ecuacion de la circunferencia

LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Geometría 5º

LA CIRCUNFERENCIA I. DEFINICIÓN: Una circunferencia es el lugar

geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo. Al punto fijo se le denomina centro y a la distancia constante se le llama radio.

II. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

Ecuación Ordinaria: Centro : (h;k) Radio : r Ecuación Canónica: Centro : (0;0) Radio : r Ecuación General:

Se tiene: 222 r)ky()hx( =−+− Desarrollando:

x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2 Acomodando los términos:

x2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0 Haciendo un cambio de variable:

D = (-2h) ; E = (-2k) ; F = (h2 + k2 – r2) Reemplazando se tiene: Donde se deduce:

PRACTICA DIRIGIDA 01. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio

5u con centro en el origen de coordenadas.

A) x2+y2 = 25 B) x2+y2 = 16 C) x2+y2 = 49 D) x2 -y2 = 16 E) x2 -y2 = 25

02. Hallar la ecuación canónica de una circunferencia que pasa por el punto (-3;4)

A) x2+y2 = 10 B) x2+y2 = 20 C) x2+y2 = 25 D) x2+y2 = 15 E) x2+y2 = 35

03. Hallar la ecuación de la circunferencia con

centro en (2;6) y que tiene por radio a 4u.

A) x2 + y2 – 4x – 12y + 24 = 0 B) x2 – y2 + 4x – 10y – 18 = 0 C) x2 + y2 + 9x + 6y – 10 = 0 D) x2 + y2 – 4x – 14y – 8 = 0 E) x2 – y2 – 10x + 3y + 15 = 0

04. Una circunferencia tiene por ecuación:

x2 + y2 – 4x – 8y – 29 = 0 hallar la posición de sus centro.

A) (2;3) B) (2;-3) C) (2;4) D) (2;-4) E) (-2;4)

05. Del problema anterior, el radio mide:

A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

06. Una circunferencia tiene por ecuación: x2 + y2 + 6x + 4y – 3 = 0

si el centro es: C(h;k) y su radio es “r”. Calcular: M = (h.k)2 + r

A) 40 B) 20 C) 30 D) 25 E) 32

07. Dada la ecuación de una circunferencia:

x2 + y2 – x + y = 1 dar la suma de las coordenadas de su centro

A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 0 E) 6

08. Dada la circunferencia de ecuación:

x2 + y2 – 2x + 4y = 3 entonces el valor de su radio es:

A) 22 B) 2 C) 3

D) 2 E) 8 09. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa

por (2;3) y cuyo centro es (-1;7)

222 r)ky()hx( =−+−

x

y

r

o

P(x;y)

C(h;k)

r

x

y

o

222 ryx =+

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

−−2E

;2D

C 2

F4EDr

22 −+=

LICEO NAVAL “TENIENTE CLAVERO Trigonometría 5º

A) x2 + y2 – 2x + 14y – 50 = 0 B) x2 + y2 – 2x + 14y – 25 = 0 C) x2 + y2 + 2x + 14y – 50 = 0 D) x2 + y2 – 4x + 7y – 65 = 0 E) x2 + y2 + 2x – 14y + 25 = 0

10. Hallar la ecuación de una circunferencia que

pasa por el origen de coordenadas y uno de cuyos diámetros une los puntos (-9;15) y (25;15) A) (x – 6)2 + (y – 10)2 = 122 B) (x – 8)2 + (y – 15)2 = 172 C) (x – 3)2 + (y + 8)2 = 102 D) (x + 5)2 + (y – 2)2 = 152 E) (x – 2)2 + (y + 7)2 = 202

11. Hallar el área de la región formada por el semi-

eje positivo de las abscisas, la circunferencia:

x2 + y2 = 144 y la recta: y = 3 x

A) 28πu2 B) 26πu2 C) 24πu2 D) 14πu2 E) 56πu2

12. La ecuación de una circunferencia es:

x2 + y2 – 6x + 2y + 7 = 0 si el centro es (m;n) y su radio es “k”. Calcular:

E = k4 +m2 + n3

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

13. Hallar la ecuación de una circunferencia inscrita

en un cuadrado ABCD donde A(5;0) y B(5;12), estando C a la derecha de B

A) (x – 6)2 + (y – 11)2 = 144 B) x + y2 = 36 C) (x – 6)2 + y2 = 36 D) x2 + y2 = 144 E) (x – 11)2 + (y – 6)2 = 36

14. ¿Cuál es el valor de “K” en la circunferencia de ecuación: x2 + y2 – 3x – 3y + K = 0, si el radio

mide: 4

10?

A) 1 B) -1 C) 1/2 D) 2 E) 3

15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa

por los puntos: A(1;0); B(3;-2) y C(1;-4)

A) x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0 B) x2 + y2 – 4x – 3y + 2 = 0 C) x2 + y2 + 5x – 7y – 8 = 0 D) x2 + y2 – 3x – 2y + 2 = 0 E) x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0


por el punto (1;-4) y que es concéntrica con:

x2 + y2 – x + 10y + 18 = 0

A) x2 + y2 – 2x + 10y + 24 = 0 B) x2 + y2 – 6x + 8y + 24 = 0 C) x2 + y2 + x – 10y + 9 = 0 D) x2 + y2 + 7x – 6y – 12 = 0 E) x2 + y2 + 3x + y + 10 = 0

17. La ecuación de una circunferencia está dada

por C : x2 + y2 + 4x – 8y + n = 0, hallar el valor de “n” para que su radio sea 5

A) -7 B) -6 C) -5

D) -4 E) -3 18. La ecuación de una recta es:

115y

20x =+

−

hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a dicha recta, si su centro es el origen de coordenadas

A) x2+y2 = 144 B) x2+y2= 225 C) x2+ y2=100

D) x2+y2 = 169 E) x2+y2 = 196 19. Hallar la ecuación de la circunferencia que es

tangente a los ejes coordenados, su radio mide 3u y el centro pertenece al IVC

A) x2 + y2 – 6x + 6y + 9 = 0 B) x2 + y2 + 6x + 6y + 9 = 0 C) x2 + y2 + 3x + 3y – 9 = 0 D) x2 + y2 – 3x – 3y – 10 = 0 E) x2 + y2 + x + y + 3 = 0

20. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo

centro es el punto de intersección de las rectas: L1 : x + y – 4 = 0 L2 : x – y + 8 = 0

y pasa por el origen de coordenadas

A) x2 + y2 + 4x + 12y = 0 B) x2 + y2 – 3x + 4y = 0 C) x2 + y2 – 2x + y = 0 D) x2 + y2 + 4x – 12y = 0 E) x2 + y2 – 3x + y = 0


centro en (-2;4) y que pasa por el punto de intersección de las rectas:

L1 : 4x – 7y + 10 = 0 L2 : 3x + 2y – 7 = 0

A) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 13 B) (x + 2)2 + (y – 4)2 = 13 C) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 13 D) (x – 2)2 + (y – 5)2 = 13 E) (x + 3)2 + (y + 7)2 = 13

22. La recta L : x – y + 3 = 0 es tangente a la

circunferencia C : x2 – 2x + y2 =7 en el punto (a;b). Hallar “a + b”

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5


23. Hallar la ecuación de una recta que es tangente a la circunferencia C : x2 + y2 + 2x + 4y = 15 y pasa por el punto de tangencia (1;2)

A) x + 2y – 5 = 0 B) x – 2y + 4 = 0 C) x – 3y – 7 = 0 D) x + 4y – 5 = 0 E) x + 5y + 3 = 0


centro en el punto (1;6) y es tangente a la recta: x – y – 1 = 0

A) x2 + y2 – 5x + 7y + 20 = 0 B) x2 + y2 + 2x – 3y – 30 = 0 C) x2 + y2 – 2x – 12y + 19 = 0 D) x2 + y2 + 3x – 15y + 35 = 0 E) x2 + y2 + 3x + 13y – 23 = 0


por los puntos: A(1;0); B(3;-2) y C(1;-4)

A) x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0 B) x2 + y2 – 4x – 3y + 2 = 0 C) x2 + y2 + 5x – 7y – 8 = 0 D) x2 + y2 – 3x – 2y + 2 = 0 E) x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0

26. La ecuación de una circunferencia es:

x2 + y2 – 6x + 2y + 7 = 0 si el centro es (h;k) y su radio es “r”. Calcular:

E = r4 + h2 + k3

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 27. Una recta “L” es tangente a la circunferencia

C : x2 + y2 – 2x + 2y – 15 = 0; en el punto (0;3). Hallar la ecuación de la recta

A) x + y – 5 = 0 B) x + 7y + 9 = 0 C) 4x + y – 1 = 0 D) x – 4y + 12 = 0 E) 5x – y + 15 = 0

28. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo

centro es el punto C(-4;-1) y es tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0

A) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 13 B) (x + 4)2 + (y + 1)2 = 52 C) (x – 2)2 + (y + 4)2 = 17 D) (x – 5)2 + (y – 1)2 = 11 E) (x + 3)2 + (y + 7)2 = 15

29. Una cuerda de la circunferencia: x2+y2 = 25 está

sobre la recta cuya ecuación es: x – 7y + 25 = 0. Hallar la longitud de la cuerda.

A) 25 B) 33 C) 22

D) 5 E) 52

30. En la figura la recta “L” tiene por ecuación:

y = 3 x, OT = 12u. Calcular el radio de la circunferencia.

A) 6 B) 36 C) 4

D) 33 E) 34 31. Determinar el centro de la circunferencia que

pasa por los puntos A(0;0); B(3;6) y C(7;0)

A) )2;27

( B) )21

;1(− C) )25

;21

(−

D) (-3;4) E) (2:-1) 32. Una circunferencia “C” pasa por el origen y por

los centros de las circunferencias: C1 : x

2 + y2 + 12x + 4y – 24 = 0 C2 : x

2 + y2 + 4y – 4 = 0 Hallar le valor del radio de “C”

A) 6 B) 10 C) 4

D) 7 E) 13

33. Desde un punto P(2;-3) se han trazado tangentes a la circunferencia:

C : x2 + y2 – 2x + 10y + 22 = 0 Hallar la ecuación de una cuerda que une los puntos de contacto. A) x + 2y + 5 = 0 B) 2x + y + 5 = 0 C) 2x + 5y + 1 = 0 D) 5x + 2y + 10 = 0 E) x + y + 5 = 0

34. Hallar la ecuación de una circunferencia con centro en (7;6), sabiendo que es ortogonal a la circunferencia cuya ecuación es:

C : x2 + y2 – 6x – 4y = 0

A) (x – 6)2 + (y – 7)2 = 19

B) (x – 7)2 + (y + 6)2 = 19 C) (x – 7)2 + (y – 6)2 = 16 D) (x – 7)2 + (y – 6)2 = 19 E) (x – 7)2 + (y + 6)2 = 19

35. Determinar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen, si la longitud de la

tangente trazada desde el punto (-1;6) es 5 A) x2 + y2 = 4 B) x2 + y2 = 8 C) x2 + y2 = 16 D) x2 + y2 = 32 E) x2 + y2 = 64

L

r

x

y

O T


36. Encontrar la ecuación de una cuerda común a las dos circunferencias:

C1 : x

2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 C2 : x

2 + y2 + 8x – 2y + 8 = 0

A) x + y + 5 = 0 B) x + 7y + 1 = 0 C) x + y – 1 = 0 D) x – 4y + 2 = 0 E) x – y + 5 = 0

37. Se tiene la circunferencia:

C : x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0

y el punto (3;3). Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia trazada por dicho punto.

A) x + 2y – 1 = 0 B) x + 1 = 0 C) x + y – 1 = 0 D) x – 3 = 0 E) x + 3 = 0

38. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia: x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 en el punto (6;5). Determinar las coordenadas de su centro.

A) (3;2) ó (6;6) B) (4;3) ó (7;7) C) (4;2) ó (8;8) D) (1;5) ó (3;3) E) (1;3) ó (5;5)

39. Determine el valor de “m”, si el punto (5;-4)

pertenece a la circunferencia:

C : x2 + y2 – mx + 6y + 33 = 0

A) 0 B) 6 C) -6 D) 10 E) -10

40. Hallar la ecuación de la circunferencia que

pasando por el punto (-1;5), sea concéntrica con:

C : x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0

A) x2 + y2 + 6x – 4y = 0 B) x2 + y2 + 6x – 4y = 4 C) x2 + y2 + 6x – 4y = 9 D) x2 + y2 + 6x – 4y = 13 E) x2 + y2 + 6x – 4y = 26

41. Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo que es tangente a los ejes coordenados, el centro está en el primer cuadrante y la distancia

entre los puntos de tangencia es 26 . A) x2 + y2 + 5x + 5y + 12 = 0 B) x2 + y2 + 6x – 7y – 20 = 0 C) x2 + y2 + 7x + 8y + 15 = 0 D) x2 + y2 – 9x + 10y + 30 = 0 E) x2 + y2 – 12x – 12y + 36 = 0

42. Según el grafico determine la ecuación de la circunferencia mostrada, si el área de la región

triangular equilátera OAB es 34 u2, (P es punto de tangencia).

A) (x – 3 )2 + (y – 3)2 = 9

B) (x – 2 3 )2 + (y – 2)2 = 4

C) (x – 3 )2 + (y – 5)2 = 4

D) (x – 5 )2 + (y – 7)2 = 4

E) (x – 7 )2 + (y – 1)2 = 36 43. ¿Qué condición debe cumplir la ecuación de la

circunferencia C : x2 + y2 + ax + by + c = 0, para que su centro se sitúe en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes?

A) a = c B) a + b = c C) b = c D) a = b E) a – b = c

44. Halle la ecuación de la tangente a la

circunferencia C: x2 + y2 = 169, en el punto de abscisa 12, situado en el primer cuadrante.

A) 3x + 7y – 169 = 0 B) 12x + 5y – 169 = 0 C) 12x – 5y + 169 = 0 D) 5x + 12y – 169 = 0 E) 5x – 12y + 169 = 0

45. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio

3 y que pasa por el origen de coordenadas y su centro esta en el eje de ordenadas.

A) x2 + y2 – 5x = 0 B) x2 + y2 – 8x = 0 C) x2 + y2 + 8x = 0 D) x2 + y2 – 6x = 0 E) x2 + y2 – 6y = 0

B

A

x

y

O P

ecuacion de la circunferencia

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