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Ecuaciones Diferenciales

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Cálculo I 1

1.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: (2x + y -4) dx + (5y -1) dy=0

2.- Obtener la solución general de la ecuación diferencial (x-1)2 y dx + x2 (y+1) dy = 0. Hallar la solución particular que pasa por el punto (1,1).

3.-a. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: (3x + y - 5)dx + (6x + 2y - l)dy = 0

b. Hallar la solución particular que pasa por el punto (1, 2).

4.- Dada la ecuación diferencial y3dx - x2 (2y + x)dy = 0. Se pide: a) Clasificarla.b) Resolverla.c) Hallar la solución particular que pasa por el punto (1,3).

5.- a) Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial: (x4+ 2x2+ 2xy + l)dx - (1 + x2)dy = 0.

b) Hallar la solución particular que pasa por el punto (2,3).

6.- Indicar de qué tipo es la siguiente ecuación diferencial y resolverla: y yxdx ycos dx x cos dy 0x x

− + =

7.-. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: (3x - y - l)dx + (5x - y- 3)dy = 0

8.- Resolver la ecuación diferencial ( )2 2 22xy ln ydx x y y 1 dy 0+ + + =

9.- Resolver la ecuación diferencial dy ycos x sen(2x)dx

= +

10.- Resolver la ecuación diferencial (x3+y4)dx+8xy3dy=0.

11.- Esta nevando con regularidad a las 12 sale una máquina quitanieves que recorre en la 1ªhora 2 km y en la segunda 1 km. ¿A qué hora empezó a nevar? (Se admitirá como hipótesis que la cantidad de nieve quitada por la máquina en la unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance resulta inversamente proporcional a la altura de la nieve encontrada).

12.- a) Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial con la función de DERIVE

específica para este tipo de ecuaciones:



yxy2yx'y

2

+−

=

b) Hallar la solución particular que pasa por el punto (0, 1).

13.-Para las siguientes ecuaciones diferenciales, clasificarlas y resolverlas. Calcular también la solución particular que pasa por el punto indicado: a) (2xy - 4x) dx+dy = 0. Punto (2, 2).b) (2x3 + 3y) dx+(3x + y -1)dy = 0. Punto (1, 0).

c) y’ = x yy x+ . Punto (1,1).

d) (3y - 5) dx+x1 dy = 0. Punto (2, 2).

14.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes reduciéndolas a una ecuación de variables separables o a una ecuación homogénea, según proceda:

a.- (x + y) dx + (3x +3y – 4) dy = 0 b.- (x + y-2) dx + (2x -y +4) dy = 0

15.- Resolver la ecuación diferencial (x+y)dx-(x-y)dy=0.

16.- Suponiendo un modelo de desintegración lineal los elementos radiactivos se desintegran a una velocidad proporcional a la cantidad de sustancia presente en cada

instante, es decir, dx kxdt

= − . Se pide deducir la ecuación que gobierna este tipo de

reacción, así como la expresión de la constante de desintegración utilizando para ello el concepto de semivida.

17.- Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio presente. Si la mitad desaparece en 1600 años. ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año? ¿Qué porcentaje de la cantidad original quedará al cabo de 2600 años?

18.- Clasificar y resolver las ecuaciones diferenciales: a) x x 23e ·tg(y)·dx (2 e )sec (y)·dy 0+ − =b) xy' – y = x2·senx

19.- Para las siguientes ecuaciones diferenciales, clasificarlas y resolverlas. Calcular

también la solución particular que pasa por el punto indicado:

a) x2 (y+1) dx + y2 (x-1 ) dy = 0, en el punto (2,0)

b) x dy – (y + xy3 (1 + lnx)) dx= 0



20.- Resolver las ecuaciones: a) xy x y y'= − +2 2 . b) (x+y-2)dx+(x-y+4)dy=0.

21.- Resolver la ecuación

2x2xey ' 2xy −+ = .

22.- Resolver la ecuación ( )

dy 1dx xcosy sen 2y

=+

.

23.- Resolver la ecuación xy’+y=y2lnx.

24.- La ley del interés compuesto establece que la rapidez de variación de la función con

respecto a la variable para cualquier valor de la variable es proporcional al valor

correspondiente de la función. Hallar la función y=f(x) del interés compuesto, cuando

x=1, y=4; x=2, y=12.



1.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: (2x + y -4) dx + (5y -1) dy=0 Solución:

Las rectas 2x y – 4 0

5 y -1 0

+ = =

se cortan en el punto (19/10, 1/5), que se calcula sin más que

resolver el sistema formado por sus dos ecuaciones.

Se efectúa el cambio de variables:

19 19x = u + u = x-10 10 1 1y = v + v = y-5 5

⇒

du = dx

dv = dy

⇒

.

Sustituyendo en la ecuación queda:

19 12 u + v + 410 5

+ − du + 15 v + 1

5 −

dv = 0

( ) ( ) 2u v2u v du 5v dv 0 v '5v+

⇔ + + = ⇔ = − , que ya es una ecuación homogénea.

u du dzz u zv z vv dv dv

= ⇒ = ⇒ = +

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 22

2zv v zdv vdz 5v dv 0 2z v zv 5v dv 2zv v dz 0

dv 2z 1v 2z z 5 dv v 2z 1 dz 0 dz 0v 2z z 5

+ + + = ⇔ + + + + =

+⇔ + + + + = ⇔ + =

+ +

21 39 4z 1ln v ln 2z z 5 arctg C2 39 39

+ + + + + =

Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene:

2 219 14 x- y- 1

1 1 19 1 19 1 39 10 5ln y- ln 2 x- y- x- y- 5 arctg C5 2 10 5 10 5 39 39

+ + + + + =

DERIVE ⎛ 2·u + v ⎞ #1: HOMOGENEOUS_GEN⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, u, v, c⎟ ⎝ 5·v ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜ u ⎟ ⎛ √39·(u + 10·v) ⎞ LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ #2: √39·ATAN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ 39·u ⎠ ⎝ 2·u + u·v + 5·v ⎠ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = LN(u) + c 39 2



2.- Obtener la solución general de la ecuación diferencial (x-1)2 y dx + x2 (y+1) dy = 0. Hallar la solución particular que pasa por el punto (1,1). Solución:

Se puede escribir ( )2

2

x 1 y 1dx dy 0x y− +

+ = que es de variables separables, cuya integral es:

( )2 2

12

x 1 x 1dx 2ln x cx x− −

= − + +∫

2y 1dy ln y y c

y+

= + +∫

Resultando 2x 12ln x ln y y Cx−

− + + + =

Y en particular para el punto (1,1)

2x 12ln x ln y y 1x−

− + + + =



3.-a. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: (3x + y - 5)dx + (6x + 2y - l)dy = 0

b. Hallar la solución particular que pasa por el punto (1, 2). Solución: a) Solución general de la ecuación diferencial (3x+y-5)dx+(6x+2y-l)dy=0

Las rectas 3x y - 5 0

6x + 2y - 1 0

+ = =

son rectas paralelas.

Hay que efectuar un cambio de variable antes de resolverla: u = 3 x + y, y = u – 3 x, dy = du – 3 dx Sustituyendo en la ecuación queda:

(u-5)dx+(2u-l)(du-3dx)=0, (-5u-2)dx+(2u-l)du=0, que ya es de variables separadas. 2u 1 2 9 1 2 9dx du x u du u ln 5u 2 x C5u 2 5 5 5u 2 5 25

− ⇔ = ⇒ = − ⇒ − + = + + + ∫


( ) ( )2 93x y ln 5 3x y 2 x C5 25

+ − + + = +

DERIVE ⎛ 5·u - 2 ⎞ #1: SEPARABLE_GEN⎜1, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, u, c⎟ ⎝ 2·u - 1 ⎠ LN(5·u - 2) 2·u #2: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ = -x - c 25 5 LN(15·x + 5·y - 2) 2·(3·x + y) #3: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = -x - c 25 5 b) Solución particular que pasa por el punto (1,2) Si x=l, y=2, entonces, u=3x+y=5

272 ln 3 x C25

− = +

⎛ 5·u - 2 ⎞ #4: SEPARABLE ⎜1, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, u, 1, 5⎟ ⎝ 2·u - 1 ⎠ LN(5·u - 2) 2·u LN(23) #5: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -x - 1 25 5 25 LN(15·x + 5·y - 2) 2·(3·x + y) LN(23) #6: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -x - 1 25 5 25



4.- Dada la ecuación diferencial y3dx - x2 (2y + x)dy = 0. Se pide: a) Clasificarla. b) Resolverla. c) Hallar la solución particular que pasa por el punto (1,3). Solución:

a) Una función f(x,y) es homogénea de grado n si se verifica que f(tx,ty)=tnf(x,y).

Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden homogénea. b)

Las ecuaciones homogéneas se reducen a una ecuación de variables separables haciendo

yx

u= , ⇒ y=xu ⇒ dydx

u x dudx

= + .

( ) ( )3 2 3 2 3 4(ux) dx x 2ux x (udx xdu) u 2u u x dx (2u 1)x du 0− + + = − − − + =

3 2

dx 2u 1 1 2 1 2du ln x C ln u 2 1 ln u 2 1 ln ux u 2u u 2 4 2 4

+= ⇒ + = + − − + − + − − − −

Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene: 1 2 y 1 2 y yln x C ln 2 1 ln 2 1 ln2 4 x 2 4 x x

+ = + − − + − + − −

DERIVE ⎛ 3 ⎞ ⎜ y ⎟ #1: HOMOGENEOUS_GEN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, y, c⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ x ·(2·y + x) ⎠ ⎛ √2 1 ⎞ ⎛ x·(√2 - 1) + y ⎞ ⎛ √2 #2: ⎜⎯⎯ - ⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ - ⎜⎯⎯ + ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ 4 1 ⎞ ⎛ y - x·(√2 + 1) ⎞ ⎛ y ⎞ ⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + LN⎜⎯⎟ = - LN(x) - c 2 ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ b) Solución particular que pasa por el punto (1,3) Si x=l, y=3, entonces, u=y/x=3

1 2 1 2C ln 2 2 ln 2 2 ln 32 4 2 4

= + − + − + −



5.- a) Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial con la función de Derive específica para este tipo de ecuaciones: (x4+ 2x2+ 2xy + l)dx - (1 + x2)dy = 0. b) Hallar la solución particular que pasa por el pimío (2,3) Solución: a) La ecuación puede escribirse en la forma

( )22

22 2

1 x 2xydy 2xyy ' 1 xdx 1 x 1 x

+ += ⇒ − = +

+ +

Que es una ecuación lineal Se trata de una lineal de primer orden ya que es lineal respecto de la función incógnita y su

derivada. Es de la forma: y ' p(x)y q(x)+ =

Aplicamos el método de variación de la constante y consideramos la ecuación homogénea

2

2xy ' y 01 x

− =+

2 212 2

2xy dy 2xdy dx 0 dx 0 ln y ln 1 x C y C(1 x )1 x y 1 x

− = ⇒ − = ⇒ − + = ⇒ = ++ +

Buscamos la función de C(x), tal que: 2y C(x)(1 x )= + 2y ' C '(x)(1 x ) 2xC(x)= + +

2 2 2 22 2

2xy 2xy ' C'(x)(1 x ) 2xC(x) C(x)(1 x ) C'(x)(1 x ) 1 x C(x) x K1 x 1 x

− = + + − + = + = + ⇒ = ++ +

2y (x k)(1 x )= + +

DERIVE ⎛ 2·x 2 ⎞ LINEAR1_GEN⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 1 + x , x, y, c⎟ #1: ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1 + x ⎠ 2 #2: y = (x + c)·(x + 1) b) Solución particular que pasa por el punto (2,3)

2 73 (2 k)(1 2 ) k5

= + + ⇒ = − ⇒ 2y (x 7 / 5)(1 x )= − +

DERIVE ⎛ 2·x 2 ⎞ LINEAR1⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 1 + x , x, y, 2, 3⎟ #3: ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1 + x ⎠ 2 (x + 1)·(5·x - 7) #4: y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5



6.- Indicar de qué tipo es la siguiente ecuación diferencial y resolverla:

y yxdx ycos dx x cos dy 0x x

− + =

Solución: Vemos que no puede tratarse de una ecuación diferencial de variables separables pues es imposible separar x e y. Para ver si es homogénea despejamos y’.

yycos xy y dy y 1xxdx ycos dx x cos dy 0 y '

y yx x dx xx cos cosx x

− − + = ⇒ = = = −

Sustituyendo x por xt e y por yt, obtenemos ty 1 y 1y '

ty ytx xcos costx x

= − = −

Se trata de una ecuación homogénea Las ecuaciones homogéneas se reducen a una ecuación de variables separables haciendo

yx

u= , ⇒ y=xu ⇒ dydx

u x dudx

= + .

( ) ( ) ( ) 2xdx xu cos u dx x cos u (udx xdu) 1 u cos u u cos u xdx x cos udu 0− + + = − + + = dx cos udu ln x C senux= − ⇒ + = −

Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene: yln x C senx

+ = −

DERIVE ⎛ ⎛ y ⎞ ⎞ ⎜ y·COS⎜⎯⎟ - x ⎟ ⎜ ⎝ x ⎠ ⎟ #1: HOMOGENEOUS_GEN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, y, c⎟ ⎜ ⎛ y ⎞ ⎟ ⎜ x·COS⎜⎯⎟ ⎟ ⎝ ⎝ x ⎠ ⎠ ⎛ y ⎞ #2: SIN⎜⎯⎟ = - LN(x) - c ⎝ x ⎠



7.-. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: (3x - y - l)dx + (5x - y- 3)dy = 0

Solución:

Las rectas 3x y – 1 0

5 y 3 0

− = − − = x

se cortan en el punto (1, 2), que se calcula sin más que


Realizamos el cambio: u=x-1 con du=dx v=y-2 con dv=dy

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3x y l dx 5x y 3 dy 0 3 u 1 v 2 l du 5 u 1 v 2 3 dv 0− − + − − = ⇒ + − + − + + − + − =

( ) ( ) 3u v3u v du 5u v dv 0 v '5u v

−− + − = ⇒ = −

−

u du dzz u zv z vv dv dv

= ⇒ = ⇒ = +

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 22

3zv v zdv vdz 5zv v dv 0 3vz zv 5zv v dv 3zv v dz 0

dv 3z 1v 3z 4z 1 dv v 3z 1 dz 0 dz 0v 3z 4z 1

− + + − = ⇔ − + − + − =

−⇔ + − + − = ⇔ + =

+ −

1 3 7 1 3 7ln v ln 3z 7 2 ln 3z 7 2 C2 14 2 14

+ − − + + + + + =

Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene: 1 3 7 x 1 1 3 7 x 1ln y-2 ln 3 7 2 ln 3 7 2 C2 14 y 2 2 14 y 2

− −+ − − + + + + + = − −

DERIVE ⎛ 3·u - v ⎞ #5: HOMOGENEOUS_GEN⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, u, v, c⎟ ⎝ 5·u - v ⎠ ⎛ 3·√7 1 ⎞ ⎛ u·(√7 - 2) + v ⎞ ⎛ 1 #6: ⎜⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯ - ⎝ 14 2 ⎠ ⎝ u ⎠ ⎝ 2 3·√7 ⎞ ⎛ v - u·(√7 + 2) ⎞ ⎯⎯⎯⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ = - LN(u) - c 14 ⎠ ⎝ u ⎠ ⎛ 3·√7 1 ⎞ ⎛ x·(√7 - 2) + y - √7 ⎞ ⎛ 1 #7: ⎜⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯ - ⎝ 14 2 ⎠ ⎝ x - 1 ⎠ ⎝ 2 3·√7 ⎞ ⎛ x·(√7 + 2) - y - √7 ⎞ ⎯⎯⎯⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ = - LN(x - 1) - c 14 ⎠ ⎝ 1 - x ⎠



8.- Resolver la ecuación diferencial ( )2 2 22xy ln ydx x y y 1 dy 0+ + + =

Solución: La ecuación M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se llama ecuación diferencial exacta o ecuación en

diferenciales totales si M(x,y) y N(x,y) son funciones continuas y derivables que verifican:

∂∂

∂∂

My

Nx

= siendo ∂∂

∂∂

My

Nx

, continuas en un cierto dominio.

♦ En nuestro caso, ( )2x ln y 1 2x∂ ∂= + ≠ =

∂ ∂M Ny x

no es diferencial exacta, sin embargo

mediante un factor integrante µ se transforma en: µMdx+µNdy=0 diferencial exacta.

Para

( )2 2 2x y y 11y 2x ln ydx dy 0

y y+ +

µ = ⇒ + =

Aplicando la solución general ( )Mdx N Mdx dy Cy

∂µ + µ − µ = ∂ ∫ ∫ ∫

Obtenemos 2Mdx 2x ln ydx x ln yµ = =∫ ∫

( ) ( )2

2 xMdx x ln yy y y∂ ∂

µ = =∂ ∂∫

( ) ( )2 2 2 2 3/22 2x y y 1 x 1N Mdx dy dy y y 1dy y 1

y y y 3

+ + ∂ µ − µ = − = + = + ∂ ∫ ∫ ∫ ∫

Resulta

( )3/22 21x ln y y 1 C3

+ + =



9.- Resolver la ecuación diferencial dy ycos x sen(2x)dx

= +

Solución:

Se trata de una ecuación lineal no homogénea + =dy p(x)y q(x)dx

siendo p(x) = -cosx;

q(x)=sen(2x)

Haciendo y=u(x)v(x) en la ecuación dada:

( )y ' u 'v uv ' uvcos x sen(2x) u 'v u v ' vcos x sen2x= + = + ⇒ + − =

Resolvemos ( ) senxv 'v ' vcos x 0 cos x v ev

− = ⇒ = ⇒ = y sustituyendo en la anterior

senx senx senxu 'e sen2x u sen(2x)e dx C e (2senx 2) C− −= ⇒ = + = − + +∫ que junto con v se obtiene senxy uv (2senx 2) Ce= = − + +



10.- Resolver la ecuación diferencial (x3+y4)dx+8xy3dy=0. Solución: Consideramos

3 4 3

3 3

PP(x, y) x y 4yy

QQ(x, y) 8xy 8yx

∂= + ⇒ =

∂∂

= ⇒ =∂

Utilizamos un factor integrante

3 3

3

P Q4y 8y 1 1 1y x/ ln ln x

x Q 8xy 2x 2 x

∂ ∂−

∂µ −∂ ∂µ = = = − ⇒ µ = − ⇒µ =∂

Obtenemos la ecuación diferencial exacta

3 4 3x y 8xydx dy 0

x x+

+ =

Resolvemos 3 4

48xy 2xyF(x, y) dy h(y) h(y) 2 xy h(y)x x

= + = + = +∫

3 4

4 5/2 7/2F 1 x y 22y h '(x) h '(x) x h(x) xx 72 x x∂ +

= + = ⇒ = ⇒ =∂

Por último, 4F(x, y) 2 xy h(y)= + = 4 7/222 xy x C7

+ =



11.- Esta nevando con regularidad a las 12 sale una máquina quitanieves que recorre en la 1ªhora 2 km y en la segunda 1 km. ¿A qué hora empezó a nevar? (Se admitirá como hipótesis que la cantidad de nieve quitada por la máquina en la unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance resulta inversamente proporcional a la altura de la nieve encontrada) Solución:

Consideramos que la v=K1/h, siendo h la altura de la nieve y dsvdt

= la velocidad. Si

llamamos t0 el instante en que empezó a nevar la altura de la nieve quedará h=k2(t-t0), luego

( )1 1

2 0 0 0

k kds k kv ds dtdt h k t t t t t t

= = = = ⇒ = ⇒− − − 0s k ln t t C= − +

Teniendo en cuenta las soluciones particulares del enunciado.

0

0

0

t 12;s 0 k ln 12 t C 0

t 12 1;s 2 k ln 13 t C 2

t 12 2;s 2 1 k ln 14 t C 3

= = ⇒ − + =

= + = ⇒ − + = = + = + ⇒ − + =

Haciendo el cambio T=12-t0

( )( )

3 2T 1k ln T C 0 lnk ln T 1 ln T 2 2 T 1 T 2Tk ln T 1 C 2T 2 3 T Tk ln T 2 ln T 3 lnk ln T 2 C 3 T

++ =+ − = + + + + = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ + + − = + + =

Y simplificando

( ) ( )3 2 3 2 3 2 2 1 5T 1 T T 2 T 3T 3T 1 T 4T 2T T T 1 0 T2±

+ = + ⇒ + + + = + + ⇒ − − = ⇒ =

Deshaciendo el cambio nos quedamos con

01 5t 12 T 12 12 0.6180339887 11.38196601

2+

= − = − ≈ − ≈

Empezó a nevar a las 11h 22m 55s



12.- a) Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial con la función de DERIVE

específica para este tipo de ecuaciones: yxy2

yx'y2

+−

=

b) Hallar la solución particular que pasa por el punto (0, 1).

Solución:

a) La ecuación puede escribirse en la forma:

( ) ( ) 0dyyxy2dxyx 2 =+−−

Es una ecuación diferencial exacta pues:

( ) ( )[ ]x

yxy2y2y

yx 2

∂+−∂

=−=∂−∂

( )xdx y ydx 2xdy ydy 0− + − = Por separado

2xxdx d2

=

( ) ( )2y ydx 2xdy d xy+ = 2

2 yy dy d2

=

Por consiguiente, 2 2

2x yxy C2 2− − =

DERIVE #1: EXACT_GEN(x - y , - 2·x·y - y, x, y, c) 2 2 x 2 y #2: ⎯⎯ - x·y - ⎯⎯ = c 2 2

b) Solución particular que pasa por (0, 1) 2 2

2x y 1xy2 2 2− − = −

2 #3: EXACT(x - y , - 2·x·y - y, x, y, 0, 1) 2 2 x 2 y - 1 #4: ⎯⎯ - x·y - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0 2 2



13.-Para las siguientes ecuaciones diferenciales, clasificarlas y resolverlas. Calcular


a) (2xy - 4x) dx+dy = 0. Punto (2, 2).

b) (2x3 + 3y) dx+(3x + y -1)dy = 0. Punto (1, 0).

c) y’ = x yy x+ . Punto (1,1).

d) (3y - 5) dx+x1 dy = 0. Punto (2, 2).

Solución:

a) Es una ecuación diferencial lineal pues puede escribirse en la forma:

y’ + 2 x y = 4 x

Se trata de una ecuación lineal no homogénea + =dy p(x)y q(x)dx

siendo p(x) = 2x; q(x)=4x

Aplicamos el método de variación de la constante y consideramos la ecuación homogénea 22 x

1y 'y ' 2xy 0 2x ln y x C y Cey

−+ = ⇒ = − ⇒ = − + ⇒ =

Buscamos la función de C(x), tal que: 2xy C(x)e−=

2 2x xy ' C '(x)e 2xe C(x)− −= − 2 2 2 2 2x x x x xy ' 2xy C'(x)e 2xe C(x) 2xC(x)e C'(x)e 4x C(x) 2e K− − − −+ = − + = = ⇒ = +

que se obtiene 2xy 2 Ke−= + y en particular en el punto (2,2) resulta K=0, y por tanto, y 2=

DERIVE

#1: LINEAR1_GEN(2·x, 4·x, x, y, c) 2 #2: - x y = c· + 2 Solución particular: #3: LINEAR1(2·x, 4·x, x, y, 2, 2) #4: y = 2

b) Es una ecuación diferencial exacta pues: ( ) ( )

x1y3x 3

y y32x 3

∂−+∂

==∂+∂

( ) ( ) ( )3 32x 3y dx 3x y 1 dy 2x dx 3 ydx xdy (y 1)dy 0+ + + − = + + + − = Por separado

4 43 x x2x dx 2d d

4 2

= =

( ) ( )3 ydx xdy 3d xy+ =

( )2yy 1 dy d y

2

− = −



Por consiguiente, 4 2x y3xy y C

2 2+ + − = y en particular en el punto (1,0) resulta C=1/2, y por

tanto, 4 2x y 13xy y

2 2 2+ + − =

DERIVE 3 #5: EXACT_GEN(2·x + 3·y, 3·x + y - 1, x, y, c) 4 2 x y #6: ⎯⎯ + 3·x·y + ⎯⎯ - y = c 2 2 3 #7: EXACT(2·x + 3·y, 3·x + y - 1, x, y, 1, 0) 4 2 x y 1 #8: ⎯⎯ + 3·x·y + ⎯⎯ - y = ⎯ 2 2 2

c) Es una ecuación diferencial homogénea pues está escrita en la forma y’ = r(x, y), siendo r (x, y) una función homogénea de grado 0. También porque puede escribirse como

( )2 2x y dx xy dy 0+ − = , siendo los coeficientes de dx y de dy polinomios homogéneos del

mismo grado 2.

y’ =2 2x y dy x y

y x dx xy+

+ ⇔ = ⇔ ( )2 2x y dx xy dy 0+ − =

Se efectúa el cambio de variable: yu y ux dy xdu udxx

= ⇔ = ⇒ = + . En las nuevas variables

x, u, la ecuación queda: ( )( ) ( )22 2x ux dx x u u dx x du 0+ − + =

Dividimos toda la ecuación entre 2x y operamos, obteniéndose:

( ) ( )21 u dx u u dx x du 0 dx uxdu 0+ − + = ⇔ − = ⇔ 1 dx u du 0x

− = , que es una ecuación

de variables separadas. 21 1 udx u du 0 dx u du C ln x C

x x 2− = ⇒ − = ⇔ − =∫ ∫

Deshacemos el cambio de variable: 2y

xln x C2

− = ⇔

21 yln x C2 x − =

, que es la solución general de la ecuación.

Solución particular con las condiciones iniciales (1, 1): 21 1 1ln1 C C

2 1 2 − = ⇒ = − ⇒

21 y 1ln x

2 x 2 − = −

DERIVE ⎛ x y ⎞ #1: HOMOGENEOUS_GEN⎜⎯ + ⎯, x, y, c⎟ ⎝ y x ⎠ 2 y #2: ⎯⎯ = 2·LN(x) + 2·c 2



x ⎛ x y ⎞ #3: HOMOGENEOUS_GEN⎜⎯ + ⎯, x, y, 1, 1⎟ ⎝ y x ⎠ 2 y #4: ⎯⎯ = 2·LN(x) + 2 2 x d) Es una ecuación diferencial lineal pues puede escribirse en la forma y’+ p(x) y = q(x), concretamente, y’+ 3xy = 5x Aplicamos el método de variación de la constante y consideramos la ecuación homogénea

22 3x /21

y ' 3y ' 3xy 0 3x ln y x C y Cey 2

−+ = ⇒ = − ⇒ = − + ⇒ =

Buscamos la función de C(x), tal que: 23x /2y C(x)e−=

2 23x /2 3x /2y ' C '(x)e 3xe C(x)− −= −

2 2 2 2 23x /2 3x /2 3x /2 3x /2 3x /25y ' 3xy C'(x)e 3xe C(x) 3xC(x)e C'(x)e 5x C(x) e K3

− − − −+ = − + = = ⇒ = +

que se obtiene 23x /25y Ke

3−= + y en particular en el punto (2,2) resulta K=e6/3, y por tanto,

26 3x /25 1y e3 3

−= +

DERIVE #5: LINEAR1_GEN(3·x, 5·x, x, y, c) 2 - 3·x /2 5 #6: y = c· + ⎯ 3 #7: LINEAR1(3·x, 5·x, x, y, 2, 2) 2 6 - 3·x /2 #8: · 5 y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ 3 3



14.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes reduciéndolas a una ecuación de variables separables o a una ecuación homogénea, según proceda:

a.- (x + y) dx + (3x +3y – 4) dy = 0 b.- (x + y-2) dx + (2x -y +4) dy = 0

Solución: a.- (x + y) dx + (3x +3y – 4) dy = 0

Las rectas x y 0

3x + 3 y - 4 0+ =

=son rectas paralelas.

Se efectúa el cambio de variable: u = x + y du = dx + dy⇒ , y = u – x, dy = du - dx .


(x + (u – x)) dx + (3x + 3(u - x) - 4) (du – dx) = 0 ( ) ( )2u 4 dx 3u 4 du 0⇔ − + + − =

( ) ( ) 2u 42u 4 3u 4 u ' 0 u '4 3u

−⇔ − + + − = ⇔ = −

−, que ya es una ecuación de variables separadas.

4 3u 3u 4 3 1 3dx du du x u du u ln u 2 x C2u 4 2u 4 2 u 2 2− − ⇔ = − = ⇒ = + ⇒ + − = + − − − ∫


( ) ( )3 x y ln x y 2 x C2

+ + + − = +

DERIVE ⎛ 2·u - 4 ⎞ #5: SEPARABLE_GEN⎜1, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, u, c⎟ ⎝ 4 - 3·u ⎠ 3·u #6: LN(u - 2) + ⎯⎯⎯ = x + c 2 Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene: 3·(x + y) #7: LN((x + y) - 2) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = x + c 2 b.- (x + y-2) dx + (2x -y +4) dy = 0

Las rectas x y – 2 0

2x – y + 4 0+ =

=se cortan en el punto (- 2

3, 8

3), que se calcula sin más que


Se efectúa el cambio de variables:

2u = x + 3

8v = y - 3

du = dx

dv = dy

⇒

,

2x = u - 3 8y = v + 3

.




2 8 2 8u - v + 2 du 2 u - v + 4 dv3 3 3 3

+ − + + +

= 0

( ) ( ) u vu v du 2u v dv 0 v '2u v+

⇔ + + − = ⇔ = −−

, que ya es una ecuación homogénea.

Las ecuaciones homogéneas se reducen a una ecuación de variables separables haciendo u du dzz u zv z vv dv dv

= ⇒ = ⇒ = +

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 22

zv v zdv vdz 2zv v dv 0 z v zv 2zv v dv zv v dz 0

dv z 1v z 3z 1 dv v z 1 dz 0 dz 0v z 3z 1

+ + + − = ⇔ + + − + + =

+⇔ + − + + = ⇔ + =

+ −

1 13 1 13ln v ln 2z 13 3 ln 2z 13 3 C2 26 2 26

+ − − + + + + + =

Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene: 1 13 x 2 / 3 1 13 x 2 / 3ln y 8 / 3 ln 2 13 3 ln 2 13 3 C2 26 y 8 / 3 2 26 y 8 / 3

+ +− + − − + + + + + = − −

DERIVE ⎛ u + v ⎞ #1: HOMOGENEOUS_GEN⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, u, v, c⎟ ⎝ 2·u - v ⎠ ⎛ √13 1 ⎞ ⎛ u·(√13 - 3) + 2·v ⎞ ⎛ 1 #2: ⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯ - ⎝ 26 2 ⎠ ⎝ u ⎠ ⎝ 2 √13 ⎞ ⎛ 2·v - u·(√13 + 3) ⎞ ⎯⎯⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ = - LN(u) - c 26 ⎠ ⎝ u ⎠ Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene: ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜x + ⎯⎟·(√13 - 3) + 2·⎜y - ⎯⎟ ⎟ ⎛ √13 1 ⎞ ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎛ 1 #3: ⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯ - ⎝ 26 2 ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎜ x + ⎯ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎛ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎜ 2·⎜y - ⎯⎟ - ⎜x + ⎯⎟·(√13 + 3) ⎟ √13 ⎞ ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎛ 2 ⎞ ⎯⎯⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ = - LN⎜x + ⎯⎟ - c 26 ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎜ x + ⎯ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎛ √13 1 ⎞ ⎛ 3·x·(√13 - 3) + 2·(3·y + √13 - 11) ⎞ ⎛ 1 #4: ⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯ - ⎝ 26 2 ⎠ ⎝ 3·x + 2 ⎠ ⎝ 2 √13 ⎞ ⎛ 2·(3·y - √13 - 11) - 3·x·(√13 + 3) ⎞ ⎯⎯⎯⎟·LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ = - 26 ⎠ ⎝ 3·x + 2 ⎠ ⎛ 3·x + 2 ⎞ LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ - c ⎝ 3 ⎠



15.- Resolver (x+y)dx-(x-y)dy=0 Solución:

Podemos escribir dy x ydx x y

+=

− que con el cambio de variable z=y/x resulta:

2dy x y 1 y / x 1 z dz dz 1 z 1 zx z x zdx x y 1 y / x 1 z dx dx 1 z 1 z

+ + + + += = = = + ⇒ = − = ⇒

− − − − − 2

1 z dxdz1 z x−

=+

Que es de variables separables:

( )21arctgz ln 1 z ln x c2

+ + = +

Deshaciendo el cambio queda: 21 yarctg ln 1 ln x c

2 x + + = +



16.- Suponiendo un modelo de desintegración lineal los elementos radiactivos se desintegran a una velocidad proporcional a la cantidad de sustancia presente en cada

instante, es decir, dx kxdt

= − . Se pide deducir la ecuación que gobierna este tipo de

reacción, así como la expresión de la constante de desintegración utilizando para ello el concepto de semivida. Solución:

dx dx dxkx kdt k dt ln x kt Cdt x x

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − + ⇒∫ ∫ kt Cx e− +=

En t=0, resulta C0x e= ,en un instante t1 quedará la mitad de sustancia (semivida), luego

1 1 1kt C kt ktC0

x e e e e x2

− + − −= = = .

Igualando tenemos que 1

ktkt0

0e xx e x

2 2

−−= = ⇒

1

2 2kln(t t) ln t

= =− ∆

, con ∆t el período de

semidesintegración o semivida.



17.- Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio presente. Si la mitad desaparece en 1600 años. ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año? ¿Qué porcentaje de la cantidad original quedará al cabo de 2600 años? Solución:

Consideremos:

C₀ la cantidad inicial de radio; C la cantidad final de radio. Sea t el tiempo y C=C(t) la

cantidad de sustancia radiactiva en el instante t.

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: dC/dt = ‒kC, siendo k una constante positiva

(constante de desintegración radiactiva). El signo menos aparece porque C disminuye con el

tiempo a consecuencia de la desintegración.

Integrando, -kt K -kt K -kt1ln C -kt K C=e e e K e+= + ⇒ = = , siendo K

1e K=

Para t=0, -k00 1 1C =C(0)=K e K=

Por tanto, -kt0C(t)=C e en general.

Sabemos que -k16000 0

1 ln 2C(1600)=C e C k 0,0004332172 1600

= ⇒ = ≈

-0,000433217 t0C(t)=C e ⋅

Para saber el porcentaje en un año, -0,000433217 t0C(t)/C =e 0.9995668768⋅ ≈

La cantidad que ha quedado en porcentaje es: 99,9567%

Como nos piden la cantidad que desaparecerá en un año, será 0,0433%

¿Qué porcentaje de la cantidad original quedará al cabo de 2600 años?

0.9995668768 2600⋅ ≈ 2598.873879



18.- Clasificar y resolver las ecuaciones diferenciales: a) x x 23e ·tg(y)·dx (2 e )sec (y)·dy 0+ − = b) xy' – y = x2·senx Solución:

a) La primera ecuación es de variables separables x x 23e ·tg(y)·dx (2 e )sec (y)·dy 0+ − = x x 23e ·tg(y)·dx (e 2)sec (y)·dy 0⇔ = − = ⇒

x

x

1 3edy dxsen(y)·cos(y) e 2

⇒ = ⇒−

( ) xln tg(y) 3ln(e 2) C= − + .

La ecuación se puede escribir de la forma x

2 x

dy tgy 3edx sec y e 2

=−

( )xln tgy 3ln e 2 C= − +

b) La segunda ecuación es lineal. Ponemos la ecuación diferencial en la forma y’ +y·p(x) = q(x) que tiene como solución general

( )p x dx p(x)dxy e q(x)e dx C− ∫ ∫= + ∫

xy' – y = x2·senx 1 1y ' y x·sen(x) p(x) y q(x) xsen(x)x x

⇒ − = ⇒ = − =

1 1dx dxx xy e xsen(x)e dx C

− − − ∫ ∫= + ∫ con solución y x cos(x) Cx= − +



19.- Para las siguientes ecuaciones diferenciales, clasificarlas y resolverlas. Calcular


a) x2 (y+1) dx + y2 (x-1) dy = 0, en el punto (2,0)

b) x dy – (y + xy3 (1 + lnx)) dx= 0

Solución: a) x2 (y+1) dx + y2 (x-1 ) dy = 0, (2,0)

La ecuación puede escribirse en la forma:

( )( )

( ) ( )2 2

2 2x y 1 x y 1y ' p x q y

1 xy x 1 y+ +

= − = ⋅ = ⋅−−

, luego es de variables separadas.

Operando, la ecuación se puede expresar en la forma: 2 2x y 1 1dx dy 0 x 1 dx y 1 dy 0

1 x y 1 1 x y 1 + = ⇔ + + + − + = − + − +

La solución general será:

1 1x 1 dx y 1 dy C1 x y 1

+ + + − + = ⇔ − + ∫ ∫ ( ) ( )

2 2x yx ln x 1 y ln y 1 C2 2+ + − + − + + =

Solución particular que pasa por el punto (2, 0):

( ) ( )2 22 02 ln 2 1 0 ln 0 1 C C 4

2 2+ + − + − + + = ⇒ = ⇒

( ) ( )2 2x yx ln x 1 y ln y 1 4

2 2+ + − + − + + =

b) x dy – (y + xy3 (1 + lnx)) dx= 0

La ecuación puede escribirse en la forma: 3y)xln1(xy'y +=− , luego, es una ecuación

diferencial de Bernouilli. Buscamos dos funciones u(x) y v(x) tales que la solución sea y(x) = u(x) ⋅ v(x).

Derivando, ha de ser entonces: y’= u v’ + u’ v.

( ) ( )3 33y uv vy ' (1 ln x)y (1 lnu v’ u’ v u v’x) uv u 'v (1 ln x) uvx x x

− = + ⇔ − = + ⇔ − + = +

+

Buscamos la función v(x) con la condición de que cumpla que el coeficiente de u en el primer

miembro de la ecuación anterior sea nulo:

v dv v dv dxv ' 0 0 0x dx x v x

− = ⇔ − = ⇔ − = , que es una ecuación de variables separadas. La

resolvemos para hallar v(x): 1 1 vdx dv C ln x ln v C ln Cx v x

− + = ⇔ − + = ⇔ =∫ ∫



Como buscamos una función cualquiera v(x) que cumpla lo anterior, podemos tomar C = 0 y

despejar v(x): v vln 0 1 v xx x= ⇒ = ⇒ =

Una vez que hallada v(x), volvemos ya a la ecuación ( )3v u 'v (1 ln x)u v’ uvx

− + = +

para

hallar u(x): 3 3 23

duu 0 u 'x u x(1 ln x) (1 ln x)x dx 0u

⋅ + = ⇔ −+ =+ , que vuelve a ser una

ecuación de variables separadas. La resolvemos:

( )3 2

2 2 23

du x ux x ln x dx C x ln xdx C3 2u

−+ − = ⇔ + − =

−∫ ∫ ∫

La integral 2x ln xdx∫ se resuelve fácilmente mediante el método de integración por partes.

Tomamos una primitiva cualquiera 3

2 x 1x ln xdx ln x3 3 = − + ∫ y sustituimos arriba:

3 32

2 3x x 1 1 1 1ln x C u3 3 3 22u x 2C ln x

3 3

+ − + + = ⇔ = − +

Una vez obtenidas u(x) y v(x) ya podemos escribir: y = u ⋅ v = 2 2 2y uv y u v= ⇔ = ⇔

2 23

1 1y x2 x 2C ln x

3 3

= − +

, que es la solución general de la ecuación.



20.- Resolver las ecuaciones: a) xy x y y'= − +2 2 . b) (x+y-2)dx+(x-y+4)dy=0.

Solución:

a) y u y xux= ⇒ = ⇒

dy duu xdx dx

= +

2 2 2 2 2xy ' x y y x(u xu ') x x u xu= − + ⇒ + = − + ⇒ 2 2xu x u ' x 1 u xu+ = − +

2

2 2

du du dx du dxx 1 udx x x1 u 1 u

= − ⇒ = ⇒ =− −

∫ ∫yarcsen ln x Cx= +

b)

x+y-2=0 x = -1 x = X -1 dx =dXx-y+4=0 y = 3 y = Y+3 dy = dY

⇒ ⇒ ⇒

(x+y-2)dx+(x-y+4)dy=0 (X+Y)dX+(X-Y)dY=0⇒

Y u Y Xu dY udX XduX= ⇒ = ⇒ = + ⇒ ( )(X+uX)dX+(X-uX) udX+Xdu =0

2 2 2X(1+u)dX+X(1-u)udX+X (1-u)du=0 X(1+2u-u )dX+X (1-u)du=0⇒

( ) 12C2 2 21 22 2

dX 1-u dX 1-u 1+ du=0 du ln X ln 1+2u-u C X 1+2u-u e CX 1+2u-u X 1+2u-u 2

⇒ + = + = ⇒ = =∫ ∫

Y como ( )2

2 2 22

Y y 3 y-3 y-3u x 1 1+2 - x 2xy y 4x 8y 14 CX x 1 x+1 x+1

− = = ⇒ + = + − − + − = +

x xy y x y C2 22 4 8+ − − + =



21.- Resolver la ecuación 2x2xey ' 2xy −+ = .

Solución: Se trata de una lineal de primer orden ya que es lineal respecto de la función incógnita y su

derivada. Es de la forma: y ' p(x)y q(x)+ =

Aplicamos el método de variación de la constante y consideramos la ecuación homogénea

y ' 2xy 0+ =

22 x1

dydy 2xydx 0 2xdx 0 ln y x C y Cey

−+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Buscamos la función de C(x), tal que: 2xy C(x)e−=

2 2x xy ' C '(x)e 2xC(x)e− −= − 2 2 2 2x x x xy ' 2xy C '(x)e 2xC(x)e 2xC(x)e 2xe− − − −+ = − + =

2 2x x

2

C '(x)e 2xeC '(x) 2x C(x) x K

− −=

= ⇒ = +

22 xy (x k)e−= +



22.- Resolver la ecuación ( )

dy 1dx xcosy sen 2y

=+

Solución:

Esta ecuación es lineal si consideramos x función de y (x=g(y)), entonces:

dxdy

xcosy sen2y dxdy

xcosy = sen2y= + ⇒ −

Buscamos la solución general de la ecuación en la forma x=u(y)v(y) dx du dvv udy dy dy

⇒ = +

du dv duv u uvcos y sen(2y) v u sen(2y)dy dy dy

dv vcos ydy

⇒ + − = ⇒ + =

−

senydv vcos y 0 v edy

− = ⇒ = Solución particular no trivial

seny seny seny z

seny z

du duv e sen(2y) u du e sen(2y)dy 2 e senycos ydy 2 e zdz (*)dy dy

− − −

== = ⇒ = = = = =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )1 z z z senyz z

1 1

u z du dz(*) 2 ze e dz 2 z 1 e C 2(seny 1)e C

dv e dz v e− − − −

− −

= ⇒ = = − − − = − + + == − + +

= ⇒ = − ∫

( )seny seny senyx uv 2(seny 1)e C e 2(seny 1) Ce−= = − + + = − + + ⇒

senyx = Ce 2 2sen y− −



23.- Resolver la ecuación xy’+y=y2lnx.

Solución:

La ecuación puede escribirse en la forma: 3y ln xy ' yx x

+ = ⇔ + = ndy p(x)y q(x)ydx

, luego, es

una ecuación diferencial de Bernouilli. Buscamos dos funciones u(x) y v(x) tales que la solución sea y(x) = u(x) ⋅v(x).

Derivando, ha de ser entonces: dy du dvy ' v udx dx dx

= = + .

2 2 2du dv duxy ' y y ln x x v u u dvxv xv u u v ln xdx dx

vddx x

+ = ⇔ + + = + =

+

Buscamos la función v(x) con la condición de que cumpla que el coeficiente de u en el primer

miembro de la ecuación anterior sea nulo:

dv dv dxx v 0dx v x

+ = ⇒ = − , que es una ecuación de variables separadas. La resolvemos para

hallar v(x): 1 1dx dv ln x ln v C ln(xv) Cx v

− = ⇔ − = + ⇔ =∫ ∫

Como buscamos una función cualquiera v(x) que cumpla lo anterior, podemos tomar C = 0 y

despejar v(x): 1xv 1 vx

= ⇒ = Solución particular no trivial

Una vez que hallada v(x), volvemos ya a la ecuación 2 2

2 2 22

du 1 du 1 du 1xv u v ln x x u ln x ln xdxdx x dx x u x

= ⇒ = ⇒ =

para hallar u(x): 2

2

du 1 1ln xdx (*)u x u

= ⇒ − = ∫ ∫

1 1

2

1 12

dxu ln x du ln x 1 ln x 1x (*) dx C1 1 x x x xdv dx vx x

= ⇒ = ⇒ = − − − = − − −= ⇒ = −

∫

2

2

du 1 1 ln x 1 xln xdx C uu x u x x ln x 1 Cx

= ⇒ − = − − − ⇒ = + + ∫ ∫

Una vez obtenidas u(x) y v(x) ya podemos escribir: x 1 1y uvln x 1 Cx x ln x 1 Cx

= = =+ + + +

,

que es la solución general de la ecuación dada 1y

ln x 1 Cx=

+ +



24.- La ley del interés compuesto establece que la rapidez de variación de la función con

respecto a la variable para cualquier valor de la variable es proporcional al valor

correspondiente de la función. Hallar la función y=f(x) del interés compuesto, cuando

x=1, y=4; x=2, y=12.

Solución: Tenemos la siguiente ecuación diferencial: dy/dx = ky, siendo k una constante positiva.

Integrando, kx C kx C kxln y kx C y=e e e ce+= + ⇒ = = , siendo Ce c=

Para x=1, k 1 ky 4 ce ce⋅= = = ; x=2, k 2y 12 ce ⋅= =

Por tanto, kk

k 2

e 3 k ln 34 ce4c12 ce3

⋅

= ⇒ == ⇒ ==

en general, x ln3 x 14y= e 4 33

−= ⋅

U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 70

Ecuación diferencial

Es toda ecuación que incluya una función, que es la incógnita, y alguna de sus

derivadas o diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su:

tipo: Ordinarias si la función incógnita es de una sola variable

independiente.

En derivadas parciales si la función incógnita depende de dos o más

orden: El de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Es una ecuación de la forma F(x,y,y’)=0.

A veces la ecuación anterior se puede expresar en la forma y’=G(x,y), diremos que

la ecuación diferencial viene expresada en forma normal.


Ecuación de Bernouilli

Es toda ecuación diferencial de la forma dy

dxp(x)y q(x)yn donde n0,1, ya que en

dichos casos sería lineal


Ecuación lineal

Se llama ecuación lineal a una ecuación de la forma: bxa...xaxa nn2211 ,

donde los coeficientes n21 a,...,a,a , así como el término independiente b , son escalares de un cuerpo conmutativo K, y n21 x,...,x,x son las incógnitas.


Ecuaciones diferenciales exactas

La ecuación M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se llama ecuación diferencial exacta o

ecuación en diferenciales totales si M(x,y) y N(x,y) son funciones continuas y

derivables que verifican:

M

y

N

x siendo

M

y

N

x, continuas en un cierto dominio.


Ecuaciones lineales de primer orden

Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a la que es lineal respecto

de la función incógnita y su derivada. Es de la forma: dy

dxp(x)y q(x)

1. Si q(x)=0 la ecuación se denomina lineal homogénea y es de variables

separables; entonces: dyp(x)y 0

dx

2. Si q(x)0 la ecuación se denomina lineal no homogénea.


Ecuaciones con variables separadas y ecuaciones reducibles a ellas

Toda ecuación de la forma f(y)dy=g(x)dx se llama ecuación de variables

separadas. La solución general es de la forma f y dy g x dx C( ) ( )

Las ecuaciones de la forma f(y)h(x)dy=g(x)m(y)dx donde los coeficientes de

las diferenciales se descomponen en factores que dependen solo de x , o solo de

y, se llaman ecuaciones con variables separables.

Dividiendo por h(x)m(y) la anterior ecuación, se obtiene una de variables

separadas: f y

m ydy

g x

h xdx

( )

( )

( )

( )

f y

m ydy

g x

h xdx

( )

( )

( )

( )

Observación. La división por h(x)m(y) puede dar lugar a que se pierdan las

soluciones particulares que anulan el producto h(x) m(y).


Ecuaciones homogéneas

Toda ecuación diferencial que pueda escribirse de la forma dy

dxF

y

x

se dice

que es homogénea. También puede venir dada en la forma

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 siendo P(x,y), Q(x,y) funciones homogéneas del mismo

grado.


Solución general

La solución general (ó simplemente la solución) de una ecuación es el conjunto formado por todas las soluciones particulares. La solución general (ó simplemente la solución) de un sistema es el conjunto formado por todas las soluciones particulares.

Solución particular Se llama solución de una ecuación diferencial a toda función f que junto con sus derivadas satisfaga la ecuación diferencial. Una solución particular de una ecuación lineal es una n-upla de escalares )c,...,c,c( n21 tal que

bca...caca nn2211 . Una solución particular de un sistema de ecuaciones lineales es una n-upla de escalares

)c,...,c,c( n21 que sea solución de cada una de las m ecuaciones del sistema.


Factor integrante

Supongamos que el primer miembro de la ecuación

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) no es una diferencial total. A veces se puede

elegir una función (x,y) tal que al multiplicar (1) por (x,y)

proporciona una ecuación diferencial exacta.

La función (x,y) se denomina factor integrante de la ecuación (1).

Para hallar un factor integrante =(x,y) se procede de la forma

siguiente:

Multiplicamos la ecuación (1) por : Mdx+Ndy=0.

Si esta nueva ecuación es diferencial exacta entonces:

( (M

y x y

) )

N

yM

M

y xN

N

x

M

y

N

xN

xM .

Dividiendo por :

M

y

N

x

N x M

y

Nx

My

ln ln (2).

Toda función (x,y) que satisfaga (2) es un factor integrante de la

ecuación (1).

La ecuación (2) es una ecuación en derivadas parciales siendo una

función desconocida que depende de x e y.

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