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8/9/2019 Ecuaciones en diferencias.pptx

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ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERIAPrograma de Economa Econometra II

Formulacin y Solucin de Ecuaciones Lineales enDiferencias

Basado en el texto de alter Enders !"##$%& '((liedEconometric )ime Series

*ue+es "$ de agosto de ,-"./


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ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERIAPrograma de Economa Econometra II

CONTENIDOI/ Introduccin

II/ De0niciones (rinci(ales& Forma estructural oforma reducida de una ecuacin en diferencias

III/ Solucin de ecuaciones e diferencias& 1once(tos(re+ios

I2/ Solucin (or iteracin


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I. Introduccin

- ' (rinci(ios de la d3cada de los 4-5s nace la metodologa'6I7'& (rocesos autorregresi+os !'6%8 Integrados !I% y de

7eda 7+il !7'%/- 7etodologa '6I7' se utili9 (ara modelar el

com(ortamiento de algunas +aria:les econmicas8susce(ti:les de ser re(resentadas como una serie tem(oral

- Box y *en;ins !"#4ltimos a?os los in+estigadores se @an interesado enanali9ar la relacin de eAuili:rio de largo (la9o Aue se(resenta entre las +aria:les y Aue son sugeridas (or la teoraeconmica8 E& Ci(tesis de la PP'8 relacin de eAuili:rio delargo (la9o entre (recios y dinero !teora cuantitati+a deldinero%8 @i(tesis de Fis@er so:re eAuili:rio de largo (la9oentre inter3s nominal y real/


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I. Introduccin

- El an=lisis de series de tiem(o su(one la estimacinde ecuaciones en diferencias Aue contienencom(onentes estoc=sticos !error o (ertur:acin%/

- La ecuaciones en diferencias unas +e9 encontradasus soluciones nos (ermiten reali9ar un an=lisis deesta:ilidad y con+ergencia (ara cualAuier +aria:le

econmica/


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II. Defniciones Princip!es

". Ecucin ordinri en di#erencis$

Es aAuella Aue contiene una o m=s diferencias de unafuncin desconocida cuyo argumento es el tiem(o&

Donde es el o(erador de (rimeras diferencias/ Si elargumento no es >nicamente el tiem(o y contiene otros

factores la ecuacin (asa a denominarse ecuacin endiferencias 0nitas (arciales/

En el contexto de series de tiem(o8 una ecuacin endiferencias de yt de(ende de sus +alores retardados

!re9agados%8 del tiem(o y de otras +aria:les/ Eem(los& Paseo aleatorio sin deriva (intercepto):

!,%

Es una ecuacin en diferencias con com(onente

estoc=stico /


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Una ecuacin en diferencias lineal de orden n tiene lasiguiente forma&

(3)

1on

Los coe0cientes ai son constantes !(ar=metros% y losn t3rminos de son de orden uno !ecuacin lineal%/ Elt3rmino sde denomina (roceso de fuer9a !forcing(rocess% Aue (uede ser funcin del tiem(o8 +aloresactuales yo retardados de otras +aria:les y(ertur:aciones aleatorias/


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Si se im(one las siguientes restricciones y 8 se o:tieneel (aseo aleatorio de la ecuacin !,%/

%. &or' estructur! ( reducid de un ecucinen di#erencis$

Gna ecuacin de la forma estructural ex(resa la+aria:le endgena en funcin de los +alores actuales deotra endgena/

La forma reducida (or el contrario8 (uede incluir +aloresre9agados de la (ro(ia endgena o de otras endgenas

(ero nunca +alores contem(or=neos/En el contexto multiecuacional de series de tiem(o8 unaecuacin de la forma reducida es aAuella e la Aue la+aria:le endgena es ex(resada exclusi+amente en

funcin de retardos de ella misma/


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II.Defniciones Princip!es

Operadores de uso frecuente:

Los o(eradores en el an=lisis de modelos de seriesde tiem(o8 se utili9an (ara transformar lasdiferentes +aria:les con el 0n de lograr Aue sean(timas en los m3todos cuantitati+os/ Los

o(eradores m=s frecuentemente utili9ados son& Los logaritmos

H(erador de (rimeras diferencias

H(erador de re9agos

Las tasas de crecimiento


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Logaritmos& Se utili9an (rinci(almente (ara

esta:ili9ar la +arian9a Aue est= (resente en lasmacro+aria:les/ Este (ro:lema8 unto con otroselementos @ace Aue las +aria:les no seanestacionarias/ La >nica condicin Aue se reAuiere(ara a(licar logaritmos a una +aria:ledeterminada es Aue esta sea (ositi+a/

H(erador de 6e9ago& El o(erador de re9ago L est=de0nido como un o(erador lineal8 en donde almulti(licar a cualAuier +aria:le aleatoria8 se

o:tiene la misma +aria:le aunAue re9agada n(eriodos/ El o(erador de re9agos L modi0ca todala sucesin de +alores y la transforma en unanue+a sucesin de +alores re9agados/


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El o(erador de re9agos se de0ne de la siguientemanera&

!%

Por lo tanto8 el o(erador Li Aue antecede a la+aria:le yt signi0ca Aue la +aria:le se re9aga en i

(eriodos/ El orden del re9ago de la +aria:le est=dado (or el ex(onente del o(erador L/

itt

i

ttt

tttt

tt

yyL

yyLyLLL

yyLLyLyL

yLy

=

===

===

=

.

.

)()(

)()(

3223

21

2

1


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Pro(iedades del H(erador de 6e9ago&

"%/ El re9ago de una constante es la misma constante&

,%/ El o(erador de re9agos cum(le con la ley

distri:uti+a de la suma&

.%/ El o(erador de re9agos cum(le con la leyasociati+a (ara la multi(licacin&

De otra forma se o:tiene&

cLc =

jtitt

j

t

i

t

jiyyyLyLyLL

+=+=+ )(

ijtjtt

ji

t

jiyyLyLLyLL

=== )()(

jitjitt

ji

t

jiyyyLyLL

+

+

=== )(


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%/ El o(erador de re9ago ele+ado a la (otencia cero!-% es igual a uno !"%8 (or tanto&

$%/ El o(erador L ele+ado a una (otencia negati+a8no modi0ca el resultado (ara la +aria:le yt

tt yyL =0

ititti yyyL

+

== )(

III S


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III.So uc n e ecuc ones en erenc s$Conceptos pre)ios

La solucin de una ecuacin en diferencias ex(resar= a yt en funcindel tiem(o t de los elementos del (roceso de fuer9a8 incluso dealgunos +alores iniciales de yt denominados condiciones iniciales/

La solucin transforma a la ecuacin en diferencias en una identidadpara cualquier valor del proceso de fuerza y cualquier valor deltiempo (t).

Por eem(lo&

!$%

La funcin 8 donde c es un t3rmino constante cualAuiera8 es unasolucin/ Sustituyendo y 8 se com(rue:a en seguida la igualdad&

!


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I*.So!ucin por itercin

Si el +alor de y en alg>n momento es conocido8 elm3todo directo de solucin es iterar a (artir de un

(eriodo (ara o:tener la trayectoria siguiente de la+aria:le/ El +alor conocido de y se denomina condicininicial o +alor de y en el momento cero !-% se denota

(or /

Sea una ecuacin en diferencias estoc=stica de (rimerorden/ Dado 8 (odemos iterar de la siguiente manera&

Para t J "&

En t J ,&

6eem(la9ando&


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I*.So!ucin por itercinSe (uede +eri0car Aue (ara todo t K -8 las sucesi+asiteraciones im(lican&

!%

Esta ecuacin es una solucin dado Aue ex(resa yt enfuncin de t8 del (rocesos de fuer9a y de un +alorconocido yo/

Iteracin sin condicin inicial:

6etomando / En tJ-&

Se reem(la9a en !%&


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1ontinuando la iteracin @acia atr=s m (eriodos&

!#%

Si el t3rmino se a(roxima a cero !-% cuando m tiende ain0nito/ De igual forma8 la suma in0nita con+erge a /Entonces si asumimos Aue 8 (odemos escri:ir !#% como&

!"-%

La sustitucin de !"-% en da como resultado unaidentidad/ Para cualAuier +alor ar:itrario de '8 unasolucin de est= dada (or&

!""%


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I*.So!ucin por itercin Solucin total por Iteracin:

'l retomar los dos m3todos de iteracin8 es decir concondicin inicial y sin condicin inicial (odemos o:tener lasolucin total (or iteracin&

Dada la solucin en !""% se (uede esta:lecer una condicininicial (ara o:tener la solucin total/

Si en !""% t J -8 tenemos&

6esol+iendo (ara '8 tenemos&

!",%

'l sustituir ' en !""% tenemos la solucin 0nal de la ecuacin

en diferencias de (rimer orden (or iteracin&!".%


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I*.So!ucin por itercin Secuencias no converentes:

Mue sucede si la ex(resin 8 no es (osi:le (asar de !#% a!"-% y la trayectoria de yt no con+erge y se +uel+eex(losi+a8 dado Aue la ex(resin crece in0niti+amentecuando tNm tiende a in0nito/

Importancia de la manitud del t!rmino en el an"lisisde esta#ilidad:

El eercicio consiste e generar ,$ n>meros aleatorios (arael t3rmino de (ertur:acin El +alor inicial se 0o igual a "y el resto de los ,$ +alores (ara la secuencia seconstruyeron a (artir de la ecuacin&

El com(onente se simular= mediante diferentes +alores/Si se sustituye y en&


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I*.So!ucin por itercin Importancia de la manitud del t!rmino en el an"lisis

de esta#ilidad:

La trayectoria de yt tendr= , com(onentes& i%/ Elcom(onente Aue muestra la lnea continua Aue decaelentamente/ Este t3rmino domina la solucin (ara +aloresrelati+amente (eAue?os de t/ ii%8 El com(onente de la(arte aleatoria Aue es la diferencia entre la lnea continua

y la lnea (unteada/En sntesis al reducir la magnitud se incrementa la tasade con+ergencia8 en este caso @acia el +alor de cero !-%/

En la ex(resin

1ada +alor !c@oAue% (asado forma (arte de la solucinde con un coe0ciente 8 entre m=s (eAue?o sea el +alorde signi0ca Aue los c@oAues del (asado tienen una

menor inOuencia en el com(ortamiento actual de /


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I*.So!ucin por itercina" J -8#


22/32

I*.So!ucin por itercina" J -8$


23/32

I*.So!ucin por itercina" J -8$


24/32

I*.So!ucin por itercina" J "

S ! i i i


25/32

I*.So!ucin por itercina" J "8,

I* S ! i i i


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a" J "8,

I* S ! i it i


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$etodolo%a &lternativa:

Se trata de o:tener una solucin @omog3nea y una

solucin (articular/"/ Solucin @omog3nea& 1onsidere la (orcin

@omog3nea de la ecuacin

!"%

La ecuacin !"% se llama solucin @omog3nea%/ 'lreali9ar el mismo (roceso en la ecuacin&

)enemos&

I* S ! i it i


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"/ Solucin @omog3nea&

Es f=cil +eri0car Aue la ex(resin multi(licada (or unaconstante ' satisface !"%/ Se sustituye y en !"%&

Mue resuel+e !"%/

Propiedades de la solucin 'omo!nea:

a/ Si 8 la ex(resin con+erge a cero cuando t tiende a

in0nito/:/ Si 8 la solucin @omog3nea no es esta:le y tiende ain0nito cuando t se incrementa/ Si 8 oscilaex(losi+amente

I* S ! i it i


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"/ Solucin @omog3nea&

c/ Si cualAuier constante ar:itraria ' satisface laecuacin @omog3nea /

,/ Solucin particular:

La ecuacin !"-% es una solucin (articular/ Elt3rmino (articular surge del @ec@o Aue una solucina una ecuacin en diferencias no es >nica/

La solucin @omog3nea ! m=s la solucin (articular! constituyen la solucin com(leta a la ecuacin !"%/

Gna +e9 Aue se o:tiene la solucin total8 la constantear:itraria ' se (uede eliminar im(oniendo unacondicin inicial/

I* S ! i it i


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Solucin metodolica:

La solucin de una ecuacin en diferencias de (rimer

orden es a(lica:le al caso de ecuaciones de orden ny la metodologa consta de los siguientes (asos&

"/ Formar la ecuacin @omog3nea y encontrar las nsoluciones @omog3neas

,/ Encontrar una solucin (articular./ H:tener la solucin general como la suma de la

solucin (articular y una com:inacin lineal detodas las soluciones @omog3neas/

/ Eliminar las constantes ar:itrarias im(oniendocondiciones iniciales so:re la solucin general/

I* S ! i it i


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Solucin omo!nea a partir del Polinomio deetardos:

Forma alternati+a y sencilla de o:tener la solucin@omog3nea/ Dado&

!"$%

El sistema @omog3neo con y ser=&

Gsando la de0nicin del o(erador de re9ago tenemos&

!"


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Solucin omo!nea a partir del Polinomio deetardos:

Estas races (ermiten resol+er la ecuacin endiferencias/ Efecti+amente8 si es una ra9 del

(olinomio de retardos8 se cum(lir= Aue&

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