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3.- ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. FACTOR INTEGRANTE

3.1 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Definicin:

Se dice que una forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y) dy es exacta en un dominio D, si existe una funcin U(x, y) cuya diferencial es dicha forma en D, es decir:

(x,y) D

Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuacin diferencial P dx + Q dy = 0 se denomina ecuacin diferencial exacta, o ecuacin en diferenciales totales.

Integracin de una ecuacin diferencial exacta:

En el caso citado, la solucin general de la ecuacin diferencial:

P(x, y) dx +Q(x, y) dy = 0, es decir dU = 0, es :U(x, y) = k.

Y recprocamente, dada la familia uniparamtrica de curvas U(x, y) = k, su ecuacin diferencial puede escribirse en la forma Ux dx + Uy dy = 0, es decir en forma de ecuacin diferencial exacta.

Cmo reconocer si una ecuacin diferencial dada: P(x, y) dx + Q(x, y) d y = 0 es exacta?

Teorema :

Sea la ecuacin diferencial : P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, donde P(x, y) y Q(x, y) tienen derivadas parciales primeras continuas en un dominio D simplemente conexo.Dicha ecuacin diferencial es exacta en D si y solo si en D.

Ya se vi en Clculo II la demostracin y tambin la forma de obtener en su caso la funcin U (x,y) tal que: P dx + Q dy = dU

Ejemplo 11:

Resolver la ecuacin diferencial : (3 x2 + 4 xy) d x + (2 x2 + 2y) dy = 0.

Se verifica que Py = Qx = 4x . Y estas derivadas son continuas en cualquier dominio D simplemente conexo del plano. Luego, existe U(x,y) tal que P dx +Q dy = dU en cualquiera de tales D.

Como ha de ser , resulta: Y como resulta : 2x2 + (y) = 2x2 + 2y . Luego: (y) = 2y.

Por tanto: (y) = y2 + C1 . Entonces : U(x,y) = x3 + 2 x2y + y2 + C1

Luego la solucin general de la ecuacin diferencial dada ser U(x, y) = C, es decir :

x3 + 2 x2y + y2 = k

Ejemplo 12:

Resolver la ecuacin diferencial: (3 x2 + 2 y sen2x )dx + 2 (sen2 x + 3 y2 ) dy = 0

En este caso es:Py = 2 sen 2xyQx = 4 sen x cos x = 2 sen 2x

En todo 2 es Py = Qx y ambas derivadas son continuas en 2

Como en el ejemplo anterior, es :

es decir :

Y por tanto : U(x, y) = x3- y cos 2x + 2 y3 +y +C1

La solucin general ser:

x3- y cos 2x + 2 y3 +y = k

3.2 FACTORES INTEGRANTES:

Introduccin:

Sea la ecuacin diferencial:P(x, y) dx +Q(x,y) dy = 0y supngase que no es exacta. Qu hacer entonces?.

Por ejemplo, la ecuacin y dx + 2x dy = 0 no es exacta (aunque con variables separables). Pero si multiplicamos ambos miembros de la misma por y, se transforma en la ecuacin esencialmente equivalente : y2 dx + 2xy dy = 0, que es exacta.

La ecuacin es : d(xy2) = 0.Y su solucin: xy2 = C.Anlogamente multiplicando ambos miembros de la ecuacin dada por , se obtiene la ecuacin casi equivalente , ya exacta (slo se han perdido las soluciones x = 0 e y = 0). Esta ltima ecuacin es: d( ln xy2) = 0. Luego la

solucin es ln(xy2) = k, es decir : xy2 = C tras incorporar las soluciones perdidas.

Definicin:.

Sea la ecuacin diferencial : P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (5), no exacta.Si existe una funcin (x, y), tal que la ecuacin P dx + Q dy = 0, es exacta en un dominio D simplemente conexo, entonces el factor (x, y) recibe el nombre de factor integrante de la ecuacin diferencial (5).

As en el ejemplo de la introduccin, tanto y como son factores integrantes de la ecuacin diferencial y dx + 2x dy = 0.

La ecuacin diferencial obtenida al multiplicar ambos miembros de la ecuacin (5) por un factor integrante, es esencialmente equivalente a la (5). Tiene la misma familia uniparamtrica de soluciones, aunque es posible que se ganen o se pierdan algunas soluciones.

Existencia:

Puede demostrarse que existen factores integrantes de la ecuacin diferencial (5), si y solo si dicha ecuacion es integrable.

(Se omite la demostracin). El problema est en obtenerlos.

Obtencin de los factores integrantes.

Si (x, y) es factor integrante de la ecuacin diferencial (5), entonces la ecuacin (x, y) P(x, y) dx + (x, y) Q(x, y) dy = 0 es exacta en D, lo que equivale a afirmar que :

Es decir : (6)

Esta es la ecuacin diferencial de los factores integrantes.

Toda funcin (x, y) que verifique esta ecuacin es factor integrante de (5) y recprocamente.

Desafortunadamente, esta ecuacin diferencial (6) es una ecuacin en derivadas parciales, en principio de mas difcil resolucin que la dada (5). Pero como nos basta con tener un nico factor integrante, veremos como pueden obtenerse algunos de ciertos tipos especiales, en el caso en que existan.

Expresin general de los factores integrantes

Si (x, y) es factor integrante de (5) y P dx + Q dy = dU, entonces (x, y) (U(x, y)) es tambin factor integrante de (5), cualquiera que sea la funcin integrable .

En efecto: (U) P dx + (U) Q dy = (U) dU = d(U) siendo . Luego (U) es factor integrante de (5).

Recprocamente, puede demostrarse que cualquier factor integrante (x, y) de (5), puede escribirse en la forma = (U).

(Se omite la demostracin). As para la ecuacion diferencial y dx + 2x dy = 0, es factor integrante (x, y) = y, siendo y2 dx + 2xy dy = d(xy2) = dU .

El factor integrante verifica : Sern tambin factores integrantes, por ejemplo: 1 = U = xy3,

, etc.

Ejemplo 13:

Mostrar que (x, y) = xy2 es factor integrante de: (2y 6x) dx + (3x- (4x2)/y) dy = 0.Usar este factor integrante para resolver la ecuacin.

La ecuacin original no es exacta . Tras multiplicar por xy2, la nueva ecuacin diferencial es:(2xy3 6x2y2) dx + (3x2y2- 4 x3y) dy = 0

En esta : P = 2xy3 6x2y2, Q= 3x2y2 4x3y,Luego es exacta y por tanto = xy2 es factor integrante de la ecuacin diferencial dada.

Existe por tanto una U(x,y), tal que en cualquier dominio del plano: P dx + Q dy = dU,

siendo :

Ha de ser: . Es decir :

Por tanto : . Luego: U(x, y) = x2y3 2x3y2 +C

La solucin ser U = K, es decir : x2y3 2x3y2 = k

Al introducir el factor integrante se ha aadido la solucin particular y = 0 que no es solucin de la ecuacin original.

Obtencin del factor integrante en algunos casos especiales

Se ha visto que la ecuacin (6) que da los factores integrantes, es ecuacin en derivadas parciales. Solo ser interesante intentar su resolucin, cuando la ecuacin sea ordinaria, es decir cuando sea funcin de una sola variable.

Existencia y obtencin de un factor integrante de la forma = (x)

Si existe, es: . Y la ecuacin (6) toma la forma :

La condicin para que exista un factor integrante = (x) es que: .

Y entonces, de resulta:

-Existencia y obtencin de factor integrante de la forma = (y)

De forma anloga, si existe un tal = (y), se verifica: y la (6) da lugar a :

Condicin: .Entonces:

Otros tipos:

Para resolver la (6) como ecuacin diferencial ordinaria, ser necesario considerar nicamente soluciones que sean funciones de una nica variable, si existen. Tras los casos (x) y (y) ya estudiados, se cita como otro ejemplo el caso siguiente: Cundo existe y como se obtiene un factor integrante de la forma = (xy)? En este caso es funcin de la variable t = xy.

Puede escribirse : = (t),

En (6) Luego : . Por tanto:

Condicin :

Ejemplo 14:

Sea la ecuacin diferencial (x2- y2) dx + 2xy dy = 0 ( Homognea)

a)Hallar un factor integrante = (x). Integrar la ecuacin diferencial con su ayuda.b) Hallar un factor integrante de la forma:

c) Expresin general de los factores integrantes. Comprobar que el factor integrante del apartado b) satisface a dicha expresin.

d) Conocidas (x) y , escribir de forma inmediata la solucin general de la ecuacin diferencial.

a)Es : .Luego existe = (x)

Adems: Basta tomar

Multiplicando por 1 la ecuacion dada:

es diferencial exacta. Solucin : Es decir: x2 + y2 = Cx

b)Sea

En la (6) : ;

Luego:

En efecto :

Luego : .Un factor integrante ser:1 (t) = (1 + t2)2

Por tanto:

c)Expresin general:

El 1 cumple:

d)Es: . Como los puntos (x, y) de una curva solucin verifican

U(x, y) = k, resulta que dichos puntos cumplen:/ = C

Es decir: