ecuaciones cuadráticas

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Asignatura:

Departamento:

ECUACIONES CUADRÁTICASCON UNA INCÓGNITA

ÁREA DE MATEMÁTICAS

Mtra. Judith Aguila Mendoza

MATEMÁTICAS 0 PARA NEGOCIOS


Ley de la tricotomia:

• Dadas dos cantidades cualesquiera a y b entre ellas puede existir únicamente una de las siguientes relaciones:

a = b a > b

a < b

Igualdades

Desigualdades


Igualdades

• Las igualdades son expresiones que nos permiten comparar dos cantidades y definen que estas son iguales.Ejemplo: a = b44= 2(22)8= 16/2


Elementos• La igualdades estan conformadas por los

siguientes elementos:Primer miembro= Segundo miembro

a) Podemos representar las igualdades mediante dos cantidades conocidas.

• Ejemplo: 4= 2(2)b) Podemos expresar una igualdad mediante cantidades desconocidas o bien conocidas y desconocidas.Por ejemplo: x= yo bien, x= 5


Elementos:

• Cuando las cantidades son desconocidas las denominamos incógnitas y representan la cantidad de nuestro interés en la solución del problema que estamos aplicando.Por ejemplo:El número de sillas en el salón es 25, lo expresamos:

X=25Donde x es el número de sillas


Clasificación:

• La igualdades pueden clasificarse en dos tipos:Identidades: Son igualdades que se cumplen para cualquier valor de la incógnitaEjemplo:

Si sustituimos x por el valor de 5, tendríamos 25-4= (7)(3)

( ) ( )2242 −+=− xxx


definición

Es una igualdad que se cumple para algunos valores de la incógnita

Clasificación

Lineales CuadráticasRacionales Con radical

Solución

Es el valor o los valores que hacen verdadera la igualdad

M é t o d o d e s o l u c i ó n

Aplicando la propiedad uniforme de las igualdades de manera directa

0bax =+ 0dx

cbx

a =+

++ 0cbxax2 =++ 0bxn =+

Ejemplos

Definiendo el dominio de la ecuación, para definir la solución

•Definiendo el mcd de la expresión racional•Multiplicando los dos extremos de la igualdad por el mcd, para simplificar•Resolver la ecuación, tomando en cuenta el dominio

Ejemplos

Por factorizaciónCompletando el cuadradoPor fórmula cuadrática

Ejemplos

ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Ejemplos

Ejemplos


Ecuación Solución Comprobaciónx=- 5/4

X=5y

X=1

05x4 =+00

055

05454

==+−

=+

−

x45x2 =−( ) ( )

20205455 2

==−

( )44

)1(451 2

−=−−=−−


Ejemplo de solución de ecuación lineal

x95x2 −=−:extremo sólo un en incógnita la con términos Los

59xx2 +=+:semejantes términos los Reduciendo

14x3 =

314x

:es ecuación la de solución La

=


Ejemplo 2

−−−=−−

312

21

49

42

35 xxxx

−−−=

−−

31x2x

21

4912

42x

3x512

( )1x22x6276x3x20 −+−=+−

Resolviendo:

−−−=−−

31x2x6)9(3)2x(3)x5(4

Obtenemos el mínimo común denominador y multiplicamos los extremos de la ecuación por 12:


19 15x =

2x-25617x =+

Efectuando las operaciones indicadas:

24627617 −+−=+ xxx

6-252x17x =+:resolver Al

1519=x

Reduciendo términos semejantes

Los términos con x al primer miembro y los independientes al segundo


Ejemplo de solución de ecuación racional

36

45

−=

− xx

404

≠≠−

xx

Observamos, que la incógnita esta en el denominador, por lo que es necesario definir el dominio de la ecuación.

“El dominio de la ecuación es el conjunto de valores de la incógnita que tienen sentido, en el caso de ecuaciones racionales, aquellos que no hacen el denominador igual a cero”

Tomando en cuenta lo anterior tenemos:

303

≠≠−

xx

Por lo que: “El dominio de la ecuación son todos los números reales excepto el 3 y el 4”


Ahora buscamos el mcd.

36

45

−=

− xx

Encontramos que es (x-4) (x-3) y multiplicamos la ecuación en sus dos extremos por el:

( ) ( ) ( )( )3

6434

543−

−−=−

−−x

xxx

xx

Simplificando tenemos:

( ) ( ) ( )( )3

6434

543−

−−=−

−−x

xxx

xx

quedándonos

( ) ( )6453 −=− xx


246155 −=− xx

152465 +−=− xx

9−=− x

Que podemos observar se redujo a una ecuación lineal, por lo que para resolverla tenemos que colocar los términos con la incógnita en uno de los extremos de la igualdad:

Reduciendo términos semejantes:

La solución de la ecuación es:

9=x


:miembroprimerelosFactorizam

:igualdad lacumplir Para

( ) ( ) 016 =−+ xx

Factorizando un trinomio de la forma x2+bx+c=0

16 =−= xx

0762 =−+ xx

( ) 06x =+ ( ) 01 =−x: tantoloPor


Por Fórmula Cuadrática:

1c7,b6,a ===

a2ac4bbx

2 −±−=

( ) ( ) ( )( )62

16477-x

2 −±=

1257

12257-

1224497-

±−=±=

−±=

x

x

0176 2 =++ xx

Sustituyendo en la fórmula:

Realizando operaciones

Con lo que concluimos que:

61

122 −=−=x 1

1212 −=−=xy

Son los valores que solucionan la ecuación


Solución de ecuaciones que contienen radicales:

( ) ( )22472x +−=+ x

44x14-492x +++=+ x

4x144-x-49-2x +=+

472x +−=+ x

742 =+++ xxDespejamos un radical a cada extremo para simplificar

Elevamos al cuadrado cada miembro

Desarrollando

Dejamos el término con radical en un solo extremo


4x1451- +=

( )4x1962601 +=

1961817x

41962601x

=

−=

Simplificando

Elevamos al cuadrado cada miembro:

Despejando x

ecuaciones cuadráticas

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