UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL SURESTE DE

VERACRUZ

MATERIA:

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

DOCENTE:

Anabel clemente Hernández

FACULTAD:

Ing. Mecatrónica

TEMAS:

I. aplicaciones de transformadas y series de Fourier.

II. aplicaciones de función de transferencia y variables de estados.

III. aplicación de la transformada z.

INTEGRANTES DE EQUIPO:

Irving Abel García Bernal

Eduardo Javier Vázquez Gutiérrez

Gerson Madrazo Trujillo

Antonio de Jesús Hernández Ruíz

GRUPO: 801

FECHA DE ENTREGA: 24/03/2015

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

En muchas áreas de ingeniería se utilizan procesos estocásticos, de control o aleatorios para

construir modelos de sistemas eléctricos, mecánicos, electrónicos, etc.

La construcción de los modelos permite analizar los sistemas para evaluar su desempeño y

proponer mejoras a los mismos, o bien, evaluar el impacto de algunos cambios en su

operación antes de implantarlos. También permiten determinar el conjunto de parámetros

más adecuados para un cierto caso en particular, a fin de que el sistema satisfaga ciertas

especificaciones de diseño.

Muchas ecuaciones de las ciencias se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en

ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas). Las series más

interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico

de tales sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo, donde surgen procesos

oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza económica, en electrónica (se

aplican por ejemplo en teoría de señales), en acústica o en óptica. Los problemas teóricos

relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances

fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo considerados hoy

como problemas muy difíciles.

La Transformada de Zeta es un modelo matemático similar a la transformada de Fourier

para el caso del tiempo discreto o las transformadas de Fourier y Laplace para el caso de

tiempo continuo, que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del procesamiento de

señales digitales, como son el análisis y proyecto de circuitos digitales, los sistemas de

radar o telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos por

computadoras.

DESARROLLO

APLICACIONES DE TRANSFORMADAS Y SERIES DE FOURIER

Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan

famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos

de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades,

y el progreso personal.

La transformada de Laplace es una técnica matemática que forma parte de ciertas

transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la

transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una

integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra

variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones

diferenciales lineales y ecuaciones integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ed

con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un

requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ed. su mayor

ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ed es

una función seccionada.

Cuando se resuelven ed usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación

diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a

la ed y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora

consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión

como transformada.

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA

Sea f una función definida para   , la transformada de Laplace de f (t) se define

como:

 

1) La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se

considera constante.

2) La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable

s.

3) Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

De orden exponencial

Continúa a trozos

Existencia de la Transformada

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de

una función cualquiera:

1) Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo

2) Ser de orden exponencial

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f (t) y g (t) con funciones que

poseen transformada de Laplace.

1) Linealidad

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que

multiplican.

Versión para la inversa:

2) Primer Teorema de Traslación

Dónde:

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la

variable s.

Versión para la inversa:

3) Teorema de la transformada de la derivada 

La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

4) Teorema de la transformada de la integral

5) Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista:

6) Teorema de la derivada de la transformada

7) Transformada de la función escalón

Si representa la función escalón unitario entonces:

8) Segundo teorema de Traslación

9) Transformada de una función periódica

Si f (t) es una función periódica con período T:

10) Teorema de la Convolución

Si f * g representa la Convolución entre las funciones f y g entonces:

APLICACIONES DE LAS TRANSFORMADAS

NIVEL EN UN TANQUE

Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento

Convirtiendo ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebráicas

Función de transferencia

CIRCUITO ELÉCTRICO

Aplicando la transformada de Laplace

Combinando las ecuaciones (despejando para I (s)).

SERIES DE FOURIER

La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser

expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T. El

problema aparece naturalmente en astronomía, de hecho Neugebauer (1952) descubrió que

los babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la predicción de

ciertos eventos celestiales.

La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D'Alembert (1747) y su tratado

de las oscilaciones de las cuerdas del violín. El desplazamiento u = u (t; x) de una cuerda de

violín, como una función del tiempo t y de la posición x, es solución de la ecuación

diferencial.

Sujeto a las condiciones iniciales u (t; 0) = u (t; 1) = 0 para t => 0, parcial de u respecto de t

(0; x) = 0 para 0 < x < 1. La solución de este problema es la superposición de dos ondas

viajando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la fórmula de

D'Alembert:

En la cual f es una función impar de periodo 2 que se anula en los puntos x = 0;+/-1; +/-2,

… Euler en 1748 propuso que tal solución podrá ser expresada en una serie de la forma:

Y como consecuencia

Las mismas ideas fueron luego expuestas por D. Bernoulli (1753) y Lagrange (1759). La

fórmula.

Para calcular los coeficientes apareció por primera vez en un artículo escrito por Euler en

1777.

La contribución de Fourier comenzó en 1807 con sus estudios del problema del flujo del

calor.

Presentado a la Academie des Sciences en 1811 y publicado en parte como la célebre

Theorie analytique de la chaleur en 1822. Fourier hizo un intento serio por demostrar que

cualquier función diferenciable puede ser expandida en una serie trigonométrica. Una

prueba satisfactoria de este hecho fue dada por Dirichlet en 1829. Riemann también hizo

contribuciones importantes al problema.

Modernamente el análisis de Fourier ha sido impulsado por matemáticos de la talla de

Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil y Weyl entre otros.

APLICACIÓN DE SERIES DE FURIER A CIRCUITOS ELÉCTRICOS

A un circuito serie RL de parámetros R = 1 Ω, L = 0.01/π H, se le ha aplicado la tensión de

salida de un rectificador de media onda. Si el valor máximo de la tensión rectificada es 10

V y la frecuencia 50 Hz, Calcular la corriente que circula por el circuito, en régimen

permanente.

En primer lugar es necesario descomponer la tensión del generador según la serie

trigonométrica de Fourier. La función para la forma de onda de la figura queda definida de

la siguiente forma:

La función es:

Con un periodo:

Y una pulsación:

Los coeficientes de Fourier son:

Los coeficientes son cada vez más pequeños con forme aumenta n, por tanto tomando un

número reducido de ellos no se cometerá mucho error.

Tomando cinco términos para la serie, la tensión del generador es:

Y la corriente en el circuito es:

El término correspondiente a n=1 es de una función seno (términos de bn), mientras

que el resto corresponden a funciones coseno (términos de an).

CONCLUSIÓN

BIBLIOGRAFÍA