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José Agüera Soriano 2012 1

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO


ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

• ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

• ECUACIÓN DE LA ENERGÍA

• ECUACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO

• APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA

• APLICACIONES ECUACIÓN DE LA CANTIDAD

DE MOVIMINTO


INTRODUCCIÓN

Son tres las ecuaciones fundamentales de un flujo:

• ecuación de continuidad (conservación de la masa)

• ecuación de la energía (conservación de la energía)

• ecuación de la cantidad de movimiento (conservación de la cantidad de movimiento).


ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

En un flujo permanente,

QQQ 2211

222111 SVSVm

2211 SVSVQ

a) para gases,

b) para líquidos )( 21 V

1

1

S1

2

V

2S

2

volumen

de control

mmm 21

. .

.

.


2

21

1 zgp

zgp

E

22

11 z

pz

pH

Energía de un líquido en reposo (recordatorio)

En metros de columna de líquido,

La energía de un líquido en reposo viene dada por la suma

de dos términos: energía de presión y energía de posición.


S.I.en J/kg 2

2

zgpV

E

Energía de un líquido en movimiento

A las dos energías anteriores hay que sumar la energía

cinética del flujo:

m 2

2

zp

g

VH

En metros de columna de líquido,


Ecuación energía en conducciones de líquidos

H1 = H2 + Hr12 1222

22

11

21

22rHz

p

g

Vz

p

g

V

SLL

plano de referencia

z1

p /1

1V 2g/2

1H

22 /V 2g

/p2

z2

2H

12Hr

A

1

A'

B'

B

2

V

plano de carga inicial (PC)

línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)LP


p

gV 2 2

z

= altura cinética (desnivel entre LE y LP)

= altura de presión (desnivel entre LP y conducto)

= altura de posición respecto plano de referencia

SLL

plano de referencia

z1

p /1

1V 2g/2

1H

22 /V 2g

/p2

z2

2H

12Hr

A

1

A'

B'

B

2

V

plano de carga inicial (PC)

línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)LP

zp = altura piezométrica


Wt

El trabajo (cedido o recibido) que atraviesa los límites de un

sistema abierto se llama genéricamente, trabajo técnico, Wt

Cuando de turbomáquinas se trata, como ocurre en la figura,

es más intuitivo llamarlo trabajo interior en el eje.

turbina

Ecuación de la energía en máquinas de flujo líquido


H1 = H2 + |Hr12| + Ht

rt Hzzpp

g

VVH

21

212

22

1

2

Ecuación energía en máquinas de flujo líquido

H1

1z

rH 12

plano de referencia

tH

H2

tH

turbina

plano de referenciaz1

H1

2H

rH 12

tH

tH

bomba1

2 1

2


Representación gráfica

H1 H2 = |Hr12| + Ht

He

Hm

Ht

eH

Ht mH

TURBINA

1H 2H

tH

H

rH

H

BOMBA

H2 1

tH

r


Turbina de reacción

Potencia de un flujo

(W) J/s HQgP

(J/kg) sm sm :Gravedad

m :Altura 22

2Hg

g

H

kg/s mkg :Densidad

sm :Caudal

3

3

QQ

(caudal másico)


EJERCICIO

La energía de un caudal de agua de 60 m3/s, es

H = 50 m. Calcúlese su potencia.

Solución

CV) (40000kW 29430 W1029430

506081,91000

3

HQP


ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad

del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo

aceleran:

B

A

C

D

B

A

D

C

1V 2V

V1

2V

F

F

B

A

C

D

B

A

D

C

1V 2V

V1

2V

F

F

amF


1VC

V1

V

A'A

(a)

B'B

m1

F

A

V1

D

C

D'(c)

D

F

V2

C'

2m

C

(b)

2A

FD

V2

B

B

A

B'

A'

DD'

CC'

V2

1m

m2

F

1V

dp)Vm(ddtF

El impulso sobre la masa del volumen de control

provocará una variación de su cantidad de movimiento [ )( Vmd ]:

)()( CDB'A'A'ABB'C'CDD'CDB'A'

ABCDD'C'B'A'

pppp

ppdp

Esta variación dp del sistema es la corresponde al instante

(t + dt), menos la que tenía en el instante t:

)( dtF


1VC

V1

V

A'A

(a)

B'B

m1

F

A

V1

D

C

D'(c)

D

F

V2

C'

2m

C

(b)

2A

FD

V2

B

B

A

B'

A'

DD'

CC'

V2

1m

m2

F

1V

11221122

A'ABB'C'CDD'

VdtmVdtmVmVm

ppdpdtF

Por ser el régimen permanente

1122 VmVmF

válida para líquidos y para gases

)( 12 VVmF

.

. .

.

.


g

VH

2

2

HgV 2

APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA

Salida por un orificio

SLL

2=

V 2

Hg

p

ap

V


Flujo en tuberías con salida libre

Con el mismo diámetro y el mismo desnivel entre el

extremo 2 y la SLL, se cumple para cualquier longitud,

g

VHH

r2

2


Mayor longitud L de la tubería origina:

- más pérdida de carga Hr

- menos velocidad V del flujo en la tubería

- menos caudal Q

- menos pérdida de carga unitaria J (Hr/L)

g

VHH

r2

2


línea piezométrica sin tobera ( )

V

p

Qmáx

B

SV

H

S

== HB SV

g2

21

línea piezométrica con tobera

plano de carga inicialSLL

A

A'

L

rHB'

LEV 2

LP

V

2g

BS

Bp

LP

i

VS

2g

=2g

p

SV 2

H

iV 2

LE

Salida por tobera

Se trata de colocar al final de la conducción una reducción de sección (tobera).

Cuanto más se reduzca la sección S de salida, menor será el caudal Q que circula, menor la velocidad V y menor Hr

tobera

línea piezométrica entre

Q = 0 y Q = Qmáx


En B, la energía H está prácticamente en forma de presión

(pB/). A lo largo de la tobera la velocidad aumenta y la presión

disminuye. A la salida S, pS = pa

una tobera es un transformador de energía potencial

(energía de presión en líquidos) en energía cinética.

VSSB

p

B H

g

2V

=

2i

ip

g

2V

2S

g

2V2

LELE

LP

LP

V


EJERCICIO

g

V

D

LH r

202,0

2

Solución

rr

rH

H

g

V

g

V

D

LH

0,005

100000,022 ;

20,02

22

sm 981,1 ; m 2,0 2 2 VgV

Calcúlese la sección de salida de la tobera al final de una

conducción, de 10 km y 1 m de diámetro, origine la pérdida

de 40 m en un salto de 400 m. Tómese,

Velocidad en la conducción


Caudal

sm 556,1981,15,0 322 VrQ

Velocidad de salida

sm 04,84 m; 3602 S

2

S VgVH

Diámetro de salida

m 154,0 ;04,84556,1 SSS DVQS

El diámetro de la tobera pasa de 1 m a 0,15 m


Conducción hidroeléctrica de Villarino

m 30 m; 8,0

m 60 m; 7,0

:sidohaber De

m 40 m; 7,5

m 402

m 15000

r

r

r

HD

HD

HD

H

L


Tubo de Pitot

p

g

vh

2

2

Mide las alturas de presión y de velocidad en el punto M


FV

p

1

A

2

D

F

C

B

Fr

1·1p S

1

G

2

· Sp

22

F

rp FFF

Fuerza sobre un conducto corto

(Fr insignificante)


FV

p

1

A

2

D

F

C

B

Fr

1·1p S

1

G

2

· Sp

22

F

11 Sp

22 Sp

GFSpSpF )(2211

Fuerza sobre un conducto corto

Valoración indirecta de la fuerza F

fuerza sobre la sección 1

fuerza sobre la sección 2

fuerza de gravedad

Las fuerzas sobre el volumen de control entre 1 y 2 son:

fuerza que ejerce la pared F

G


GFSpSpF )(2211

F

)( 122211 VVmGSpSpF

)122211 VV(mSpSpF

2211 SpSpF

Por otra parte,

Igualando y despejando

En conductos cortos G 0, en cuyo caso,

Cuando no hay flujo,

)12 VV(mF

.

.

.


Generalmente la fuerza será mayor cuando no hay flujo.

Las presiones a sustituir en las fórmulas anteriores son la

diferencia entre la interior y la que actúa exteriormente

sobre el conducto. Si ésta fuera mayor, los términos de

presión cambiarían de signo y con ello la fuerza F.

Cuando la presión exterior es la atmosférica, las presiones

a sustituir son las relativas.


EJERCICIO

Calcúlese la fuerza sobre el codo de una conducción

hidráulica, de 90o y de 2,8 m de diámetro,

a) cuando fluyen 38,75 m3/s y la presión manométrica

es de 8 bar,

b) cuando el flujo se anula bruscamente, momento

en el que se prevé que la presión en el codo se eleve

a 13 bar a causa de un golpe de ariete.

Solución a)

Velocidad media

m/s 29,64,1

75,38

2

S

QV


kN 5169,8 N 5169766

2437374926029

6,2938,7510001,4π108

0

25

111

VQSpFx

Fuerza sobre el codo

)( 122211 VVmSpSpF

kN 5169,8

N 51697662437374926029

2967538100041108

0

25

222

,,,

VQSpFy

.


kN 8004,8 N 8004797

4,110130 25

11

SpFx

kN 8004,8 N 8004797

4,110130 25

22

SpFy

Solución b)

El anclaje del codo hay que calcularlo para esta última

situación más desfavorable.

2211 SpSpF

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