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.Traduccin: ASDRBAl flORES lPEZ Director del Departamento de Fsica Escuela de Ciencias Universidad Veracruzana

M.a . ANTONIETA GARdA BLANCO Catedrtica del Departamento de Fsica Escuela de Ciencias Universidad Veracruzana

~evisin tcnica: FEDERICO GAl V N ANA Y A Catedrtico de Matemticas de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico

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Ecuaciones diferenciales elementales

Earl D. Rainville

Catalogacin en la fuente

Rainville, Earl David Ecuaciones diferenciales elementales. --

Mxico : Trilla~, 1969 (reimp. 1999). 556 p . : grafs. ; 23 cm. Traduccin de: Elementary differential equations Incluye bibliografas e ndices ISBN 968-24-0123-2

l. Ecuaciones diferenciales. l. t.

D- 515.35'R522e

Ttulo de esta obra en ingls: Elementary differential equations

Versin autorizada de la tercera edicin en ingls publicada por The Mcmillan Company Nueva York, N. y, E. U. A.

LC- QA371 'R3.4

La presentacin y disposicin en conjunto de ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o trasmitida, mediante ningn sistema o mtodo, electrnico o mecnico (incluyendo el fotocopiado,

195

la g rabacin o cualquier sistema de recuperacin y almacenamiento de informacin), sin consentimiento por escrito del editor

Derechos reservados en lengua espaola 1969, Editorial Trillas , S. A. de C. \/., Divisin Administrativa, Av. Ro Churubllsco 385, Col. Pedro Mara Anaya, C. P 03340, Mxico, D. F Tel. 6884233, FAX 6041364

Divisin Comercial, Calz. de la Viga 1132, C. P OS439 Mxico, D. F Tel. 6330995, FAX 6330870

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial. Reg. nm. 158

Primera edicin en espaol, 1969 (ISBN 968-2 4-0123-2) Reimpresiones, 1971 , 1975, junio y diciembre 1974, 1975, 1976, 1977, 1979, 1980,1981, 1.982, 1983,1985, 1987, 1989, 1990, 1 'J 9.J Y 1995

Decimonovena reimpresin; julio 1999 Impreso en Mxico Printed in Mexico

~ INSTITUTO TEC NOLOGIC-(I [JF M1NlUITlAN ,;.JI CENTRO DE INFQRMACIl"',"

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MNATlrLAN CEI\TRO DI': INFORMAnON

N8. DE AOQUISIClONO6696 NO. DI Cl AS IF ICACION N.O . CUTH RS -~-N9. EJEMf'lARES 22.

VOlrMENES fECH A AJa \l l39 ARrA

Prefacio a la tercera edicin

Esta edicin incluye cuatro nuevos captulos dedicados a la transfor-mada de Laplace. Otros tres captulos han sido reescritos haciendo nfasis en el uso de la transformada en ciertas aplicaciones. Se han dedicado nuevas secciones a otros tpicos que abarcan desplazamientos transversales de una viga, difusin en un slido en el que una de sus .cuartas partes tiende a infinito, series asintticas y una introduccin a la idea de variables cannicas en ciertos problemas de valores a la fron-tera. Se ha aumentado ligeramente el espacio dedicado al material presentado en ediciones anteriores.

Cerca de un tercio del texto y los ejercicios son nuevos. El nmero de ejercicios ha sido aumentado a ms de 1 800. Casi todos los ejer-cicios que aparecieron en mi libro recientemente publicado sobre la transformada de Laplace, aparecen aqu. Me siento procupado por el creciente aumento del nmero de es-tudiahtes cuyo gran vocabulario de trminos matemticos avanzados, ideas y teoremas, est aparejado solamente por su completa incapacidad para resolver cualquiera, aun el ms simple de los problemas especfi-cos. En un reciente congreso de matemticas, escuch a un orador que expres su alarma con respecto a la poca habilidad manipulativa que ha-ban desarrollado sus estudiantes. Tales sucesos todava no me hacen perder el sueo. Como en todos mis textos, yo he hecho aqu un intento muy serio para ayudar al lector a desarrollar una habilidad considerable

. en la resolucin de problemas, usando los conceptos matemticos y las herramientas presentadas.

'o Como en las primeras ediciones, he tratado de exhibir tanto las tcnicas para obtener soluciones, como las ideas bsicas y las teoras que estn subyacentes. Los numerosos ejercicios han sido preparados cuida-dosamente con la doble intencin de desarrollar la habilidad del estu-diante as como de aumentar su comprensin. Las definiciones y enun-ciados se han hecho con cuidado.

5

6 Prefacio a la tercera edicin

:&1 material del libro est arreglado para permitir gran flexibilidad en la eleccin de los temas para un curso semestral. Excepto por lo que hace a los captulos 1, 2, 7, Y del 18 al 21, y asimismo del 8 Y 9, del 10 Y 11, cualquier otro captulo que trate de las ecuaciones diferen-ciales ordinarias puede omitirse sin interferir con el estudio de los lti-mos captulos. Partes de captulos pueden tambin omitirse en algunas circunstancias.

Para un curso que tenga la intencin de tratar las series de poten-cias, tan rpidamente como sea consistente con el tratamiento de algunos mtodos ms elementales, otras omisiones razonables podran ser los captulos 4 y 6, los 8 y 9 u 11 y 12, el captulo 10, las secciones 81 a 84 del captulo 16, el captulo _17, Y las ltimas partes de los captulos 18 y 19; as como las aplicaciones que el instructor considere pertinente omitir.

El libro tiene suficiente material para un curso de todo un ao. Si los diferentes temas son estudiados con bastante atencin y detalle, se sugiere un curso anual.

Los captulos del 1 al 19 de este libro aparecen separadamente bajo el nombre A Short Course in Differential Equations, tercera edicin. La versin ms corta es adecuada para cursos que no incluyan la discusin de los mtodos de series infinitas.

Estoy agradecido por los comentarios y las sugestiones que he reci-bido de muchos de mis colegas aqu en Michigan, y de muchos otros instructores y estudiantes de otros colegios y universidades. Es un placer agradecer en particular la ayuda y el estmulo que he recibido de los profesores Jack R. Britton y L. C. Snively y del Dean C. A. Hutchinson, de la Universidad de Colorado; el profesor William N. Huff, de la Universidad de Oklahoma; el profesor Phil1ip E. Bedient, del Colegio Franklin y Marshall; del profesor Ralph L. Shively, del Colegio Swarth-more, as como de los profesores D. G. Dickson, R. V. Churchill, R. C. F. Bartels y G. E. Hay, y Ernest W. Reynolds, Jr., M. D., todos de la Universidad de Michigan. Estoy en deuda tambin con E. F. Ziegler, M. D., de Pasadena, California.

Finalmente, deseo tambin expresar mi gratitud al profesor Bedient, por su lectura de las pruebas de este libro.

EARL D. RAINVILLE Ann Arbor, Michigan

...

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Indice general

Prefacio a la tercera edicin 5

CAPTULO 1 Definiciones, eliminacin de constantes arbitrarias 13

1. Ejemplos de ecuaciones diferenciales - 2. Definiciones -3. Eliminacin de constantes arbitrarias '- 4. Familias de curvas.

CAPTULO 2 Ecuaciones de primer orden y primer grado 29

5. Soluciones generales de ecuaciones diferenciales ordina-rias - 6. Separacin de variables - 7. Sobre la forma de las soluciones - 8. La notacin EXP U - 9. Funciones homog-neas - 10. Ecuaciones con coeficientes homogneos - 11. Ecuaciones exactas - 12. Mtodos de"solucin - 13. La ecua-cin lineal de primer orden.

CAPTULO 3 Aplicaciones elementales 59

14. Velocidades de escape de la Tierra - 15. Ley de enfria-miento de Newton - 16. Conversin qumica simple.

CAPTULO 4 Tpicos adicionales sobre ecuaciones de primer orden y primer grado 69

17. Factores integrantes obtenidos por inspeccin - 18. De-terminacin de factores integrantes - 19. Sustitucin sugerida por la ecuacin dada - 20. Ecuacin de Bernoulli - 21. Coe-ficientes lineales en las dos variables - 22. Soluciones que involucran integrales no elementales.

7

8 Indice general

CAPTULO 5 Trayectorias ortogonales 95

23. Trayectorias 'ortogonales; coordenadas rectangulares - 24. Trayectorias ortogonales; coordenadas polares - 25. Potencial elctrico - 26. Temperaturas de estado estable - 27. Flujo de un fluido bidimensional en el estado estable.

CAPTULO 6 Funciones hiperblicas 109

28. Definicin de_las funciones hiperblicas - 29. Frmulas bsicas de trigonometra hiperblica.

CAPTULO 7 Ecuaciones derenciales lineales 115

30. La ecuacin lineal general - 31. Independencia lineal -32. El wronskiano - 33. Solucin general de una ecuacin homognea - 34. Solucin general de una ecuacin no homo-gnea - 35. Operadores diferenciales - 36. Leyes fundamen-tales de operacin - 37. Algunas propiedades de los operadores diferenciales - 38. La ensima derivada de un producto.

CAPTULO 8 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 133

39. Introduccin - 40. La ecuacin auxiliar; races distintas - 41. La ecuacin auxiliar; races repetidas - 42. Definicin de EXP z para z imaginaria - 43. La ecuacin auxiliar; ra-ces imaginarias.

CAPTULO 9 Ecuaciones no homogneas: coeficientes indeterminados 147

44. Construccin de una ecuacin homognea a partir de una solucin especificada - 45. Solucin de una ecuacin no ho-mognea - 46. Mtodo de coeficientes indeterminados - 47 Solucin por inspe~cin.

CAPTULO 10 Operadores derenciales inversos 165

48. El cambio de la exponencial - 49. El operador l/f(D) -50. Evaluacin de [l/f(D)]ellZ - 51. Evaluacin de (D2 + a2)-:.1 sen ax y (D2 + a2fl cos ax - 52. Evaluacin de [l//(D)]x'" - 53. Observaciones adicionales sobre el m-todo operacional.

Indice genera l 9

CAPTULO 11 La transformada de Laplace 183

54. El concepto de la transformada - 55. Definicin de la transformada de Laplace - 56. La transformada de funciones elementales - 57. Funciones seccionalmente continuas - 58. Funciones de orden exponencial - 59. Funciones de clase A - 60. Transformadas de derivadas - 61. Derivadas de trans-formadas - 62. La funcin gama - 63. Funciones peridicas.

CAPTuLO 12 Transformadas inversas 207

64. Definicin de una transformada inversa - 65. Funcin escaln - 66. Un teorema de convolucin - 67. Fracciones parciales - 68. Problemas elementales de valores a la fronte-ra - 69. Ecuaciones integrales especiales.

CAPTuLO 13 Aplicaciones 237

70. Vibracin de una cuerda - 71. Vibraciones no amorti-guadas - 72. Resonancia - 73. Vibraciones amortiguadas -74. El pndulo simple - 75. Vigas.

CAPTULO 14 Sistemas de ecuaciones 261

76. El mtodo de la transformada de Laplace - 77. El mtodo del operador diferencial.

CAPTULO 15 Circuitos elctricos y redes 269

78. Circuitos - 79. Redes simples. CkPTULO 16 . ariacin de parmetros y otros mtodos 279

80. Variacin de parmetros - 81. Solucin de y" + y = f(x) - 82. Ecuacin lineal general de segundo orden - 83. Reduc-cin de orden usando factores del operador - 84. Tercer mtodo: cambio de variable dependiente.

CAPTULO 17 La existencia de soluciones 293

85. Observaciones preliminares - 86. Naturaleza de las solu-ciones de una ecuacin particular - 87. Teorema de exis-tencia.

10 Indice general

CAPTULO 18 Ecuaciones de orden uno y ':.llayor grado 299

88. Factorizacin del miembro izquierdo - 89. Soluciones singulares - 90. Ecuacin con discriminante e - 91. Ecuacin con discriminante p - 92. Eliminacin de la variable depen-diente - 93. Ecuacin de Clairaut - 94. Eliminacin de la variable independiente.

CAPTULO 19 Ecuaciones especiales de orden dos 321

95. Variable dependiente perdida - 96. Variable indepen-diente perdida - 97. Catenaria.

CAPTULO 20 El mtodo de series de potencias 329

98. Ecuaciones lineales y series de potenciaos - 99. Ecuaciones de mayor orden y grado - 100. Convergencia de las series de potencias - 101. Puntos ordinarios y puntos singulares - 102. Validez de las soluciones cerca de un punto ordinario - 103. Soluciones cerca de un punto ordinario.

CAPTULO 21 Soluciones cerca de puntos regulares singulares 345

104. Puntos regulares singulares - 105. Ecuacin indicial -106. Forma y validez de las soluciones cerca de un punto re-gular singular - 107. Ecuacin indicia! con diferencia no entera de races - 108. Diferenciacin de un producto de fun-ciones - 109. Ecuacin indicial con races iguales - 110. Ecuacin indicial cuya diferencia de races es un entero po-sitivo, caso no logartmico - 111. Ecuacin indicial cuya diferencia de races es un entero positivo: caso logartmico - 112. Sumario.

CAPTuLo 22 Ecuaciones de tipo hipergeomtrico 379

113. Ecuaciones que se tratarn en este captulo - 114. Fun-cin factorial - 115. Ecuacin hipergeomtrica - 116. Poli-nomios de Laguerre - 117. Ecuacin de Bessel con ndice no entero - 118. Ecuacin de Bessel con ndice entero - 119. Polinomios de Hermite - 120. Polinomios de Legendre -121. Ecuacin confluente hipergeomtrica.

fndice general 11

CAPTULO 23 Tpicos adicionales sobre soluciones en series de potencias 391

122. Relaciones de recurrencia de muchos trminos; puntos ordinarios - 123. Relaciones de recurrencia de muchos trmi-nos; punto regular singular - 124. Limitacin de los errores en los clculos - 125. Solucin para x grandes - 126. Ecua-cin con un punto irregular singular - 127. Papel de las series divergentes - 128. Solucin de ciertas relaciones lineales de recurrenCla - 129. Ecuaciones no homogneas.

CAPTULO 24 Mtodos numricos 423

130. Observaciones generales - 131. Mtodo del incremento - 132. Mtodo de aproximacin sucesiva - 133. Mejora del mtodo procedente - 134. Tratamiento puramente grfico -135. Series de potencias.

CAPTULO 25 Ecuaciones diferenciales parciales 433

136. Notas sobre las ecuaciones diferenciales parciales - 137. Ecuaciones diferenciales parciales en matemticas aplicadas - 138. Mtodos de separacin de variables - 139. Problema sobre la conduccin del calor en una plancha.

CAPTULO 26 Conjuntos ortogonales 449

140. Ortogonalidad - 141. Conjuntos simples de polinomios - 142. Polinomios ortogonales - 143. Ceros de polinomios ortogonales - 144. Ortogonalidad de los polinomios de Le-gendre - 145. Otros conjuntos ortogonales.

CAPTULO 27 Series de Fourier 457

146. Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos - 147. Series de Fourier: Un teorema de desarrollo - 148. Ejem-plos numricos de series de F:ourier - 149. Series senoidales de Fourier - 150. Series cosenoidales de Fourier - 151. An-lisis numrico de Fourier - 152. Electrocardiografa - 153. Artificios para obtener mayor rapidez en la convergencia.

12 Indice general

CAPTULO 28 Problemas de valores a la frontera 489

154. Ecuacin trmica unidimensional - 155. Verificacin experimental de la validez de la ecuacin trmica - 156. Tem-peraturas superficiales que varan con el tiempo - 157. Con-duccin trmica en una esfera - 158. Ecuacin simple de onda - 159. Ecuacin de Laplace en dos dimensiones.

CAPTULO 29 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace 511

160. Series de potencias y transformadas inversas - 161. La funcin error - 162. Funciones de Bessel- 163. Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables.

CAPTULO 30

Ecuaciones derenciales parciales; mtodos de transformacin 527

164. Problemas de valores a la frontera - 165. La ecuacin de onda - 166. Difusin en un slido semiinfinito - 167. Va-riables cannicas - 168. Difusin en una losa de anchura fi-nita --169. Difusin en un slido en el que una de sus cuartas partes tiende a infinito.

Indice analtico 549

CAPTULO 1 Definiciones, eliminacin de constantes arbitrarias

l. EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

U na ecuacin diferencial es una expresin matemtica que involucra al menos una derivada de una funcin descono-cida. Como en la ecuacin (3) a continuacin, una deri-vada puede estar involucrada implcitamente a travs de la presencia de diferenciales. Nuestro propsito es resolver ecua-ciones diferenciales, esto es, encontrar la funcin desconocida, o funciones que aparezcan.

Las ecuaciones diferenciales aparecen frecuentemente en fsica, ingeniera y qumica, y ocasionalmente en materias como biologa, fisiologa, psicologa y economa. La solucin de ecuaciones diferenciales desempea un papel importante en el estudio del movimiento de cuerpos celestes tales como planetas, lunas y satlites artificiales.

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales

(1 )

(2)

dy . -= cosx dx '

d2 ----.E. + Fy = O dX2 ,

13

"6

14 Definiciones, eliminacin de constantes arbitrarias [Capo 1

(3) (X2 + y2) dx - 2xydy = 0, (4) ou = h2 C2U + 02U\

ot ox2 oy2)'

(5) d2 dO 1

L dt! + R d; + e i = Ew cos wt,

(6) a2v a2 V

ax2 + ay2 = 0,

(7) (d2Wy dw

- -xy-+w=O dX2 dx '

(8) d3x dx

dy3 + x dy - 4xy = 0,

(9) ~~ + 7 (~~y - 8y = 0, ( 10) d

2y d2x_ dt2 + dt2 - x,

(11 ) of af x ay + y ax = nlo Cuando una ecuacin contiene una o ms derivadas con respecto a

una variable particular, a esa variable se le llama variable indepen-diente. Una variable es llamada dependiente si una derivada de esa variable aparece en la ecuacin diferencial.

En la ecuacin

(5) d2

dO 1 L dt! + R d~ + e i = Ew cos wt

i es a variable dependiente, t la variable independiente, L, R, e, E, y w se llaman parmetros. La ecuacin

(6)

tiene una variable dependiente V y dos variables independientes. Ya que la ecuacin

(3) (X2 + i) dx - 2xydy = O se puede escribir como

2] Definici"ones 15

o dx (X2 + r) dy -2xy = 0,

podemos considerar a cada variable como la dependiente y la otra ser la independiente. (Por ejemplo, si x es independiente, y es dependiente y viceversa.)

EJERCICIO ORAL

Identifique las variables independientes, las variables dependientes y los parmetros en las ecuaciones dadas como ejemplos en esta seccin.

2. DEFINICIONES

Una relacin que define una funcin explicita se llama una solu-cin de una o ecuacin diferencial si satisface la ecuacin en el sentido ordinario de comprobacin por sustitucin directa. Por ejemplo, ven-fiquemos que

y = e~"

es una solucin de la ecuacin

( 1 )

Sustituimos nuestra solucin tentativa en el miembro izquierdo de la ecuacin (1) Y encontramos que

d21y d _ o_o 0+ 2 _ 6y = 4e2" + 2e2" - 6e2" = dX2 dx o '

lo cual completa la verificacin deseada. Consideremos, sin embargo, la ecuacin diferencial

(2) y la relacin

(3) en donde e es constante. Resolver la ecuacin (3) para x o y, segura-mente no es conveniente. Sin embargo, diferenciando ambos miembros de (3) tenemos

4x3 dx - y3 dx - 3xy2 dy + 2y dy = 0,

16 Definiciones, eliminacin de constantes arbitrarias [Cap. 1

la cual es solamente otra disposicin de (2). Si x y y estn relacionadas por la ecuacin (3), entonces x, y, dje, dy, estn relacionadas por (2). Por tanto, llamemos a la relcin (3) una solucin de la ecuacin ( 2) . Esto sugiere una definicin ms amplia del trmino solucin, que enunciaremos as:

Cualquier relacin libre de derivadas, que contenga una o ms de las variables y que sea consistente con la ecuacin diferencial, soer llamada una solucin de la ecuacin.

U na ecuacin que contenga derivadas parciales es llamada una ecuacin diferencial parcial; una ecuacin que contenga derivadas ordi-narias se le llama ecuacin diferencial ordinaria.

El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada de ms alto orden que aparece en la ecuacin. Por ejemplo,

(4) . d2y + 2b (dy)S + y = O

dx2 dx

es una ecuacin de "orden dos". Tambin se le llama "ecuacin de segundp.....ordenl '

El grado de una ecuaClOn diferencial ordinaria es el grado alge-braico de la derivada de ms alto orden en la ecuacin. *

La ecuacin

es de tercer grado, porque la segunda derivada es la de ms alto orden y est elevada al cubo, por lo tanto es una ecuacin cbica. La ecua-cin (4) es de primer grado.

Cualquier ecucin de la forma

(5) M(x,y) dx + N(x,y) dy = O es de primer orden y primer grado. Todas las ecuaciones que resol-veremos en el captulo 2 pueden escribirse en la forma (5) .

Un concepto muy importante es el de la linealidad y no linealidad de una ecuacin diferencial. Una ecuacin se dice que es lineal si

* En otras palabras es el exponente de la derivada de ms alto orden. Es conveniente hacer notar que para obtener el grado hay que racionalizar la ecuaci6n diferencial respecto a las derivadas que contenga y eliminar estas de los denomina-dores, adems no todas las ecuaciones diferenciales tienen un grado definido. [N. del T .]

3] Eliminacin de constantes arbitrarias 17

cada trmino de la ecuacin es lineal en todas las variables dependien-tes y sus derivadas sucesivas o bien no contiene ninguna de ellas. De lo

contrario la ecuacin ' se llama no lineal. El trmino y :~. es de grado dos en y y su derivada, por tanto, no es lineal. Cualquier ecuacin lineal es de primer grado, pero no cualquier ecuacin de primer grado es lineal. Ntese que la ecuacin (4) no es lineal.

La ecuacin x2y" + xy' + (X2 - n2)y = 4x3

es lineal en y. La forma en la que la variable independiente aparece en la ecuacin, nada tiene que ver con la propiedad de linealidad.

EJERCICIOS ORALES

Para cada uno de los ejercIcIos siguientes, establzcase si la ecuacin . es ordinaria o parcial, lineal o no lineal, y dse su orden y grado.

1. ~: + k2x = o. 3. (X2 + y2) dx + 2xydy = O. 5. y'" - 3y' + 2y = O.

azu a2u (Fu 7. -+-. +-=0. ax2 ay2 OZ2

d2y d2x 9. x dt 2 - y dt2 = el

11. (x + y) dx + (3X2 - 1) dy = O.

13. (~:~y - 2 (~~y + yw = o. 15. y" + 2y' - 8y = X2 + cosx.

4. y' + p (x) y = Q (x) . 6. yy" = x.

d4y 8. dx4 = w(x).

10. L ~! + Ri = E. 12. x(y") 3 + (y')4 - Y = O.

14. ~~ = 1 - xy + y. 16. a da + b db = O.

3. ELIMINACIN DE CONSTANTES ARBITRARIAS

En la prctica, las, ecuaciones diferenciales aparecen de muchas formas, algunas de las cuales encontraremos ms tarde. Hay up camino para llegar a las ecuaciones diferenciales que es til para intuir la chse de soluciones que se esperan. En esta sec~in principiaremos con una relacin (la solucin) que involucra constantes arbitrarias y, por elimi-nacin de esas constantes, llegaremos a una ecuacin diferencial satisfecha

18 Definiciones, eliminaci6n de constantes arbitrarias [Cap. 1

por la relacin original. En cierto sentido lo que hacemos es principiar con la respuesta y encontrar el problema.

Los mtodos para la eliminacin de las constantes arbitrarias varan de acuerdo con la forma en que aparecen las constantes en la relacin dada. El mtodo que es eficiente para un problema, puede no serlo para otro. Un hecho persiste en todos los casos. Ya que cada diferenciacin produce una nueva relacin, el nmero de derivadas que necesita usarse es el mismo que el de constantes arbitrarias que se eliminen. En cada caso determinaremos la ecuacin diferencial que es:

a) De orden igual al nmero de constantes arbitrarias en la relacin dada.

b) Consistente con la relacin. c) Libre de constantes arbitrarias.

EJEMPLO a): Elimineo)(' las constantes arbitrarias Cl y C2 de la relacin ( 1 )

Ya que dos constantes deben ser eliminadas, se obtienen las dos derivadas,

(2) (3)

y' = - 4cle-2Z + 3c2e3Z, y" = 4cle-2Z + 9C2~3Z.

La eliminacin de Cl de las ecuaciones (2) Y (3) conduce a y" + 2y' = 15c,e3z

La eliminacin de el de las ecuaciones (1) Y (2) da y' + 2y = 5e2e3Z.

De aqu y" + 2y' = 3(y' + 2y),

o

y" - y' - 6y = O

Otro mtodo para obtener la ecuacin diferencial en el ejemplo pre-cedente es el que sigue. Sabemos, por un teorema del lgebra elemental que las tres ecuaciones (1), (2) Y (3 ) consideradas como ecuaciones en las dos incgnitas el y e2 pueden tener soluciones solamente si

* Por diferenciaciones y procedimientos matemticos legtimos y adecuados. No se permite la eliminacin usando la goma de borrar.

3] Eliminacin de constantes arbitrarias 19

-y e-2Z es:t (4) I - 2e-"2Z 3esz = O. -y

-y " 4e-2Z gesz

Ya que e-"2Z y eS'" no pueden ser cero, la ecuacin (4) puede escribirse de otra manera, sin los factores e-2Z y eSz, como

y 1 1 y' -2 3 = O y" 4 9

de la cual, la ecuacin diferencial

y" - y' - 6y = se obtiene inmediatamente.

Este ltimo mtodo tiene la ventaja de hacernos ver fcilmente que la eliminacin de las constantes el, e2, . . . ,en de una relacin de la forma

nos conduce siempre a una ecuacin diferencial lineal

d"y d1l-1y dy lZo- + a1-- + ... + a.,.-1- + any = O, dx" dX1l-1 dx

en la que los coeficientes ao, al, . . . ,a.. son constantes. El estudio de tales ecuaciones diferenciales recibir mucha atencin de nuestr;. parte.

EJEMPLO b): Elimine la constante a de la ecuacin (x - a)2 + y2 ,= a2.

La diferenciacin directa de la relacin nos da

2(x - a) + 2yy' = 0, de la cual

a = x + yy'. Por tanto, usando la ecuacin original, encontramos que

(yy') 2 + y~ = (x + yj/) 2, o

y2 = X2 + 2xyy', que podemos escribir en la forma

(X2 - r) dx + 2xydy = O.

20 Definiciones, el im inacin de constantes arbitrarias [Cap. 1

Otro mtodo ser usado en este ejemplo, como una ilustracin de un artificio que a menudo es til. El mtodo se basa en el aislamiento de una constante arbitraria.

La ecuacin (x - a)2 + y2 = a2

se puede poner en la forma

o

X2 + i - 2ax = 0, X2 + y2 --~= 2a.

x

Entonces, diferenciando ambos miembros se obtiene que

x(2xdx + 2ydy) - (X2 + y2) dx = X2 ,

o

como desebamos.

EJEMPLO e) : Elimine B y a de la relacin ( 5) x = B cos (wt + a), donde w es un parmetro, que no debe eliminarse.

Primero obtenemos la primera y segunda derivada de x con respecto a t:

(6)

(7)

Comparando las

dx dt - OlB sen (Olt + a),

d 2x dt 2 - - w2Bcos (wt + a).

ecuaciones (5) Y (7) se muestra de inmediato que d 2x dt 2 + w 2x = O.

EJEMPLO d): Elimine e de la ecuacin-cxy + c2x + 4 =

inmediatamente obtenemos c(y + xy') + c2 = O.

Ya que e =1= 0, -e = - (y + xy')

y por la sustitucin en la ecuacin original, llegamos al resultado X3 (y') 2 + x 2yy' + 4 = O.

21

EJERCICIOS

En cada uno de los siguientes ejercicios, elimnese las constantes arbi-trarias.

1. X S - 3X2y = C. SOL. (x - 2y) dx - x dy = O. 2. y sen x - xy2 = c. SOL. y ( COS x - y) dx + (sen x - 2xy ) dy = O. 3. PV = C. 4. x2y = 1 + cx. SOL. (X2y + 1) dx + x3 dy = O. 5. cy2 = X2 + y. SOL. 2xy dx - (y + 2X2) dy = O. 6. x = A sen (wt + (3); w un parmetro que no debe ser elimi:1ado.

d2x SOL. -d' + w2x = O. t-

d2x 7. x = C1 cos wt + C2 sen wt; w un parmetro. SOL. dt2 + w2x = O. 8. y = cx + c2 + 1. SOL. Y = xy' + (y') 2 + 1. 9. y = mx + ~; h un parmetro, m debe ser eliminado.

m , h

SOL. Y = xy + y" 10. y2 = 4ax. SOL. 2x dy - y dx = O. 11. y = ar + bx + c. SOl.;. y'" = O. 12. y = C1 + C2e21l1. SOL. y" - 2y' = O. 13. y = 4 + c1e2Z. SOL. y' - 2y = -8. i4. y = C1 + C2e-3~. SOL. y" + 3y' = O. 15. y = c1e-" + C2e-3Z. SOL. y" + 4y' + 3y = O. 16. y = x + c1e-" + C2e-a". SOL . y" + 4y' + 3y = 4 + 3X\ 17. Y = Cle" + C2e-2~. SOL. y" + y' - 2y = O. 18. y= X2 + C1e" + C2e-2". SOL. y" + y' - 2y = 2( 1 + x - X2). 19. y = cIe-~ + C2Xe-". SOL. y" + 2y' + y = O. 20. y = Ae2Z + Bxe2Z. SOL. y" - 4y' + 4y = ' O. 21. y = cIe2Z cos 3x + c2e2~ sen 3x. SOL. y" - 4y' + 13y = O. 22. y = C1eClZ cos bx + C2eClZ sen bx; a y b sor! parmetr:os.

23. y = CIx + c2e-". 24. y = X2 + CIX + C2e-"'. SOL. 25. Y = CIX2 + C2e2x.

SOL. y" - 2ay' + (a2 + b2)y = O. SOL. (x + 1) y" + xy' - y = O.

(x + 1) y" + xy' - y = X2 + 2x + 2. SOL. x(1 - x)y" + (2X2 - l )y' - 2(2x - 1)y = O.

4. FAMILIAS DE CURVAS U na relacin que contiene un par;:netro, as como una o ambas

coordenadas de un punto en un plano, representa una fanlia de cUIVas, una curva correspondiente a cada valor del parmetro. Por ejemplo, la ecuacin

22 Definiciones, eliminacin de constantes arbitrarios [Co po 1

(1) o

(2) X2 + y2 - 2c(x + y) = O, puede interpretarse como la ecuacin de una familia de circunferencias, cada una teniendo ~u centro sobre la recta y = x y pasando por el origen. La figura 1 muestra algunos elementos o miembros de esta familia.

y

FIGURA 1

Si la constante c en la ecuacin ( 1) o en la ecuacin (2) es tratada como una constante arbitraria y eliminada como en la seccin anterior, el resultado es llamado la ecuacin diferencial de la familia representada por la ecuacin (1 ). En este ejemplo, la eliminacin de c se hace fcil-mente despejando c, y entonces se diferencia la ecuacin respecto a x. As de

encontramos que (x + y)(2x dx + 2ydy) - ( X2 + y2) (dx + dy) = O.

(x + y )2 Por tanto (3) (X2 + 2xy - y2) dx - (X2 - 2xy + y2) dy = O

" 4) .'

' ... ~'. :t'V r ,v Famil ias de curvas

"

23

i(.5t'~ ~1~\'~ es la ~iio cfi.fre C' J.~~ la familia de circunferencias representadas

\ \V '" \ ~ por hf e a.8i'\(h)~

Obse~~~iUos que la ecuacin (3) asocia a cada punto (x, y) en el plano, ~~a pendiente definida.

dy _ X2 + 2xy _ y2 dx X2 - 2xy _ y2' (4)

excepto donde el denominador en el miembro derecho de (4) es nulo. Un examen del mtodo que hemos usado para ir de (4) a (1) muestra que en cualquier punto (x, y) la ecuacin (4) da la pendiente de la curva de la familia (1) que pasa por el punto en cuestin.

Es conveniente ahora hacer una comprobacin. Cuando el deno-minador en el miembro derecho de la ecuacin (4) es nulo, la curva pasa por el punto que debe tener una tangente vertical. De

X2 - 2xy - y2 = O vemos que (5) y = (v2 - l)x o

(6) y = - (ti + 1 )x. En la figura 2, las lneas rectas (5) Y (6) aparecen junto con la

familia (1). Se ve que las rectas ( 5) Y (6) cortan a los miembros

y

y=H+.j2)x

FIGURA 2

24 Definiciones, eliminacin de constantes arbitrarias [Cap. 1

de la familia de circunferencias, precisamente en aquellos puntos de tangencia vertical.

Para una familia de curvas representadas por dos parmetros la ecuacin diferencial ser de segundo orden, y no se puede conseguir una interpretacin geomtrica simple.

EJEMPLO a): Encontrar la ecuacin diferencial de la familia de par-bolas-, (figura 3), que tienen sus vrtices en el ori,gen y sus focos sobre el eje y.

y

----------~~~~~~-----------x

FIGURA 3

Por la geometra analtica, sabemos que la ecuacin de esta familia de parbolas es

(7) Entonces de

X2 = 4ay.

X2 -=4a y

la a puede ser eliminada por diferenciacin. De aqu se sigue que

(8) 2xydx - X2 dy = O. Podemos escribir la ecuacin diferencial de la familia (7) como: (9)

/ 2y dx - x dy = 0,

4] Familias de curvas 25

debido a que x = O es todava una solucin de (9), y nada se ha perdido al quitar el factor x del miembro izquierdo de (8). EJEMPLO b): Encontrar la ecuacin diferencial de la familia de circunferencias (figura 4) que tienen sus centros sobre el eje y. Como el centro de un miembro de la familia de circunferencias de este ejemplo, puede estar en cualquier lugar del eje y, y su radio puede ser de cualquier magnitud, estamos tratando con una familia de curva.e; representadas por dos parmetros ( 10) X2 + (y - b) 2 = r2 y Eliminaremos b Y r de la ecuacin ante-rior y llegaremos, por supuesto, a una ecuacin diferencial de segundo orden para la familia (10).

Inmediatamente x+ (y -b )y'=O,

de la cual

Entonces

x + yy' = b. y'

y'[l + yy" + (y') 2] - y" (x + yy') = O (y') 2

la ecuacin diferencial deseada es xy" - (y')3 - y' = O

---b~~--------x

FIGURA 4

EJERCIC10S

En cada uno de los ejercicios obtngase la ecuacin diferencial de la familia de curvas planas descritas y bosqujense algunos miembros repre-sentativos de la familia.

1. Rectas que pasan por el origen. SOL. y dx - x dy = O. 2. Rectas que pasan por el punto fijo (h, k). La h y k no deben

eliminarse. SOL. (y - k) dx - (x - h ) dy = O. 3. Rectas con pendiente y la intercepcin con el eje y, iguales.

SOL. y dx - (x + 1) dy = O. 4 .. Rectas con la pendiente y la intercepcin con el eje x iguales.

SOL. (y') 2 = xy' _ y. 5. Rectas con la suma algebraica de las intercepcior:es iguales a k.

SOL. (xy' - y) (y' - 1) + ky' = O.

~. l'

\

26 Definiciones, eliminacin de constantes arbitrarias [Cap. 1

6. Rectas a la distancia p del origen. SOL. (xy' _ y )2 = p2[1 + (y' )2].

7. Circunferencias con centro e:l el origen. SOL. x dx + y dy = o. 8. Circunferencias con centros sobre el eje x.

SOL. yy" + (y') 2 + 1 = O. 9. Circunferencias de radio fijo r y tangentes al eje x.

SOL, (y -+- r ) 2(y' ) 2 + y2 -+- 2ry = o. 10. Circunferencias tangentes al eje x.

SOL. [1 + (y') 2]3 = [yy" + 1 + (y') 2)2. 11. Circunferencias con centro sobre la recta y = -x, y que pasen

por el origen. SOL. (X2 - 2xy - i) dx + (X2 + 2xy - y2) dy = o.

12. Circunferencias'-unitarias. Use el hecho de que el radio de curvatura es igual a uno. SOL. (y")2 = [1 + (y') 2]3.

13. Todas las circunferencias. Use la curvatura. SOL. y'" [1 + (y') 2] = 3y' (y") 2.

14. Parbolas con el vrtice sobre el eje x, con el eje paralelo al eje y, y con la distancia del foco al vrtice igual a a. SOL. a(y') 2 = y.

15. Parbolas con el vrtice sobre el eje y, con el eje paralelo al eje x, y con la distancia del foco al vrtice igual a a. SOL. x (y' ) 2 = a.

16. Parbolas con el eje paralelo al eje y y con l~ distancia del vrtice al foco igual a a. SO. 2ay" = 1.

17. Parbolas con el eje paralelo al eje x, y con la distancia del vrtice al foco igual a a. SOL. 2ay" + (y') 3 = o.

18. Hgase el ejercicio 17, usando la diferenciacin respecto a y. d2x

SOL. 2a dy2 = 1. 19. sese el hecho de que

d2x d (dz) dx d (dX) dx d (dy)-l -y" dy2 = dy dy = dy dx dy = dy dx dx = (y') 3 para probar que las soluciones de los ejercicios 17 y 18 son equiva-lentes.

20. Parbolas con el vrtice y el foco sobre el eje x. SOL. yy" + (y') 2 = O.

21. Parbolas con el eje paralelo al eje x. SOD. y'y'" - 3 (y") 2 = o. 22. Cnicas centrales con el centro en el origen y vrtices sobre los ejes

coordenados. SOL. xyy" + X (y') 2 - yy' = o. 23. Los cnicas centrales confocales

X2 y2 a2 + ..\ + b2 + ..\ = 1

con a y b fijas. SOL. (xy' - y) (yy' + x) = (a 2 - b2)y'. 24. Las cbicas cy2 = X2 (x - a) con a fijQ.

SOL. 2x(x - a)y' = y(3x - 2a).

4] Famil ias de curvas 27

25. Las cbicas del ejercicios 24 con c fija y eliminando a a. SOL. 2cy(xy' - y) = x3.

26. Las curticas c2y2 = x(x - a)3 con la a fija. SOL. 2x(x - a)y' = y(4x -a).

27. Las curticas del ejercicio 26 con c fija, eliminando a a. SOL. c2(2xy' - y)S = 27,,;4y.

. x2 (a 4- x) 28. Las estrofOldes y2 = . a-x

SOL . (x4 - 4x2y2 - y4) dx 4- 4x'1y dy = O. 3

29. Las cisoides y2 = _x_o SOL. 2x3y' = y (y2 4- 3X2). a- x

30. Las trisectrices de Maclaurin )I~ (a 4- x) = X2 (3 a - x) . SOL-o (3x4 - 6x2y2 - y4) dx 4- 8x3y dy = O.

31. Circu:lferencias que pasan por las intersecciones de la circunferencia X2 4- y2 = 1 Y la recta y = X. sese la forma "u 4- kv"; esto es, la ecuacin

X2 4- y2 - 1 4- k(y - x) = O. SOL. (x2 - 2xy - y2 4- 1) dx 4- (X2 4- 2xy - y2 - 1) dy = O.

32. Circunferencias que pasen por los puntos fijos (a,O) y (-a,O ). sese el mtodo del ejercicio 3I.

SOL. 2xy dx 4- (y2 4- a2 - X2) dy = O. 33. Las circunferencias r = 2a (sen O - co!, O) .

SOL. (cos O - sen O) dr 4- r (cos O 4- sen 6) dO = O. 34. Las cardioides r = a (1 - sen O) .

SOL. (1 - sen O) dr 4- r cos O dO = O. 35. Las cisoides r = a sen O tan O. (Ver ejercicio 29. )

SOL. sen O cos O dr - r(l 4- cos2 O) dO = O. dr 36. Las estrofoides r = a (sec O 4- tan O) . SOL. dO = r sec O.

37. Las trisectrices de Maclaurin r = a(4cosO - secO) . (Ver ejercicio 30.)

SOL. cos 0(4 cos2 O - 1) dr 4- r sen 0(4 cos2 O 4- 1) dO = O.

CAPTULO 2 Ecuaciones de priIller orden y priIller grado

5. SOLUCIONES GENERALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden tiene, en general, una solucin que contiene n constantes arbitrarias. * A tal solucin podemos llamarle la solucin general. Otros tnninos que se usan con frecuencia son solucin completa, primitiva completa, integral completa.

6. SEPARACIN DE VARIABLES

La ecuacin general de primer orden y primer grado es

(1 ) Mdx + Ndy = O; donde M Y N pueden ser funciones de x y y. Algunas ecua-ciones del tipo (1) son tan simples que pueden ponerse en la forma

* Una prueba y un enunciado preciso aparecen en E. L rnce Ordinary Differential Equations, Londres: Longmans-Green, 192i. '

29

:::;

30 Ecuaciones de primer orde n y primer grado [Cap. 2

(2) A(x) dx + B(y) dy = O; esto es, las variables pueden separarse. Entonces la solucin quiz pueda escribirse inmediatamente. Para esto solamente tenemos que encontrar una funcin F cuya diferencial total sea el miembro izquierdo de (2). Entonces F = e, donde c es una constante arbitraria, es el resultado deseado.

EJEMPLO a): Resolver la ecuacin (3) 2 (y + 3) dx - xy dy = O.

Separando las variables llegamos a

2 dx _ y dy - x y+3-'

o

(4) 2 dx [ 3 ] x - 1 - y + 3 dy = O. De aqu podemos escribir la solucin como

(5) 2In x - y + 3ln (y + 3) = e. Aun cuando (5) es una solucin correcta, la presencia de dos trmi-

nos logartmicos, nos sugiere que tambin podemos poner la constante arbitraria en forma logartmica. As, directamente de (4) podemos escribir la solucin como

( 6) 2ln x - y + 3 In (y + 3) + In el = 0, donde Cl es una constante arbitraria diferente de la e de (5)

De (6) obtenemos y = 2ln x + 3 In (y + 3) + In el,

de la cual se sigue que

(7) que es ms compacta que (5).

Por supuesto, (5) puede transformarse en (7) fcilmente. De (5) y + e = 2lnx + 3ln (y + 3)

o

ahora podemos

r

6] Separacin de variables 31

y llegamos a ( 7) El problema de cambiar una forma de la solucin en otra, es un

problema que surge frecuentemente cuando dos o ms personas resuel-ven la misma ecuacin diferencial y desean comprobar los resultados obtenidos. A menos de que la solucin obtenida sea destinada a un uso especfico, hay poca razn para preferir una forma u otra, excepto por consideraciones de compactacin, simetra u otras cualidades est-ticas. Esta preferencia es esencialmente de carcter individual. La seccin 7 contiene explicaciones ms amplias sobre la forma de las soluciones.

EJEMPLO b): Resolver la ecuacin (8) (1 + y2) dx + (1 + X2 ) dy = O, con la "condicin a la frontera" que cuando x = O, Y = -1.

De la ecuacin diferencial obtenemos . dx dy 1+x2 +1+Y=0

de la cual se obtiene inmediatamente que (9) Arctan x + Arctan y = c.

En la solucin (9), cada "Arctan" representa el valor principal del inverso de la tangente y est su jeto a la restriccin.

- trr < Arctan x < tn-La condicin a la frontera y = -1 cuando x = O nos permite deter-minar el valor de e que debe usarse para obtener la solucin particular deseada. Ya que Arctan O = O y Arctan ( -1) = -!7T, la solucin al problema de valores a la frontera es (10) Arctan x + Arctan y =:= - b

Supongamos ahora que deseamos esbozar la curva (10). Acudiendo a procedimientos trigonomtricos, tomamos la tangente a cada lado de (10). Ya que

y tan (Arctan x) = x

tan (A + B) - tan A + tan B - 1 - tan A tanB'

32 Ecuaciones de primer orden y primer grado [Cap. 2

hemos llegado a la ecuacin

x + y = -1 1 - xy ,

o

(11 ) xy - x - y - 1 = O. La ecuaclOn ( 11) es la ecuacin de una hiprbola equiltera con

asntotas x = 1, Y = 1. Pero si retomamos a (10), vemos de Arctan x = -p - Arctan y

que, como (- Arctan y) < V, Arctan x < trr.

En consecuencia x < 1, Y la ecuacin (10) representa solamente una rama de la hiprbola (11) . . En la figura 5, la curva llena es la grfica de la ecuacin (10), la curva llena y la curva punteada forman, simul-tneamente, la grfica de la ecuacin (11).

Cada rama de la hiprbola (11) es una solucin de la ecuacin diferencial, una rama para x < 1, Y la otra pa~a x > 1. En este pro-blema la condicin a la frontera y = - 1 cuando x = O ha forzado la solucin a ser solamente la rama izquierda de la hiprbola, ecuacin (10).

y

'\ IO,-ll~

\ \ \ \ ,

.....

'--

FIGURA 5

7] Sobre la forma de las soluciones 33

Una diferencia entre las soluciones (10) Y (11) puede verse obser-vando que una mquina computadora, dada la ecuacin diferencial (8) Y buscando una solucin que pase por el punto (O, - 1) , dibujar solamente la rama' izquierda de la curva de la figura 5. La barrera ( asntota) en x = 1 hace que la mquina no compute la otra rama de la hiprbola (11).

7. SOBRE LA FORMA DE LAS SOLUCIONES

Consideremos la ecuacin

( 1 ) 2x(y + 1) dx - y dy = O. Separando las variables en la ecuacin (1) obtenemos

(2) 2x dx = (1 - _1_) dy. Y + 1

Por tanto, la solucin general de la ecuacin (1) es (3 ) X2 = y - In (y + 1) + e.

Supongamos, sin embargo, que queremos resolver el problema de valores a la frontera de la ecuacin diferencial (1) Y la condicin es que cuando x = O, Y = - 2. Sustituyendo y = - 2 en el miembro derecho de la ecuacin (3) deberemos usar el In ( -1 ) . Ya que (- 1) no tiene logaritmo real, preferimos evitar esta complicacin. As que buscare-mos otra forma para la solucin general de la ecuacin (1).

Ya que -dy dy dln(-y-1)= ---

-y-1 y+l es posible escribIr la solucin general de (2) en la forma (4) X2 = Y - In ( - y -1) + el. Sustituyendo x = O Y Y = - 2 en la ecuacin (4) no causamos mnguna perturbacin. Esto nos lleva a la ecuacin

O = - 2 - In ( 1) + el de la cual encontraremos el = 2. De este modo la solucin deseada del problema de valores a la frontera es

X2 = y + 2 - In ( - y - 1), para y < - 1

34 Ecuaciones de primer orden y primer grado [Cap. 2

podemos ver que la solucin (3) es til para el rango y > - 1, mientras que la solucin (4) es til para y < -1. En fin, dos caminos son posibles para escribir la solucin combinando las ventajas de (3) con las de (4).

Ya que _ C2 dy _ dy

dln[c"l (y + 1)] - C2 (y + 1) - Y + l' la solucin general de la ecuacin (1) puede escribirse en la fonna (5) Ajustando la solucin (5) a nuestro propsito inmediato, ponemos x = 0, y = - 2 Y encontramos que

o = - 2 - In ( - C2) ' . tal que In ( -C2) = -2, o C2 = _ e-2 De aqu que la solucin de-seada es

o ..

X2 = y + 2 - In [- (y + 1 )]. En la ecuacin (5), C2 se har negativa cuando una condicin a la

frontera requiera que y < - 1 Y positiva cuando se necesite que y > - 1. De la ecuacin (5) no es difcil obtener la relacin

(6) (y + l)eZ ' = Cs eY como otra fonna de la solucin de la ecuacin diferencial (1).

En este libro dejaremos usualmente las soluciones en forma similar a ( 5) o (6). Dondequiera que una respuesta tal como la ecuacin (3) se encuentre est implcito que el que usa esta ecuacin (3) deber ajus-tarla para su propsito prctico. El resultado deber verificarse directa-mente en la ecuacin diferencial de tal fonna que la validez de la transicin de una fonna de solucin a otra, no intervenga en la de-mostracin.

8. LA NOTACIN EXP U La funcin e" se usa en nuestro trabajo frecuentemente, y . algunas

veces el exponente u es complicado. Un simple ejemplo tal como 1ry2 puede ser indeseable en la impresin tipogrfica, porque los exponentes

8] la notacin exp u 35

se indican usualmente en tipo pequeo. Es habitual en matemticas avanzadas el uso de la notacin

( 1 ) expu = e". Esto es, exp se usa para denotar la funcin exponencial del mismo modo que sen se usa para denotar la funcin seno.

EJEMPLO a) : Para e'"~y2 escribimos exp (x'i ). EJEMPLO b): La ecuacin (6) de la seccin anterior la podemos es-cribir como

(2) (y + 1) exp (X2) = Ca exp (y). Muchas personas usan la notacin e" cuando u es simple, tambin

en la misma ecuacin la notacin exp puede ser usada donde se quiera. La ecuacin (2) algunas veces se escribe en la forma (3)

En unos cuantos minutos de prctica el lector puede acostumbrarse a trabajar con el smbolo exp u. Llevando a efecto la verificacin de las identidades sencillas que se encuentran a continuacin, puede obtenerse cierta familiaridad con esta notacin.

(4) (5) (6)

(7) (8) (9 )

exp (x) 'exp (y) = exp (x + y), [exp (x)J' = exp (kx), exp (lny) = y,

exp G) exp (~) = exp (r : y2), exp (3 In x) = [exp (In x) p = x3,

exp (x - 2ln x) = x-2e'". . Usaremos la notacin exp siempre que agregue claridad al resultado Impreso.

EJERCIClOS

En los ejercicios 1-26 obtngase la solucin general. 1. (4 + x)y' = y3. SOL. 2y2 In[e(4 + x)] = -1. 2. exp (y2) dx + x2y dy = O. SOL. x exp (_y2) + 2 = ex. 3. cos x cos y dx + sen x sen y dy = O. SOL. sen x = ecos y. ~~~=b~ ~ ~=~

36 Ecuaciones de primer orden y primer grado [Cap. 2

5. my dx = nx dy. SOL. Xm = cy". 6. y' = xy2.

dV -v SOL. y (X2 + e ) + 2 = O.

7. dP = P' SOL. PV = C. 8. CZ(y - 1) dx + 2(eZ + 4) dy = O.

SOL. (y - 1)2 (e" + 4) = c2. 9. dr = e(r sen O dO - cos O dr). SOL. r(l + ecosO) = c.

10. (xy - x) dx + (xy.+ y) dy = O. SOL. (y - 1) exp (x .+ y) = c(x + 1).

11. (y + 1) dx = 2xy dy. SOD. e2Y = cx(y + 1)2. 12. x2dx+y(x - 1) dy=O. 13. (xy.+ x) dx = (X2y2 + X2 + y2 + 1)dy,.

SOL. In (X2 + 1) = y2 - 2y + 41n [c( y + 1)]. 14. X cos2 y dx + tan y dy = O. SOL. X2 + tan2 y = c2. 15. x 2yy' = eY. SOL. x(y + 1) = ( 1 + cx)eY. 16. tan2 y dy = sen3 x dx. SOL. cos3 X - 3 cos x = 3 (tan y - y + e). 17. y' = cos2 x cos y. SOL. 4ln (sec y + tan y) = '2x + sen 2x + c.

18. y' = y sec X. SOL. Y = c(sec x + tan x). 19. dx = t (1 + t2) sec2 x dt. SOL. 2x + sen 2x = e + (1 + t2) 2. 20. (e 2Z + 4) y' = y. SOL. ya (1 + 4e-2") = c2 21. a dJ3 + f3 da + aJ3(3 da + dJ3 ) = O. SOJ.,. caJ3 = exp (-3a - J3). 22. (1 + lnx) dx + (1 + In y) dy = O. sOL. xlnx + ylny = c. 23. x dx - ... a2 - X2 dy = O.

SOL. Y - e = - ... a2 - x2, la mitad inferior de la circunferencia x2 + (y - e ) 2 = a2

24. x dx + va2 - X2 dy = O. SOL. Y - e = ... a2 - x2, la mitad superior de la

circunferencia X2 + (y - e) 2 = a2 25. ' a2 dx = x ... X2 - a2 dy. y+c SOL. x = asee--

a 26. y In x In y dx + dy = O. SOL. x In x + In In y = x + c. En los ejercicios 27-33, obtngase la solucin particular que satigaga las

condiciones a la frontera indicadas.

dr 27. dt = -4rt ; cuando t = 0, r = ro. 28. 2xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. 29. xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. 30. y' = x exp (y - X2) ; cuando x = 0, y = O.

SOL. 31. xy2dx + eZdy = O ; cuandox~ oo,y~f.

SOL. r = rQ exp ( - 2t2). SOL. y2 = 5x - 1.

SOL. 5X2 - 2y2 = 2.

2e-1I = 1 + exp ( _X2).

SOL. Y = e"j(2CZ - x - 1). 32. (2a2 - r2 ) dr = ra sen O dO; cuando O = 0, r = a.

dv 33. v - = g; cuando x = XQ, V = VQ. SOL. v2 ~ VQ2 = 2g(x - Xo). dx

37

9. FUNCIONES HOMOGNEAS Los polinomios en los cuales todos los trminos son del mismo grado,

tales como x? - 3xy + 4y2,

(1) X3 + ya, x4y + 7y5, _

se llaman polinomios homogneos. Queremos ahora extender este con-cepto de homogeneidad a la aplicacin en funciones que no sean polinomios.

Si asignamos una dimensin fsica, digamos longitud, a cada variable x y y en los polinomios de (1), entonces cada polinomio tiene una dimensin fsica, longitud a alguna potencia. Esto sugiere la generali-zacin deseada. Si, cuando ciertas variables son consideradas como longitudes, una funcin tiene dimensin fsica de longitud a la k-sima potencia, entonces llamaremos a esa una funcin homognea de grado k en esas variables. Por ejemplo, la funcin

(2)

es de dimensin (longitud) 3 cuando x y y son longitudes. As, esa funcin se dice que es homognea de grado 3 en x y y.

El grado k puede ser cualquier nmero. La funcin Y x + 4y se llama homognea de grado t en x y y. La funcin

x

Yx2 + y2 es homognea de grado cero en x y y.

Una definicin formal de homogeneidad es la siguiente: se dice que la funcin f( x, y) es homognea de grado k en x y y si, y slo si, (3) f(AX,AY) = Akf(x,y). La definicin puede generalizarse fcilmente para funciones de ms de dos variables.

Para la funcin f (x, y) de la ecuacin (2), la definicin formal de homogeneidad nos lleva a considerar

f(AX, Ay) = 2.\y exp (AY) _ -c-A_4_X4,---Ax Ax + 3.\y

"

38 Ecuaciones de primer orden y primer grado [Cap. 2

Pero vemos inmediatamente que

f(>'x,>'y) = >.3f(x,y); de aqu f(x, y) es homognea de grado tres, en x y y, como previa-mente enunciamos.

La demostracin de los siguientes teoremas ser til en la siguiente seccin.

TEOREMA 1: Si M(x, y) y N(x, y) son ambas homogneas y del mismo grado, la funcin ~((x, y) es homognea de grado cero.

x, y) TEOREMA 2: Si f(x, y) es homognea de grado cero en x y y, f (x, y) es una fu.ncin de ~ solamente.

x

La demostracin del teorema 1 la dejamos al estudiante. Demostracin del teorema 2: Sea y = vx. Entonces el teorema 2

afirma que si f(x, y) es homognea de grado cero, f(x, y) es una funcin de v solamente. Ahora

(4) f(x,y ) = f (x, ux) = xOf(1, v) = f(l, v), en la que la x est desempeando el papel de >. en la definicin anterior (3) . Por (4), f (x, y) depende solamente de v como enuncia el teorema 2.

EJERCICIOS ORALES

Determnese e~ cada ejercicio si la funcin es homognea o no. Si es homognea, diga el grado de la funcin.

1. 4X2 - 3xy + y2. 3. 2y + ., X2 + y2. 5. e"'.

7. exp G). 9. (X2 + y2) exp (~) + 4xy.

11. X2 + 3xy. x - 2y

13. (u 2 + z?H

2. x3 - xy + ya. 4. V x -y. 6. tan x.

3y 8. tan-o x

y x 10. x sen- - ysen-. x y

10]

5 2 X 1 . Y tan-. y

17 a + 4b . a - 4b'

19. x In x - y In y.

Ecuaciones con coeficientes homogneos

(X2 _ y2)i 16. (X2 _ y2) t'

18. In:: . y

20. xlnx - xIny.

10. ECUACIONES CON COEFICIENTES HOMOGNEOS

39

Supongamos que los coeficientes M y N en la ecuacin de primer orden y primer grado, ( 1 ) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, son ambas~ funciones homogneas del mismo grado en x y y. Por lo~ teoremas 1 y 2 de la seccin 9, la razn M/N es una funcin de y/x solamente. De aqu, la ecuacin (1) puede ponerse en la forma

(2) dy + g(2:) = dx x Esto sugiere la introduccin de una nueva variable v al poner y = vx. Entonces (2) ser

, (3) dv x - + v + g (v) = 0, dx

en la cual las variables son separables. Podemos obtener la solucin de (3) por el mtodo de la seccin 6, insertando y/x por v, y as llegamos a la solucin de (1). Hemos mostrado que la sustitucin y = vx trans-formar la ecuacin (1) en una ecuacin en v y x en la que las variables son separables.

El mtodo anterior hubiera tenido el mismo xito de haber usado x = xy para obtener de (1) una ecuacin en y y v. Ver el ejemplo b) ms adelante.

EJEMPLO a): Resolver la ecuacin ( 4 ) (X2 - xy + y2) dx - xy dy = O.

Ya que los coeficientes en (4) son ambos homogneos y de grado dos en x y y, pongamos y = 7:l.x. r Entonces (4) queda

(X2 - x 2v + X 2V 2 ) dx - x 2v(vdx + xdv) = 0, de la cual el factor X2 puede suprimirse inmediatamente. Hecho esto debemos resolver

40 . Ecuaciones de primer orden y primer grado

(1 - V + v2 ) dx - V ( V dx + X dx) = O, . ,

O (1 - v) dx - xv dx = O.

De aqu, separando las variables obtenemos

dx + v dv = O. x v - 1

Entonces de

dX+[l +_l_Jdv =O x v - 1

la solucin ser In x + v + In (v - 1) = In e,

o

x(v - l)eV = c. En trminos de las variables originalEs, la solucin es

o

(y - x)exp(~) = c. EJEMPLO b): Resolver la ecuacin (5)

[Cap. 2

Otra vez, los coeficientes en la ecuacin son homogneos y de grado dos, Podramos usar y = vx pero la simplicidad relativa del trmino dx en (5) sugiere que pongamos

o

x = vy.

Entonces dx = V dy + y dv, y la ecuacin (5) se reemplaza por vi ( v dy + y dv) + (V2y2 + y2) dy = O

V ( V dy + y dv) + (v 2 + 1) dy = O, Por tanto necesitamos resolver

(6) vy dv + (2v2 + 1) dy = O. que nos lleva de inmediato a

In (2v 2 + 1) + 4 In y = In c,

10] Ecuaciones con coeficientes homogneos 41

o

De aqu la solucin deseada es

y4(~ + 1) = C; esto es,

(7) Ya que el miembro izquierdo de la solucin (7) no puede ser negativo, podemos, por motivos de simetra, cambiar la constante arbitraria por Cl \ escribiendo

y2(2x2 + i) = C.14 Para el estudiante que va a resolver la ecuacin (5), vale la pena

usar y = vx. Este mtodo nos lleva directamente a la ecuacin

(v 3 + 2v) dx + x( v2 + 1) dv = O. Frecuentemente en ecuaciones con coeficientes homogneos, no tiene

importancia el uso de y = vx o x = vy.

EJERCICIOS

En los ejercicios 1-19 obtngase la solucin general. : 1. (x - 2y) dx + (2x + y) dy = O.

SOL. In (X2 + y2) + 4 Aretan (y/x) = e. 2. 2(2x2 + y2) dx - xydy = O. SOL. x4 = e2 (4x2 + y2). 3. xydx - (X2 + 3y2) dy = O. SOL. X2 = 6y2In (y/e). 4. x2y' = 4X2 + 7xy + 2y2. SOL. X2(y + 2x) = e(y + x). 5. 3xydx + (X2 + y2) dy = O. 6. (x - y) (4x + y) dx + x(5x - y) dy = O.

SOL. _x_(_y_+-x.)-=--= -c (y - 2xJ. 7. (5u - u) du + (3u - 7u) du = O. SOL. (3u + U)2 = e(u - u). 8. (x2 + 2xy - 4y2) dx - (X2 - 8xy - 4y2) dy = O.

9. (x2 + y2) dx - xydy = O. 10. v2dx + x(v - 4x) du = O. 11. (2x + y)2dx = xydy. 12. ydx = (x + yy2 - x2)dy. 13. (3x2 - 2xy + 3y2) dx = 4xy dy. 14. [x ese (y/x) - y] dx + x dy = O. 15. x dx + sen2 (y/x) [y dx - x dy] = O.

SOL. X2 + 4y2 = e (x + y) . SOL. y2 = 2x2In (x/e). SOL. xu2'= e(u ~ 2x).

SOL. x3 (x + y) = e exp (y/x). SOL. Aresen (x/y) = In (y/e). SOL. (y - x) (y + 3x) 3 = ex3

SOL. In (x/e) = eos (y/x). SOL. 4x In (x/e) - 2y + x sen (2ylx) = o.

42 Ecuaciones de primer orden y primer grado [Cap. 2

16. (x - ylny + yInx) dx + x (In y - lnx) dy = O. SOL. (x - y) lnx + ylny = cx_+ y.

17. [x - y Arctan (y/x)] dx + x Arctan (y/x) dy = O. . SOL. 2y Arctan (y/x) = X In [C2(X2 + y2) /x4].

18. v(v2 + u2) du + u(v2 - u2) dv = O. 19. (yS - 4xy2 - 2X3) dx + x2(2y + x) dy = O.

SOL. X2(y _ 2x) 2 = C2(X2 + y2). 20. Prubese que con la ayuda de la sustitucin y = vx, podemos resolver

cualquier ecuaci:1 de la forma y"f(x) dx + H(x, y) (y dx - x dy) = O,

donde H (x, y) es homognea en x y y. En los ejercicios 21-33 encontrar la solucin indicada.

21. (x - y) dx + (3x + y) dy = O; cuando x = 2,y = -1. SOL. 2(x + 2y) + (x + y) In (x + y) = O.

22. (y- VX2+y2) dx-xdy=O;cuandox= ..[3, y = 1. . SOL. X2 = 9 - 6y.

23. (y + V X2 + y2) dx - x dy = O; cuando x = ..[3, y = 1. SOL. X2 = 2y + 1.

24. [x cos2 (y/x) - y] dx + x dy = O; cuando x = 1, y = 7!'/4. SOL. tan (y / x) = In (e/x).

25. (y2 + 7xy + 16x2) dx + x2dy = O;cuandox'= 1,y = 1. SOL. X - Y = 5(y + 4x) Inx.

26. y2 dx + (X2 + 3xy + 4y2) dy = O; cuando x = 2, y = 1. SOL. 4(2y + x) Iny = 2y - x.

27. xydx + 2(x2 + 2y2) dy = O; cuando x = O,y = 1. SOL. y4(3x2 + 4y2) = 4.

28. y(2X2 - xy + y2) dx - x2(2x - y) dy = O; cuando x = 1, y = l SOL. y21n x = 2y2 + xy. _ X2.

29. y(9x - 2y) dx - x(6x - y) dy = O; cuando x = 1, y = 1. SOL. 3x3 - x2y - 2y2 = O.

30. Y(X2 + y2) dx + X(3X2 - 5y2) dy = O; cuando x = 2,y = 1. SOL. 2y5 - 2X2y3 + 3x = O.

31. (16x + 5y) dx + (3x + y) dy = O; la curva pasa a travs del punto (1, -3). SOL. Y + 3x = (y + 4x) In (y + 4x).

32. v(3x + 2v) dx - X2 dv = O; cuando x = 1, v = 2. SOL. 2X3 + 2x2v - 3v = O.

33. (3x2 - 2y2) y' = 2xy; cuando x := O, y = -1. SOL. X2 = 2y2 (y + 1).

34. De los teoremas 1 y 2, pgina 38, se sigue que si F es homognea de grado k en x y y, F puede escribirse en la forma

(A) Usar CA) para probar ~l teorema de Euler: si F es una funcin homognea de grado k en x y y.

43

aF aF x- + y- = kF. ax ay

Il. ECUACIONES EXACTAS

En la seccin 6 hemos observado que cuando una ecuacin puede ponerse en la forma

A(x) dx + B(y) dy = O la solucin general puede determinarse por integracin; esto es, encon-trando una funcin cuya diferencial es A(x) dx + B(y) dy.

Esta idea puede extenderse a algunas ecuaciones de la forma

( 1 ) M(xJ y) dx + N(xJ y) dy = O en las cuales la separacin de variables puede no ser posible. Suponga-mos que una funcin F (xJ y) puede encontrarse de modo que tenga como diferencial total la expresin M dx + N dy; esto es, (2) dF = M dx + N dy. Entonces, ciertamente

(3) F (xJy ) = e es la solucin general de (1). De (3) se sigue que

dF=O o, en vista de (2)

Mdx+ Ndy = O. como se deseaba.

Entonces, se necesitan dos cosas: primero encontrar bajo qu condi-ciones para M y N existe una funcin F tal que su diferencial total sea exactamente M dx + N dy; segundo, si esas condiciones se satisfacen, determinar la funcin F. Si existe una funcin F tal qtle

Mdx + Ndy sea exactamente la diferencial total de FJ llamaremos a la ecuacin ( 1) una ecuacin exacta.

(1) Mdx + Ndy = O es exacta, entonces por definicin existe F tal que

dF = M dx + N dy.

44

Pero, del clculo

as

Ecuaciones de primer Ordlln y primer grado

oF oF dF = Ox dx + ay dy,

M=oF ox'

oF N --- ay

Estas dos ecuaciones nos conducen a

y oN 02F ox - oxoy

Otra vez del clculo sabemos que

a2F 02F oyox - oxoy'

[Cap. 2

siempre que esas derivadas parciales sean continuas. Por tanto, si (1) es una ecuacin exacta, entonces

(4) oM oN ay =a;. De este modo, para que (1) sea exacta es necesario que (4) se satisfaga.

Mostraremos ahora que si la condicin (4) se satisface, entonces ( 1) es una ecuacin exacta. Sea 9' (x, y) una funcin tal que

09' = M OX

La funcin 9' es el resultado de integrar M dx con respecto a x mientras que y permanece constante. Ahora

029' oM oyox = ay;

as, si (4) satisface, entonces tambin

(5) 02 \0 oN

ox ay =-a;. Integremos ambos miembros de esta ltima ecuacin respecto a x, manteniendo y fija. En la integracin con respecto a x, la "constante arbitraria" puede ser cualquier funcin de y. Llammosla B' (y), para

- 11] Ecuaciones exactas 45

facilitamos el indicar su integral. Entonces la integracin de (5) con respecto a x produce

(6) ~; = N + B' (y) . Ahora puede darse una funcin F, a saber,

F = ff(X, y) - B(y) para la cual

dF = Off dx + ay> dy - B' (y) dy ox ay .

= M dx + [N + B'(y)] dy - B'(y) dy = Mdx + Ndy.

De aqw, la ecua,cin (1) es exacta. Con esto hemos completado la demostracin del teorema enunciado a continuacin .

. M N oM oN t' . d TEOREMA 3: Sz , 'ay' y OX son unczones contznuas e x y y, entonces una condicin necesaria y suficient'e para que (1) Mdx + N dy = O sea una ecuacin exacta es que

(4 ) oM oN ay - ox

Es ms, la demostracin contiene el germen de un mtodo para la obtencin de la solucin, un mtodo usado en los ejemplos a) y b) siguientes. Encontraremos, sin embargo, con un poco de prctica, que podemos escribir las soluciones de muchas ecuaciones exactas por simple inspeccin. V anse los ejemplos c) y d). No importa qu mtodo se use, el resultado puede comprobarse por diferenciacin.

EJEMPLO a): Resolver la ecuacin (7) 3x(xy - 2) dx + (x3 + 2y) dy = O.

Primero, del hecho que

oM ay = 3X2 y oN _ 3 2 ox - x,

concluimos que la ecuacin (7) es exacta. Por tanto, su solucin es F ::: c, donde

..

46

(8) Y (9)

Ecuaciones de primer orden y primer grado

oF - = N = x3 + 2y. oy

[Cap. 2

Queremos determinar la F de la ecuacin (8). Integrando ambos miembros de (8) con respecto a x, manteniendo y constante se obtiene ( 10) donde la constante arbitraria usual en la integracin indefinida, es ahora necesariamente una funcin T (y), hasta aqu desconocida. Para deter-minar T (y), usamos el hecho de que la funcin F de la ecuacin (10) debe tambin satisfacer la ecuacin (9). En consecuencia

x3 + T'(y) = x 3 + 2YJ T'(y) = 2y.

Enla obtencin de T(y) no se necesita la constante arbitraria, ya que una se introduce en el miembro derecho de la solucin F = c. Entonces

T(y) = i, y de (10)

F = X3y - 3X2 + y2.

Finalmente la solucin de la ecuacin (7) es X3y - 3X2 + y2 = C.

EJEMPLO b): Resolver la ecuacin ( 11 ) (2x3 - xy2 - 2y + 3) dx - (x2y + 2x) dy = O donde

oM oN Oy = - 2xy - 2 = a;'

as, la ecuacin (11) es exacta. La solucin de (11) es F = CJ donde

(12) Y

(13)

oF 2 3.,2 Ox = x - Xy - 2y + 3

11] Ecuaciones exactas 47

Debido a que (13) es ms simple que (12), y por motivos de variedad principiamos la determinacin de F de la ecuacin (13) . .

Inmediatamente de (13) F == _ix2y2 - 2xy + Q(x),

donde Q (x ) se determinar de (12). La ltima da

Por tanto

_xy2 - 2y + Q'(x) = 2X3 - xy2 - 2y + 3, Q'(x) = 2X3 + 3.

Q(x} = i X4 + 3x, y la solucin deseada de (11) es

- ix2y2 - 2xy + i X4 + 3x = ie, o

x4 - x2i - 4xy + 6x = c. EJEMPLO e): Resolver la ecuacin del ejemplo a) por inspeccin.

Supngase que hemos examinado

(7) 3x(xy - 2) dx + (x3 + 2y) dy = O y hemos encontrado que es exacta. Entonces, podemos escribir la solu-cin general por inspeccin; esto es, por una cuidadosa observacin del miembro izquierdo de (7), encontraremos una funcin de la cual (7) es la diferencial total.

Primero, el trmino 3x2y dx sugiere la diferencial de x3y. De aqu buscamos en (7) el trmino necesario compaero de x3dy y agrupamos los dos trminos. Cualquier trmino tal como - 6x dx, que contiene: solamente una variable, es una diferencial exacta tal como se ha puesto. Por tanto, acomodaremos la ecuacin (7) en la forma

(3x2y dx + x3dy) - 6x dx + 2y dy = O, de la cual se sigue que

X3y - 3X2 + i = c. EJEMPLO d): Resolver la ecuacin (11) (2x3 - xy2 - 2y + 3) dx - (X2y + 2x) dy = O del ejemplo' b~ por inspeccin.

El agrupamiento

-,

48 Ecuaciones de primer orden y primer grado [Cap. 2

2X3 dx' - (Xy2 dx + X2y dy) - (2y dx + 2x dy) + 3dx = O lleva de inmediato al resultado

i X4 - iX2y2 - 2xy + 3x = tc, X4 .:.... X2y2 - 4xy + 6x = c.

EJERCICIOS

Examnense cada una de las siguientes ecuaciones para saber si son exac-tas y resulvase la ecuacin. Las ecuaciones que no son exactas pueden, por supuesto, resolverse por los mtodos discutidos en las secciones prece-dentes. .

1. (x + y) dx + (x ,- y) dy = O. SOL. X2.+ 2xy - y2 = c. 2. (6x + y2) dx + y(2x -3y) dy = O. SOL. 3X2 + Xy2 - y3 ~I c. 3. (2xy - 3X2) dx + (X2 + y) dy = O. SOL. X2y - X3 + 'b2 = c. 4. (y2 - 2xy + 6x) dx - (X2 - 2xy + 2) dy = O.

SOL. Xy2 - X2y + 3X2 - 2y = c. 5. (2xy + y) dx + (x2 - x) dy = O. SOL. Y- = CX(X - 1)-3. 6. (x - 2y) dx + 2(y - x) dy = O. SOL. X2 + 2y2 = 4xy + c. 7. Haga el ejercicio 6 por otro mtodo. 8. (2x - 3y) dx + (2y - 3x) dy = O. SOL. X2 + y2 = 3xy + c. 9. Hacer el ejercicio 8 por otro mtodo.

10. v(2uv2 - 3) du + (3U2V2 - 3u + 4v) dv = O. SOL. V(U 2V 2 - 3u + 2v ) = c.

11. (cOS 2y - 3X2y2) dx + (COS 2y - 2x sen 2y - 2x3y ) dy = O. SOL. i sen 2y + x cos 2y - X3y2 = c.

12. (1 + y2) dx + (x2y + y) dy = O. SOL. 2 Arctan x + In (1 + y2) = c.

13. (1 + y2 + xi) dx + (X2y + y + 2xy) dy = O. SOL. 2x + y2(1 + x)2 = c.

14. (w 3 + wz2 - z ) dw + (Z3 + w2z - w) dz = O. SOL. (w + z2)2 = 4wz + c.

15. (2xy - tan y) dx + (X2 - x sec2 y) dy = O. SOL. x2y - x tan y = o.

16. (cosxcosy - cotx) dx - senxsenydy = O. , SOL. senxcosy = In (csenx) .

17. (r + senO - cos O) dr + r( sen O + cosO) dO = O. SOL. r2 + 2r (sen O - cos O) = c.

18. x(3xy - 4ya + 6) dx + (x3 - 6x2y2 - 1) dy = O. SOL. X3y - 2X2y3 + 3X2 - y = c.

19. (sen O - 2r cos2 O) dr + r cos O (2r sen O + 1) dO = O. SOL. r sen O - r2 cos2 O = c.

20. [2x + y cos (xy)] dx + x cos (xy) dy = O. 21. 2xy dx + (y2 + X-Z) dy = O.

SOL. X2 + sen (,",y) = C. SOL. y(3x2 + )12) = C.

12] Mtodos de solucin 49

. 22. 2xy dx + (y2 - X2) dy = O. SOL. X2 + y2 = cy. 23. (xy2 + y - x) dx + x(xy + 1) dy =0. SOL. X2y2 + 2xy - X2 = c. 24. 3Y (X2 - 1) dx + (x3 + By - 3x) dy = O; cuando x = O, Y = 1.

SOL. XY(X2 - 3) = 4 ( 1 _ y2) . 25. (1 - xy)-2 dx + [y2+ x2(1 - xy) -2] dy = O; cuando x = 2, y = 1.

SOL. Xy4 - y3 + 5xy - 3x = 5. 26. (3 + y + 2y2 sen2 x) dx + (x + 2xy - y sen 2x) dy = O.

SOL. y2 sen 2x = e + 2x (3 + y +y2 ). 27. 2x[3x + y - yexp ( _ X2)] dx + [x2 + 3y2 + exp ( - X2)] dy = O.

SOL. x2y + ya + 2X3 + yexp ( _ X2) = c. 28. (xy2 + x - 2y + 3) dx + x2y dy = 2(x + y) dy; cuando x = 1,

y = 1. SOL. (xy - 2)2 + (x + 3.)2 = 2y2 + 15.

12. MTODS DE SOLUCIN . r

Muchos libros de texto presentan el material tratado en los captulos 2 y 4 de este libro como una coleccin de mtodos para resolver ecua-ciones de primer orden y primer grado. El lector algunas veces tiene la impresin de que tales tcnicas son mtodos aislados, un "saco de trucos". Realmente, las nicas tcnicas presentadas aqu son los mtodos de integracin de una ecuacin exacta y dos procedimientos para hacer una ecuacin exacta si no lo es en su forma original. Y a vimos, en la seccin 11 , cmo manipular una ecuacin exacta.

Si una ecuacin no es exacta, es natural intentar hacerla exacta por la introduccin de un factor apropiado, que se llama factor integrante. La separacin de variables (seccin 6) es un ejemplo simple de la tcnic~ del factor integrante. En la seccin 13 resolveremos la ecuacin lineal general de primer orden obteniendo, primero, un factor integrante. Las secciones 17 y 18 contienen desarrollos adicionales de la misma idea.

D n segundo mtodo para convertir algunas ecuaciones en exactas es introducir una nueva variable, o variables escogidas por una apre-ciacin inteligente de la forma de la ecuacin. La seccin 10 contiene Un ejemplo simple en el cual la homogeneidad de los coeficientes sugiere la razn de las variables originales como la nueva variable debida al teorema 2, pgina 38. El captulo 4 contiene otros ejemplos d~ la, eleccin apropiada de cambios de variable.

13. LA ECUACIN LINEAL DE PRIMER ORDEN . Una ecuacin que es lineal y de primer orden en la variable depen-

dIente y puede, por la definicin (pgina 16), ser la forma

-,

50 Ecuaciones de primer orden y primer grodo [Copo 2

('1) . A(x) dy + B(x)y dx = C(x) dx. Al dividir cada miembro de la ecuacin ( 1) entre A (x), obtenemos

(2) dy + P ( x) y dx = Q ( x) dx, la cual escogemos como la forma estndar para la ecuacin lineal de primer orden.

Por el momento, supongamos que existe para la ecuacin (2) un factor integrante u (x), una funcin de x solamente. Entonces, (3) u dy + uP(x)y dx = uQ(x) dx debe ser una ecuacin exacta. Pero (3) fcilmente puede ponerse en la forma

M dx + N dy = O con

M = uPy - uQ, y

N = u, en la cual u, P y Q son funciones de x solamente"

Por consiguiente, si la ecuacin (3) es exacta', se sigue de la condicin oM oN oy ox

que u debe satisfacer la ecuacin du (4) uP = dx'

De (4), u puede obtenerse rpidamente, para dar du Pdx = -, u

as In u = ) P dx,

o

(5) u = exp O P dx) . Esto es, si la ecuacin (2) tiene un factor integrante independiente de y, entonces el factor debe estar dado por la ecuacin (5).

Lo que resta es mostrar que la u dada por la ecuacin (5) es real-mente un factor integrante de (2) dy + P(x)y dx = Q (x) dx

I ,

13] La ecuacin linea l de primer orden

Aplicando el factor a toda la (2), .obtenemos (6) exp () P dx) dy + P exp () P dx) y dx = Q exp () P dx) dx. El miembro izquierdo de (6) es la diferencial del producto

yexp () Pdx)

51

el miembro derecho de (6) es una diferencial exacta, ya que es inde-pendiente de y. De aqu la ecuacin (6) es exacta, que era lo que queramos mostrar.

Por supuesto un factor integrante es suficiente. De ah que podemos usar en el exponente (S P dx) cualquier funcin cuya diferencial sea P dx.

Con un factor de integracin a la mano, daremos la siguiente regla para integrar cualquier ecuacin lineal de primer orden,

a) Poner la ecuacin en la forma estndar; dy + Pydx = Qdx;

b) Obtener el factor integrante exp (S P dx) ; e) Aplicar el factor intObsrvese que al integrar la ecuacin exacta, la integral del miembro izquierdo siempre es el producto variable dependiente y d factor inte-grante empleado.

EJEMPLO a): Resolver la ecuacin 2 (y - 4x2 ) dx + xdy = o.

La ecuacin es lineal en y. Al ponerla en la forma estndar llegamos a

(7) 2 dy + - ydx = 8xdx. x

Entonces, un factor integrante es

exp(J 2 :x)= exp (21n x) = [exp (In X)]2 = X2. En seguida aplicamos el factor integrante a (7), y obtenemos la ecuacin exacta

(8) X2 dy + 2xy dx = 8x3 dx

52 Ecuaciones de primer orden y primer grado

La solucin de (8) es (9)

[Cap. 2

y debe ser comprobado particularmente, ya que la verificacin de este resultado es muy fcil.

De (9) obtenemos (8 ) por diferenciacin. Entonces, la ecuacin diferencial .original se sigue de (8 ) por un simple ajuste. As (9) es una solucin de la ecuacin original.

EJEMPLO b); Resolver la ecuacin y dx + (3x - xy + 2) dy = O.

Ya que el producto y dy aparece aqu, la ecuacin no es lineal en _y. No obstante, es lineal en x. Por tanto arreglamos los trminos de la si-guiente manera

y dx + (3 - y) x dy = - 2 dy y pasamos a la forma estndar

( 10) dx + (~ - 1) x dy = - ' dy. Y y' Ahora J (~ - 1) dy = 3 In y - y + el, as que un factor integrante de la ecuacin ( 10 ) es

exp (3lny - y) = exp(~ lny) e-V = [exp (lny)]3. e-Y = ie-v. ~plicando este factor integrante a la ecuacin (10) llegamos a la

ecuacin exacta y3e-Y dx + y2 (3 - y) e-Yx dy = - 2y2e-Y dy,

de la cual obtenemos xy3e-V = - 2 S y2e-Y dy

= 2ie-v + 4ye-V + 4e-v + c. De este modo pasamos a escribir la solucin

xy3 = 2y2 + 4y + 4 + c.eY.

En los ejer6cios 1-25, encuntrese la solucin general. EJERCIClOS

1. (x5 + 3y) dx - x dy = O. SOL. _2y = x5 + cx3 2. 2(2xy + 4y - 3) dx + (x + 2)2dJ' = o.

SOL. y = 2(x + 2)-1 + c(x + 2) -4.

13] La ecuacin lineal de primer arden 5'3

3. y' = X - 2y. SOL. 4y = 2x - 1 + ce-2:e. 4. (y + 1) dx + (4x - y) dy = O.

SOL. 20x = 4y - 1 + C(y + 1)-4. 5. U dx + (1 - 3u) X du = 3u2e3U dj. SOL. XU = (u3 + c) e3\

54 Ecuaciones de primer orden y primer grado [Cap. 2

y despus determinando w, mustrese cmo completar la solucin de dy + Py dx = Q dx.

En los ejercicios 27-33 encuntrese la solucin particular indicada. 27. (2x + 3)y' = Y + (2x + 3)!;~uandox = - 1,y = O.

SOL. 2y = (2x + 3);n (2x + 3) . 28. y' = x3 - 2xy; cuando x = 1, y = 1.

SOL. 2y = X2 - 1 + 2exp (1 - X2). 29. L ~~ + Ri = E, donde L, R, Y E son constantes; cuando t = 0, i = O.

SOL. i = ~ [1 - exp ( - ~t) ] 30. ~; + Ri = E sen wt; cuando t = 0, i = O.

SOL. Let Z2 = R2 + w2L2. Entonces

i = EZ-2 [ R sen wt - wL cos wt + wL exp ( - ~t) ] 31. Enco:ltrar la solucin de y' = 2(2x - y) que pasa por el punto

(O, - 1) . SOL. Y = 2x - 1. 32. Encuntrese la solucin de y' = 2 (2x - y) que pasa por el punto

(0,1) . SOL. Y = 2x - 1 + 2e-2%. 33. (1 + t2 ) ds + 2t[st2 - 3 (1 + t2 ) 2] dt = O; cuando t = 0, s = 2,

SOL. S = (1 + t2 )[3 - exp ( - t2 )].

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

En cada ejercicio, encuntrese la solucin general, a menos que el enun-ciado del ejercicio estipule lo contrario .

1. y' = exp (2x - y). SOL. 2eY = e2% + e. 2. (x + y) dx + x dy = O. SOL. x(x + 2y) = e. 3. y2 dx - x(2x + 3y) dy = O. SOL. y2(X + y) = ex. 4. (X2 + 1) dx + x2y2dy = O. SOL. xy3 = 3(1 + ex _ X2). 5. (X3 + y3) dx + y2(3x + ky) dy = O; k es constante.

SOL. ky4 + 4xy3 + x4 = e. 6. y' = x3 - 2xy; cuando x = 1, y == 2.

SOL. 2y = X2 - 1 + 4exp (1 - X2). 7. ~~ - cos x = cos x tan2 y. 2 sen x = y + sen y cos y + e.

dy 8. cosx dx = 1 - y - senx. SOL. y(1 + sen x) = (x + e) cosx.

dr 9. sen (J d(J = -1 - 2r cos (J. SOL. r sen2 e = e + cos (J. 10. y(x + 3y) dx + X2 dy = O. SOL. x2y = e(2x + 3y). 11. ~~ = sec2 x sec3 y. SOL. 3 tan x + e = 3 sen y - sens y.

13] La ecuacin lineal de primer orden 55

12. y( 2X3 - x2y + y3) dx - x(2x3 + y3) dy = O. S OL. 2x2y In (ex) = 4x3 - ys.

13. (1 + X2)y' = x4y4. SOL. x3y3 + 1 = y3( e + 3x - 3 Arctanx). 14. y(3 + 2xy2) dx + 3 (X2y2 + X - 1) dy = O.

SOL. X2yS = 3(e + y - xy). 15. (2X2 - 2xy - y2) dx + xy dy = O.

SOlJ. x3 = e (y - x) exp (y / x) . 16. Y(X2 + y2) dx + X(3X2 - 5y"2) dy = O; cuando x = 2, y = 1.

SOL. 2y5 - 2X2y3 + 3x = O. 17. y' + ay = b; a y b son constantes. Resolver por dos mtodos.

SOL. y = bja + ce-a". 18. (x - y) dx - (x + y) dy = O. Resolver por dos mtodos.

SOL. X2 - 2xy - y2 =e. dx 19. - = cos X cos2 t. SOL. 4 1n (sec x + tan x) = 2t + sen 2t + e. dt

20. (sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y) dy = O. SOL. x sen y + y cos x = e.

21. (1 + 4xy - 4x2y ) dx + (X2 - x3) dy = O; cuando x = 2, y = t. SOL. 2x4y = X2 + 2x + 21n (x - 1),.

22. 3x3y' = 2y(y - 3) . SOlJ. Y = e(y - 3) exp (X-2). 23. (2y cos x + sen4 x) dx = sen x dy; cuando x = !7T, Y = 1.

SOL. Y = 2 sen2 x sen2 !x. 24. xy(dx - dy) = X2 dy + y2 dx. SOL. X = Y In (exy) . 25. a"2 (dy - dx) = X2 dy + y2 dx; a es constante.

SOL. 2 Arctan (y j a) = 1n [e (x + a) j (x - a)]. 26. (y - sen2 x) dx + sen x dy = O.

SOL. y(cscx - cotx ) = x + e - sen x. 27. (x - y) dx + (3x + y) dy = O; cuando x = 2,y = -l.

SOL. 2(x + 2y) + (x + y) In (x + y) = O. 28. y dx = (2x + 1) (dx - dy) .

SOL . 3y = (2x + 1) + e(2x + 1) -~ . Al resolver los ejercicios 29-33, recordaremos que el valor principal de

Arcsen x de la funcin inversa del seno est restringido a:

- t7T :::; Arcsen x :::; h.

29. Y1=Y2 dx + V 1 - X2 dy = O. SOL. ~_:'csen x + Arcsen y = e) o una parte de la elipse

x2 + 2elXy + y2 + e12 - 1 = O, donde el = cos e.

30. Resulvase la ecuacin del ejercicio 29 con la condicin de que cuando x = O, Y = t V3.

SOL. Arcsea x + Arcsen y = i, o el arco de elipse X2 + xy + y2 = ! que est indicado en la figura 6 con lnea' gruesa.

I

56

I I I

y

----~--------~~--------~---x

FIGURA 6

31. Resulvase la ecuacin del ejercicio 29 con la condicin de que cuando x = O, Y = -i- '-13.

SOL. Arcsen x + Arcsen y = -~, o el arco de la elipse. X2 + xy + y2 = !, que est indicado en la figura 6 con lnea delgada.

32. Mustrese que despus de que las soluciones a los ejercicios 30-31 han sido suprimidas, los restantes arcos de la elipse

x2 +xy+y2 = !

no son soluciones de la ecuacin diferencial

'-1 1 - )12 dx + '-1 1 - X2 dy = O Para este propsito considrese el signo de la pendiente de la curva.

33. Para la ecuacin '-1 1 - y2 dx - '-1 1 - X2 ay = O

ennciense y resulvanse cuatro problemas anlogos a los ejercicios 29-32 anteriores.

34. u du = (eV + 2uu - 2u) du. SOL. u2u = ce2V - (u + 1)ev. 35. ydx = (3x + y3 - y2) dy; cuando x = l,y = -1.

SOL. x = y2 [1 + yln (-y)]. 36. y2 dx - (xy + 2) dy = O. SOL. xy = cy2 - 1. 37. (X2 - 2xy - y2) dx - (X2 + 2xy - y2) dy = O.

SOL. (x + y) (x 2 _ 4xy + y2) = c3. 38. y2dx+ (xy +y2 -1) dy=O; cuando x= -1, y = l.

SOL. y2 + 2xy + 1 = 2 ln y.

13] la ecuacin lineal de primer arden 57

39. y(y2 - 3x2) dx + x3 dy = o. sov. 2X 6 = y2(X4 + e) . 40. y' = cos x - y sec x; cuando x = O, Y = lo

SOL. y(1 + sen x) = cos x(x + 2 - cos x). 41. Encuntrese la solucin de y' = 3x + y que pase por el punto

(-1,0). SOL. Y = -3(x + 1). 42. Encuntrese la solucin de y' = 3x + y que pase por el punto

(-1,1). SOL. y = exp(x+ 1) -3(x+ 1). 43. y' = y tan x + cosx. SOL. 2y = sen x + (x + e) secx. 44. (X2 - 1 + 2y) dx + (1 - X2) dy = O; cuando x = 2, Y = 1.

SOL. (x + l)y = (x - l)[x + 1 + 2ln (x - 1)]. 45. (x3 - 3xy2) dx + (y3 - 3x2y) dy = O.

SOL. Y = x - x3 + c(l - X2)?!. 47. (y2 + y) dx - (y2 + 2xy + x) dy = O; cuando x = 3, y = 1.

SOL. 2y2 + Y = x. 48. (ya - x3 ) dx = xy(xdx + ydy).

49. y' = sec x - y tan x. 50. x 2y' = Y (1 - x). 51. xy' = x - y + tan x. 52. (3x4y - 1) dx + x5 dy = O;

SOL. 2x~ In (x + y) = cx2 + 2xy _ y2. SOL. Y = sen x + ecos x.

SOL. x In (cxy) = -1. SOD. xycosx = e + cosx + xsenx.

cuando x = 1, y = 1. SOL. x4y = 2x - 1.

53. y2 dx + X2 dy = 2xy dy. SOL. y2 = x(y + e). 54. (sen x sen y + tan x) dx - cos x cos y dy = o.

SOL. COS x sen y = In (e sec x) . 55. (3xy - 4y - 1) dx + x(x - 2) dy = O; cuando x = 1, y = 2.

SOL. 2X2(X - 2) y = X2 - 5.

\

,

CAPITULO 3 Aplicaciones ele:rnentales

14. VELOCIDADES DE ESCAPE DE LA TIERRA

Muchos problemas fsicos involucran ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado.

Considrese el problema de determinar la velocidad de una partcula que es proyectada en una direccin radial, hacia afuera de la Tierra, y que est BU jeta a la accin de una sola fuerza, la atraccin gravitacional de la Tierra.

Supondremos una velocidad inicial en una direccin radial de tal forma que el movimiento de la partcula tenga lugar completamente sobre una lnea que pasa a travs del centro de la Tierra.

De acuerdo con la ley de Newton de la gravitacin, la aceleracin de la partcula ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay de la partcula al centro de la Tierra.

Sea r la distancia variable y R el radio de la Tierra. Si t representa el tiempo, v la velocidad de la partcula, a su aceleracin, y k la constante de proporcionalidad en la ley de Newton, entonces

59

60 Aplicaciones elementales [Cap. '3

dv k a - -

----ro La aceleracin es negativa porque la velocidad es decreciente. Por lo tanto, la constante k es negativa. Cuando r = R, entonces a= -g. la aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra. Por tanto,

k - g = R2'

de lo que se obtiene

Deseamos expresar la aceleracin en trminos de la velocidal y la distan-dv dr

Cla. Tenemos a = dt y v = dt' Entonces

dv dr dv dv a=-=--=v-

dt dt dr dr' de tal forma que la ecuacin diferencial para la velocidad se ve que tiene la forma

(1 ) v dv = _ gR~ dr r2 Se aplica el mtodo de separacin de variables a la ecuacin (1) Y se

obtiene inmediatamente la solucin 2 R2

v2 =-g- + c. r

Supngase que la partcula deja la superficie de la Tierra con una velocidad va. Entonces v = va cuando r = R, de estas condiciones es fcil determinar el valor de la constante C, que es

e = v0 2 - 2g R.

Entonces, una partcula proYectada en una direccin radial hacia afuera de la superficie de la Tierra, con una velocidad inicial Va, viajar con una velocidad v dada por la ecuacin

(2) 2 R2

v2

= ~+ v 02 - 2gR. r

Es de considerable inters determinar cundo la partcula escapar a la atnccin gravitacional de la Tierra. En la superficie de la Tierra,

14] Velocidades de escape de la t ierra 61

en r = R, la velocidad es positiva, v = Vo. Examinando el miembro derecho de la ecuacin (2) se ve que la velocidad de la partcula permanecer positiva si, y slo si

(3) V 0 2 - 2gR ~ o. Si la desiguaJdad (3) es satisfecha, la velocidad dada por la ecuacin

(2) permanecer positiva ya que no puede anularse, es continua y positiva en r = R. Por otra parte, si la desigualdad (3) no se satisface entonces v02 - 2gR < O, y habr un vaJor crtico de r para el cual el miembro derecho de la ecuacin (2) sea cero. Esto es, la partcula podr pararse, la velocidad cambiar de positiva a negativa y la partcula volver a la Tierra.

U na partcula proyectada desde la Tierra con una velocidad vo tal que vo ~ V 2gR escapar de la Tierra. De aqu que la velocidad mni-ma de proyeccin

(4) Ve = V2gR, se llama la velocidad de escape.

El radio de la Tierra es aproximadamente R = 3 960 millas. La aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra es aproxima-damente g = 32.16 pies/seg2 , o g = 6.09 ( 10)-3 millas/seg2 Para la Tierra se encuentra fcilmente que la velocidad de escape es Ve = 6.95 millas/seg.

Por supuesto, el empuje gravitacional de otros cuerpos celestes, la Luna, el Sol, Marte, Venus, etc., ha sido despreciado en el problema ideaJizado que hemos tratado aqu. No es difcil ver que taJes aproxi-maciones son justificadas, ya que estamos interesados solamente en la velocidad inicial crtica Ve. Q ue la partcula realmente caiga sobre la Tierra, o que se transforme, por ejemplo, en satlite de algn otro cuerpo celeste, no es de consecuencia en el presente problema.

Si en este estudio sucede que pensamos en la partcula como una idealizacin de un cohete de tipo balstico, debemos considerar otros elementos. Por ejemplo, no podemos despreciar la resistencia del aire en las primeras millas del recorrido. Los mtodos empkados para sobre-ponerse a esas dificultades no son tratados aqu.

Debe entenderse que la frmula Ve = V 2gR se aplica tambin para obtener la yelocidad de escape de otros miembros del sistema solar, con slo dar a R y g sus valores apropiados.

62

15. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Los experimentos han demostrado que bajo ciertas condiciones se puede obtener una buena aproximacin a la temperatura de un objeto, usando la ley de enfriamiento de Newton. Esta ley puede enunciarse de la manera siguiente: La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia, de las ~emperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Supondremos aqw que la constante de proporcionalidad es la misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya.

Supngase, por ejemplo, que un termmetro que ha marcado 70oF dentro de una casa, se pone en el exterior donde la temperatura del aire es 10F. Tres minutos despus se encuentra que el termmetro marca 25F. Deseamos predecir las lecturas del tennmetro para varios tiempos posteriores.

Representamos por u ( F) la temperatura marcada por el termmetro al tiempo t (min), el tiempo ser medido desde que el termmetro se coloca en el exterior. Nuestros datos nos indican Hue cuando t = 0, u = 70, y cuando t = 3, u = 25.

De acuerdo con la ley de Newton, la velocidad de variacin de la temperatura con el tiempo, du/ dt, es proporcional a la diferencia de tem-peraturas (u - 10). Ya que la temperatura que marca el termmetro est decreciendo, es conveniente escoger (-,- k) como la constante de proporcionalidad. Entonces la u debe ser determinada de la ecuacin diferencial

( 1 ) con las condiciones (2) Y (3)

du dt

-k(u - 10),

cuando t = 0, u = 70

cuando t = 3, u = 25.

Necesitamos conocer las lecturas del termmetro en dos tiempos dife-rentes debido a que hay dos constantes que deben ser detenninadas, la k en la ecuacin (1) y la constante "arbitraria" que se encuentra en la solucin de la ecuacin (1)

De la ecuacin (1) se sigue inmediafamente que u = 10 + Ce-1;t,

16] Conversin qumico simple 63

Entonces, la condicin (2) nos indica que 70 = 10 + C y por tanto C = 60, de tal forma que tenemos

(4) u = 10 + 60e-kt El valor de k ser determinado ahora usando la condicin (3). Haciendo t = 3 Y u = 25 en la ecuacin (4) obtenemos

25 = 10 + 60e-3\

de lo cual e-3k = i, as que k = ~ In 4. Por tanto la temperatura est dada por la ecuacin.

(5) u = 10 + 60 exp ( -~t In 4). Ya que In 4 = 1.39, la ecuacin (5) puede reemplazarse por (6) u = 10 + 60 exp ( - O.46t), que es conveniente cuando se puede conseguir una tabla de valores de e4 .

16. CONVERSIN QUMICA SIMPLE Es sabido de los resultados de la experimentacin qUlITuca que, en

ciertas reacciones en las cuales una sustancia A se convierte en otra sustancia, la velocidad de variacin de la cantidad x, de sustancia no convertida, con el tiempo es proporcional a x.

Considrese que se conoce la cantidad de sustancia no convertida a algn tiempo dado; esto es, supngase que x = xo para t = O. Entonces, la cantidad x en algn tiempo t > O est determinada por la ecuacin

( 1 ) dx - = -kx dt

con la condicin de que cuando t = O, x = Xo . Ya que la cantidad x est disminuyendo cuando el tiempo aumenta, la constante de propor-cionalidad en la ecuacin ( 1) debe ser ( - k ) .

De la ecuacin (1) se sigue que x = Ce-kt

pero x = Xo cuando t = O. Por tanto, C = Xo. De aqu que tenga-mos el resultado

64 Aplicaciones elementales [Cap. 3

(2) x = XOe-kt

Vamos ahora a estipular otra condicin ms, que nos sirve para determinar k. Supngase que se sabe que al terminar el primer medio minuto, esto es en t = 30 seg., dos tercios de la cantidad original Xo se han convertido. Vamos a determinar cunta sustancia no convertida queda en t = 60 seg.

Cuando dos tercios de la sustancia se han convertido, un tercio permanece sin convertirse. Por lo tanto, x = !xo cuando t = 30. La ecuacin ( 2) nos da ahora la relacin

!xo = xoe-30k

de la cual se encuentra fcilmente que k vale ~ In 3. Entonces si t est 30

medida en segundos, la cantidad de sustancia no convertida est dada por la ecuacin

(3) x = Xo exp ( - ~t In 3) . 30

En t = 60 x = xo exp ( - 2 In 3) = Xo ( 3 ) -2 = 2.xo.

9

EJERCICIOS

1. El radio de la Luna es aproximadamente 1 080 millas. La aceleracin de la gravedad en la superficie de la Luna es aproximadamente 0.165g, donde g es la aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra. Determ

16] Conversin qumica simple 65

31F. Determnese las temperaturas medidas como una funcin del tiempo y, en particular, encontrar la temperatura que marca el ter-mmetro cinco minutos despus de que se lleva al cuarto.

SOL. u = 70 - 52 exp (-0.29t); cuando t = 5, u = 58. 4. Un termmetro que marca 75F se lleva fuera donde la temperatura

es de 20F. Cuatro minutos despus el termmetro marca 30F. En-contrar: a) la lectura del termmetro siete minutos despus de que ste ha sido llevado al exterior, y b) el tiempo que le toma al ter-mmetro caer desde 75F hasta ms o menos medio grado con res-pecto a la temperatura del aire. SOL. a) 23F. b) 11.5 mino

5. A la 1: 00 p.m. un termmetro que marca 70F, es trasladado al exterior donde el aire tiene una temperatura de -10F, diez grados abajo de cero. A la 1 :02 p.m. la lectura es de 26F. A la 1 :05 p.m. el termmetro se lleva nuevamente adentro donde el aire est a 70F. Cul es la lectura del termmetro a las 1: 09 p.m?

6. A las 9: 00 a.m. un termmetro marca 70F y se le traslada al exterior donde la temperatura es de 15F. A las 9:05 31.m. la lectura del termmetro es 45F. A las 9: 10 a.m. el termmetro es devuelto a su lugar original donde la temperatura permanece fija a 70F. En-cuntrese: a) la lectura de las 9: 20 a.m., y b) a qu hora el ter-mmetro marcar la temperatura correcta del cuarto? (70F.)

SOL. a) 58F; b) 9:46 a.m. 7. A las 2: 00 p.m. un termmetro marca 80F y se le traslada al exterior

donde la temperatura del aire es de 20F. A las 2: 03 p.m. la lectura del termmetro es de 42F. Posteriormente, el termmetro es devuel-to al interior donde el aire est a 80F. A las 2: 10 p.m. la lectura es de 71 F. En qu momento el termmetro fue devuelto al interior? SOL. A las 2:05 p.m.

8. Supngase que una reacci; qumica Se desarrolla de acuerdo con la ley indicada en la seccin 16. Si la mitad de la sustancia A ha sido convertida al finalizar diez segundos, encuntrese en cunto tiempo se transforman nueve dcimos de la sustancia. SOL. 33 seg.

9. La conversin de una sustancia B sigue la ley empleada en la seccin 16 vista anteriormente. Si slo una cuarta parte de la sustancia ha sido convertida despus de diez segundos, encuntrese cunto tardan en convertirse nueve dcimos de la sustancia SOL. 80 seg.