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8/16/2019 ECUACIONES DE MAXWELL.doc

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ECUACIONES DE MAXWELLECUACIONES DE MAXWELL

El presente capítulo fue elaborado asumiendo que el lector maneja el análisis vectorial ytiene los conocimientos de electricidad y magnetismo que se adquieren en un curso inicial.

En consecuencia, no trataremos las definiciones de los campos E, D, B y H ni discutiremosaquellos fenómenos básicos que pueden encontrarse en la abundante bibliografía existente.Como libros de referencia destacamos los siguientes:

. !. !ac"son # "Electrodinámica Clásica”. $. %. &ommerfeld, vol. ' # “Electrodynamics” .'. (. (andau et al) vol. * # "Electrodynamics of Continuous Media" .

El objetivo central de este trabajo es elaborar una discusión conceptual profunda de los+ostulados del Electromagnetismo, es decir las Ecuaciones de ax-ell, aspecto que nosuele tratarse con la atención necesaria.

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

(a eoría Electromagn/tica del físico escoc/s !ames Cler" ax-ell 0*'1*234 es una delas obras intelectuales más importante en la 5istoria de las ciencias.&u aparición se inicia en *6 07On Physical Lines of Force84 y se completa en un tercertrabajo en *69 07 A Dynamical heory of the Electroma!netic Field 84.Es interesante remarcar que en esa /poca ya se conocían muc5as leyes individuales sobreel comportamiento de la electricidad y el magnetismo, pero no se tenía una teoría formal queusando el menor nmero posible de +ostulados explicara los fenómenos de naturale;aelectromagn/tica conocidos.ax-ell supo seleccionar cuatro fenómenos básicos fundamentales como +rincipios, conlos cuales armó un modelo físico matemático capa; de explicar la totalidad de las leyes en

esa disciplina y predecir fenómenos desconocidos.

Esta teoría es considerada el nacimiento de la elatividad Especial está implícita en lasecuaciones de ax-ell pues ellas se cumplen con rigor en todos los sistemas inerciales, lo

que permite deducir naturalmente las ransformaciones de (orent; como relaciones nicasde transformación de coordenadas entre sistemas inerciales.


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(a formulación moderna del electromagnetismo fue elaborada en **@ por el gran científicoautodidacta Alivier Beaviside 0*913$94, para lo cual estructuró el análisis vectorial yreplanteó la formulación de ax-ell, llevándola a la forma que trata la bibliografía actualmediante ecuaciones diferenciales a derivadas parciales.

FUNDAMENTOS DE LAS ECUACIONES DE MAXWELLFUNDAMENTOS DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL

(os cuatro fenómenos básicos tomados como +ostulados del electromagnetismo son:

1 – Ley de Faraday sobre la !er"a ele#$ro%o$r&" &'d!#&da(Esta ley fue descubierta por ic5ael


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) – Ley de *a!ss+Faraday sobre &'d!##&,' el-#$ra((os experimentos de inducción el/ctrica reali;ados por


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la ley de Gauss1


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=ótese que si la corriente es constante, J debe ser estacionario, es decir no depender deltiempo.

2 – No e3&s$e'#&a de %o'o/olos %a4'-$os((a experiencia mostró que no existen polos magn/ticos aislados. &i un imán se parte almedio se obtienen dos imanes de menor intensidad.Esto muestra una particular propiedad del campo magn/tico 0B4, cuyas líneas de fuer;a sonnecesariamente cerradas pues no tienen ni fuentes ni sumideros.

ecordemos que si una ecuación integral presenta el mismo recinto de integración enambos miembros, sus integrandos son iguales. En consecuencia, si logramos expresar unaecuación integral con un nico recinto de integración, lograremos obtener la ley con unaecuación diferencial

+or ra;ones didácticas veamos el procedimiento que elaboró Beaviside para tal fin.

Isaremos dos teoremas centrales del análisis vectorial.

+ Teore%a de *a!ss ∫∫∫ ∫∫ ∇=⋅Σ #

d# Ad A σ

(a superficie encierra el volumen

+ Teore%a de S$o5es ∫∫ ∫ Σ

⋅×∇=⋅ σ d Asd AC

(a curva es el contorno de la superficie

Estos dos teoremas deben ser tratados como igualdades sin interpretarlos 7físicamente8 demanera ridícula y for;ada como suelen 5acer varios autores, es decir que 5acer el cálculo

del primer miembro da un resultado exactamente igual al cálculo del segundo miembro, ynada más.


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(o realmente importante de estos teoremas es el cambio de dimensión en la igualdadestablecida 0cambio de recinto de integración4.El teorema de Gauss pasa de un cálculo sobre una superficie 0$ dimensiones4 a uno en unvolumen 0' dimensiones4.En la igualdad de &to"es se pasa de un cálculo sobre una curva 0 dimensión4 a uno sobreuna superficie 0$ dimensiones4.

1 – 6r&%era e#!a#&,' de Ma37ell

+artimos de la (ey de


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) – Se4!'da e#!a#&,' de Ma37ell

+artimos de la ley de Gauss1


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∫∫∫ ∫∫ −=⋅Σ #

d# dt

d d * ρ σ

&iendo la integral del segundo miembro la carga neta en el volumen # . %plicando el teorema de Gauss obtenemos

∫∫∫ ∫∫∫ −=⋅∇# #

d# dt

d d# * ρ

+ara poder igualar los integrandos de esta ecuación integral, debemos lograr que conmutenla derivada temporal con el cálculo integral en el segundo miembro. +ara ello bastará conpedir que los límites de integración no dependan del tiempo, condición que se cumple si lospuntos que pertenecen al volumen permanecen en reposo.

t *

d# t

d# *

# #

∂∂−=⋅∇⇒

∂∂

−=⋅∇ ∫∫∫ ∫∫∫ ρ

ρ

Esta ltima ecuación diferencial escalar se conoce como Ecuaci&n de Continuidad , y tienevalide; general.e acuerdo con la segunda ecuación de ax-ell, la densidad de carga en un punto estádada por la divergencia de D en dic5o punto, lo que permite la siguiente relación:

- t

D* =

∂∂

+⋅∇

%5ora podemos proponer cómo será la ley de %mpHre generali;ada 0$er#era e#!a#&,' deMa37ell4.ado que la divergencia de un rotor es siempre nula, la nica manera de lograr que secumplan la ley de %mpHre microscópica y la ecuación de continuidad es agregando lavariación temporal de D en el segundo miembro de la ley.=ótese que en el caso estacionario 0corriente constante4 queda la ley clásica de %mpHre.

t

D* $

∂∂

+=×∇

( )

d.continuidadeEcuación

quedaráComo

- t

*

t

D* - - $

=∂∂

+⋅∇⇒

∂

∂+⋅∇==×∇⋅∇

ρ

(a variación temporal de D agregada por ax-ell es llamada corriente de des%la+amiento 5orrible y confusa denominación que usa alguna bibliografía. Esta denominada corriente dedes%la+amiento no es una corriente el/ctrica.

(o más significativo de la genial Bipótesis de ax-ell es que al poner la variación temporalde D en la tercera ecuación está incorporando la existencia de ondas electromagn/ticas, talcomo ax-ell deseaba pues estaba convencido que la lu; tenía naturale;a

electromagn/tica.(a existencia de ondas electromagn/ticas es un aspecto tan importante que la relación entrela Bipótesis de ax-ell y la existencia de ondas será tratada por separado


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2 – C!ar$a e#!a#&,' de Ma37ell(&i aceptamos que las líneas de fuer;a del campo magn/tico son cerradas, 5ec5o verificadoexperimentalmente, la expresión matemática es inmediata pues el campo magn/tico B notiene fuentes ni sumideros. En consecuencia, su divergencia es nula.

- " =⋅∇

RESUMEN(as cuatro ecuaciones de ax-ell, descritas por Beaviside, son consideradas los +rincipiosde la eoría Electromagn/tica, que corresponden a cuatro fenómenos básicos que no tienendemostración teórica. Es importante recalcar que de estas ecuaciones se deducen todas lasleyes conocidas del electromagnetismo, conformando una teoría clásica completa.Ellas son:

- "

t

D* $

D

t

"E

=⋅∇−

∂∂

+=×∇−

=⋅∇−

∂∂

−=×∇−

@

'

$

ρ

Estudios posteriores mostraron que si aceptamos el +rincipio de Conservación de la carga,las ecuaciones escalares $ y @ son demostrables, dejando de ser postulados, por lo cual eneste modelo sólo tendríamos dos ecuaciones vectoriales independientes 0 y '4, es decirseis ecuaciones escalares. =o obstante, es usual que la bibliografía especiali;ada continetratando a las cuatro ecuaciones de ax-ell como +ostulados de la teoría.

(as ecuaciones son lineales y sólo son aplicables con rigor en puntos en reposo en unsistema inercial. Esto ltimo no debe llevar a confusión, la valide; de las ecuaciones es parapuntos en reposo pero, una ve; conocidos los campos, sus efectos sobre cargas externas 0ocorrientes4 en movimiento es calculable mediante la


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D para calcular las fuentes. ∫∫ Σ

=⋅ 1d D σ 0(ey de Gauss1


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En los medios 5omog/neos e isótropos los tres parámetros 5..6 χ µ ε son constantes y su

conocimiento facilita la resolución de las ecuaciones, ya que tenemos sólo seis incógnitas,por ejemplo E y B.(a condición de 5omogeneidad de un medio suele estar relacionada con la temperatura delmismo, requiriendo temperatura constante, mientras que la de isotropía se vincula con laestructura de la sustancia que compone el medio. En general, los medios no cristalinos oamorfos son isótropos, mientras que ciertos medios de estructura cristalina, como el cuar;o,son anisótropos y sus 7constantes8 constitutivas son representadas por un tensor.

>esumiendo, la solución formal de un problema arbitrario requiere el conocimiento 0mínimo4de los medios que intervienen, con sus condiciones de contorno, la geometría del problemay la densidad volum/trica de carga.Cumplido esto, la solución concreta dependerá de las dificultades de cálculo.

LA HI6ÓTESIS DE MAXWELL : LA EXISTENCIA DE ONDAS

(a primera ecuación de ax-ell, que se cumple en todo punto del espacio en reposo,describe un fenómeno que debemos anali;ar en detalle de manera conceptual.

t

"E

∂∂

−=×∇

&upongamos que tenemos un imán en movimiento armónico, por lo cual se verifica que 5ayun campo magn/tico dependiente del espacio y del tiempo en todo punto del espacio.esconocemos de qu/ manera el movimiento del imán 0y su campo4 se transmite a lospuntos fuera del imán, modificando el valor existente del campo en cada punto. Meremosque la Bipótesis de ax-ell resuelve el misterio.

esde un punto de vista matemático, en un punto cualquiera del espacio y en un instantedado, la derivada temporal de B existirá siempre y cuando exista campo magn/tico antes ydes%u2s del instante elegido, pues para que exista derivada temporal la función debe estardefinida en el entorno 0temporal4. &imultáneamente existirá tambi/n en ese punto un campoel/ctrico cuyo rotor es, en módulo, igual a la derivada temporal del campo magn/tico pero,dado que el rotor requiere derivadas espaciales, este campo el/ctrico variará tambi/n en elentorno del punto. %unque es algo burda, la representación de la figura 9 permite entenderel proceso, el campo B varía temporalmente en el punto P y el campo E lo 5ace tambi/n enel entorno espacial.


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Exactamente este nuevo proceso es el que provee la Bipótesis de ax-ell incorporada enla tercera ecuación.

Este mecanismo de vinculación entre campos variables en el tiempo, 5istóricamente se lodenominó concatenaci&n de cam%os, lo que es una manera tonta de decir propagaciónondulatoria.

(a Bipótesis de ax-ell no sólo explica cómo se transmiten las perturbaciones, tambi/npredice la existencia de ondas independientes de la materia.

EL NACIMIENTO DEL CAM6O y LAS ONDAS ELECTROMA*N;TICASEL NACIMIENTO DEL CAM6O y LAS ONDAS ELECTROMA*N;TICAS

+asemos a la sala de parto para asistir al nacimiento del campo, uno de los acontecimientosmás importante en la 5istoria de las ciencias. &upongamos estar en el vacío, es decir sin materia ni cargas ni corrientes, y asumamosválidas y sin restricciones las ecuaciones de ax-ell que, en estas condiciones, son las

siguientes:

- "

t

E "

- E

t

"E

- -

=⋅∇−

∂∂

=×∇−

=⋅∇−

∂∂

−=×∇−

@

'

$

ε µ

Cabe esperar que los campos sean id/nticamente nulos en todo el espacio, puesto que,además de ser la solución trivial de las ecuaciones planteadas, estamos acostumbrados aasociar los campos con sus fuentes, en este caso inexistentes.

Ina ve; más la intuición nos enga?a pues, como veremos, este sistema de ecuacionestiene solución distinta de cero, siendo ello un resultado asombroso y extraordinario por elcual el campo electromagn/tico adquiere categoría de ente físico real.Meamos la demostración matemática.

%plicando la igualdad vectorial ( ) ( ) A A A 7 ∇−⋅∇⋅∇=×∇×∇ , en ambos miembros de laprimera ecuación de ax-ell, resulta:

( ) ( )

∂∂

×−∇=∇−⋅∇⋅∇=×∇×∇t

"E E E

7

Isando la segunda ecuación 0divergencia nula4 y considerando que la derivada temporal yel rotor son operaciones que conmutan pues operan sobre variables independientes, queda:

( )"t

E 7

×∇∂

∂=∇


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%lembertOdeEcuación7

7

7

7

t 4

8

∂

Φ∂=Φ∇

&iendo 4 la velocidad de propagación. +or ejemplo, una solución simple es la de una ondaplana propagándose segn el eje x.

( )

( )t 9, sinE 5t . , 6 E

t 9, sin 5t . , 6

-

-

ω

ω

−=

−Φ=Φ

:esn/ticoelectromagcasoelEn

ica,onocromát+lanaAnda

+or comparación con la ecuación de N%lembert, podemos determinar la velocidad depropagación de las ondas electromagn/ticas en el vacío, cálculo simple que da comoresultado 0maravilloso4 la velocidad de la lu;:

c 8

4

- -

==ε µ

%nálogamente, 5aciendo el mismo procedimiento completo a partir de la tercera ecuación,llegamos a la siguiente relación:

7

7

- - 7

t

""

∂

∂=∇

ε µ

(os campos E y B se propagan, como era obvio de acuerdo al análisis de la Bipótesis deax-ell, en conjuntoBa nacido el beb/ que cambió la física ne-toniana. El campo electromagn/tico tieneexistencia propia, independiente de la materia, pero sólo en forma de onda.

Estudios más avan;ados 0eorema de +oynting4 demuestran que una onda posee energía ycantidad de movimiento. En consecuencia, no puede aparecer de la nada pues ello violaría+rincipios Iniversales aceptados, tal como el de conservación de la energía. %simismo, se demuestra que para que exista una onda electromagn/tica debemos teneraceleración de su fuente 0cargas4, lo que implica que la onda aparece como un efecto de unproceso causal y, una ve; creada, es un ente físico independiente tan real 0o más real4 quela fuente que lo originó.

Cualquier otro caso de campo estacionario siempre estará asociado a sus fuentes.

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