3. Demostrar que (a) y (b) son linealmente independientes y que son solución de la siguiente ecuación diferencial.

(a )=sin3 x

(b )= 1

sin2 x

y + tan x {dy} over {dx} -6 ( {cot} ^ {2} x)y=

Se calcula el Wroskiano, la ecuación es de segundo orden así que se deriva una vez:

y1=sen3 x

y '1=3 sen2 x+cos x

Para

y2=1

sen2 x= y '2=

−2cos x

sen3 x

W ( y1 , y2 )=| sen3 x1

sen2 x

3 sen2 x cos x−2cosxsen3 x

|W ( y1 , y2 )=sen3

x (−2cos x

sen3 x )−¿

W ( y1 , y2 )=−2 cos x−3cos x=−5 cos x

El Wroskiano es cero para x=(2n+1 ) π2n=0 ,1 ,2,3 en otro caso serán linealmente

independientes.

y= y1+ y2 se hace la derivacióndos veces y sereemplaza enla ecuaciónoriginal .

y '=3 sen2 x cos x+−2 cos x

sen3 x

y = {6 cos} ^ {2} x sen {x} -3 {sen} ^ {3} x+ {2 {sen} ^ {4} {x+6 { cos} ^ {2}} x {sen} ^ {2} x} over {{sen} ^ {6} x

y = {6 cos} ^ {2} x sen {x} -3 {sen} ^ {3} x+ {2 {sen} ^ {2} {x+6 { cos} ^ {2}} x} over {{sen} ^ {4} x

Reemplazo

6 cos2 x sen x−3 sen3 x+2 sen2 x+6 cos2 xs en4 x

+ tan x (3 sen2 xcos x+−2cos xsen3 x )−6 cot2 x (sen3 x+ 1

sen2 x )=0

6 cos2 x sen x−3 sen3 x+ 2sen2 x

+ 6 cot2 xsen2 x

+3 sen3 x− 2sen2 x

−6 senx cos2 x−6cot2 xsen2 x

=0

Eliminamos términos semejantes 0=0