ECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR Mathema

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La ecuación de tercer grado. Una ecuación de tercer grado con una incógnita es aquella que se puede poner bajo la forma canónica:

3 2 0ax bx cx d+ + + =

donde a , b , c y d ( 0a ≠ ) son números complejos.

Scipione del Ferro (1465 - 1526), un profesor de mate-máticas de la uni-versidad de Bolo-nia, fue el primero que resolvió alge-braicamente la ecuación cúbica, pero sus descubri-mientos no fueron publicados. Otro matemático Italia-no, Tartaglia (1499 - 1557), encontró un método para resolver cualquier ecuación cúbica de la forma

3 0x px q+ + =

y sus resultados fueron publicados por Cardano (1501 - 1576) en su obra Ars Magna. Así, la fórmula para resolver cualquier ecuación cúbica recibe hoy el nombre de fórmula de Cardano, y se deduce de la siguiente manera. En primer lugar, la ecuación cúbica

3 2 0ax bx cx d+ + + = . . . ‚

se puede llevar a una de la forma

3 0y py q+ + =

mediante la sustitución 3by xa

= + para

eliminar el término cuadrático. En efecto, al

reemplazar 3bx ya

= − en ‚ y desarrollar

se cancela el término que contiene 2x .

Ahora supongamos que la solución sea de la forma y u v= + ( )’ y transformemos nuestro problema en otro con dos incógnitas:

3( ) ( ) 0u v p u v q+ + + + = , esto es,

3 3 (3 )( ) 0u v uv p u v q+ + + + + =

Supongamos que las incógnitas u , v satisfacen además la ecuación 3 0uv p+ = . Nuestro problema se reduce a encontrar u , v tales que

3 3

3u v quv p

⎧ + = −⎪⎨

= −⎪⎩

Conocidos 3 3u v+ y 3 3u v , sabemos que 3u y 3v son las raíces de la ecuación de segundo grado

33 3 2( )( ) 0

27pz u z v z qz− − = + − = .

Resolviendo esta ecuación de grado 2 en la forma usual, se tiene:

2 33

2 4 27q q pu = − + + ,

2 33

2 4 27q q pv = − − +

Notación: 2 3

Discriminante de la ecuación cúbica

4 27q p

Δ = +

de donde

2 33

2 4 27A

q q pu = − + + ,

2 33

2 4 27B

q q pv = − − +

Y reemplazando en ( )’ llegamos a la fórmula de Cardano:

2 3 2 33 3

2 4 27 2 4 27q q p q q py = − + + + − − +

Las otras dos raíces son:

22y wA w B= +

23y w A wB= +

donde 1 32 2

w i= − +

Ejemplo: Resolver la ecuación cúbica

3 3 2 0x x+ − = Solución:

2 3

24 27q p

Δ = + =

33 1 22qA = − + Δ = +

33 1 22qB = − − Δ = −

Luego, las raíces de la ecuación son

3 31 1 2 1 2x A B= + = + + −

3 32 22 . 1 2 . 1 2x wA w B w w= + = + + −

3 32 23 . 1 2 . 1 2x w A wB w w= + = + + −

PROBLEMAS 1. Resolver las siguientes ecuaciones

cúbicas.

a) 3 3 2 0+ + =x x b) 3 3 2 0− − =x x c) 3 6 2 0+ − =x x d) 3 6 4 0+ + =x x

2. Eliminar el término cuadrático y luego

resolver las siguientes ecuaciones cúbicas.

a) 3 23 1 0+ + =x x b) 3 23 2 2 0− + + =x x x c) 3 23 1 0+ + + =x x x d) 3 26 3 0− + =x x

3. Determine la solución real de la

ecuación 3 23( 3 ) 4(3 1)+ = +x x x .

Rpta: 3 31 (4 7 49)3

+ +

4. Pruebe que 0cos20 es una raíz de la

ecuación 38 6 1 0− − =x x . 5. Luego de resolver la ecuación

( 1)( 2)( 3) 1+ + + = −x x x x , indique la suma de sus soluciones.

Rpta: 3−

6. Al resolver 3 22 9 6 3 0− + − =x x x se

obtuvo una raíz de la forma 3

3

11

+−

aa

.

Halle el valor de a .

Rpta: 5 7. Si , ,α β θ son las raíces de

3 3 2 0+ − =x x . Calcule el valor de

( 2 )( 2 )( 2 )α β θ− − − .

Rpta: 4 2 8. Si 1x , 2x , 3x son raíces de la ecuación

3 2 4 4 0− − + =x ax x a . Halle el valor de 3 3 3

1 2 3( 2) ( 2) ( 2)− − −x x x .

Rpta: 0 9. Si 1 2 3, ,x x x son las raíces de la ecuación

3 2 24 4 0+ − + =x mx x m , tal que

1 2 3

1 1 1 4+ + =x x x

. Calcule un valor de m

Rpta: 1 ∨ 1−

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10. Sean , ,a b c las raíces de la ecuación 3 2 5 0− + =x x . Halle el valor de

(1 )(1 )(1 )2

− − − − − −a b a c b cabc

.

Rpta: 1/2

11. Si , ,m n p son las raíces de la ecuación

3 22 0α− + + =x x a x , halle el valor de 2

2 2 2

( )2 1

+ ++ + + −

m n pm n p a

.

Rpta: 4/3

12. Si la ecuación

3 22 210 0− + − =x mx nx tiene como raíces a tres números primos diferentes, halle el valor de −n m .

13. Si , ,a b c son las raíces de la ecuación

3 2 2 5 0− + + =x x x , calcule el valor de ( 1) ( 1) ( 1)+ + + + +a a b b c c .

Rpta: 2−

14. Si dos raíces de la ecuación

3 2 ( 3) 4 0+ + + + =x ax a x suman 5; halle el valor de a si se sabe que todas las raíces son números enteros.

Rpta: 4−

15. Resuelva la ecuación

4 2 2( 2) ( 4) 3( 9) 0− − + + + =a x a x a ; 2≠a si se sabe que el producto de sus

raíces es 36. Indique la mayor solución.

Rpta: 3 16. Resuelva la ecuación

3 2 2 2( ) 0+ + + + =x a b c x abc ; { , , }⊂a b c , si sus raíces son , ,a b c .

Rpta: {0}

17. Si la ecuación 4 12 5 0− − =x x contiene

dos raíces que suman 2; calcule la suma de las inversas de las otras dos raíces.

Rpta: − 2/5

18. Se sabe que 4 3 24 1 0− + + + =x x ax bx

tiene sus raíces positivas; encuentre el valor de +a b .

Rpta: 2 19. Si –1 es una raíz de multiplicidad k

( 2≥k ) del polinomio

5 2( ) 1 0= − − + =P x x ax ax . Determine el valor de a .

Rpta: 5−

20. Indique una raíz de la ecuación

3 0+ + =x ax b ; 0<a , si sus raíces

1 2 3, ,x x x cumplen 2 1 3 2− = −x x x x .

21. Si 3 2 1+ es raíz de la ecuación

3 2 3 0+ + − =x ax bx , { ; }⊂a b , halle el

valor de 2+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

a bab

.

Rpta: 1 22. Dada la ecuación

3 211 36 0− + − =x x x a si las inversas de sus raíces están en progresión aritmética; calcule el producto de dos de sus raíces.

Rpta: 12

23. Si las ecuaciones 3 2 18 0+ + =x ax ,

3 12 0+ + =x bx tienen dos raíces comunes, halle el valor de una de ellas.

24. Si 2 3+ es una raíz de la ecuación

3 24 0− + + =x x mx n ; , ∈m n . Calcule el valor de m .

Rpta: 1

25. Si una de las raíces de la ecuación

3 23 18 0+ + + =x mx nx ; , ∈m n es

1 3− . Calcule la suma de cuadrados de todas sus raíces.

26. Si 2 3+ es una raíz de la ecuación

3 2 3 0− + − =x ax bx ; { , }⊂a b . Calcule el valor de 3 −a b .

Rpta: 8

27. Si 2i es raíz de la ecuación

3 2 4 2052 0+ + + =ax bx x . Halle el valor de /b a .

Rpta: 513

28. Si 2 − i es una raíz de la ecuación

3 22 9 0− + + =x x ax b ; { , }⊂a b . Calcule el valor de ab .

Rpta: 70−

29. Si 21 (1 )= −x i ; 1= −i es una raíz de la

ecuación 3 2 0+ + + =x ax bx c ; halle el valor de b sí { , , }⊂a b c .

30. Si dos de las raíces de la ecuación

4 3 22 0+ + + + =x ax bx cx d ;

{ , , , }⊂a b c d son 1 2+ y 3− , calcule el valor de + + +a b c d .

31. Si una raíz de la ecuación de

coeficientes reales 4 3 25 3 0− + + + =x x x ax b es 3− i

calcule el valor de −a b .

Rpta: 26 32. Dada la ecuación

3 2 0+ + + =x mx nx p de coeficientes

racionales, si una raíz es 3

52 1−

calcular

un valor de + +m n p . 33. Señale una raíz entera negativa de la

ecuación 2 2 2( 7 2)( 5 2) 24+ − + − =x x x x x .

Rpta: 2−

34. En la ecuación polinomial

3 22 4 0+ + − =x x bx , el cuadrado de la única raíz positiva es igual a la diferencia de los cuadrados de las otras dos. Señale dicha raíz.

35. Dado el polinomio

3 2( ) 3 3 4= + + +P x ax bx cx d ; 0≠a de coeficientes enteros, si se sabe que 2 es una raíz triple; además su término independiente es no positivo y es el mayor entero posible, calcule el valor de 3−abcd a .

36. Si las raíces , ,a b c de la ecuación

3 22 10 0+ − + =x px px , ∈p están en progresión aritmética. Calcule el valor de ( )+ ca b .

37. Si dos raíces de la ecuación

4 3 23 280 1984 0− + + − =x x ax x tiene producto 32, halle el valor de a .