ECUACIONES DIFERENCIALESDefinicin: Se dice ecuacin deiferencial (E.D.) a cualquier ecuacin que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes, con respecto a una o mas variables independientes.Ejemplo: ,

Definicin: El orden de una E.D. es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuacin.Ejemplo:

Definicin: El grado de una E.D. es igual al grado algebraico de su derivada de mayor orden, cuando los elementos de dicha E.D. son polinomios de sus derivadas.Ejemplo:a)

Orden= 2 Grado=10

b) Orden= 2 Grado=5

c)

Orden= 2

Grado =

Con el objetivo de referirnos a las E.D, debemos clasificar las E.D. por tipo, orden y linealidad.Clasificacion por Tipo: Ecuacion Diferencial Ordinaria (EDO) : Depende de una variable independiente.

Ecuacion Diferencial Parcial (EDP) : Depende de ms de una variable independiente.

Clasificacion por Linealidad: Ecuacion Diferencial Lineal : Cuando tiene la forma:

Ejemplo:

Ecuacion Diferencial no lineal: Cuando no tiene la forma anterior.

Ejemplo:

Solucin de Ecuaciones Diferenciales:

Definicin: Toda solucin , definida sobre el intervalo I y que posee al menos n derivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una EDO de n-simo orden reduzca la ecuacin a una identidad, se dice que es una solucin de la ecuacin sobre el intervalo.Ejemplo: EDO

Se observa que: =

Entonces: es solucin de la ED.Tipos de SolucionesSolucion General (SG): Es una solucin que contiene a una constante arbitraria, representa un conjunto de soluciones.Solucion Particular (SP): Es una solucin obtenida a partir de la solucin general.

Ejemplo:

Solucion Singular: Es una solucin que satisface la ED pero que no se obtiene a partir de la solucin general.Ejemplo: ............. (*)Derivamos

I) Si

Reemplazando en (*):

Reemplazando en el valor de y: (S.G.)II) Si Reemplazando en (*):

S.G. Entonces es una solucin singular, pues: Solucion Trivial: es solucin de la ED

TEOREMA: (Existencia y Unicidad para ED de 1 orden y 1 grado)Dada la ED:PVI(Problema de Valor Inicial)

Si es real, finita y continua en , es un rectngulo en , tal que pertenece a su interior , entonces PVI tiene una solucin en I, intervalo abierto tal que I .Si son reales, finitas y continuas en , un rectngulo en , tal que I

Ejemplo:Dado analice la regin en la que la ED tenga solucin nica.Solucion:Tomamos ; continuas en .

Ejemplo:

Tomamos ; son continuas en .

Ejemplo: Solucion:

Dividimos: Luego:

Ejemplo: Solucion: Usando el mtodo de Cramer para sistema de ecuaciones:

Ejemplo:

Dividimos: Luego:

Ejemplo: