ecuaciΓ³n de calor
DESCRIPTION
EcuaciΓ³n del calorTRANSCRIPT
SoluciΓ³n:
Si πΌ(π, π) = πΏ(π)π»(π) Γ³ πΌ = πΏπ» entonces ππΌ
ππ= πΏβ²π» ;
πππΌ
πππ= πΏβ²β²π» y
ππΌ
ππ= πΏπ»β²
Considerando de la ecuaciΓ³n de calor unidimensional ππππΌ
πππ=
ππΌ
ππ que π = π entonces nos queda que
πππΌ
πππ=
ππΌ
ππ
Sustituyendo πΏβ²β²π» = πΏπ»β² separando las variables tendremos que:
πΏβ²β²
πΏ=
π»β²
π»= π Para lo cual tendremos tres casos
__________________________________________________________________________________________________
Caso I . Si π = π
πΏβ²β²
πΏ= π ; πΏβ²β² = π cuya soluciΓ³n es πΏ(π) = πͺπ + πͺππ
Para π»β²
π»= π π»β² = π π» = πͺπ π»(π) = πͺπ
Como πΌπ(π, π) = πΏ(π)π»(π) ; πΌπ(π, π) = (πͺπ + πͺππ)(πͺπ)
πΌπ(π, π) = π¨π + π©ππ)
Ahora evaluamos las constantes π¨π y π©π con los valores iniciales πΌ(π, π) = π y πΌ(π³, π) = π
π = π y πΌ(π, π) = π sustituyendo.
π = π¨π + π©π(π) ; π¨π = π ; π = π + π©ππ ; π©π =π
π= π
__________________________________________________________________________________________________
Caso II Si π = πΆπ
πΏβ²β²
πΏ= πΆπ ; πΏβ²β² = πΆππΏ ; πΏβ²β² β πΆππΏ = π , utilizando la ecuaciΓ³n auxiliar queda como ππ β πΆπ = π
Cuya soluciΓ³n es ππ = πΆ y ππ = βπΆ obteniendo la soluciΓ³n de le ecuaciΓ³n diferencial como sigue:
πΏ(π) = πͺπππΆπ + πͺππβπΆπ
Para π»β²
π»= πΆπ ;
π»β²
π»= πΆππ π ; ; β«
π»β²
π»= πΆπ β« π π ; ππ(π») = πΆππ π + πͺ
π»(π) = ππΆππ+πͺ ; π»(π) = ππΆππππͺ ; π»(π) = πͺπππΆππ .
Como πΌπ(π, π) = πΏ(π)π»(π) ; πΌπ(π, π) = [πͺπππΆπ + πͺππβπΆπ]πͺπππΆππ
; πΌπ(π, π) = π¨πππΆπ+πΆππ + π©ππβπΆπ+πΆππ
Ahora evaluamos las constantes π¨π y π©π con los valores iniciales πΌ(π, π) = π y πΌ(π³, π) = π
π = π y πΌ(π, π) = π ;
π = π¨πππΆ(π)+πΆπ(π) + π©ππβπΆ(π)+πΆππ ; π = π¨πππΆππ + π©πππΆππ ; π = (π¨π + π©π)ππΆππ
Como ππΆππ nunca es cero entonces π¨π + π©π = π
Ahora para π = π³ , πΌ(π³, π) = π
π = π¨πππ³πΆ+πΆππ + π©ππβπ³πΆ+πΆππ ; π = (π¨πππ³πΆ + π©ππβπ³πΆ)ππΆππ
Como ππΆππ nunca es cero π = π¨πππ³πΆ +π©π
ππ³πΆ ; resolviendo las fracciones ; π =
π¨ππππ³πΆ+π©π
ππ³πΆ ;
; π = π¨ππππ³πΆ + π©π ; de la ecuaciΓ³n π¨π + π©π = π ; π©π = βπ¨π
Sustituyendo queda ; π = π¨ππππ³πΆ β π¨π Factorizando π = π¨π(πππ³πΆ β π)
Ya que πππ³πΆ β π = π Donde π¨π = π sustituyendo en π¨π + π©π = π entonces π©π = π.
__________________________________________________________________________________________________
Caso III Si π = βπΆπ
πΏβ²β²
πΏ= βπΆπ ; πΏβ²β² = βπΆππΏ ; πΏβ²β² + πΆππΏ = π utilizando la ecuaciΓ³n auxiliar queda como ππ + πΆπ = π
Cuya soluciΓ³n es ππ = πΆπ y ππ = βπΆπ obteniendo la soluciΓ³n de le ecuaciΓ³n diferencial como sigue:
πΏ(π) = πͺππππ(πΆπ) + πͺππππ(πΆπ)
Para π»β²
π»= βπΆπ ;
π»β²
π»= βπΆππ π ; ; β«
π»β²
π»= βπΆπ β« π π ; ππ(π») = βπΆππ π + πͺ
π»(π) = πβπΆππ+πͺ ; π»(π) = ππͺπβπΆππ ; π»(π) = πͺππβπΆππ .
Como πΌπ(π, π) = πΏ(π)π»(π) ; πΌπ(π, π) = [πͺππππ(πΆπ) + πͺππππ(πΆπ)]πͺππβπΆππ
πΌπ(π, π) = π¨ππβπΆπππππ(πΆπ) + π©ππβπΆπππππ(πΆπ)
Ahora evaluamos las constantes π¨π y π©π con los valores iniciales πΌ(π, π) = π y πΌ(π³, π) = π Entonces
π¨ππβπΆπππππ(πΆ(π)) + π©ππβπΆπππππ(πΆ(π)) = π ; π¨ππβπΆππ(π) + π = π
Como πβπΆππ nunca es cero entonces π¨π = π sustituyendo en la funciΓ³n πΌπ(π, π) da
πΌπ(π, π) = π©ππβπΆπππππ(πΆπ) aquΓ debemos conocer el valor de π©π para esto se propone
usar el principio de superposiciΓ³n.
πΌ(π, π) = β π©ππβπΆπππππ(πΆπ)βπ=π donde πππ(πΆπ) = π cuando πΆπ³ = ππ entonces
πΆ =ππ
π³ entonces
πΌ(π, π) = β π©ππβ(ππ π³
)π
ππππ(ππ π³
π)βπ=π cuando πΌ(π, π) = π(π) = β π©ππππ(ππ
π³π)β
π=π
Esta expresiΓ³n es el desarrollo de la funciΓ³n en serie de senos esto es :
π©π =π
π³β« π(π)πππ (
ππ
π³π) π π
π³
π entonces
πΌ(π, π) =π
π³β (β« π(π)πππ (
ππ
π³)
π³
ππ π) π
(ππ
π³)
πππππ(
ππ
π³πβ
π=π )
Para π(π, π) = π(π) = πππ , π = π , π³ = πππ
π©π =π
π³β« ππππππ (
ππ
π³π) π π
π³
π completando la integral queda π©π =
πππ
π³
π³
ππ β«
ππ
π³πππ (
ππ
π³π) π π
π³
π cuyo
resultado es:
π©π =πππ
ππ [βπππ(
ππ
π³π]
π
π³ ; π©π =
πππ
π [
β(πππ(ππ
π³π³)βπππ(π)
π] ; π©π =
πππ
π [
β((βπ)πβπ)
π] ;
π©π =πππ
π [
πβ(βπ)π
π]
πΌ(π, π) =πππ
π β [
πβ(βπ)π
π] π
(ππ
π³)
πππππ(
ππ
π³πβ
π=π )
Si al tiempo π = ππ , la distancia π = ππ , π = π ; la longitud mΓ‘xima de la varilla es π³ = πππ
πΌ(ππ, ππ) =πππ
π (π)π
(π
πππ)
π(ππ)
πππ (π
πππππ) = πππ. π
πΌ(ππ, ππ) = πππ. πβ