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Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 22

Algebra y Matematica DiscretaSesion de Teorıa 22

(c) 2013 Leandro Marın, Francisco J. Vera, Gema M. Dıaz

25 Nov 2013 - 1 Dic 2013


Producto Escalar

Bases Ortogonales y Ortonormales

Definicion

Base Ortogonal

Una base {v1, · · · , vn} de un subespacio V diremos que es unabase ortogonal si 〈vi , vj〉 es 0 para todo i 6= j .

Supongamos que nuestra base son columnas de una matriz B ,todos los productos de los elementos de la base los podemoscalcular mediante el producto de matrices B⊤B , que sera unamatriz cuadrada que debe tener ceros fuera de la diagonal principal.


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Definicion

Base Ortonormal

Una base {v1, · · · , vn} de un subespacio V diremos que es unabase ortonormal si es ortogonal y ademas todos sus vectores sonunitarios, es decir ‖vi‖ = 1 para todo i .

Si B es la matriz de nuestra base, ahora no solo tenemos que B⊤B

tiene ceros fuera de la diagonal principal, sino que tambien tiene 1en la diagonal. Es decir B⊤ es la inversa por la izquierda de B y B

la inversa por la derecha de B⊥.Si el subespacio es todo R

n, entonces las matrices son inversas enel sentido ordinario.


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Definicion

Matrices Ortogonales

Se dira que una matriz cuadrada B es ortogonal, si su traspuestaes su inversa. Es decir, si sus columnas son una base ortonormal.

Puede ser un poco confuso que llamemos matriz ortogonal cuandola base es ortonormal. Eso es una cuestion de terminologıa y elnombre es ası, no lo podemos cambiar. No creara gran confusionporque en realidad bases ortogonales y ortonormales son casi lo

mismo.


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Pasar de Base Ortogonal a Ortonormal

Teorema

Sea B = {v1, v2, · · · , vn} una base ortogonal, entonces la baseB ′ = { v1

‖v1‖,

v2‖v2‖

, ...,vn

‖vn‖} es una base ortonormal.

La propiedad de que los pares de vectores sean ortogonales seconserva al multiplicar por constantes, y al dividir todos losvectores por su norma, conseguimos que tengan norma 1.


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Orientacion del Espacio

Sea B una base ortonormal de Rn, como el determinante de

una matriz coincide con el de su traspuesta, tenemos lasiguiente propiedad: 1 = det(I ) = det(B⊤B) = det(B)2


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Por tanto, det(B) solo puede ser 1 o −1.


Producto Escalar





Por tanto, det(B) solo puede ser 1 o −1.Por ejemplo, la identidad I siempre tiene determinante 1, sicambiamos el orden de dos vectores de I , obtenemos una baseortonormal con determinante −1.


Producto Escalar





Por tanto, det(B) solo puede ser 1 o −1.Por ejemplo, la identidad I siempre tiene determinante 1, sicambiamos el orden de dos vectores de I , obtenemos una baseortonormal con determinante −1.Las bases ortonormales que dan determinante 1 se dice queestan orientadas positivamente, y las de determinante −1 sedice que estan orientadas negativamente.


Producto Escalar





Por tanto, det(B) solo puede ser 1 o −1.Por ejemplo, la identidad I siempre tiene determinante 1, sicambiamos el orden de dos vectores de I , obtenemos una baseortonormal con determinante −1.Las bases ortonormales que dan determinante 1 se dice queestan orientadas positivamente, y las de determinante −1 sedice que estan orientadas negativamente.Aquı se puede apreciar la importancia del orden en loselementos de la base, que nos puede hacer cambiar laorientacion del espacio.


Producto Escalar





Por tanto, det(B) solo puede ser 1 o −1.Por ejemplo, la identidad I siempre tiene determinante 1, sicambiamos el orden de dos vectores de I , obtenemos una baseortonormal con determinante −1.Las bases ortonormales que dan determinante 1 se dice queestan orientadas positivamente, y las de determinante −1 sedice que estan orientadas negativamente.Aquı se puede apreciar la importancia del orden en loselementos de la base, que nos puede hacer cambiar laorientacion del espacio.Veremos el significado geometrico de esta propiedad cuandohablemos del producto vectorial.


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Metodo de Gram-Schmidt

Existencia de Bases Ortonormales

Hemos hecho una definicion, que puede ser interesante, pero apartede las bases canonicas de todo el espacio, ¿hay alguna otra baseortonormal? La respuesta es que sı, hay en cualquier subespacio:


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Teorema

Sea V un subespacio vectorial de Rm. Entonces V tiene una base

ortonormal.


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Teorema

Sea V un subespacio vectorial de Rm. Entonces V tiene una base

ortonormal.

Lo que vamos a ver ahora es el metodo para obtener una baseortonormal de un subespacio, que se conoce como metodo deGram-Schmidt.


Producto Escalar



Para aplicar el metodo de Gram-Schmidt partimos de unabase de V , B = {v1, v2, · · · , vn}.


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Para aplicar el metodo de Gram-Schmidt partimos de unabase de V , B = {v1, v2, · · · , vn}.Utilizando combinaciones lineales de los vectores, obtenemosuna base B ′ = {w1,w2, · · · ,wn} ortogonal. El procedimientoconsistira en ir viendo si son perpendiculares, y si no lo son,haciendo correcciones hasta conseguir poner los vectores enlas posiciones adecuadas.


Producto Escalar



Para aplicar el metodo de Gram-Schmidt partimos de unabase de V , B = {v1, v2, · · · , vn}.Utilizando combinaciones lineales de los vectores, obtenemosuna base B ′ = {w1,w2, · · · ,wn} ortogonal. El procedimientoconsistira en ir viendo si son perpendiculares, y si no lo son,haciendo correcciones hasta conseguir poner los vectores enlas posiciones adecuadas.

La ultima fase es la mas sencilla, consiste en, una vezobtenida la base ortogonal, dividir todos los vectores por sunorma para obtener la base {u1, u2, · · · , un} ortonormal .


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Ejemplo

Calcular una base ortonormal del plano V con baseB = {(1, 1, 3) , (4, 1, 2) } utilizando el metodo de Gram-Schmidt.

Fase 0: Poner Nombres

Es un buen consejo fijar los nombres de los vectores que nosaparecen, para ser lo mas metodicos posibles, en este caso tenemos

v1 =

113

v2 =

412


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Gram-Schmidt (2 vectores)

El vector w1 siempre se puede tomar v1.


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El vector w2 sera igual al vector v2 mas una correccion hechacon los wi anteriores, en este caso solo tenemos w1.


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Por tanto w2 = v2 + αw1 para algun α, lo que tenemos quehacer es determinar α para que el vector sea perpendicular aw1.


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Entonces ponemos 0 = 〈w2,w1〉 = 〈v2 + αv1, v1〉, es decir

0 = 〈v2, v2〉+ α〈v1, v1〉 ⇒ α =−〈v2, v1〉〈v1, v1〉


Producto Escalar






Entonces ponemos 0 = 〈w2,w1〉 = 〈v2 + αv1, v1〉, es decir

0 = 〈v2, v2〉+ α〈v1, v1〉 ⇒ α =−〈v2, v1〉〈v1, v1〉

Podemos aprender la formula o deducirla en cada caso, puestoque es simplemente aplicar que el producto escalar tiene queser 0 y la linealidad.


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Ejemplo

Fase 1: Hacer las correcciones en los vectores para que seanortogonales

w1 =

113

α =−〈v2, v1〉〈v1, v1〉

= − 4 + 1 + 6

12 + 12 + 32= −1

w2 = v2 + αw1 =

412

+ α

113

=

30

−1


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Ejemplo

Fase 2: Hacer las vectores unitarios.

u1 =w1

‖w1‖=

(

1

11

√11,

1

11

√11,

3

11

√11

)

u2 =w2

‖w2‖=

(

3

10

√10, 0, − 1

10

√10

)


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Comentarios

La obtencion de la base ortonormal a veces no esestrictamente necesaria, y una base ortogonal es suficiente.


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Comentarios


Si eso es ası, podemos evitar la aparicion de raıces cuadradase incluso de denominadores puesto que podemos tomarmultiplos cualesquiera de los vectores.


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Comentarios


Si eso es ası, podemos evitar la aparicion de raıces cuadradase incluso de denominadores puesto que podemos tomarmultiplos cualesquiera de los vectores.

Otra forma de hacerlo es numericamente, con valores realesde la precision que consideremos necesaria.


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Correcciones con mas Vectores

El metodo de Gram-Schmidt se aplica exactamente igual con masvectores.


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La diferencia esta en que en la fase 1, tras calcular w2 debemos calcularw3.


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El vector w3 sera igual al vector v3 mas dos correcciones α1w1 y α2w2.


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Se plantean las ecuaciones para que w3 con estos dos parametros libressea perpendicular a w1 y w2, con lo que se obtienen los valores.


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Concretamente

w3 = v3 −〈w1, v3〉

〈w1,w1〉w1 −

〈w2, v3〉

〈w2,w2〉w2


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Concretamente

w3 = v3 −〈w1, v3〉

〈w1,w1〉w1 −

〈w2, v3〉

〈w2,w2〉w2

En general, tendremos que

wi+1 = vi+1 −〈w1, vi+1〉

〈w1,w1〉w1 −

〈w2, vi+1〉

〈w2,w2〉w2 − · · · −

〈wi , vi+1〉

〈wi ,wi 〉wi

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