Solución:

Si 𝑼(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) ó 𝑼 = 𝑿𝑻 entonces 𝝏𝑼

𝝏𝒙= 𝑿′𝑻 ;

𝝏𝟐𝑼

𝝏𝒙𝟐= 𝑿′′𝑻 y

𝝏𝑼

𝝏𝒕= 𝑿𝑻′

Considerando de la ecuación de calor unidimensional 𝒌𝝏𝟐𝑼

𝝏𝒙𝟐=

𝝏𝑼

𝝏𝒕 que 𝒌 = 𝟏 entonces nos queda que

𝝏𝟐𝑼

𝝏𝒙𝟐=

𝝏𝑼

𝝏𝒕

Sustituyendo 𝑿′′𝑻 = 𝑿𝑻′ separando las variables tendremos que:

𝑿′′

𝑿=

𝑻′

𝑻= 𝝀 Para lo cual tendremos tres casos

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Caso I . Si 𝝀 = 𝟎

𝑿′′

𝑿= 𝟎 ; 𝑿′′ = 𝟎 cuya solución es 𝑿(𝒙) = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒙

Para 𝑻′

𝑻= 𝟎 𝑻′ = 𝟎 𝑻 = 𝑪𝟑 𝑻(𝒕) = 𝑪𝟑

Como 𝑼𝟏(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) ; 𝑼𝟏(𝒙, 𝒕) = (𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒙)(𝑪𝟑)

𝑼𝟏(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝟏 + 𝑩𝟏𝒙)

Ahora evaluamos las constantes 𝑨𝟏 y 𝑩𝟏 con los valores iniciales 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 y 𝑼(𝑳, 𝒕) = 𝟎

𝒙 = 𝟎 y 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 sustituyendo.

𝟎 = 𝑨𝟏 + 𝑩𝟏(𝟎) ; 𝑨𝟏 = 𝟎 ; 𝟎 = 𝟎 + 𝑩𝟏𝒙 ; 𝑩𝟏 =𝟎

𝒙= 𝟎

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Caso II Si 𝝀 = 𝜶𝟐

𝑿′′

𝑿= 𝜶𝟐 ; 𝑿′′ = 𝜶𝟐𝑿 ; 𝑿′′ − 𝜶𝟐𝑿 = 𝟎 , utilizando la ecuación auxiliar queda como 𝒎𝟐 − 𝜶𝟐 = 𝟎

Cuya solución es 𝒎𝟏 = 𝜶 y 𝒎𝟐 = −𝜶 obteniendo la solución de le ecuación diferencial como sigue:

𝑿(𝒙) = 𝑪𝟒𝒆𝜶𝒙 + 𝑪𝟓𝒆−𝜶𝒙

Para 𝑻′

𝑻= 𝜶𝟐 ;

𝑻′

𝑻= 𝜶𝟐𝒅𝒕 ; ; ∫

𝑻′

𝑻= 𝜶𝟐 ∫ 𝒅𝒕 ; 𝒍𝒏(𝑻) = 𝜶𝟐𝒅𝒕 + 𝑪

𝑻(𝒕) = 𝒆𝜶𝟐𝒕+𝑪 ; 𝑻(𝒕) = 𝒆𝜶𝟐𝒕𝒆𝑪 ; 𝑻(𝒕) = 𝑪𝟔𝒆𝜶𝟐𝒕 .

Como 𝑼𝟐(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) ; 𝑼𝟐(𝒙, 𝒕) = [𝑪𝟒𝒆𝜶𝒙 + 𝑪𝟓𝒆−𝜶𝒙]𝑪𝟔𝒆𝜶𝟐𝒕

; 𝑼𝟐(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝟐𝒆𝜶𝒙+𝜶𝟐𝒕 + 𝑩𝟐𝒆−𝜶𝒙+𝜶𝟐𝒕

Ahora evaluamos las constantes 𝑨𝟐 y 𝑩𝟐 con los valores iniciales 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 y 𝑼(𝑳, 𝒕) = 𝟎

𝒙 = 𝟎 y 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 ;

𝟎 = 𝑨𝟐𝒆𝜶(𝟎)+𝜶𝟐(𝒕) + 𝑩𝟐𝒆−𝜶(𝟎)+𝜶𝟐𝒕 ; 𝟎 = 𝑨𝟐𝒆𝜶𝟐𝒕 + 𝑩𝟐𝒆𝜶𝟐𝒕 ; 𝟎 = (𝑨𝟐 + 𝑩𝟐)𝒆𝜶𝟐𝒕

Como 𝒆𝜶𝟐𝒕 nunca es cero entonces 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 = 𝟎

Ahora para 𝒙 = 𝑳 , 𝑼(𝑳, 𝒕) = 𝟎

𝟎 = 𝑨𝟐𝒆𝑳𝜶+𝜶𝟐𝒕 + 𝑩𝟐𝒆−𝑳𝜶+𝜶𝟐𝒕 ; 𝟎 = (𝑨𝟐𝒆𝑳𝜶 + 𝑩𝟐𝒆−𝑳𝜶)𝒆𝜶𝟐𝒕

Como 𝒆𝜶𝟐𝒕 nunca es cero 𝟎 = 𝑨𝟐𝒆𝑳𝜶 +𝑩𝟐

𝒆𝑳𝜶 ; resolviendo las fracciones ; 𝟎 =

𝑨𝟐𝒆𝟐𝑳𝜶+𝑩𝟐

𝒆𝑳𝜶 ;

; 𝟎 = 𝑨𝟐𝒆𝟐𝑳𝜶 + 𝑩𝟐 ; de la ecuación 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 = 𝟎 ; 𝑩𝟐 = −𝑨𝟐

Sustituyendo queda ; 𝟎 = 𝑨𝟐𝒆𝟐𝑳𝜶 − 𝑨𝟐 Factorizando 𝟎 = 𝑨𝟐(𝒆𝟐𝑳𝜶 − 𝟏)

Ya que 𝒆𝟐𝑳𝜶 − 𝟏 = 𝟎 Donde 𝑨𝟐 = 𝟎 sustituyendo en 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 = 𝟎 entonces 𝑩𝟐 = 𝟎.

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Caso III Si 𝝀 = −𝜶𝟐

𝑿′′

𝑿= −𝜶𝟐 ; 𝑿′′ = −𝜶𝟐𝑿 ; 𝑿′′ + 𝜶𝟐𝑿 = 𝟎 utilizando la ecuación auxiliar queda como 𝒎𝟐 + 𝜶𝟐 = 𝟎

Cuya solución es 𝒎𝟏 = 𝜶𝒊 y 𝒎𝟐 = −𝜶𝒊 obteniendo la solución de le ecuación diferencial como sigue:

𝑿(𝒙) = 𝑪𝟒𝒄𝒐𝒔(𝜶𝒙) + 𝑪𝟓𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒙)

Para 𝑻′

𝑻= −𝜶𝟐 ;

𝑻′

𝑻= −𝜶𝟐𝒅𝒕 ; ; ∫

𝑻′

𝑻= −𝜶𝟐 ∫ 𝒅𝒕 ; 𝒍𝒏(𝑻) = −𝜶𝟐𝒅𝒕 + 𝑪

𝑻(𝒕) = 𝒆−𝜶𝟐𝒕+𝑪 ; 𝑻(𝒕) = 𝒆𝑪𝒆−𝜶𝟐𝒕 ; 𝑻(𝒕) = 𝑪𝟗𝒆−𝜶𝟐𝒕 .

Como 𝑼𝟑(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) ; 𝑼𝟑(𝒙, 𝒕) = [𝑪𝟕𝒄𝒐𝒔(𝜶𝒙) + 𝑪𝟖𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒙)]𝑪𝟗𝒆−𝜶𝟐𝒕

𝑼𝟑(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝟑𝒆−𝜶𝟐𝒕𝒄𝒐𝒔(𝜶𝒙) + 𝑩𝟑𝒆−𝜶𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒙)

Ahora evaluamos las constantes 𝑨𝟑 y 𝑩𝟑 con los valores iniciales 𝑼(𝟎, 𝒕) = 𝟎 y 𝑼(𝑳, 𝒕) = 𝟎 Entonces

𝑨𝟑𝒆−𝜶𝟐𝒕𝒄𝒐𝒔(𝜶(𝟎)) + 𝑩𝟑𝒆−𝜶𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏(𝜶(𝟎)) = 𝟎 ; 𝑨𝟑𝒆−𝜶𝟐𝒕(𝟏) + 𝟎 = 𝟎

Como 𝒆−𝜶𝟐𝒕 nunca es cero entonces 𝑨𝟑 = 𝟎 sustituyendo en la función 𝑼𝟑(𝒙, 𝒕) da

𝑼𝟑(𝒙, 𝒕) = 𝑩𝟑𝒆−𝜶𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒙) aquí debemos conocer el valor de 𝑩𝟑 para esto se propone

usar el principio de superposición.

𝑼(𝒙, 𝒕) = ∑ 𝑩𝒏𝒆−𝜶𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒙)∞𝒏=𝟏 donde 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒙) = 𝟎 cuando 𝜶𝑳 = 𝒏𝝅 entonces

𝜶 =𝒏𝝅

𝑳 entonces

𝑼(𝒙, 𝒕) = ∑ 𝑩𝒏𝒆−(𝒏𝝅𝑳

)𝟐

𝒕𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅𝑳

𝒙)∞𝒏=𝟏 cuando 𝑼(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙) = ∑ 𝑩𝒏𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅

𝑳𝒙)∞

𝒏=𝟎

Esta expresión es el desarrollo de la función en serie de senos esto es :

𝑩𝒏 =𝟐

𝑳∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏 (

𝒏𝝅

𝑳𝒙) 𝒅𝒙

𝑳

𝟎 entonces

𝑼(𝒙, 𝒕) =𝟐

𝑳∑ (∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏 (

𝒏𝝅

𝑳)

𝑳

𝟎𝒅𝒙) 𝒆

(𝒏𝝅

𝑳)

𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏(

𝒏𝝅

𝑳𝒙∞

𝒏=𝟏 )

Para 𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐𝟎 , 𝒌 = 𝟏 , 𝑳 = 𝟏𝟎𝟎

𝑩𝒏 =𝟐

𝑳∫ 𝟏𝟐𝟎𝒔𝒆𝒏 (

𝒏𝝅

𝑳𝒙) 𝒅𝒙

𝑳

𝟎 completando la integral queda 𝑩𝒏 =

𝟐𝟒𝟎

𝑳

𝑳

𝒏𝝅∫

𝒏𝝅

𝑳𝒔𝒆𝒏 (

𝒏𝝅

𝑳𝒙) 𝒅𝒙

𝑳

𝟎 cuyo

resultado es:

𝑩𝒏 =𝟐𝟒𝟎

𝒏𝝅[−𝒄𝒐𝒔(

𝒏𝝅

𝑳𝒙]

𝟎

𝑳 ; 𝑩𝒏 =

𝟐𝟒𝟎

𝝅[

−(𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝅

𝑳𝑳)−𝒄𝒐𝒔(𝟎)

𝒏] ; 𝑩𝒏 =

𝟐𝟒𝟎

𝝅[

−((−𝟏)𝒏−𝟏)

𝒏] ;

𝑩𝒏 =𝟐𝟒𝟎

𝝅[

𝟏−(−𝟏)𝒏

𝒏]

𝑼(𝒙, 𝒕) =𝟐𝟒𝟎

𝝅∑ [

𝟏−(−𝟏)𝒏

𝒏] 𝒆

(𝒏𝝅

𝑳)

𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏(

𝒏𝝅

𝑳𝒙∞

𝒏=𝟏 )

Si al tiempo 𝒕 = 𝟐𝟎 , la distancia 𝒙 = 𝟕𝟓 , 𝒏 = 𝟏 ; la longitud máxima de la varilla es 𝑳 = 𝟏𝟎𝟎

𝑼(𝟕𝟓, 𝟐𝟎) =𝟐𝟒𝟎

𝝅 (𝟐)𝒆

(𝝅

𝟏𝟎𝟎)

𝟐(𝟐𝟎)

𝒔𝒆𝒏 (𝝅

𝟏𝟎𝟎𝟕𝟓) = 𝟏𝟏𝟎. 𝟐

𝑼(𝟕𝟓, 𝟐𝟎) = 𝟏𝟏𝟎. 𝟐℃