalmente ramificada si e(K|k) = [K :k].

Si π, Π son uniformizantes de k, K, entonces π = Πe salvo una unidad deK, siendo e = e(K|k) el ındice de ramificacion. Esto tiene tambien un origen einterpretacion geometricos. Este es el siguiente: sea f : X → Y un morfismo decurvas proyectivas lisas sobre k algebraicamente cerrado, y Q ∈ Y . Entonces

[k(X) :k(Y )] =∑

f(P )=Q

e(Q|P ).

Para k = C se ve el significado geometrico de e(Q|P ). En efecto, sea f : X → Yun morfismo de 1-variedades analıticas complejas. Localmente se tiene que f(z) = ze

(donde z es la coordenada local en P ), y e = e(Q|P ). Notese que f(z) = ze : C→ Ctiene fibras de cardinal e.

En otra direccion, sin la restriccion “sobre vectores de Witt”, pero con la dedimension 1, lo mas general es Vostokov-Demchenko del 2000 ([6]), para gruposformales Honda, es decir, para modulos formales, y por un metodo distinto.

Pretendemos eliminar la restriccion al caso absolutamente no ramificado y asıobtener una ley de reciprocidad explıcita que comprenda a todas las de [1], [5] y [6].Se trata de mostrar que le metodo de [1] y [5] puede ser extendido al caso de modulosformales Honda. Para ello necesitamos obtener una teorıa de perıodos π-adicos,paralela a la de perıodos p-adicos (la version p-adica de los perıodos complejos). Unprimer paso, crucial, ya habıa sido dado por Decauwert en 1976 ([2]).

Se pretende obtener la siguiente ley de reciprocidad explıcita, que establece quelas coordenadas del πM -sımbolo de Hilbert (M entero, M ≥ 1) (α(π′), β(π′))F,M


en la base (o1M , ... , o

h0M ) de F

[πM]

son, para un AB-modulo formal de altura finita,siendo A y B los anillos de enteros de K|k no ramificada de Frobenius ϕ

(S ResY )ν−1Y

(( (1− Aπ

)lA(β)

0

)dlogα(Y )− Lα

d

dY

( Aπ lA(β)mA(β)

)),

siendo S la traza relativa, lA el logaritmo de F , νY la matriz de perıodos aproximada,y

Lα =

(1− ϕ

p

)logα(Y )− 1

plog

α(Y )p

ϕ(α)(Y p)∈ k [[Y ]] .

Esta es la formula de Kummer de 1850 con las pertinentes generalizaciones yactualizaciones de notacion.

Bibliografıa

[1] Abrashkin, B. A. (1997). Explicit formulas for the Hilbert symbol of a formalgroup over Witt vectors, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., 61(3), pp.3–56.

[2] Decauwert, J. M. (1976). Classification des A-modules formels, C. R.Acad. Sci.Paris Ser. A-B, 282(24), pp.A1413–A1416.

[3] Iwasawa, K. (1968). On explicit formulas for the norm residue symbol, J. Math.Soc. Japan, 20, pp.151–165.

[4] Safarevic, I. R. (1950). A general reciprocity law, Mat. Sbornik N.S., 26(68),pp.113–146.

[5] Tavares Ribeiro, F. (2011). An explicit formula for the Hilbert symbol of aformal group, Ann. Inst. Fourier, 61(1), pp.261–318.

[6] Vostokov, S. V. y Demchenko, O. V. (2003). An explicit formula for the Hilbertpairing of formal Honda groups, J. Math. Sci. (N. Y.), 116, pp.2926–2952.

[7] Wiles, A. (1978). Higher explicit reciprocity laws, Ann. Math., 107(2), pp.235–254.


Una introduccion a las curvas ROC

Arıs Fanjul HeviaDepartamento de Estadıstica e Investigacion Operativa

30 de marzo de 2016

Introduccion

En un problema de clasificacion, en el que los individuos de una poblacion van aser asignados a un grupo en funcion de una o varias variables predictoras, hay quetener siempre en cuenta el error que se produce. Cuando el numero de grupos seados (denotados por sanos y enfermos), los errores que se cometeran seran de dostipos: el que se da cuando a un individuo que esta enfermo se le clasifica como sano,y el opuesto, el que se comete cuando a un sano le diagnostican como enfermo.

Un buen sistema de clasificacion sera aquel que consiga minimizar ambos errores.En este ambito surge la curva ROC (del ingles Receiver Operating Characteristic)como una herramienta estadıstica para analizar la capacidad discriminativa de estossistemas de clasificacion o tests de diagnosis.

Disenada originalmente durante la Segunda Guerra Mundial, se ha utilizado enareas como la psicologıa, las finanzas y, mas recientemente, en la evaluacion detecnicas de aprendizaje automatico. Cobra especial relevancia en el campo de labiomedicina, pues es una herramienta muy util para calibrar pruebas de diagnosis.

En las siguientes secciones se explicara como se construye esta curva y diversosmetodos para estimarla. Ademas se expondra como se pueden comparar varias cur-vas ROC y como, en ocasiones, sera necesario tener en cuenta las covariables quepuedan influenciar la potencia discriminativa de un test.

Construccion y propiedades de la curva ROC

Se parte de una variable de diagnostico Y , continua, en base a la cual se clasifi-caran los individuos en sanos (S) o enfermos (E). A continuacion se fija un puntoc, llamado punto de corte o umbral, de forma que, si el valor de la variable Y en unindividuo es mayor o igual que c, el individuo es diagnosticado como enfermo, y sies menor, se le clasifica como sano. Es decir:

Y ≥ c⇒ Diagnosis E,

Y < c⇒ Diagnosis S.

Palabras Clave: Sensibilidad; especificidad; curvas ROC; AUC.

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70 SII Una introduccion a las curvas ROC

Por convenio siempre se asocian los valores altos de la variable de diagnosis conel grupo de enfermos. Ahora bien, esta claro que los errores de clasificacion van adepender del punto c elegido. En relacion a estos errores se definen los conceptos desensibilidad y especificidad :

Sensibilidad : proporcion de individuos enfermos clasificados como tales. Si sedenota por F1 a la funcion de distribucion de la variable Y en el grupo delos enfermos (es decir, F1(y) = P (Y ≤ y|E) ∀y ∈ R), la sensibilidad vienedefinida por la siguiente expresion en funcion de c:

Sensibilidad(c) = P (Y ≥ c|E) = 1− F1(c).

Especificidad : proporcion de individuos sanos que se diagnostican correcta-mente. Denotando por F0 a la funcion de distribucion de la variable Y en elgrupo de los sanos, la especificidad se expresa en funcion de c como:

Especificidad(c) = P (Y ≤ c|S) = F0(c).

Resulta evidente que lo deseable para cualquier sistema de clasificacion es queesas dos cantidades sean grandes para el punto c elegido. El problema sera determi-nar el umbral que las maximice a un tiempo, pues si se elige un c que de lugar a unagran sensibilidad lo mas probable es que se produzcan muchos falsos positivos, esdecir, individuos que se diagnostican incorrectamente como enfermos, conllevandouna baja especificidad. Lo mismo ocurre a la inversa, para los puntos de corte en losque se exige una gran especificidad lo normal es que se obtenga poca sensibilidad.

El objetivo de la curva ROC es dar una idea global del comportamiento de unaprueba diagnostica. En vez de limitarse a considerar la sensibilidad y la especificidadasociados a un umbral determinado, los utiliza a todos, representando graficamentela relacion que existe entre la sensibilidad y uno menos la especificidad. Varios ejem-plos de una curvas ROC pueden verse en la Figura 1. La formula correspondiente aesa curva esta determinada por las funciones F0 y F1 mencionadas anteriormente:

ROC(p) = 1− F1(F−10 (1− p)), 0 < p < 1. (1)

Esta curva es creciente, continua (siempre que la variable de diagnosis sea continua)y toma valores en la region [0, 1] × [0, 1]. Cuanto mas se acerque la curva ROC alpunto (0,1), mejor capacidad discriminativa tendra el test de clasificacion.

Existen medidas resumen de la curva ROC que sirven para describir con un solovalor el comportamiento global del test de diagnosis. La mas utilizada es el areabajo la curva ROC, el AUC, (del ingles Area Under the Curve):

AUC =

∫ 1

0ROC(p)dp.

Toma valores entre 0.5 y 1, donde el 0.5 se corresponde con un sistema de clasifica-cion muy pobre, basado en el azar, y el 1 con la situacion ideal en la que se clasificarıacorrectamente a todos los individuos. El AUC correspondiente a las curvas ROC dela Figura 1 son 0.63, 0.86 y 0.99.

Arıs Fanjul Hevia SII 71

Figura 1: Ejemplos de curvas ROC. La primera curva se acerca a la diagonal delprimer cuadrante, que representa el azar, por lo que el test tiene una potenciadiscriminativa muy pobre. Dicha potencia es mayor para la segunda curva, y aunmejor para el ultimo ejemplo, donde casi se alcanzan los valores de sensibilidad yespecificidad maximos.

Estimacion de la curva ROC

En la practica hace falta estimar la curva ROC, pues las funciones de distribucionF0 y F1 que se utilizan para su construccion en (1) no son conocidas. Existen muchasformas de realizar esta estimacion. A continuacion se ven las mas utilizadas.

Metodos parametricos

Los metodos parametricos asumen que se conocen las verdaderas distribucionesde F0 y F1 y se limitan a estimar los parametros correspondientes.

Estimador binormal

El metodo parametrico mas utilizado es el binormal, en el que se asume quetanto F0 como F1 son distribuciones normales, independientes, con mediasµ0, µ1 y varianzas σ2

0, σ21 respectivamente. En este caso la curva ROC y su

correspondiente AUC se pueden expresar como

ROC(t) = Φ(a+ bΦ−1(t)), 0 ≤ t ≤ 1, AUC = Φ

(a√

1 + b

),

donde a = (µ1 − µ0)/σ1 y b = σ0/σ1. Estimando dichos parametros mediantetecnicas de maxima verosimilitud, se obtiene:

ROCp(t) = Φ(a+ bΦ−1(t)), 0 ≤ t ≤ 1.

Metodos no parametricos

La ventaja de estos metodos frente a los anteriores es que no necesitan de ningunahipotesis extra.


Estimador empırico de la curva ROC

Esta basado en la estimacion de F0 y F1 mediante la funcion de distribucionempırica:

ROC(p) = 1− F1,m(F−10,n(1− p)), 0 ≤ p ≤ 1,

donde F1,m denota la funcion de distribucion empırica asociada a la poblacionenferma y F−1

0,n denota la funcion cuantil empırica asociada a la poblacionsana.

El AUC de una curva ROC empırica se corresponde con el estadıstico deMann-Whitney:

AUC =

nS∑j=1

nE∑i=1

(I(YEi > YSj ) +

1

2I(YEi = YSi)

)/nEnS .

Estimador suavizado de la curva ROC

Se realiza a traves de la estimacion de la funcion de densidad, el estimadortipo nucleo:

fn,h(x) =1

nh

n∑i=1

K

(x−Xi

h

),

donde h es el parametro ventana y K es el nucleo. A partir de ahı se calcula

F (x) =1

n

n∑i=1

∫ x

−∞

1

nhK

(u−Xi

h

)du,

por lo que el estimador de la curva ROC resultante [5] es:

ROC(p) = 1− F1(F−10 (1− p)), 0 ≤ p ≤ 1.

Cada metodo tiene sus ventajas e inconvenientes. El estimador binormal es con-tinuo y facil de calcular, pero no siempre sera adecuado utilizarlo. El estimadorempırico es posiblemente el mas empleado, pero tiene el inconveniente de que noes continuo. Esto se soluciona con el estimador suavizado, aunque su uso conlle-va una mayor complejidad tanto en los desarrollos asintoticos para comprobar laconsistencia del estimador como computacionalmente.

Comparacion de dos o mas curvas ROC

Uno de los principales objetivos de las curvas ROC es comparar la eficacia de doso mas metodos de diagnostico. Como antes, existen distintas formas de realizar estacomparacion. Estas dependeran del tipo de datos de los que se disponga (apareadoso independientes, es decir, si las curvas que se comparan se calculan con datosprocedentes de los mismos individuos o no), del numero de curvas ROC que secomparen e incluso de la forma de estas curvas. A continuacion se exponen un parde formas de plantearse el problema:

Arıs Fanjul Hevia SII 73

Comparar las curvas a traves de sus medidas resumen [1].

El estadıstico mas comunmente utilizado para la comparacion de dos curvasROC esta basado en la diferencia entre las estimaciones de los AUCs. Se tratadel procedimiento mas natural, pero tiene un inconveniente: aunque esta claroque si dos curvas ROC tienen distinto AUC es que son distintas, la igualdadde AUCs no implica necesariamente igualdad de curvas ROC.

Utilizando el hecho de que una curva ROC puede verse como una funcion dedistribucion [3].

La comparacion de k muestras aleatorias es un problema clasico de la inferen-cia estadıstica. Como se puede ver en la siguiente expresion, la curva ROC sepuede entender como una funcion de distribucion de la variable 1 − F0(YE),donde YE es la variable aleatoria del grupo de los enfermos:

ROC(p) = P (YE > F−10 (1− p)) = P (1− F0(YE) ≤ p) = F1−F0(YE)(p).

Por tanto, una forma de comparar k curvas serıa adaptando los estadısticosexistentes en la inferencia para comparar funciones de distribucion.

Curvas ROC en presencia de covariables

En muchos estudios es usual que, ademas de la variable Y de diagnosis a partirde la cual se construye la curva ROC, se tenga informacion de otras covariables.Esta informacion hay que tratarla con cuidado, pues en algunas ocasiones puedeinfluir en la curva ROC, aumentando o disminuyendo su capacidad discriminativa.

La incorporacion de las covariables a las curvas ROC se puede hacer de dosformas:

Curva ROC ajustada por covariable: consiste en una media ponderadade curvas ROC que toma en consideracion la informacion de las covariablespara cada punto de la curva.

Curva ROC especıfica por covariable: da lugar a una curva ROC condi-cionada al valor de una (o mas) covariables (x):

ROCx(p) = 1− F1

(F−1

0 (1− p|x)|x), 0 ≤ p ≤ 1, AUCx =

∫ 1

0ROCx(p)dp.

Esta ultima es la que mas interes tiene, aunque su calculo puede ser complejo.Una vez mas existen metodologıas muy variadas para ello: algunos estimadores sebasan en la estimacion de funciones de distribucion condicionadas, otros construyenmodelos de regresion para la variable Y y a partir de ahı calculan la curva ROCcorrespondiente, y otros aplican directamente una regresion sobre la curva.

Por ultimo se muestra un ejemplo ilustrativo (datos y metodologıa tomados delartıculo [2]). Se dispone de las medidas de concentracion de glucosa en un grupo de


pacientes sospechosos de tener diabetes. Ademas se conoce la edad de cada uno deellos, considerada relevante puesto que los niveles de glucosa se espera que sean masaltos en personas mayores. Sabiendo los que oficialmente fueron clasificados comoenfermos y como sanos, se construyen las curvas ROC especıficas para la covariableedad que se pueden apreciar en la Figura 2.

Figura 2: A la izquierda, curvas ROC especıficas por la covariable edad. A la de-recha, las curvas correspondientes a las edades 30 (la mas dominante), 50 y 70 (lamas cercana a la diagonal). Parece que la concentracion de glucosa como variablediagnostica va perdiendo potencia discriminativa con el paso de los anos.

Para concluir, se puede afirmar que las curvas ROC son una herramienta utilpara gran variedad de areas y en continuo desarrollo. Para profundizar mas sobreel tema se recomienda el libro [4].

Bibliografıa

[1] DeLong, E.R; Delong, D.M. y Clarke-Pearson, D.L. (1988). Comparing thearea under two or more correlated receiver operating characteristic curves: Anonparametric approach, Biometrics, 44(3), pp. 837–845.

[2] Gonzalez-Manteiga, W.; Pardo-Fernandez, J.C.; Van Keilegom, Ingrid (2011).ROC curves in nonparametric location-scale regression models, ScandinavianJournal of Statistics, 38, pp. 169–184.

[3] Martınez-Camblor, P.; Carleos, C. y Corral, N. (2011). Powerful nonparametricstatistics to compare k independent ROC curves, Journal of Applied Statistics,38(7), pp. 1317–1332.

[4] Pepe, M.S. (2003). The Statistical Evaluation of Medical Tests for Classificationand Prediction, Oxford University Press, New York.

[5] Zou, K.H.; Hall, W.J. y Shapiro, D.E. (1997). Smooth non-parametric receiveroperating characteristic (ROC) curves for continuous diagnostic tests, Statisticsin Medicine, 16, pp. 2143–2156.


A Regresion Loxıstica: exito ou fracaso

Mercedes Conde AmboageDepartamento de Estatıstica e Investigacion Operativa

13 de abril de 2016

A regresion loxıstica encadrase dentro dos modelos lineais xeneralizados (cone-cidos polas suas siglas en ingles, GLM) e estuda modelos cuxa variable resposta ebinaria, isto e, pode tomar so dous valores que se identifican como exito e fracaso.Neste contexto, o proposito sera explicar a probabilidade de exito condicionada acada valor das variables explicativas.

Neste traballo presentase un novo test de significacion de coeficientes que per-mitira determinar se as variables explicativas achegan ou non informacion signifi-cativa para caracterizar a variable resposta. Este metodo esta baseado na funcionde verosimilitude e nun procedemento bootstrap, permitindo deste xeito obter bosresultados en modelos de alta dimension e superar ası as deficiencias do tradicionalaxuste χ-cadrado.

Introducion

Consideremos unha variable resposta Y binaria (ou tamen chamada dicotomica)e certas variables explicativas X = (X1, ··· , Xp) ∈ Rp. O noso obxectivo sera bus-car un modelo que explique a media da variable resposta como funcion lineal dasvariables explicativas. Construiremos enton un modelo para

π(x, θ) = E(Y |X = x) = P(Y = 1|X = x) ∈ [0, 1].

Dado que desexamos formular un modelo de regresion lineal, sera necesario aplicarunha funcion a π(x, θ) que transforme o intervalo [0, 1] en todo R. Dita transforma-

cion denomınase funcion link e ven dada por logit(p) = log(

p1−p

)con p ∈ [0, 1],

de tal maneira que

logit(π(x, θ)) = x′θ ⇐⇒ π(x, θ) = logit−1(x′θ) =ex′θ

1 + ex′θ.

A estimacion do parametro θ estara baseada nun procedemento de maxima ve-rosimilitude. Sexa (x1, y1), ··· , (xn, yn) unha mostra aleatoria simple das variablesX e Y . Dada a forma da variable resposta, tense que yi segue unha distribucion

Palabras Clave: regresion loxıstica; alta dimension; test de significacion; bootstrap parame-trico.

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76 SII A Regresion Loxıstica: exito ou fracaso

Bernoulli(π(xi, θ)) e, polo tanto, a conecida funcion de maxima verosimilitudedo modelo virıa dada por Ln(θ) =

∏ni=1

[π(xi, θ)

yi(1− π(xi, θ))1−yi

]. Ası, o estima-

dor de maxima verosimilitude serıa

θ = arg max logLn(θ) = arg max

n∑i=1

(yix′iθ − log(1 + ex

′iθ)).

Xurden deste xeito as ecuacions de maxima verosimilitude que nos permitenobter o estimador θ

∂ logLn(θ)

∂θ= X ′(Y − π(X, θ)) = 0.

Ao contrario do que ocorre no contexto da clasica regresion en media, non existenexpresions explıcitas para o estimador θ. Neste caso, calculanse por metodos iterati-vos como o metodo de Newton-Raphson ou o metodo IRLS (Iteratively reweightedleast squares). Unha completa revision desta clase de modelos pode atoparse en [4].

Test de significacion de coeficientes

Dada unha variable aleatoria binaria Y e un conxunto de variables explicativasX = (X1, ··· , Xp+q), o noso obxectivo sera realizar o seguinte test de significacion:

H0 : logit(P(Y = 1|X = x)) = x′θq modelo simplificado,

Ha : logit(P(Y = 1|X = x)) = x′θp+q modelo saturado,(1)

onde θp+q = (θ0, ··· , θq, θq+1, ··· , θp+q)′ ∈ Rp+q+1 mentres que θq = (θ0, ··· , θq)′ ∈Rq+1. Dito test, estara baseado no seguinte estatıstico de contraste:

Tn = 2(

logLn(θp+q)− logLn(θq)), (2)

onde Ln denota a conecida funcion de verosimilitude do modelo. Recordemos que unestatıstico de contraste non e mais que unha variable aleatoria cuxo valor para unhamostra determinada nos permitira decidir se aceptamos ou rexeitamos a hipotesenula.

De cara a levar a cabo o calibrado do test que acabamos de proponer, imosconsiderar dous metodos: un baseado na tradicional aproximacion χ-cadrado e unnovo metodo baseado nun procedemento bootstrap.

Metodo 1: aproximacion χ-cadrado

O estatıstico (2) conecese, no contexto da regresion loxıstica, como deviance domodelo simplificado e xoga un papel analogo a suma de residuos na clasica regresionen media. E de sobra conecido que o estatıstico de contraste Tn se pode aproximarcunha distribucion χ-cadrado con tantos graos de liberdade como parametros esta-mos testando que sexan cero (vexase [4], por exemplo). No noso caso:

Tnd−→ χ2

(p+q+1)−(q+1) = χ2p.

Mercedes Conde Amboage SII 77

Metodo 2: Bootstrap parametrico

Fronte a tradicional aproximacion χ-cadrado, imos proponer un bootstrap pa-rametrico que nos permita levar a cabo o calibrado do estatıstico de contraste Tn.Esta clase de mecanismos bootstrap foron empregados por diversos autores como[1] e [2]. No noso caso, o procedemento bootstrap e o seguinte:

1. Xerar as replicas bootstrap da variable resposta y?i prodecentes dunha distri-

bucion Bernoulli(π(xi, θq)) con probabilidade de exito

π(x, θq) =ex′θq

1 + ex′θq.

2. Usar a mostra bootstrap (xi, y?i ), i = 1, ··· , n para calcular os estimadores

θp+q,? e θq,?, e o valor do estadıstico de contraste bootstrap

T ?n = 2(

logLn(θp+q,?)− logLn(θq,?)).

3. Repetir os pasos 1 e 2 B veces para estimar o p-valor como a proporcion devalores do estatıstico bootstrap que superan o estatıstico orixinal.

Estudo de simulacion

A continuacion, presentamos os resultados asociados a un estudo de simulacionque nos permitira comparar os dous metodos descritos anteriormente. Mostraremosa proporcion de rexeitamentos asociada a ambas propostas de calibrado obtidacomo consecuencia de simular 1000 mostras por Monte Carlo e 1000 replicas boots-trap. Para comparar ambos test de significacion debemos establecer as seguintesdefinicions:

Definicion 1. Dado un contraste de hipoteses, a decision de rexeitar a hipotesenula H0 sendo verdadeira chamase erro de tipo I. A probabilidade deste erro e onivel de significacion do test e denotase por

α = P(rexeitar H0 | H0 e certa).

Definicion 2. A potencia dun contraste defınese como β = P(rexeitar H0 |H0

non e certa). E dicir, a probabilidade complementaria ao erro de tipo II.

Modelos baixo a hipotese nula

Comezamos estudando o comportamento de ambos metodos propostos baixo ahipotese nula, e dicir, imos comprobar o axuste do nivel de significacion. Simulare-mos datos do seguinte modelo de regresion loxıstica:

logit (P(Y = 1|X = x)) = logit

(ex′θp+q

1 + ex′θp+q

), (3)


q = 0 q = 2 q = 5 q = 10M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M2

p = 1 n = 50 0.101 0.094 0.100 0.083 0.132 0.105 0.174 0.098n = 100 0.091 0.089 0.103 0.097 0.111 0.086 0.124 0.104n = 500 0.099 0.103 0.098 0.100 0.104 0.105 0.118 0.116

p = 5 n = 50 0.120 0.089 0.168 0.108 0.172 0.081 0.298 0.070n = 100 0.096 0.088 0.125 0.103 0.119 0.090 0.172 0.101n = 500 0.100 0.094 0.130 0.127 0.106 0.105 0.112 0.102

p = 10 n = 50 0.207 0.110 0.211 0.072 0.308 0.086 0.518 0.087n = 100 0.152 0.115 0.157 0.107 0.178 0.101 0.230 0.096n = 500 0.104 0.099 0.088 0.081 0.117 0.104 0.115 0.101

Taboa 1: Proporcion de mostras para as cales rexeitamos a hipotese nula H0 sendoα =0.10 o nivel de significacion.

onde X = (X1, ··· , Xp+q) e Xi ∈ U(−1, 1) con i = 1, ··· , (p+q). O parametro θp+q =(θ0, ··· , θp+q) ∈ Rp+q+1 verifica que θ0 = ··· = θq =0.1 e θq+1 = ··· = θp+q = 0.

A Taboa 1 mostra a proporcion de mostras para as cales rexeitamos a hipotesenula H0 asociada ao test de significacion (1) para diferentes tamanos de mostra(que denotamos por n), e diferentes valores dos parametros p e q, sendo α =0.10 onivel de significacion. A vista da Taboa 1, podemos concluır que a aproximacion χ-cadrado non mostra un bo axuste do nivel de significacion dado que a porcentaxe derexeitamento non esta proxima ao nivel de significacion, especialmente para tamanosde mostra pequenos. Poren, o calibrado baseado no bootstrap parametrico mostraun bo axuste do nivel de significacion.

Modelos baixo a hipotese alternativa

A continuacion, estudaremos o comportamento de ambos procedementos baixo ahipotese alternativa, e dicir, testearemos a potencia de ambos metodos. Simularemosdatos do seguinte modelo de regresion loxıstica:

logit (P(Y = 1|X = x)) = logit

(ex′ θp+q)

1 + ex′ θp+q

), (4)

onde X = (X1, ··· , Xp+q) e Xi ∈ U(−1, 1) con i = 1, ··· , (p+q). O parametro θp+q =(θ0, ··· , θp+q) ∈ Rp+q+1 verifica que θ0 = ··· = θq =0.1 e θq+1 = ··· = θq+p = a, ondeo parametro a representa a desviacion da hipotese nula. Neste sentido, a potenciade ambos metodos debe aumentar co parametro a.

A Taboa 2 mostra a proporcion de mostras para as cales rexeitamos a hipotesenula H0 asociada ao test de significacion (1) para diferentes tamanos de mostra (quedenotamos por n), e diferentes valores dos parametros p, q e a, sendo α =0.10 onivel de significacion. A vista da Taboa 2 comprobamos que a potencia de ambos

Mercedes Conde Amboage SII 79

q = 0 q = 2 q = 5 q = 10M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M2

a=0.1

p = 1 n = 50 0.120 0.111 0.117 0.102 0.138 0.113 0.037 0.010n = 100 0.112 0.111 0.128 0.116 0.137 0.128 0.025 0.015n = 500 0.169 0.165 0.164 0.163 0.198 0.196 0.035 0.035

p = 5 n = 50 0.144 0.106 0.171 0.118 0.207 0.099 0.295 0.063n = 100 0.147 0.130 0.154 0.135 0.169 0.128 0.202 0.130n = 500 0.257 0.258 0.286 0.275 0.277 0.272 0.263 0.245

p = 10 n = 50 0.209 0.105 0.252 0.106 0.317 0.104 0.537 0.099n = 100 0.184 0.136 0.203 0.137 0.218 0.144 0.253 0.117n = 500 0.340 0.335 0.317 0.301 0.349 0.330 0.349 0.320

a =0.5

p = 1 n = 50 0.267 0.258 0.273 0.248 0.300 0.243 0.334 0.219n = 100 0.409 0.408 0.433 0.423 0.434 0.412 0.418 0.380n = 500 0.935 0.936 0.943 0.945 0.944 0.943 0.942 0.940

p = 5 n = 50 0.524 0.463 0.521 0.423 0.530 0.361 0.603 0.223n = 100 0.763 0.740 0.763 0.730 0.748 0.705 0.774 0.667n = 500 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

p = 10 n = 50 0.663 0.510 0.693 0.462 0.721 0.397 0.841 0.192n = 100 0.895 0.867 0.899 0.848 0.926 0.859 0.930 0.830n = 500 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Taboa 2: Proporcion de mostras para as cales rexeitamos a hipotese nula H0 sendo α = 0.10o nivel de significacion.

contrastes converxe a 1 cando o tamano de mostra converxe a infinito. E importantedestacar que a potencia asociada a aproximacion χ-cadrado non e “realista” dadoque dito metodo non mostra un bo axuste do nivel. Este feito fai que en certassituacions a potencia do Metodo 1 diminue ao aumentar o tamano de mostra (porexemplo, p = 10, q = 0 e a =0.1). Cando o tamano de mostra aumenta, a potenciade ambos metodos e similar.

En resumo, o novo Metodo 2 que estamos proponendo mostra unha boa potenciae un bo axuste do nivel de significacion para modelos de alta dimension grazas aoemprego dun procedemento bootstrap parametrico para levar a cabo o calibrado dotest de significacion baseado na funcion de verosimilitude. Superando deste xeito omal axuste do nivel de significacion da tradicional aproximacion χ-cadrado.

Aplicacion a datos reais

Para rematar, imos aplicar ambos procedementos descrito na seccion Test designificacion de coeficientes a unha base de datos reais. Empregaremos unha mostra


de 200 doentes que tiveron que ser ingresados nunha Unidade de Coidados Intensivos(UCI) do Baystate Medical Center (Springfield-Massachusetts). Dita base de datosfoi publicada en [3] e esta disponible no paquete vcdExtra de R.

Este estudo foi desenado co obxectivo de determinar factores de risco asociadosa mortalidade na UCI. E dicir, neste caso, a variable resposta Y virıa dada por:

Y =

0 se o doente non faleceu na UCI.

1 se o doente faleceu na UCI.

Ademais, mıdense sobre os doentes un total de 19 posibles variables explicativascomo a idade, o sexo, a presion arterial, etcetera (vexase en [3] a listaxe comple-ta). Estudos previos baseanse no feito de que as variables explicativas realmentesignificativas serıan

A idade.

Se o ingreso esta relacionado cun cancer.

A presion arterial sistolica durante o ingreso.

Se o doente necesitou algun ingreso previo na UCI durante os ultimos 6 meses.

O tipo de admision (niveis de emerxencia).

Os niveis iniciais de presion arterial de CO2 en sangue.

O nivel de inconsciencia ao ingresar na UCI.

Imos testear dita afirmacion baseandonos nos test de significacion descritos an-teriormente. Ası, o p-valor asociado a aproximacion χ-cadrado serıa 0.6392 mentresque o p-valor asociado ao bootstrap parametrico serıa 0.7758, en calquera caso,superiores ao clasicos niveis de significacion (10 %, 5 % ou 1 %).

En definitiva, podemos concluır que o modelo saturado considerando 19 varia-bles explicativas non aporta mais informacion que un modelo simplificado no queconsideremos as 7 variables explicativas detalladas anteriormente.

Bibliografıa

[1] Albanese, M. T. e Knott, M. (1994). Bootstrapping latent variable models forbinary response, British Journal of Mathematical and Statistical Psychology,47, pp. 235–246.

[2] Aerts, M. e Claeskens, G. (2001). Bootstrap tests for misspecified models, withapplication to clustered binary data, Computational Statistics & Data Analysis,36, pp. 383–401.

[3] Hosmer, D.W. e Lemeshow S. (1989). Applied logistic regression, Wiley.

[4] McCullagh, P. e Nelder, J.A. (1983). Generalized linear models, Chapman &Hall.


Que e un esquema?

Jesus Conde LagoDepartamento de Alxebra

27 de abril de 2016

Introducion

A xeometrıa alxebrica, que e o estudo xeometrico das variedades alxebricas ouconxuntos de solucions de sistemas de ecuacions polinomicas tanto no espazo afıncoma no proxectivo, ten como obxectivo fundamental a clasificacion completa destasvariedades alxebricas. As suas tres principais vıas de investigacion son a clasificacionde variedades non sigulares; o estudo e resolucion de singularidades, que pretendeatopar variedades non singulares suficientemente proximas a variedade de partida,e a teorıa da interseccion.

Por exemplo, grosso modo, o conxunto de ceros do polinomio x2 +y2−1 sobre Cdescribe unha circunferencia, pois esta serıa o obxecto de estudo neste caso. Engadirque a circunferencia e unha variedade non singular. Dous exemplos de singularidadesson o vertice dun cono ou a cuspide do conxunto de ceros descrito por x2 − y3.

Ata os anos sesenta do seculo XX, a xeometrıa alxebrica non empregou unhalinguaxe axeitada para o seu estudo. A introducion da linguaxe de esquemas en ditadecada supuxo unha verdadeira revolucion neste campo, pois permitiu abordar oestudo da xeometrıa alxebrica dende un novo punto de vista.

A base desta nova linguaxe e a teorıa de esquemas, que foi exposta por AlexanderGrothendieck coa colaboracion de J. Dieudonne no tratado Elements de geometriealgebrique [1] publicado entre 1960 e 1967. A idea de Grothendieck foi introducirunha nova estructura como xeneralizacion de variedade alxebrica, o esquema.

Esta idea basease en asociar a cada anel conmutativo un obxectivo xeometrico,un esquema, ao reves de como se facıa ata ese momento. Isto permitiu, por exemplo,evitar o teorema dos ceros de Hilbert, resultado no cal se basea toda a xeometrıaalxebrica clasica, e ası non ter que traballar sobre corpos alxebricamente pechados.En xeral, esta nova linguaxe permitiu traballar e facer xeometrıa sobre calquer anel.

Estas paxinas seran unha sinxela e breve introducion a teorıa de esquemas. Par-tiremos da xeometrıa alxebrica clasica para motivar ası a introducion do conceptode esquema, e remataremos coa construcion deste ultimo.

Esencialmente empregaremos [2, Chapter I] para a introducion a xeometrıa alxe-brica clasica, [3] e unha boa referencia para continuar co estudo nesta lina, mentres

Palabras Clave: esquema; feixe; topoloxıa de Zariski; teorıa de esquemas; xeometrıa alxe-brica.

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82 SII Que e un esquema?

que [2, Chapters II-VII] e a principal referencia para a teorıa de esquemas.

Xeometrıa alxebrica clasica

Sexa k un corpo alxebricamente pechado e consideramos An o espazo afın n-dimensional sobre k. Os puntos seran os elementos P = (a1, ... , an) ∈ An.

Consideramos os polinomios f1, ... , fr ∈ k[x1, ... , xn]. Diremos que o conxuntode ceros de f1, ... , fr e o conxunto de solucions do sistema

f1(x1, ... , xn) = 0...

fr(x1, ... , xn) = 0

Denotase por Z(f1, ... , fr) = P ∈ An | fi(P ) = 0 ∀i ⊂ An.Notese que podemos considerar tanto un conxunto de polinomios como o ideal

xerado por estes, pois o conxunto de ceros sera o mesmo en ambos casos. Istodebese esencialmente a que se un polinomio f anulase nun punto, tamen o faracalquer producto de polinomios onde f sexa un factor.

Definicion 1. Un subconxunto Y ⊂ An e un conxunto alxebrico se existe T ⊂k[x1, ... , xn] tal que Y = Z(T ).

Os conxuntos alxebricos verifican as seguintes propiedades.

∅ e An son conxuntos alxebricos.

Se Y1, Y2 son conxuntos alxebricos, enton Y1 ∪ Y2 tamen o e.

Se Yii∈I e unha familia de conxuntos alxebricos, enton ∩i∈IYi tamen o e.

Desta forma, podemos definir unha topoloxıa en An onde os pechados son osconxuntos alxebricos, tal topoloxıa recibe o nome de topoloxıa de Zariski en An.

Definicion 2. Unha variedade alxebrica e un subconxunto de An que e pechadoe irreducible.

Ası, unha variedade alxebrica e un conxunto alxebrico que e irreducible. Unhavez que xa conecemos o obxecto de estudo da xeometrıa alxebrica, veremos como serealiza o estudo destas variedades.

A todo conxunto ou ideal de polinomios podemos asociarlle un subconxuntodo espazo afın chamado conxunto alxebrico empregando Z(−). Agora faremos algosimilar no sentido oposto.

Definicion 3. Dado un subconxunto Y ⊂ An, defınese o ideal de Y en k[x1, ... , xn]como

I(Y ) := f ∈ k[x1, ... , xn] | f(P ) = 0 ∀P ∈ Y .

Jesus Conde Lago SII 83

Estableceremos agora unha relacion entre ambas construcions, a cal parece na-tural e e unha bixeccion con certos matices como veremos.

Proposicion 4. Verifıcase que:

1. se T1 ⊂ T2 ⊂ k[x1, ... , xn], enton Z(T2) ⊂ Z(T1).

2. se Y1 ⊂ Y2 ⊂ An, enton I(Y2) ⊂ I(Y1).

3. para todo ideal a de k[x1, ... , xn], I(Z(a)) = radical(a).

4. para todo Y ⊂ An, Z(I(Y )) = Y .

Isto permıtenos afirmar que existe unha bixeccion que invirte as inclusions en-tre ideais radicais e conxuntos alxebricos, dado que se a e un ideal radical entonI(Z(a)) = a e se Y e un conxunto alxebrico terıamos que Z(I(Y )) = Y . Ademais,a partir desta proposicion podemos probar que un conxunto alxebrico e irreduciblese e so se o seu ideal e primo.

E necesario destacar que o punto 3 da Proposicion 4 require a utilizacion doteorema dos ceros de Hilbert, feito polo cal debemos considerar inicialmente k uncorpo alxebricamente pechado.

A bixeccion anterior e a equivalencia do mesmo paragrafo, xunto coa seguintedefinicion, permitiran realizar o estudo das variedades alxebrica tal e como se fai naxeometrıa alxebrica clasica.

Definicion 5. Dado Y ⊂ An un conxunto alxebrico, chamase anel de coordena-das de Y ao anel

A(Y ) := k[x1, ... , xn]/I(Y ) ,

que e unha k-alxebra de tipo finito reducida.

Isto permıtenos estudar os aneis A(Y ) en lugar das conxuntos alxebricos Y . Porexemplo, os ideais maximais de A(Y ) corresponderanse cos puntos de Y . No casode ser Y unha variedade, A(Y ) sera un dominio por ser I(Y ) un ideal primo.

Poren, isto obrıganos a traballar con k-alxebras de tipo finito reducidas sobreun corpo alxebricamente pechado k, o cal limita moito os resultados que se podenutilizar. A xa mencionada restricion de traballar sobre este tipo de corpos, podemosengadir o feito de non poder realizar completacions, pois a completacion dunhaalxebra de tipo finito non ten porque ser de tipo finito, ou ter que traballar cos ideaismaximais de A(Y ), os cales non se conservan en xeral a traves de homomorfismos(si neste caso ao tratarse de alxebras de tipo finito reducidas sobre un corpo).

Polo tanto, para estudar as variedades ou conxuntos alxebricos empregaremos,entre outros, resultados xerais de alxebra conmutativa. Pero estas restricions com-plicaran dito estudo ao non poder utilizar todas as ferramentas existentes.

A idea de Grothendieck e xeneralizar o concepto de variedade, asociando a cadaanel un “obxecto xeometrico” de forma que isto nos permita traballar dentro daalxebra conmutativa con maior liberdade. Ası, chegamos ao concepto de esquemacomo unha xeneralizacion de variedade alxebrica.


A teorıa de esquemas

En primeiro lugar construiremos o espazo topoloxico SpecA asociado ao anelconmutativo A e que xogara o papel da variedade alxebrica dentro do esquema.

Definimos enton o conxunto de todos os ideais primos de A como

SpecA := p ideal de A | p e primo .

Agora queremos dotar a este conxunto dunha topoloxıa. Para isto consideramosun ideal arbitrario a de A, e definimos o conxunto de todos os ideais primos quecontenen a a como V (a) := p ∈ SpecA | a ⊂ p ⊂ SpecA . Estes conxuntosverifican as seguintes propiedades:

V (A) = ∅ e V (0) = SpecA.

Se aii∈I e unha familia de ideais de A, enton ∩i∈IV (ai) = V (∑

i∈I ai).

Se a, b son ideais de A, enton V (a) ∪ V (b) = V (ab).

Ası, podemos considerar en SpecA unha topoloxıa por pechados, onde estes seran osconxuntos da forma V (a) con a ideal de A. Tera o nome de topoloxıa de Zariskide SpecA.

Unha vez que xa temos o espazo SpecA, construiremos agora o feixe de aneisasociado a este espazo topoloxico, e que realiza o papel do anel de funcions regula-res na xeometrıa alxebrica clasica [2, p. 15,16]. Antes definiremos os conceptos deprefeixe e feixe de forma xeral.

Definicion 6. Sexa X un espazo topoloxico. Un prefeixe F de grupos abelianosen X esta formado por

un grupo abeliano F(U) para cada aberto U de X, e

un morfismo de grupos abelianos ρUV : F(U) → F(V ) para cada inclusionV ⊂ U de abertos de X;

suxeito as condicions

1. F(∅) = 0,

2. ρUU : F(U)→ F(U) e a aplicacion identidade,

3. dados W ⊂ V ⊂ U abertos de X, enton ρUW = ρVW ρUV .

F sera un feixe se ademais, dado un aberto U ⊂ X e un recubrimento aberto Vide U , verifıcanse as condicions:

4. se s ∈ F(U) con s|Vi = 0 para todo i, enton s = 0.

5. se para cada i temos un si ∈ F(Vi) verificando si|Vi∩Vj = sj |Vi∩Vj para todoi, j, enton existe s ∈ F(U) tal que s|Vi = si para cada i.

Jesus Conde Lago SII 85

Acabamos de definir os conceptos de prefeixes e feixes para grupos abelianos,pero podiamos telos definido para aneis, conxuntos ou calquera outra categorıa. Conesta definicion buscamos deixar este feito explıcito e mostrar ası a sua xeneralidade,sen restrinxirnos so ao caso que nos interesa, que e o de aneis.

Imos construır, agora si, o feixe de aneis asociado ao espazo topoloxico SpecA.Denotarase por OSpecA.

Definimos para cada aberto U ⊂ SpecA o anel OSpecA(U) como

OSpecA(U) := s : U →⊔p∈U

Ap | s(p) ∈ Ap e s verifica *

sendo * a condicion de ser localmente un cociente de elementos de A. Ap denota alocalizacion de A para cada ideal primo p de A.

Obtemos ası o “obxecto xeometrico” espectro de A a partir de cada anel A

(SpecA,OSpecA) ,

formado polo espazo topoloxico SpecA e o feixe de aneis OSpecA.Este par e un espazo localmente anelado cuxo espazo topoloxico e o espectro

dun anel, e polo tanto sera un esquema como a continuacion veremos. Ası, xa temosa xeneralizacion de variedade alxebrica que buscabamos.

Para rematar, introduciremos unha serie de conceptos, que nos permitiran chegara definicion formal de esquema e ası poder afirmar que o par anterior o e.

En primeiro lugar dixemos que (SpecA,OSpecA) e un esquema por ser un espazolocalmente anelado, pero que significa isto?

Definicion 7. Un espazo anelado e un par (X,OX) onde X e un espazo topoloxicoe OX e un feixe de aneis en X.

Este par sera un espazo localmente anelado se para cada punto P ∈ X, afibra OX,P := lim−→P∈U OX(U) e un anel local.

Tamen dixemos que era un esquema por ser o seu espazo topoloxico subxacenteao espectro dun anel. Sen embargo a condicion esixida e moito mais debil.

Definicion 8. Un morfismo de espazos anelados

(f, f ]) : (X,OX) −→ (Y,OY )

consta dunha aplicacion continua de espazos topoloxicos

f : X −→ Y

e un morfismo de feixesf ] : OY −→ f∗OX

onde f∗OX e o feixe imaxe directa en Y [2, p. 65].Se ambos pares son espazos localmente anelados, o morfismo

(f, f ]) : (X,OX) −→ (Y,OY )


sera un morfismo de espazos localmente anelados se ademais para cada puntoP ∈ X o morfismo inducido entre as fibras

f ]P : OY,f(P ) −→ OX,P

e un homomorfismo local.

Estes morfismos seran isomorfismos se as aplicacions entre os espazos topoloxicosson homeomorfismos e se os morfismos de feixes son isomorfismos.

Non se incluen neste resumen certas definicions, como a de morfismo de feixes,pero poden consultarse todas elas en [2, Chapter II, Sections 1,2].

Agora si, estableceremos a definicion de esquema.

Definicion 9. Un esquema afın e un espazo localmente anelado (X,OX) que eisomorfo ao espectro dalgun anel A,

(X,OX) ∼= (SpecA,OSpecA) .

Un esquema e un espazo localmente anelado (X,OX) que para cada punto tenun entorno U tal que (U,OX |U ) e un esquema afın, e dicir para todo P ∈ X existeU entorno de P tal que

(U,OX |U ) ∼= (SpecA,OSpecA) .

Bibliografıa

[1] Grothendieck, A. e Dieudonne, J. (1960–1967). Elements de geometrie algebri-que. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 4 (Chapter 0, 1-7, and I), 8 (II), 11(Chapter 0, 8-13, and III, 1-5), 17 (III, 6-7), 20 (Chapter 0, 14-23, and IV, 1),24 (IV, 2-7), 28 (IV, 8-15) and 32 (IV, 16-21).

[2] Hartshorne, R. (1997). Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math., 52.Springer-Verlag.

[3] Shafarevich, I. R. (1977). Basic algebraic geometry, Springer-Verlag.


Interaccion fluido-estructura, distintas formulaciones delas ecuaciones de la mecanica de fluidos.

Pedro Fontan MuinosDepartamento de Matematica aplicada

11 de mayo de 2016

Introduccion

En los problemas de interaccion fluido-estructura (FSI) se considera, al menos,un medio fluido y otro solido cuya interaccion provoca deformaciones en ambosmedios. La fuerza ejercida por el fluido sobre el solido induce cierto movimientosobre el mismo que a su vez modifica el movimiento del fluido provocando unaalteracion de las fuerzas hidrodinamicas.

Problemas relacionados con el transporte marıtimo, energıas renovables o flujode sangre en el sistema circulatorio son algunos ejemplos en los que esta presente lainteraccion fluido-estructura.

El artıculo se centrara en la descripcion de las ecuaciones que rigen la mecanicade fluidos (ver [1]). Se procedera a la derivacion de las ecuaciones de Navier-Stokesy a mostrar distintos tratamientos de estas ecuaciones para afrontar los problemasespecıficos de FSI.

Conceptos preliminares

Sea E el espacio afın euclıdeo tridimensional.

Deformaciones

Se define un cuerpo B como una region regular de E que puede moverse en eltiempo. A los puntos p ∈ B se les denota como puntos materiales.

Una deformacion es una aplicacion inyectiva y regular f tal que a cada puntomaterial p ∈ B le asigna una posicion x = f(p). B1 = f(B) sera la deformacion delcuerpo B mediante la aplicacion f y sera una region cerrada.

El desplazamiento de p es el vector u(p) = f(p)− p. El tensor F(p) = ∇f(p) = I +∇u(p)es el gradiente de la deformacion cuyo determinante debe ser positivo, para poderser f una deformacion.

Palabras Clave: interaccion fluido-estructura; Navier-Stokes; formulacion lagrangiana; for-mulacion euleriana

87

88 SII Interaccion fluido-estructura

Movimientos

Un movimiento es una familia uniparametrica regular de deformaciones con eltiempo t como parametro. Si cada instante t se puede asociar con una deformacionft de B, la funcion x : B × R→ E de clase C3 tal que:

x = x(p, t) = ft(p)

es un movimiento y denota la posicion del punto material p en el instante t.Bt = x(B, t) es la region del espacio ocupada por el cuerpo B en el instante t.

Existe una funcion inversa p(·, t) : Bt → B, tal que p = p(x, t).Cualquier campo asociado con el movimiento puede expresarse como una funcion

del punto material y del tiempo, campo material:

Φ : (p, t)→ Φ(p, t),

o como una funcion del lugar y del tiempo, campo espacial:

Ω : (x, t)→ Ω(x, t).

Un campo material posee una descripcion espacial:

Φs(x, t) = Φ(p(x, t), t).

Un campo espacial posee una descripcion material:

Ωm(p, t) = Ω(x(p, t), t).

La descripcion espacial de la velocidad viene dada por:

v(x, t) = x(p(x, t), t) =∂

∂tx(p, t).

Teorema de la divergencia

Sea R una region regular del espacio y ∂R su frontera, entonces:∫R∇ · φdΩ =

∫∂R

φ · ndΓ,

donde n es la normal exterior unitaria en ∂R.

Teorema del transporte

Sea R(t) un volumen de control, S(t) su frontera y W el campo de velocidadesasociado a la frontera.

d

dt

∫R(t)

Φ(x, t)dΩ =

∫R(t)

∂

∂tΦ(x, t)dΩ +

∫S(t)

Φ(x,t)W · ndΓ.

Sea Pt una partıcula fluida, ∂Pt su frontera y v el campo de velocidades delfluido.

d

dt

∫Pt

Φ(x, t)dΩ =

∫Pt

∂

∂tΦ(x, t)dΩ +

∫∂Pt

Φ(x,t)v · ndΓ.

Pedro Fontan Muinos SII 89

Derivacion de las ecuaciones de la mecanica de fluidos

Hipotesis

Consideramos el fluido como un medio continuo, es decir, dada cualquier partıcu-la fluida sus propiedades son funciones continuas. Se ignora la estructura molecularde la materia y las discontinuidades asociadas a ella. Esta hipotesis es valida paraproblemas en los que la dimension espacial es mucho mayor que la longitud carac-terıstica molecular.

Conservacion de masa

La masa total m de una partıcula fluida Pt para cualquier instante de tiempo tse calcula mediante la integral:

m =

∫Pt

ρ(x, t)dΩ,

siendo ρ(x, t) el campo de densidades del fluido.

La ley de conservacion de masa indica que la masa de una partıcula fluida novaria en el tiempo:

0 =dm

dt=

d

dt

∫Pt

ρ(x, t)dΩ.

Aplicando el teorema del transporte y el teorema de la divergencia se obtiene laforma integral de la ecuacion de conservacion de masa:

d

dt

∫Pt

ρ(x, t)dΩ =

∫Pt

∂ρ

∂tdΩ +

∫∂Pt

ρv · ndΓ =

∫Pt

∂ρ

∂t+∇ · (ρv)dΩ = 0.

Utilizando el teorema de localizacion se obtiene la forma diferencial de la ecua-cion de conservacion de masa:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0.

Desarrollando el termino de divergencia y considerando el fluido como incom-presible:

∇ · (ρv) = v · ∇ρ+ ρ(∇ · v) = ρ(∇ · v),

se obtiene la ecuacion diferencial de la conservacion de masa para un fluidoincompresible:

∇ · v = 0.


Conservacion del momento lineal

El momento lineal de una partıcula fluida P se define como:

L(P, t) =

∫Pt

v(x, t)ρ(x, t)dΩ.

La derivada con respecto al tiempo del momento lineal puede expresarse como:

L(P, t) =

∫Pt

vρdΩ.

Considerando la segunda ley de Newton, la variacion del momento lineal conrespecto al tiempo es igual a la fuerza resultante que actua sobre el:

L(P, t) = F(P, t).

El sistema de fuerzas F(P, t) que actua sobre una partıcula puede descomponerseen dos tipos de fuerzas: fuerzas volumetricas, que actuan en el interior de la partıcula,y fuerzas de contacto, que actuan en su superficie:

F(P, t) =

∫Pt

bdΩ +

∫∂Pt

s(n)dΓ.

Ademas, segun el teorema de Cauchy, existe un tensor de tensiones espacial T(tensor de tensiones de Cauchy) simetrico tal que :

s(n) = Tn.

Aplicando el teorema de la divergencia y el de localizacion sobre la ecuacion dela conservacion del momento lineal, se obtiene la forma diferencial de la ecuaciondel movimiento o conservacion del momento lineal:

∇ ·T + b = ρv.

Leyes constitutivas

Con las ecuaciones de conservacion de masa y momento lineal y una ley cons-titutiva que defina el tensor de tensiones correspondiente al comportamiento de unfluido, se obtienen las ecuaciones de la mecanica de fluidos. Habitualmente se consi-dera el modelo de fluido newtoniano como ley constitutiva. Cuando este es el caso lasecuaciones de la mecanica de fluidos se conocen como ecuaciones de Navier-Stokes.

En los fluidos las fuerzas de friccion son fuerzas tangenciales proporcionales almovimiento relativo entre partıculas fluidas. Una medida de este movimiento relativoes el gradiente de la velocidad L = ∇v.

La ecuacion constitutiva de un fluido newtoniano incompresible se define como:

T = −πI + 2µD,

donde D = 12(L + LT) , µ es la viscosidad del fluido y π la presion.

Pedro Fontan Muinos SII 91

Formulaciones alternativas

Las ecuaciones de Navier-Stokes pueden definirse sobre la configuracion defor-mada, la configuracion de referencia o una configuracion arbitraria del dominio.

Formulacion Euleriana

Cuando las ecuaciones de Navier-Stokes se definen sobre la configuracion defor-mada del dominio se emplea la formulacion Euleriana del problema. Los campospresentes en las ecuaciones son campos espaciales definidos sobre (x, t). Si el domi-nio computacional de interes no varıa a lo largo del tiempo esta configuracion esla mas recomendable puesto que la configuracion deformada en cada instante deltiempo es la misma y puede emplearse una unica discretizacion espacial del dominiode interes.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para esta formulacion, considerando fluido in-compresible, se definen como:

ρ0(x, t)[v′(x, t) + (∇v(x, t))v(x, t)

]= µ∆v(x, t)−∇π(x, t) + b(x, t),

∇ · v(x, t) = 0,

∀x ∈ Ωt.

Formulacion Lagrangiana

En los problemas de interaccion fluido-estructura el dominio de interes relativoal problema fluido varia con el tiempo. Las deformaciones del solido por accion delas fuerzas hidrodinamicas modifican la frontera fluido-estructural. En estos casos,para evitar las dificultades asociadas a fronteras moviles, es conveniente plantear elproblema fluidodinamico en la configuracion de referencia utilizando campos mate-riales definidos sobre (p, t). Con ello obtenemos una formulacion Lagrangiana delproblema.

A partir del tensor de tensiones de Cauchy T podemos definir el tensor detensiones de Piola-Kirchhoff S:∫

∂Pt

T(x, t)m(x, t)dΓ =

∫∂P

(det F(p, t))Tm(p, t)F−T (p, t)n(p, t)dΓ,

S(p, t) = (det F)TmF−T ,∫∂Pt

TmdΓ =

∫∂P

SndΓ.

Y las ecuaciones de Navier-Stokes en la formulacion Lagrangiana son:

∇ · S(p, t) + b0(p, t) = ρ0x(p, t),

∇(x(p, t)F−1(p, t))I = 0,

∀p ∈ Ω0.


Bibliografıa

[1] Gurtin, M. E. (1982). An introduction to continuum mechanics, Academicpress.

editores a s matemáticas do veciño 015016 · a s matemáticas do veciño actas do seminario de...

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