Ecuaciones Cuadrticas

Ecuaciones Cuadrticas

Mtodo de factorizacin

El mtodo de factorizacin se basa en la siguiente propiedad:

La propiedad del producto cero dice:

AB = 0 si y solo si A=0 B=0

Lo que significa que si el producto de dos nmeros es cero, entonces alguno de ellos o ambos son igual a cero.

Para resolver una ecuacin cuadrtica con el mtodo de factorizacin, seguiremos los siguientes pasos:

1. Escribir la ecuacin en formaax2+bx+c=0.

2. Factorizar. (Si has olvidado como factorizar, haz clickAqui)3. Haciendo uso de la propiedad del producto cero, igualar cada factor a cero y resolver parax.

4. Verificar la solucin.

Ejemplo 1:Resolver la siguiente ecuacinx2+4x=12

Solucin:Paso 1: Escribir la ecuacin en la forma general.x2+4x-12=0

Paso 2: Factorizar

x2+4x-12=0(x+6)(x-2)=0

Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver parax

x+6=0x=-6x-2=0x=2

Paso 4: Verificar la solucin.

Verificarx=-6x2+4x-12=0(-6)2+4(-6)-12=036-24-12=00=0Verificarx=2x2+4x-12=0(2)2+4(2)-12=04+8-12=00=0

Ejemplo 2:Resolver la siguiente ecuacin2x2-3=5x

Solucin:Paso 1: Escribir la ecuacin en la forma general.2x2-5x-3=0

Paso 2: Factorizar

2x2-5x-3=0(2x+1)(x-3)=0

Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver parax

2x+1=02x=-1x=-12x-3=0x=3

Paso 4: Verificar la solucin.

Verificarx=-1/22x2-3=5x2(-12)2-3=5(-12)2(14)-3=5(-12)12-3=-52-52=-52Verificarx=32x2-3=5x2(3)2-3=5(3)2(9)-3=1518-3=1515=15

Completar al Cuadrado

Recuerde que un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma:

x2+2xy+y2

o la forma

x2-2xy+y2

Recordemos que un trinomio cuadrado perfecto se factoriza fcilmente as

x2+2xy+y2=(x+y)2

o

x2-2xy+y2=(x-y)2

La idea del mtodo de completar al cuadrado es agregar una cantidad constante a una expresin para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto.

As, para convertir la expresinx2+bxa un cuadrado perfecto se debe agregar(b2)2.

De esta forma, la expresin ser factorizada asx2+bx+(b2)2=(x-b2)2.

Por otro lado, recordemos que para preservar el balance de una ecuacin, si agregamos o restamos una cantidad determinada a un lado de la ecuacin, debemos agregar o restar la misma cantidad al otro lado de la ecuacin

Ahora estamos listos para resolver las ecuaciones cuadrticas completando al cuadrado. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

1. Dejar los trminos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuacin y llevar el trmino independiente al lado derecho de la ecuacin.

2. Si la variablex2tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada trmino de la ecuacin por dicho coeficiente.

3. Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuacin.

4. Resolver la ecuacin, teniendo en cuenta que si(x-b2)2=Centoncesx-b2=C.

Ejemplo 1:Resolver la siguiente ecuacinx2+4x-32=0

Solucin:Paso 1: Dejar los trminos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuacin y llevar el trmino independiente al lado derecho de la ecuacin.x2+4x=32

Paso 2: Si la variablex2tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada trmino de la ecuacin por dicho coeficiente.En este caso el coeficiente de la variablex2ya es igual a 1.

Paso 3: Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuacin.

x2+4x=32x2+4x+(42)2=32+(42)2(x+42)2=32+4(x+2)2=36

Paso 4: Resolver la ecuacin

(x+2)2=36x+2=36x+2=6

x+2=6x=4x+2=-6x=-8

Paso 5: Verificar la solucin.

Verificarx=4x2+4x-32=0(4)2+4(4)-32=016+16-32=00=0Verificarx=-8x2+4x-32=0(-8)2+4(-8)-32=064-32-32=00=0

Ejemplo 2:Resolver la siguiente ecuacin9x2-18x+5=0

Solucin:Paso 1: Dejar los trminos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuacin y llevar el trmino independiente al lado derecho de la ecuacin.9x2-18x=-5

Paso 2: Si la variablex2tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada trmino de la ecuacin por dicho coeficiente.9x29-18x9=-59x2-2x=-59

Paso 3: Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuacin.

x2-2x=59x2-2x+(22)2=-59+(22)2(x-22)2=-59+1(x-1)2=49

Paso 4: Resolver la ecuacin

(x-1)2=49x-2=49x-1=23

x-1=23x=53x-1=-23x=13

Paso 5: Verificar la solucin.

Verificarx=53

9x2-18x+5=09(53)2-18(53)+5=09(259)-30+5=025-30+5=00=0Verificarx=13

9x2-18x+5=09(13)2-18(13)+5=09(19)-6+5=01-6+5=00=0

Frmula Cuadrtica

La frmula cuadrtica es una generalizacin del mtodo de completar al cuadrado. Dada laecuacin cuadrtica:

ax2+bx+c=0

dondea,bycson nmeros reales,a0.

la frmula cuadrtica es la siguiente:

x=bb24ac2a

Ejemplo 1:Resolver la siguiente ecuacin2x2-1+x=0

Solucin:Paso 1: Escribir la ecuacin en la forma general.2x2+x-1=0

Paso 2: Identificar las variables correspondientes.

a=2,b=1,c=1

Paso 3: Reemplazar los valores en la frmula y resolver paraxx=bb24ac2a

x=1124(2)(1)2(2)

x=11+84

x=194

x=134

x=1+34x=24x=12x=134x=44x=1

Paso 4: Verificar la solucin.

Verificarx=12

2x2-1+x=02(12)2-1+(12)=02(14)-(12)=012-12=00=0Verificarx=-1

2x2-1+x=02(-1)2-1+(-1)=02(1)-2=02-2=00=0

Ejemplo 2:Resolver la siguiente ecuacin2x-x2=2

Solucin:Paso 1: Escribir la ecuacin en la forma general.-x2+2x-2=0

Paso 2: Identificar las variables correspondientes.

a=1,b=2,c=2

Paso 3: Reemplazar los valores en la frmula y resolver paraxx=bb24ac2a

x=2224(1)(2)2(1)

x=2482

Como48=4no existe, significa que la ecuacin no tiene solucin.