ecuaciones de la recta
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Se explican las ecuaciones de la recta. Posición relativa de dos rectas. rectas paralelas y perpendicularesTRANSCRIPT
IES “VEGA DEL TURIA”
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1.- ECUACIONES DE LA RECTA
Una recta queda determinada si conocemos: - Un punto y un vector director.
- Dos puntos.
- Un punto y su pendiente.
Dado el punto A(xo, yo) y el vector direccional de la recta v=(v1,v2) y un punto desconocido X(x,y) de la recta
Nos fijamos AXOAOX
vtOAOX
),(),(),( 21 vvtyxyx oo
Ec. vectorial de la recta
A) DADOS UN PUNTO Y UN VECTOR
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Operamos y obtenemos
),(),(
),(),(),(
),(),(),(
21
21
21
tvytvxyx
tvtvyxyx
vvtyxyx
oo
oo
oo
Es decir
2
1
tvyy
tvxx
o
o
Ec. paramétricas de la recta
Ahora despejamos la t en las dos ecuaciones
11 v
xxtxxtv o
o
22 v
yytyytv o
o
Igualando obtenemos
21 v
yy
v
xx oo
La ec. continua de la recta
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Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores
oo yvyvxvxv 1122 Pasamos al primer miembro y cambiamos las letras
02112 oo xvyvyvxv
A B C
0 CByAx
Ec general, implícita o cartesiana de la recta
Ahora vamos a despejar la y para obtener otra ecuación
CAxBy
B
Cx
B
Ay
m n
nmxy
Ec. explícita de la recta
Al número m = -A/B se le llama pendiente y nos indica la inclinación de la recta
y al número n= -C/B ordenada en el origen indica el punto de corte con el eje Y
tgv
v
B
Am
1
2
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Ejemplos
2) Dibujar las rectas:
r: 2x – y – 3 = 0
s: y = 2x + 1
t: 2x - 3y + 6 = 0
1) Encontrar todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene de vector director (1,-1)
3) La siguiente gráfica muestra una recta.
a) Escribe la ecuación continua de la recta
b) ¿Pertenece el punto (-6,4) a la recta?
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Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2)
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
Yo eligo de referencia el punto A y el vector AB y realizando los mismos pasos se obtiene la ecuación:
Ec. de la recta que pasa por dos puntos
B) DADOS DOS PUNTOS
Ejemplo – Calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (-2, -3) y (1, -4)
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De una recta conocemos un punto (xo, yo) y su pendiente m
Entonces la ecuación de la recta es:
)( oo xxmyy Ec. punto-pendiente
C) DADOS UN PUNTO Y LA PENDIENTE
Ejemplos
1) Ecuación explícita de la recta que pasa por el punto (1, -2) y tiene de pendiente 3. Dibuja dicha recta
2) Calcula la ecuación de la siguiente recta
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2.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Dadas las rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’ = 0 para averiguar su posición resolvemos el sistema formado por ellas y puede suceder:
Sistema
Una soluciónRectas secantes
Sin soluciónRectas paralelas
Infinitas solucionesRectas coincidentes
'' B
B
A
A ''' C
C
B
B
A
A ''' C
C
B
B
A
A
r sr=s
r
s
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Ejemplo - Halla la posición relativa de la recta y = 3x - 1 con cada una de las siguientes. A) y = -3x + 2 B) -15x + 5y + 1 = 0
82
643
yx
yx
82
42
yx
yx
42
842
yx
yx
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3.- RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación, es decir
mr = ms
Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es paralela a la recta x + 2y – 4 = 0
Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando cuatro ángulos rectos, además se cumple
mr · ms = -1
Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es perpendicular a la recta x + 2y – 4 = 0