Ecuación del TraficoEscuela Politécnica Nacional

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Priscila PáezCristina Mantilla

Introducción

El estudio del flujo de tráfico involucra la circulación de vehículos y las interacciones entre los conductores. 

Como los conductores suelen comportarse coherentemente, los flujos de tráfico tienden a tener una cierta consistencia razonable y pueden estar representados matemáticamente. 

Para representar mejor el tráfico, se han establecido relaciones entre el flujo, la densidad, y la velocidad. Estas relaciones ayudan en la planificación, diseño, y la explotación de las carreteras.

Deducción

Ecuación del Tráfico

Vamos a modelar el caso de una vía congestionada unidireccional, para lo que definimos: densidad de tráfico (de vehículos) como el número de vehículos por unidad de longitud en un tiempo y en un punto x;

flujo de vehículos como el número de autosque atraviesan en un instante de tiempo, t, un punto dado, x, por unidad de tiempo.

Número de vehículos entre x=a y x=b

Ley de conservación del número de vehículos

Analizando la parte derecha de la ecuación [2] e intercambiando la derivada respecto al tiempo con la integral en la parte izquierda de la ecuación:

Entonces como a y b son arbitrarios, de [2] se sigue que:

Que es la ley de conservación del número de vehículos en su forma diferencial.

El número de vehículos que pasan por un determinado puntocada hora es igual a la densidad del tráfico multiplicada por la velocidad del mismo.

Entonces la velocidad de tráfico es:

Velocidad del tráfico

Para simplificar el modelo vamos a suponer que la velocidad del tráfico depende exclusivamente de la densidad del mismo:

En este caso la ley de conservación del número de vehículos [5] se convierte en (ecuación en derivadas parciales cuasi lineal homogénea):

Resolución de la ecuación del tráfico

Por el método de las características.

Una EDP cuasi lineal es aquella que es lineal respecto a las derivadas parciales de mayor orden y en general se puede representar por:

Sabemos que considerando el siguiente sistema de ecuaciones:

Cuyas soluciones son:

En nuestro caso, de la ecuación [7] tenemos C=0.

Se obtiene el sistema de ecuaciones:

Se tiene que la solución general de [E] es:

ó

Para analizar el significado de estos resultados consideramos la función . medida por un observador móvil con posición , la variación de es:

Esto implica que si el observador se mueve con una velocidad entonces este no notaria cambios en .

Ahora considerando las condiciones iniciales

Sabemos que es constante respecto al tiempo (por [9]), por ello podemos aplicar la condición inicial en y obtener:

De esto obtenemos la solución integrando [10]:

Los diferentes valores de dan lugar a diferentes rectas características.

A lo largo de cada característica, la densidad de tráfico es constante. La densidad en cada tiempo posterior se determina con la característica que pasa por el correspondiente punto de espacio- tiempo.

Ejemplo

Considérese el problema de flujo de trafico:

Suponga

Hallar si el dato inicial es:

GRACIAS POR SU ATENCION