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ecuaciΓ³n de calor

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SoluciΓ³n: Si (, ) = ()() Γ³ = entonces = β€² ; = β€²β€² y = β€² Considerando de la ecuaciΓ³n de calor unidimensional = que = entonces nos queda que = Sustituyendo β€²β€² = β€² separando las variables tendremos que: β€²β€² = β€² = Para lo cual tendremos tres casos __________________________________________________________________________________________________ Caso I . Si = β€²β€² = ; β€²β€² = cuya soluciΓ³n es () = + Para β€² = β€² = = () = Como (, ) = ()() ; (, ) = ( + )( ) (, ) = + ) Ahora evaluamos las constantes y con los valores iniciales (, ) = y (, ) = = y (, ) = sustituyendo. = + () ; = ; =+ ; = =

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EcuaciΓ³n del calor

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Page 1: EcuaciΓ³n de Calor

SoluciΓ³n:

Si 𝑼(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) Γ³ 𝑼 = 𝑿𝑻 entonces 𝝏𝑼

𝝏𝒙= 𝑿′𝑻 ;

ππŸπ‘Ό

ππ’™πŸ= 𝑿′′𝑻 y

𝝏𝑼

𝝏𝒕= 𝑿𝑻′

Considerando de la ecuaciΓ³n de calor unidimensional π’ŒππŸπ‘Ό

ππ’™πŸ=

𝝏𝑼

𝝏𝒕 que π’Œ = 𝟏 entonces nos queda que

ππŸπ‘Ό

ππ’™πŸ=

𝝏𝑼

𝝏𝒕

Sustituyendo 𝑿′′𝑻 = 𝑿𝑻′ separando las variables tendremos que:

𝑿′′

𝑿=

𝑻′

𝑻= 𝝀 Para lo cual tendremos tres casos

__________________________________________________________________________________________________

Caso I . Si 𝝀 = 𝟎

𝑿′′

𝑿= 𝟎 ; 𝑿′′ = 𝟎 cuya soluciΓ³n es 𝑿(𝒙) = π‘ͺ𝟏 + π‘ͺπŸπ’™

Para 𝑻′

𝑻= 𝟎 𝑻′ = 𝟎 𝑻 = π‘ͺπŸ‘ 𝑻(𝒕) = π‘ͺπŸ‘

Como π‘ΌπŸ(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) ; π‘ΌπŸ(𝒙, 𝒕) = (π‘ͺ𝟏 + π‘ͺπŸπ’™)(π‘ͺπŸ‘)

π‘ΌπŸ(𝒙, 𝒕) = π‘¨πŸ + π‘©πŸπ’™)

Ahora evaluamos las constantes π‘¨πŸ y π‘©πŸ con los valores iniciales 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 y 𝑼(𝑳, 𝒕) = 𝟎

𝒙 = 𝟎 y 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 sustituyendo.

𝟎 = π‘¨πŸ + π‘©πŸ(𝟎) ; π‘¨πŸ = 𝟎 ; 𝟎 = 𝟎 + π‘©πŸπ’™ ; π‘©πŸ =𝟎

𝒙= 𝟎

Page 2: EcuaciΓ³n de Calor

__________________________________________________________________________________________________

Caso II Si 𝝀 = 𝜢𝟐

𝑿′′

𝑿= 𝜢𝟐 ; 𝑿′′ = πœΆπŸπ‘Ώ ; 𝑿′′ βˆ’ πœΆπŸπ‘Ώ = 𝟎 , utilizando la ecuaciΓ³n auxiliar queda como π’ŽπŸ βˆ’ 𝜢𝟐 = 𝟎

Cuya soluciΓ³n es π’ŽπŸ = 𝜢 y π’ŽπŸ = βˆ’πœΆ obteniendo la soluciΓ³n de le ecuaciΓ³n diferencial como sigue:

𝑿(𝒙) = π‘ͺπŸ’π’†πœΆπ’™ + π‘ͺπŸ“π’†βˆ’πœΆπ’™

Para 𝑻′

𝑻= 𝜢𝟐 ;

𝑻′

𝑻= πœΆπŸπ’…π’• ; ; ∫

𝑻′

𝑻= 𝜢𝟐 ∫ 𝒅𝒕 ; 𝒍𝒏(𝑻) = πœΆπŸπ’…π’• + π‘ͺ

𝑻(𝒕) = π’†πœΆπŸπ’•+π‘ͺ ; 𝑻(𝒕) = π’†πœΆπŸπ’•π’†π‘ͺ ; 𝑻(𝒕) = π‘ͺπŸ”π’†πœΆπŸπ’• .

Como π‘ΌπŸ(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) ; π‘ΌπŸ(𝒙, 𝒕) = [π‘ͺπŸ’π’†πœΆπ’™ + π‘ͺπŸ“π’†βˆ’πœΆπ’™]π‘ͺπŸ”π’†πœΆπŸπ’•

; π‘ΌπŸ(𝒙, 𝒕) = π‘¨πŸπ’†πœΆπ’™+πœΆπŸπ’• + π‘©πŸπ’†βˆ’πœΆπ’™+πœΆπŸπ’•

Ahora evaluamos las constantes π‘¨πŸ y π‘©πŸ con los valores iniciales 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 y 𝑼(𝑳, 𝒕) = 𝟎

𝒙 = 𝟎 y 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 ;

𝟎 = π‘¨πŸπ’†πœΆ(𝟎)+𝜢𝟐(𝒕) + π‘©πŸπ’†βˆ’πœΆ(𝟎)+πœΆπŸπ’• ; 𝟎 = π‘¨πŸπ’†πœΆπŸπ’• + π‘©πŸπ’†πœΆπŸπ’• ; 𝟎 = (π‘¨πŸ + π‘©πŸ)π’†πœΆπŸπ’•

Como π’†πœΆπŸπ’• nunca es cero entonces π‘¨πŸ + π‘©πŸ = 𝟎

Ahora para 𝒙 = 𝑳 , 𝑼(𝑳, 𝒕) = 𝟎

𝟎 = π‘¨πŸπ’†π‘³πœΆ+πœΆπŸπ’• + π‘©πŸπ’†βˆ’π‘³πœΆ+πœΆπŸπ’• ; 𝟎 = (π‘¨πŸπ’†π‘³πœΆ + π‘©πŸπ’†βˆ’π‘³πœΆ)π’†πœΆπŸπ’•

Como π’†πœΆπŸπ’• nunca es cero 𝟎 = π‘¨πŸπ’†π‘³πœΆ +π‘©πŸ

π’†π‘³πœΆ ; resolviendo las fracciones ; 𝟎 =

π‘¨πŸπ’†πŸπ‘³πœΆ+π‘©πŸ

π’†π‘³πœΆ ;

; 𝟎 = π‘¨πŸπ’†πŸπ‘³πœΆ + π‘©πŸ ; de la ecuaciΓ³n π‘¨πŸ + π‘©πŸ = 𝟎 ; π‘©πŸ = βˆ’π‘¨πŸ

Sustituyendo queda ; 𝟎 = π‘¨πŸπ’†πŸπ‘³πœΆ βˆ’ π‘¨πŸ Factorizando 𝟎 = π‘¨πŸ(π’†πŸπ‘³πœΆ βˆ’ 𝟏)

Ya que π’†πŸπ‘³πœΆ βˆ’ 𝟏 = 𝟎 Donde π‘¨πŸ = 𝟎 sustituyendo en π‘¨πŸ + π‘©πŸ = 𝟎 entonces π‘©πŸ = 𝟎.

__________________________________________________________________________________________________

Caso III Si 𝝀 = βˆ’πœΆπŸ

𝑿′′

𝑿= βˆ’πœΆπŸ ; 𝑿′′ = βˆ’πœΆπŸπ‘Ώ ; 𝑿′′ + πœΆπŸπ‘Ώ = 𝟎 utilizando la ecuaciΓ³n auxiliar queda como π’ŽπŸ + 𝜢𝟐 = 𝟎

Cuya soluciΓ³n es π’ŽπŸ = πœΆπ’Š y π’ŽπŸ = βˆ’πœΆπ’Š obteniendo la soluciΓ³n de le ecuaciΓ³n diferencial como sigue:

𝑿(𝒙) = π‘ͺπŸ’π’„π’π’”(πœΆπ’™) + π‘ͺπŸ“π’”π’†π’(πœΆπ’™)

Para 𝑻′

𝑻= βˆ’πœΆπŸ ;

𝑻′

𝑻= βˆ’πœΆπŸπ’…π’• ; ; ∫

𝑻′

𝑻= βˆ’πœΆπŸ ∫ 𝒅𝒕 ; 𝒍𝒏(𝑻) = βˆ’πœΆπŸπ’…π’• + π‘ͺ

Page 3: EcuaciΓ³n de Calor

𝑻(𝒕) = π’†βˆ’πœΆπŸπ’•+π‘ͺ ; 𝑻(𝒕) = 𝒆π‘ͺπ’†βˆ’πœΆπŸπ’• ; 𝑻(𝒕) = π‘ͺπŸ—π’†βˆ’πœΆπŸπ’• .

Como π‘ΌπŸ‘(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) ; π‘ΌπŸ‘(𝒙, 𝒕) = [π‘ͺπŸ•π’„π’π’”(πœΆπ’™) + π‘ͺπŸ–π’”π’†π’(πœΆπ’™)]π‘ͺπŸ—π’†βˆ’πœΆπŸπ’•

π‘ΌπŸ‘(𝒙, 𝒕) = π‘¨πŸ‘π’†βˆ’πœΆπŸπ’•π’„π’π’”(πœΆπ’™) + π‘©πŸ‘π’†βˆ’πœΆπŸπ’•π’”π’†π’(πœΆπ’™)

Ahora evaluamos las constantes π‘¨πŸ‘ y π‘©πŸ‘ con los valores iniciales 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 y 𝑼(𝑳, 𝒕) = 𝟎 Entonces

π‘¨πŸ‘π’†βˆ’πœΆπŸπ’•π’„π’π’”(𝜢(𝟎)) + π‘©πŸ‘π’†βˆ’πœΆπŸπ’•π’”π’†π’(𝜢(𝟎)) = 𝟎 ; π‘¨πŸ‘π’†βˆ’πœΆπŸπ’•(𝟏) + 𝟎 = 𝟎

Como π’†βˆ’πœΆπŸπ’• nunca es cero entonces π‘¨πŸ‘ = 𝟎 sustituyendo en la funciΓ³n π‘ΌπŸ‘(𝒙, 𝒕) da

π‘ΌπŸ‘(𝒙, 𝒕) = π‘©πŸ‘π’†βˆ’πœΆπŸπ’•π’”π’†π’(πœΆπ’™) aquΓ­ debemos conocer el valor de π‘©πŸ‘ para esto se propone

usar el principio de superposiciΓ³n.

𝑼(𝒙, 𝒕) = βˆ‘ π‘©π’π’†βˆ’πœΆπŸπ’•π’”π’†π’(πœΆπ’™)βˆžπ’=𝟏 donde 𝒔𝒆𝒏(πœΆπ’™) = 𝟎 cuando πœΆπ‘³ = 𝒏𝝅 entonces

𝜢 =𝒏𝝅

𝑳 entonces

𝑼(𝒙, 𝒕) = βˆ‘ π‘©π’π’†βˆ’(𝒏𝝅𝑳

)𝟐

𝒕𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅𝑳

𝒙)βˆžπ’=𝟏 cuando 𝑼(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙) = βˆ‘ 𝑩𝒏𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅

𝑳𝒙)∞

𝒏=𝟎

Esta expresiΓ³n es el desarrollo de la funciΓ³n en serie de senos esto es :

𝑩𝒏 =𝟐

π‘³βˆ« 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏 (

𝒏𝝅

𝑳𝒙) 𝒅𝒙

𝑳

𝟎 entonces

𝑼(𝒙, 𝒕) =𝟐

π‘³βˆ‘ (∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏 (

𝒏𝝅

𝑳)

𝑳

πŸŽπ’…π’™) 𝒆

(𝒏𝝅

𝑳)

πŸπ’•π’”π’†π’(

𝒏𝝅

π‘³π’™βˆž

𝒏=𝟏 )

Para 𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐𝟎 , π’Œ = 𝟏 , 𝑳 = 𝟏𝟎𝟎

𝑩𝒏 =𝟐

π‘³βˆ« πŸπŸπŸŽπ’”π’†π’ (

𝒏𝝅

𝑳𝒙) 𝒅𝒙

𝑳

𝟎 completando la integral queda 𝑩𝒏 =

πŸπŸ’πŸŽ

𝑳

𝑳

π’π…βˆ«

𝒏𝝅

𝑳𝒔𝒆𝒏 (

𝒏𝝅

𝑳𝒙) 𝒅𝒙

𝑳

𝟎 cuyo

resultado es:

𝑩𝒏 =πŸπŸ’πŸŽ

𝒏𝝅[βˆ’π’„π’π’”(

𝒏𝝅

𝑳𝒙]

𝟎

𝑳 ; 𝑩𝒏 =

πŸπŸ’πŸŽ

𝝅[

βˆ’(𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝅

𝑳𝑳)βˆ’π’„π’π’”(𝟎)

𝒏] ; 𝑩𝒏 =

πŸπŸ’πŸŽ

𝝅[

βˆ’((βˆ’πŸ)π’βˆ’πŸ)

𝒏] ;

𝑩𝒏 =πŸπŸ’πŸŽ

𝝅[

πŸβˆ’(βˆ’πŸ)𝒏

𝒏]

𝑼(𝒙, 𝒕) =πŸπŸ’πŸŽ

π…βˆ‘ [

πŸβˆ’(βˆ’πŸ)𝒏

𝒏] 𝒆

(𝒏𝝅

𝑳)

πŸπ’•π’”π’†π’(

𝒏𝝅

π‘³π’™βˆž

𝒏=𝟏 )

Si al tiempo 𝒕 = 𝟐𝟎 , la distancia 𝒙 = πŸ•πŸ“ , 𝒏 = 𝟏 ; la longitud mΓ‘xima de la varilla es 𝑳 = 𝟏𝟎𝟎

𝑼(πŸ•πŸ“, 𝟐𝟎) =πŸπŸ’πŸŽ

𝝅 (𝟐)𝒆

(𝝅

𝟏𝟎𝟎)

𝟐(𝟐𝟎)

𝒔𝒆𝒏 (𝝅

πŸπŸŽπŸŽπŸ•πŸ“) = 𝟏𝟏𝟎. 𝟐

𝑼(πŸ•πŸ“, 𝟐𝟎) = 𝟏𝟏𝟎. πŸβ„ƒ


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