economía del riesgo - jorge ponce | phd in economics · 2011-03-14 · conceptos y modelos de la...

Economıa del riesgo

Jorge Ponce

Maestrıa en Economıa InternacionaldECON - FCS

Montevideo, 2011

Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 1 / 111

I. Introduccion


Motivacion

Decisiones involucran tiempo (futuro), incertidumbre y riesgoI Privado: educacion, salud, ahorro e inversion, etc.I Publico: energıa, inversion publica, estabilidad financiera, etc.

Importantes sectores especializados en manejo de riesgosI Banca, finanzas, seguros, fondos de pension, etc.

Conceptos y modelos de la teorıa del riesgo y de la teorıa de ladecision son instrumentos para otras areas

I Economıa de la informacion, finanzas, etc.

Fortalecer la educacion en teorıa economica con un enfoqueintuitivo


¿Que es riesgo? (Knight, 1921)

Incertidumbre: decisiones implican un conjunto de posiblesresultados (aleatorios)

I En certidumbre, distinguir accion, decision o eleccion de resultadono tiene sentido

Riesgo: la distribucion de probabilidades sobre los posiblesresultados es conocida

Modelizacion de riesgo:I Variable aleatoriaI Distribucion de probabilidadesI Loterıa

Modelizacion de incertidumbre:I Actualizacion bayesiana (Bayes, 1750)I Ambiguedad o multiples distribuciones a priori


Principales objetivos del curso

Introducir los principales conceptos de la teorıa del riesgo

Manipular las tecnicas basicas para el tratamiento del riesgo

Analizar la teorıa de la decision en condiciones de riesgo

Enfasis en principios economicos e intuicion

Pero al mismo tiempo, proveer un analisis formal


Programa

I. Introduccion

II. Modelizacion del riesgo

III. Preferencias y utilidad esperada

IV. Aversion al riesgo

V. Dominacion estocastica

VI. Manejo de riesgos: decisiones sobre seguros

VII. Reparto eficiente de riesgos

VIII. Informacion asimetrica y la oferta de seguros

IX. Riesgo e informacion

X. Prevencion optima

XI. Irreversibilidad y precaucion

XII. Topicos avanzados


Algunas excelentes referencias

Dixit, Avinash K. y Pindyck, Robert S. (1994). Investment underuncertainty. Princeton University Press.

Gollier, Christian (2001). The economics of risk and time. The MITPress.

* Eeckhoudt, Louis; Gollier, Christian y Schlesinger, Harris(2005). Economic and financial decisions under risk. PrincetonUniversity Press.

Laffont, Jean-Jacques (1989). The economics of uncertainty andinformation. The MIT Press.

* Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D. y Green, Jerry R.(1995). Microeconomic theory. Oxford University Press.

Por mas ver el programa


II. Modelizacion del riesgo


Teorıa economica y modelos

Mucho de la teorıa economica es acerca deI Explicar y anticipar decisiones y elecciones de los agentes (positiva)I Sugerir decisiones, elecciones y comportamientos (normativa)

ModelosI Representaciones “manejables” (matematicas) de la realidadI El supuesto es (generalmente) que los agentes economicos eligen la

opcion mas “deseada” o “preferida”I Interpretacion: los agentes se comportan (aunque no

deliberadamente) “como si” optimizaran alguna funcion objetivoI Esto no es necesariamente cierto, pero es aceptado si ofrece una

buena aproximacion a las regularidades observadas en la realidad


Riesgo modelado como loterıas

Supuesto (hasta nuevo aviso): los resultados posibles forman unconjunto finito, X = {xn} , n = 1, . . . , N

Las preferencias y la eleccion son sobre loterıas

Loterıa simple: una distribucion de probabilidadesL = (x1, p1; . . . ; xn, pN), con pn ≥ 0 y ∑N

n=1 pn = 1

Dado el conjunto de resultados posibles X, una loterıa quedacompletamente defenida en funcion de las probabilidadesL = (p1, . . . , pN), con pn ≥ 0 y ∑N

n=1 pn = 1

Ejemplo: dado X = {1, 2, 3}

L =(

1, 12 ; 2, 1

4 ; 3, 14

)=(

12 , 1

4 , 14

)


Loterıa compuesta

Loterıa compuesta: una loterıa cuyos resultados posibles sonloterıas L = (L1, p1; . . . ; LK, pK), con pk ≥ 0 y ∑K

n=1 pk = 1 y dondeLk, k = 1, . . . , K son K loterıas simples definidas en X

Ejemplo: dado X = {1, 2, 3}

L1 =

(12

,12

, 0)

L2 =

(12

, 0,12

)L =

(L1,

12

; L2,12

)La loterıa compuesta L puede ser reducida a L =

(12 , 1

4 , 14

),

entonces solo las probabilidades sobre los resultados finales sonrelevantes!


Representacion grafica de loterıas


Pascal y Fermat (1600s): los primeros modelos

El valor de una loterıa (riesgo) debe ser igual a su valor esperado

4000

12000

12

x

12

(4000, 12 ; 12000, 1

2 )

E(x) = 8000

4000

8000

12000

y

14

12

14

(4000, 14 ; 8000, 1

2 ; 12000, 14 )

E(y) = 8000


¿Por que el valor esperado no es un buen modelo?

¿Que riesgo prefiere usted, x o y?

¿Apostarıa $1 a numero en el lanzamiento de una moneda? ¿Y$1.000.000?

Comunmente la gente compra seguros (transforma riesgo en suvalor esperado) y todavıa paga una prima por ello

Existe premio por riesgo en los mercados financieros

La esperanza de ganar en juegos de azar es comunmentenegativa (en la ruleta es 35× 1

37 − 1× 3637 = − 1

37 ) y todavıa haygente que apuesta


La paradoja de San Petesburgo (Bernoulli, 1738)

Se lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara

Si la primera cara aparece en la tirada n, entonces se paga 2n

ducados

¿Cuanto esta dispuesto a pagar usted para participar de estejuego?

¿Cual es la ganancia esperada en este juego?

∞

∑n=1

(2n)×(

12

)n= 1 + 1 + 1 + · · · = ∞


¿Y la varianza?

¿Por que no adoptar un criterio de “media-varianza”?

Posiblemente una buena aproximacion en muchos casosI riesgos “pequenos”

¿Cual de estas loterıas prefiere?

x : (−1,999

1000; 999,

11000

)

y : (1,9991000

;−999,1

1000)

Pero igual media e igual varianza!

x tienen asimetrıa positiva e y negativa

Momentos de tercer orden (y superior) deberıan sercontemplados por el modelo


La idea de Bernoulli (1738): funcion de utilidad

Sempronius tiene bienes en casa por 4000 ducados y bienes en elextranjero por 8000 ducados. La unica forma de traer los bienesdel extranjero es por barco. La experiencia muestra que uno decada dos barcos naufraga

Sempronius enfrenta un riesgo en su riqueza final

¿Como se representa este riesgo (loterıa) si utiliza un solo barco?

x : (4000,12

; 12000,12)

¿Como se representa este riesgo (loterıa) si utiliza dos barcos?

y : (4000,14

; 8000,12

; 12000,14)


La funcion de utilidad de Bernoulli

El sentido comun indica que diversificar es una buena idea

Pero el valor esperado de la riqueza final E (x) = E (y) = 8000

Bernoulli: “satisfaccion” o “utilidad” esperada

I Lo que importa ex post es la satisfaccion reportada por la riquezaI La relacion riqueza-satisfaccion, utilidad u(x), puede no ser lineal

(La funcion de utilidad de Bernoulli esta definida sobre resultados ciertos)I u(x) cumple propiedades de racionalidad, ej. u′(x) > 0I Si ademas u(x) es concaca, u′′(x) < 0 (la utilidad marginal de la

riqueza es decreciente), ej. u(x) ≡√

x, u(x) ≡ ln x, entonces sepreferira y a x:

Eu(x) =12

√4000 +

12

√12000 = 86,4

Eu(y) =14

√4000 +

12

√8000 +

14

√12000 = 87,9


III. Preferencias y utilidadesperada


Preferencias sobre riesgos (loterıas)

% representa la relacion de preferencias del agente sobre loterıas

Axiomas de las preferenciasI Completas: Para cada par de loterıas L1 y L2 sucede que L1 � L2,

que L2 � L1, o ambas (L1 ∼ L2)I Transitivas: Si L1 % L2 y L2 % L3, entonces L1 % L3I Racionales: Si son completas y transitivasI Continuas: Para toda L1 % L2 % L3 existe α ∈ [0, 1] tal que

(L1, α; L3, (1− α)) ∼ L2I Estos axiomas tienen su correlato en la teorıa del consumidor en

condiciones de certidumbre


Preferencias representadas por funciones de utilidadDebreu (1960)

Si la relacion de preferencias % es

Racional (completa y transitiva), y continua

Entonces

Existe una funcion de utilidad, v(L), que representa laspreferencias %

Esto es, dadas dos loterıas cualesquiera L1 = (p11, . . . , p1

N) yL2 = (p2

1, . . . , p2N) sobre X = {xn} , n = 1, . . . , N,

L1 % L2 si y solo si v(L1) ≥ v(L2)


El (controversial) axioma de independencia

Sin paralelo en la teorıa del consumidor en certidumbre

Crucial para la teorıa de la utilidad esperada

Foco de las disputas

Independientes: Para todo α ∈ (0, 1), L1 % L2 si y solo si(L1, α; L3, (1− α)) % (L2, α; L3, (1− α))


Teorema de la utilidad esperadaVon Neumann y Morgenstern (1944)

Si la relacion de preferencias % es

Racional (completa y transitiva), continua

Cumple el axioma de independencia

Entonces

% admite una representacion de utilidad esperada


La representacion de utilidad esperada

La relacion de preferencias % admite una representacion a travesde una funcion de utilidad “atractiva”

v(L) =N

∑n=1

unpn ≡ U(L)

Es posible asignar numeros un ≡ u(xn) tales que, para dosloterıas cualesquiera L1 = (p1

1, . . . , p1N) y L2 = (p2

1, . . . , p2N),

L1 % L2 si y solo si U(L1) =N

∑n=1

unp1n ≥

N

∑n=1

unp2n = U(L2)

Preferencias tienen una representacion lineal en probabilidades

u(.) es la funcion de utilidad de Bernoulli

U(.) es la funcion de utilidad esperada de Von Neumann yMorgenstern


El teorema de utilidad esperada graficamente


Discusion de la teorıa de la utilidad esperada

Ventaja tecnica: muy conveniente analıticamente

Atractivo normativo: guıa de accion


Discusion: la paradoja de Allais (1953)

X = {2,500,000; 500,000; 0}

L1 = (0, 1, 0) %(

10100 , 89

100 , 1100

)= L2

U(L1) = u(5) ≥ 10100 u(25) + 89

100 u(5) + 1100 u(0) = U(L2)

u(5) + 89100 u(0)− 89

100 u(5) ≥10

100 u(25) + 89100 u(5) + 1

100 u(0) + 89100 u(0)− 89

100 u(5)11

100 u(5) + 89100 u(0) ≥ 10

100 u(25) + 90100 u(0)

U(L3 =(

0, 11100 , 89

100

)) ≥ U(L4 =

(10

100 , 0, 90100

))

L3 =(

0, 11100 , 89

100

)%(

10100 , 0, 90

100

)) = L4

¿Que dicen sus preferencias?


Discusion: la paradoja de Machina (1987)

X = {Venecia; Pelıcula; Casita}

Venecia % Pelıcula % Casita

L1 =(

9991000 , 1

1000 , 0)%(

9991000 , 0, 1

1000

)= L2

¿Que dicen sus preferencias?


Infinitos resultados posibles y utilidad esperada

(Nuevo aviso) los resultados posibles forman un conjunto cuyocardinal es infinito: dinero, riqueza, etc.

Una loterıa puede ser descripta por su funcion de distribucionacumulada

F : R→ [0, 1]; F(x) =∫ x

−∞f (t)dt

Bajo los supuestos del teorema, es posible asignar niveles deutilidad, u(x), tal que toda loterıa, F(.), puede ser evaluada porsu utilidad esperada

U(F) =∫

u(x)dF(x)

No restricciones sobre, u(x), la funcion de utilidad de Bernoulli!


IV. Aversion al riesgo


Un poco de notacion

Consideramos riesgo sobre la riqueza final de un agente

w es el nivel de riqueza cierta (actual) del agente

El riesgo esta dado por una loterıa (una variable aleatoria) sobresu riqueza futura, z

La riqueza final del agente es x = w + z

u(.) es la funcion de utilidad de Bernoulli del agente


Aversion al riesgo

Definicion 1Un agente es averso al riesgo si, para todo nivel de riqueza w, el agenterechaza cualquier loterıa cuyo valor esperado es cero:

∀w, ∀z con Ez = 0, Eu(w + z) ≤ u(w)

Definicion 2Un agente es averso al riesgo si, para todo nivel de riqueza w, prefiererecibir con certeza el valor esperado de una loterıa a la loterıa misma:

∀w, ∀z, Eu(w + z) ≤ u(w + Ez)


Sempronius es averso al riesgow = 4000

z =(

0, 12 ; 8000, 1

2

)Eu(w + z) = 1

2 u(4000) + 12 u(12000) ≤ u(8000) = u(w + Ez)

Riqueza

Uti

lidad

4000 8000 12000

a

b

c

d

Eu (w + z)

u (w + Ez)


Aversion al riesgo y diversificacionEu(w + z) = 1

2 u(4000) + 12 u(12000) ≤ u(8000) = u(w + Ez)

Entonces, u(12000)− u(8000) ≤ u(8000)− u(4000)Diversifica porque la perdida por transferir probabilidades de12000 a 8000 es menor que la ganancia de transferirprobabilidades de 4000 a 8000

Riqueza

Uti

lidad

4000 8000 12000

u(4000)

u(8000)u(12000)

Perdida

Ganancia


Aversion al riesgo y diversificacion (cont.)

Sempronius es averso al riesgo:Eu(w + z) = 1

2 u(4000) + 12 u(12000) ≤ u(8000) = u(w + Ez)

Pruebe que Sempronious prefiere diversificar su riesgo: queprefiere usar dos barcos y enfrentar una riqueza finaly = w + z′ : (4000, 1

4 ; 8000, 12 ; 12000, 1

4 ) a usar solo uno yenfrentar una riqueza final x = w + z : (4000, 1

2 ; 12000, 12 )

Eu(y)− Eu(x) ≥ 0?

Eu(y)− Eu(x) =

= 14 u(4000) + 1

2 u(8000) + 14 u(12000)−

[12 u(4000) + 1

2 u(12000)]

= 12 u(8000)−

[14 u(4000) + 1

4 u(12000)]≥ 0


Aversion al riesgo y desigualdad de Jensen (1906)

Un agente es averso al riesgo si y solo si Eu(w + z) ≤ u(w + Ez)

Jensen (1906): la funcion f (x) es concava si y solo si Ef (x) ≤ f (Ex)

Entonces, un agente esI averso al riesgo si y solo si u(.) es concavaI amante del riesgo si y solo si u(.) es convexaI neutral al riesgo si y solo si u(.) es lineal


Premio por riesgo: π

¿Cuanto de su riqueza esta dispuesto a sacrificar un agenteaverso al riesgo para deshacerse del riesgo?

El premio por riesgo, π, es tal que

Eu(w + z) = u(w + Ez− π)

Riqueza

Uti

lidad

4000 8000 12000

Eu (w + z)

u (w + Ez) w = 4000w + Ez = 8000

w + Ez− ππ


Equivalente cierto: ε

¿Que incremento en la riqueza cierta de un agente averso alriesgo es equivalente al riesgo asumido?El equivalente cierto, ε, es tal que

Eu(w + z) = u(w + ε)

Ez = ε + π

Riqueza

Uti

lidad

4000 8000 12000

Eu (w + z)

u (w + Ez)w = 4000

w + ε

ε


Grado de aversion absoluta al riesgo: A(w)Arrow (1963) y Pratt (1964)

Sin perdida de generalidad asuma que Ez = 0

Premio por riesgo: Eu(w + z) = u(w− π)

Expansiones de Taylor:I u(w− π) u u(w)− πu′(w)

I

Eu(w + z) u E[u(w) + zu′(w) + 12 z2u′′(w)]

= u(w) + Ezu′(w) + 12 Ez2u′′(w)

= u(w) + 12 σ2u′′(w)

Entonces, π u 12 σ2

[− u′′(w)

u′(w)

]

A(w) ≡ −u′′(w)

u′(w)


Equivalencias

Sin perdida de generalidad considere un riesgo puro: Ez = 0. Lassiguientes sentencias son equivalentes:

El agente es averso al riesgo

La funcion de utilidad, u(.), es concava

El premio por riesgo es positivo: π > 0

El equivalente cierto es negativo: ε < 0

La funcion de aversion absoluta al riesgo es positiva: A(w) > 0


Grados de aversion al riesgo: comparacion entre

agentes

DefinicionSuponga que dos agentes u1 y u2 tienen la misma riqueza cierta w.Entonces u1 es mas averso al riesgo que u2 si, para cualquier nivel deriqueza w, u1 rechaza toda loterıa que es rechazada por u2.

Las siguientes sentencias son equivalentes:

u1 es mas averso al riesgo que u2

Au1(w) ≥ Au2(w)

πu1 ≥ πu2

εu1 ≤ εu2

Existe una funcion creciente y concava, φ, tal queu1(w) = φ[u2(w)]


Ejemplo - Ejercicio

Considere el problema de Sempronius: w = 4000, z : (0, 12 ; 8000, 1

2 )

1 Muestre que u1(w) ≡ ln(w) es mas averso al riesgo queu2(w) ≡

√(w)

2 Calcule y compare1 Au1 con Au2

2 πu1 con πu2

3 εu1 con εu2


Riqueza y aversion absoluta al riesgo

Generalmente, gente mas rica toma mayores riesgos(posiblemente porque los puede afrontar)

Aversion absoluta al riesgo decreciente (DARA)Un agente presenta aversion absoluta al riesgo decreciente (la funcionde utilidad u(.) es DARA) si la funcion A(w) es decreciente en lariqueza w.

Dado que π u 12 σ2A(w), entonces A′(w) < 0 implica π′(w) < 0

(el premio por riesgo es decreciente en la riqueza)


Ejemplo - Ejercicio

1 Considere el problema de Sempronius: u(.) = √.,z : (0, 1

2 ; 8000, 12 )

1 Calcule el premio por riesgo, π, y el grado de aversion absoluta alriesgo, A, para w = 100 y para w = 1,000,000

2 Considere que una moneda se lanza t veces. El juego terminacuando aparece la primera cara o luego de lanzar la moneda Tveces. El jugador paga 100 por participar de cada tirada y gana200 si sale cara.

1 Escriba la descripcion extensiva del juego (arbol) para T = 1 yT = 2

2 Muestre que un jugador con una utilidad DARA que es indiferentea entrar en el juego cuando T = 1 no participara si T = 2


Grado de aversion relativa al riesgo

Grado de aversion absoluta al riesgo, A(w) ≡ − u′′(w)u′(w)

, mide latasa a la cual la utilidad marginal decrece cuando la riquezaaumenta en una unidad

Entonces, esta expresada en unidades de riqueza

Grado de aversion relativa al riesgo mide la tasa a la cual lautilidad marginal decrece cuando la riqueza aumenta 1 %

Entonces, es una elasticidad

R(w) ≡ −du′(w)

u′(w)

wdw

= −wu′′(w)

u′(w)= wA(w)


Algunas funciones de utilidadCuadratica

u(w) = aw− 12

w2, con w ≤ a

¿Por que w ≤ a?

Calcule el grado de aversion absoluta al riesgo A(w)

Muestre que A(w) es creciente!


Algunas funciones de utilidad (cont.)CARA (mas normal = muy conveniente)

u(w) = −exp (−aw)

a

Calcule el grado de aversion absoluta al riesgo A(w)

Asuma que la riqueza final, x, se distribuye normal con media µ

y varianza σ2 y demuestre que

Eu(x) = u(µ− 12

aσ2)


Algunas funciones de utilidad (cont.)CRRA

u(w) =w1−γ

1− γ, para w > 0

Calcule el grado de aversion relativo al riesgo R(w)

Si un agente es averso al riesgo, ¿que restriccion se impone a γ?

¿Que pasa si γ = 1? ¿Que solucion encuentra?

u(w) =

{w1−γ

1−γ , para w > 0, γ ≥ 0, γ 6= 1,

ln(w) para w > 0, γ = 1


V. Dominacion estocastica


De funciones de utilidad a distribuciones de

probabilidades

Hasta ahora: comparaciones sobre funciones de utilidad (mismoriesgo, diferentes agentes)

Ahora: comparaciones sobre funciones de distribucion, loterıa,(mismo agente, diferentes riesgos)

¿Bajo que condiciones una loterıa genera, sin ambiguedad,mayor retorno que otra?

¿Bajo que condiciones una loterıa es, sin ambiguedad, masriesgosa que otra?

Restricciones sobre las preferencias (familias de funciones deutilidad)


Dominacion estocastica de primer orden

DefinicionLa distribucion de riqueza final x1 domina a x2 en el sentido dedominacion estocastica de primer orden si todos los individuos confunciones de utilidad, u, no decrecientes prefieren x1 a x2:

E [u (x2)] ≤ E [u (x1)] para todo x1, x2

Restricciones sobre preferencias:I Soporten una representacion de utilidad esperadaI Que la funcion de utilidad de Bernoulli sea no decreciente


Dominacion estocastica de primer orden (cont.)

Las siguientes condiciones son equivalentes:

x1 domina a x2 en el sentido de dominacion estocastica de primerorden

x2 se obtiene a partir de x1 mediante la transferencia de masa deprobabilidades de los estados altos de riqueza final a los estadosbajos

F2(x) ≥ F1(x) para todo x

Ejercicio:

Muestre la segunda condicion

Pruebe la tercera condicion


Dominacion estocastica de primer orden (fin)

Notas:

FOSD no implica que los posibles retornos de la distribuciondominante son mayores que los posibles retornos de ladistribucion dominada

FOSD implica que E [x2] ≤ E [x1]

E [x2] ≤ E [x1] no implica que x1 domina a x2 en el sentido dedominacion estocastica de primer orden: toda la distribucion deprobabilidades es importante!


Dominacion estocastica de segundo orden

DefinicionDadas dos distribuciones de riqueza final x1 y x2 con la misma media,x1 domina a x2 en el sentido de dominacion estocastica de segundoorden si todos los individuos con funciones de utilidad, u, nodecrecientes y concavas prefieren x1 a x2:

E [u (x2)] ≤ E [u (x1)] para todo x1, x2

Restricciones sobre preferencias:I Soporten una representacion de utilidad esperadaI Que la funcion de utilidad de Bernoulli sea no decrecienteI Que la funcion de utilidad de Bernoulli sea concava (el agente

averso al riesgo)

Restricciones sobre las distribuciones:I Igual media para aislar efectos de dominacion de primer orden


Dominacion estocastica de segundo orden (cont.)

Las siguientes condiciones son equivalentes:

x1 domina a x2 en el sentido de dominacion estocastica desegundo orden

x2 se obtiene agregando riesgo de media cero, ε conE[ε | x1 = x1] = 0 para todo x1, a x1:

x2 ∼ x1 + ε

x2 se obtiene como una secuencia de mean-preserving spreads de x1

S(x) ≡∫ x

[F2(t)− F1(t)] dt ≥ 0


Dominacion estocastica de segundo orden (cont.)Incremento en riesgo (Rothschild y Stiglitz, 1970, 1971)

Considere el problema de Sempronius: w = 4000,z : (0, 1

2 ; 8000, 12 ), entonces x1 : (4000, 1

2 ; 12000, 12 )

Asuma que los bienes del extranjero son 8000 unidades

Se agrega riesgo: con igual probabilidad el precio es 0,5 o 1,5

ε | x1 = 4000 : (0, 1), ε | x1 = 12000 : (−4000, 12 ; 4000, 1

2 )

Note que E[ε | x1 = x1] = 0

x2 ∼ x1 + ε, x2 : (4000, 12 ; 8000, 1

4 ; 16000, 14 )

Note que E[x1] = E[x2] = 8000

E [u (x1)] =12

√4000 + 1

2

√12000 = 86,4

E [u (x2)] =12

√4000 + 1

2

[12

√8000 + 1

2

√16000

]= 85,6 < 86,4


Dominacion estocastica de segundo orden (cont.)Reduccion en riesgo y diversificacion

Sempronious prefiere diversificar su riesgo: que prefiere usar dosbarcos y enfrentar una riqueza final

y = w + z′ : (4000,14

; 8000,12

; 12000,14)

a usar solo uno y enfrentar una riqueza final

x = w + z : (4000,12

; 12000,12)

Ejercicios:

Muestre que existe un incremento en riesgo ε tal que x ∼ y + ε

Muestre que dados x1 iid x2, x1+x22 es menos riesgoso que x1 o x2


Dominacion estocastica de segundo orden (fin)Mean-preserving spread y la condicion de la integral

Un mean-preserving spread es generado al transferir masa deprobabilidades hacia los extremos de la distribucion sin alterar lamedia

El incremento en riesgo anterior es un mean-preserving spreadf 1

,f2

4 8 12 16

14

12

f1

f2 F 1,F

2

4 8 12 16

12

34

1F1 , F2

AB

Ejercicio: pruebe que si x1 SOSD x2 entoncesS(x) ≡

∫ x[F2(t)− F1(t)] dt ≥ 0


Prudencia o aversion al riesgo en estados bajos

Considere el problema de Sempronius: w = 4000,z : (0, 1

2 ; 8000, 12 ), entonces x1 : (4000, 1

2 ; 12000, 12 )

Considere que la incertidumbre en precio se da cuando el barcollega a puerto (estado alto):

I x2 : (4000, 12 ; 8000, 1

4 ; 16000, 14 )

I Esto es un riesgo ε : (−4000, 12 ; 4000, 1

2 ) en el estado altoI O, x2 : (4000, 1

2 ; 12000 + ε, 12 )

Considere el mismo riesgo en el estado bajo:I x3 : (4000 + ε, 1

2 ; 12000, 12 ), o x3 : (0, 1

4 ; 8000, 14 ; 12000, 1

2 )

Ejercicio: muestre que x2 y x3 no se dominan mutuamente

PrudenciaUn agente es prudente si, en los estados bajos de riqueza, rechazacualquier incremento en riesgo que aceptarıa en los estados altos


Prudencia si y solo si u′(.) convexa: u′′′(.) > 0

Prudencia si y solo si u′′′(.) > 0Un agente es prudente, equivalentemente averso al riesgo en estadosbajos, si y solo si su funcion de utilidad de Bernoulli, u(.), es tal queu′(.) es convexa: u′′′(.) > 0


VI. Manejo de riesgos:decisiones sobre seguros


Decisiones sobre seguros

Seguros son importantes en la vida corrienteI Agentes se cubre y/o intercambian riesgosI Inversion y toma de riesgosI Educacion, capital humano y riesgo

AseguradorI Diversifica riesgo por la Ley de los Grandes Numeros (siempre que

los riesgos individuales no esten muy correlacionados)I Puede ser considerado neutral al riesgoI Principio de Mutualidad: en esencia, los demandantes de seguros

se aseguran unos a los otros


El problema

El riesgo a asegurarI El agente tiene una riqueza cierta wI Enfrenta una perdida aleatoria z ≥ 0I Por tanto, su riqueza final es x = w− z

El contrato de seguroI Una prima (precio del contrato) PI Una indemnizacion I(z) para todo z ∈ soporte de zI Valor actuarial del contrato EI(z)I Prima actuarialmente justa si P = EI(z)I Competencia perfecta, entonces prima justa


La optimalidad del seguro total

Seguro total: I(z) = z para todo z ∈ soporte de z

Sin seguro:Eu(w− z) = u(w− ε)

= u(w− Ez− π)

Con seguro:

Eu(w− P− z + I(z)) = u(w− P)= u(w− EI(z))= u(w− Ez)

Cuando las primas son actuarialmente justas, los individuos aversosal riesgo encuentran optimo adquirir un seguro total


Prima maxima de un seguro total

Eu(w− z) = u(w− Ez− π)

= u(w− Pmax)

EntoncesPmax = Ez︸︷︷︸

valor actuarial

+ π︸︷︷︸premio por riesgo

Estatica comparadaPmax > Ez (valor actuarial) si el individuo es averso al riesgo

Pmax crece en el valor actuarial del contrato

Si u es DARA, Pmax decrece con el nivel de riqueza cierta w


Seguros parciales

En la practica existen costos de transaccion

Costos de transaccion (loading factor)I Indemnizacion I(z) para todo z ∈ soporte de zI Valor actuarial del contrato EI(z)I Prima incluye costos de transaccion P = (1 + λ)EI(z), con λ ≥ 0

La decision optima puede implicar seguros parcialesI Co-seguro: I(z) = βz, con 0 ≤ β ≤ 1I Deducible:

I(z) = 0 si z ≤ dI(z) = z− d si z > d


Co-seguro optimo

Riqueza final con seguro: xI = w− P− z + I(z)

En el caso de co-seguro: xI = w− (1 + λ)βEz− z + βz

El problema:max

0≤β≤1Eu(xI)

Ejercicio:I Calcule las condiciones de primerI Calcule las condiciones de segundo ordenI Pruebe que, en el optimo,

cov[u′(xI); z]E[u′(xI)]

= λEz


Co-seguro optimoTeorema de Mossin (1968)

Si β = 0, cov[u′(xI); z] > 0

Si β = 1, cov[u′(xI); z] = 0∂cov[u′(xI);z]

∂β < 0

β1

λEz

cov[u′(xI);z]E[u′(xI)]

β∗

Seguro total, β∗ = 1, es optimo si la prima es actuarialmentejusta, λ = 0

Seguro parcial, β∗ < 1, es optimo si la prima incluye costos detransaccion, λ > 0

Si λ es suficientemente grande, la demanda puede ser nula


Co-seguro optimoEstatica comparada: mayor aversion al riesgo

Considere dos individuos con funciones de utilidad u1 y u2 crecientesy concavas. Si u1 es mas averso al riesgo que u2, entonces β∗1 ≥ β∗2

β1

λEz

cov[u′2(xI);z]E[u′2(xI)]

β∗2

cov[u′1(xI);z]E[u′1(xI)]

β∗1


Co-seguro optimoEstatica comparada: incremento en riqueza

Un incremento en la aversion al riesgo incrementa la demandapor seguros

Entonces, si DARA, un incremento en la riqueza reduce lademanda por seguros

Si DARA, seguros son bienes inferiores

Un incremento en la riqueza inicial (cierta)

Reduce β∗ si u exhibe aversion al riesgo absoluta decreciente

Incrementa β∗ si u exhibe aversion al riesgo absoluta creciente

No tiene efectos en la demanda de co-seguro si u exhibe aversional riesgo absoluta constante


Seguro con deducible

Deducible:I(z) = 0 si z ≤ dI(z) = z− d si z > d

O, I(z) = [z− d]+

P = (1 + λ)EI(z)

Muestre que hay una relacion inversa entre deducible, d, y laprima, P. En particular, muestre que

∂P∂d

= −(1 + λ)[1− F(d)]

donde z ∼ F(z)


Deducible optimo

Riqueza final con seguro:

xI =

{x1 = w− P(d)− z si z < dx2 = w− P(d)− d si z ≥ d

Muestre que el deducible optimo, d∗, es tal que

(1 + λ)Eu′(xI) = u′(x2)

Muestre que si λ = 0, entonces d∗ = 0 (un seguro total) y que siλ > 0 es optimo un deducible positivo d∗ > 0


La optimalidad de un seguro con deducible

Seguro optimo: seguro total sobre un deducibleSuponga que un agente averso al riesgo selecciona un contrato deseguro para cubrir un riesgo z con una prima P = (1 + λ)EI(z) y unaindemnizacion no decreciente I(z) ≥ 0 para todo z ∈ soporte de z.Entonces, el contrato de seguro optimo consiste en un seguro totalsobre un deducible d: I(z) = [z− d]+


VII. Reparto eficiente deriesgos


Algunas puntualizaciones previas

Hasta ahora se ha considerado un unico individuo

Ahora se considera el reparto eficiente de riesgo entre agentes

No consideraremos si este reparto puede ser alcanzada en unaeconomıa de mercado (ver Finanzas de Mercado)


Reparto de riesgos: un ejemplo

Recuerde que Sempronius prefiere diversificar su cargamento endos barcos, yS : (4000, 1

4 ; 8000, 12 ; 12000, 1

4 ), a utilizar solo uno,xS : (4000, 1

2 ; 12000, 12 )

Asuma que Jacobus es averso al riesgo y enfrenta el mismoproblema que Sempronius pero en una ruta independiente

Muestre que ambos preferiran utilizar solo un barco cada uno yrepartir la mercaderıa (riesgo) en partes iguales, xS+xJ

2 , a utilizarsolo un barco y no repartir el riesgo, xi para i = S, J

¿Que pasa si los riesgos estan correlacionados (las rutas no sonindependientes)?

La regla de reparto, ¿es eficiente en el sentido de Pareto?


El modelo: una economıa de intercambio

n agentes aversos al riesgo: ui, i = 1, . . . , n crecientes y concavas

Riesgo:I Ex ante nadie conoce que estado de la naturaleza prevaleceraI El estado de la naturaleza es una v.a. discreta, s, con soporte finitoI La riqueza futura de los agentes dependen del estado de la

naturaleza: xi(s) 6= xi(s′)I Para cada estado s la riqueza futura total de la economıa es:

X(s) = ∑ni=1 xi(s)

El reparto de riesgos determina la riqueza final de cada agenteen cada estado: yi(s), i = 1, . . . , n, s en el soporte de s


Definiciones

Reparto posible de riesgosUn reparto de riesgos es posible si

ningun agente finaliza con una riqueza final negativa: yi(s) ≥ 0

la riqueza final de todos los agentes es igual a la riqueza total enla economıa: ∑n

i=1 yi(s) = X(s) para todo s en el soporte de s

Reparto eficiente de riesgosUn reparto de riesgos es eficiente si

es posible

no existe otro reparto de riesgos que incremente la utilidadesperada de un agente sin reducir la de los restantes agentes


Caracterizacion de un reparto eficiente de riesgos

maxy1(.),...,yn(.) ∑ni=1 Eui[yi (s)] sujeto a ∑n

i=1 yi(s) = X(s) para todos en el soporte de s

maxy1(.),...,yn(.) E [∑ni=1 ui[yi (s)]] sujeto a ∑n

i=1 yi(s) = X(s) paratodo s en el soporte de s

La solucion a este programa puede ser obtenida resolviendo lasecuencia de soluciones para cada uno de los estados:

maxy1(s),...,yn(s)

n

∑i=1

ui[yi(s)] sujeto an

∑i=1

yi(s) = X(s)


Caracterizacion de un reparto eficiente de riesgos

(cont.)

maxy1(s),...,yn(s) ∑ni=1 ui[yi(s)] sujeto a ∑n

i=1 yi(s) = X(s)

Ł = u1[y1(s)] + · · ·+ un[yn(s)]− µ(s) [y1(s) + · · ·+ yn(s)−X(s)]

CPO

u′i [yi(s)] = µ(s) para todo i = 1, . . . , n y para todos los estados s

La condicion de Borch (1962) para un reparto eficienteLas tasas marginales de sustitucion entre dos estados s y s′

cualesquiera tienen que ser iguales para dos agentes i y jcualesquiera:

u′i [yi(s)]u′i [yi(s′)]

=u′j [yj(s)]

u′j [yj(s′)]


El Principio de Mutualidad

Note que

Si X(s) = X(s′), entonces yi(s) = yi(s′) para todo i = 1, . . . , n

yi(s) no depende de xi(s), pero si de X(s)

El Principio de MutualidadUn reparto Pareto eficiente de riesgos tiene la particularidad de queen cada estado la riqueza final de cualquier agente, yi(s), solamentedepende de la riqueza total en la economıa, X(s), y no de la riquezaindividual de cada agente

Esto implica que un reparto eficiente puede ser implementado por unplanificador social cuando todos los agentes, en todos los estados,aportan su riqueza xi(s) a un fondo mutuo X(s)


Reparto eficiente de riesgo no diversificable

CPO: u′i [yi(s)] = µ(s) = u′j [yj(s)]

Principio de Mutualidad (normalizacion): yi(s) = yi(X(s))

Entonces: u′i [yi(X(s))] = u′j [yj(X(s))]

Diferenciando respecto a X(s):u′′i [yi(X(s))]y′i(X(s)) = u′′j [yj(X(s))]y′j(X(s))

Entonces: u′′i [yi(X(s))]u′i [yi(X(s))] y′i(X(s)) =

u′′j [yj(X(s))]u′j [yj(X(s))] y′j(X(s))

Aversion al riesgo y reparto eficienteUn reparto eficiente de riesgo no diversificable implica que losagentes relativamente mas aversos al riesgo asuman relativamentemenos riesgo (menos variacion en su riqueza final)

Aiy′i(X(s)) = Ajy′j(X(s))


Reparto eficiente de riesgo no diversificable (cont.)

Aiy′i(X(s)) = Ajy′j(X(s))

∑ni=1 yi(X(s)) = X(s)

Entonces: ∑ni=1 y′i(X(s)) = 1

Y, por tanto: 1 =Ajy′j(X(s))

∑i Ai

El riesgo debe ser repartido en proporcion a la toleranciaUn reparto eficiente de riesgo no diversificable implica que el riesgodebe ser repartido en forma proporcional a la tolerancia la riesgo delos agentes

y′j(X(s)) =Tj

∑i Ti


VIII. Informacionasimetrica y la oferta de

seguros


Seleccion adversa: elementos del modelo

La riqueza final de un agente es x = w + z

z tiene soporte en {−L, 0}

Agentes identicos excepto en su probabilidad de perdida:

0 < pG < pB < 1

La probabilidad de perdida es informacion privada de cadaagente

La proporcion de agentes malos es 0 < α < 1

Las primas son actuarialmente justas, λ = 0

Aseguradores pueden diversificar riesgos, son neutrales al riesgo

El mercado esta en un equilibrio de largo plazo, los beneficiosson nulos


Seleccion adversa: informacion perfecta, seguro total

Informacion perfecta +prima justa = seguro total(Mossin)

Primas: PB = pBL yPG = pGL

Informacion imperfecta:todos pretenderan serbuenos


Contratos de seguro en equilibrio

Definicion: Rothschild y Stiglitz (1976)Un conjunto de contratos de seguro esta en equilibrio si

todos los contratos (prima P, co-seguro β) ofrecen un beneficioesperado de cero para el asegurador

no existe otro contrato que pueda ser agregado tal que ofrezca unbeneficio esperado positivo


Contratos pooling no son de equilibrio

Un equilibrio de Rothschildy Stiglitz bajo seleccionadversa no puede contenerun contrato pooling

Buenos aseguradosprefieren un deduciblemayor al contrato pooling


Contratos separadores

Cada contrato obtiene unbeneficio esperado igual acero

Malos asegurados obtienenseguro total, βB = 1, a unprecio justo, PB = pBL


Contratos separadores (cont.)

Cada contrato obtiene unbeneficio esperado igual acero

El contrato para los buenosasegurados no tiene que serelegido por los malos(compatibilidad deincentivos o auto-seleccion)


Contratos separadores pueden no existir

Si la proporcion de malosasegurados es baja, α espequeno

Un contrato pooling, C′,domina al contratoseparador


Contratos de seguro en equilibrio

Si la proporcion de malos asegurados es suficientemente grande (αsuficientemente cercano a 1), entonces un equilibrio de Rothschild yStiglitz consiste en contratos separadores donde los malos aseguradosreciben seguro total a una prima justa (βB = 1, PB = pBL), y losbuenos asegurados reciben un seguro parcial a una prima justa(βG < 1, PG = pGβGL).


Riesgo moral: elementos del modelo

La riqueza final de un agente es x = w + z

z tiene soporte en {−L, 0}

Agentes identicos

La probabilidad de perdida depende del esfuerzo del asegurado:

0 < pE = pN − e < pN < 1

Esfuerzo cuesta c unidades de utilidad

Las primas son actuarialmente justas, λ = 0

Aseguradores pueden diversificar riesgos, son neutrales al riesgo

El mercado esta en un equilibrio de largo plazo, los beneficiosson nulos


Esfuerzo optimo y curvas de indiferencia


Riesgo moral y contratos de seguros

Cada contrato obtienen unbeneficio esperado igual a cero

Riesgo moral y prima no lineal:

P(β) =

{βpEL si β ≤ βD

βpNL si β > βD

En equilibrio, N o D son ofrecidos


IX. Riesgo e informacion


El valor de la informacion privada

La riqueza final de Sempronius x : (4000, 12 ; 12000, 1

2 )

Seguro total a 4400 (λ = 10 %)

Con seguro: Eu(.) =√

12000− 4400 = 87178

p0 es la creencia de exito de Sempronius sin acceso a informacion

Sin seguro:Eu(.) = p0

√12000 + (1− p0)

√4000 = 46299p0 + 63246

V(p0) = max{87178; 46299p0 + 63246}

Si p0 < 0,517 Sempronius comprara seguro


El valor de la informacion privada (cont.)

Asuma que p0 = 0,5, entonces compra seguro y V(p0) = 87178

Informacion: con probabilidad q = 0,5 recibe una buena senal,e.g. no hay piratas (pG = 0,75), y con probabilidad 1− q = 0,5recibe una mala senal (pB = 0,25)

Buena senal: V(pG) = 46299× 0,75 + 63246 = 97970

Mala senal: V(pB) = 87178

Ex ante: VI = qV(pG) + (1− q)V(pB) = 92574 > 87178 = V(p0)

Acceso a informacion privada es valioso porque permite un mejormanejo de riesgos


El efecto Hirshleifer

Asuma que existe un mercado de seguros tal que todo riesgo zpuede ser asegurado a una prima justa (λ = 0)

En el primer optimo todos los agentes adquieren un seguro totala la prima justa

Asuma ahora que se introduce una tecnologıa que hace publica lainformacion sobre quien sufrira una perdida y su tamano

Ya no habra nada que asegurar; los aseguradores no puedenasegurar riesgos realizados

Ex ante, el acceso publico a informacion destruye la posibilidad deasegurarse a una prima justa y, por tanto, todos (asegurados yaseguradores) estaran peor que sin acceso a la informacion


X. Prevencion optima


Prevencion o auto-proteccion

En muchos casos es posible alterar la distribucion de riesgosI control de perdidasI prevencionI auto-proteccion

Un seguro altera el financiamiento de la materializacion de losriesgos


Prevencion optima bajo neutralidad al riesgo

Considere un agente neutral al riesgo

Enfrenta una perdida L con probabilidad p

Puede realizar una inversion e para prevenir el riesgo: p es unafuncion de e, p(e), con p′ < 0 y p′′ ≥ 0

El nivel de prevencion optima, e∗, es tal que

e∗ ∈ arg mıne≥0

e + p(e)L

La condicion de primer orden es necesaria y suficiente

−p′(e∗)L = 1


Prevencion optima bajo aversion al riesgo

A priori podrıa pensarse que un individuo averso al riesgopreferira un nivel de prevencion superior a e∗

Mayor prevencion hace los mejores estados mas probables

Mayor prevencion reduce la riqueza final en todos los estados dela naturaleza

Entonces, un agente averso al riesgo puede encontrar lareduccion de la riqueza en los peores estados demasiado costosa(en terminos de utilidad) con relacion a la reduccion en laprobabilidad de estos estados


XI. Irreversibilidad yprecaucion


Irreversibilidad y precaucion

Algunas decisiones implican acciones irreversiblesI Por ejemplo, la obra civil para instalar una planta fabril

Precaucion: diferir la decision a la espera de mejores condicioneso nueva informacion

I Por ejemplo, diferir la instalacion de la planta


Ejemplo: ¿cuando invertir?

t = 0 t = 1 t = 2

200250

312,5

187,5150

112,5

Figura: VAN en los diferentes estados de la naturaleza


Ejemplo: ¿cuando invertir? (cont.)

t = 0 t = 1 t = 2

2070

132,5

7,50

0

Figura: No siendo precavido


Ejemplo: ¿cuando invertir? (cont.)

t = 0 t = 1

46,578,6

4,3

Figura: Siendo precavido


Ejemplo: ¿cuando invertir? (fin)

t = 0 t = 1 t = 2

EsperarEsperar

Invertir

InvertirEsperar

No Invertir

Figura: ¿Cuando Invertir?


Ejercicio: ¿cuando abandonar?

t = 0 t = 1 t = 2

553679

832

553451

368

Figura: VAN en los diferentes estados de la naturaleza


XII. Topicos avanzados


economía del riesgo - jorge ponce | phd in economics · 2011-03-14 · conceptos y modelos de la...

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