EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

Ej:1) Hallar la solución de: 

1)0(,0' yyy no tiene solución ya que y=0 es la única solución.

2) Hallar la solución de y’= x y(0) =1

Tiene precisamente una solución , a saber,

12

1 2 xy

3) Hallar la solución de xy’=y-1 y(0)=1

Tiene un número infinito de soluciones , a saber y=1+cx donde c es arbitraria.

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

4) El problema del tipo puede tener ninguna, precisamente una, o más de una solución. Esto conduce a plantearse dos  problemas fundamentales.

00 )();,(')( yxtyxfyI

a)     Problema de Existencia. ¿en qué, condiciones un problema con valor inicial de la forma tiene por lo menos una solución .)(I

b)   Problema de Unicidad. ¿en qué condiciones un problema tiene una solución única?

Estas condiciones se rigen por los teoremas de existencia de unicidad, respectivamente.

Las condiciones para la existencia y unicidad de la solución son relativamente sencillas. Si es continua en alguna región del plano xy que contiene al punto.

Entonces el problema tiene por lo menos una solución. Si además, la

)(I

derivada parcial y

f

es continua en una región, entonces el problema tiene)(I

precisamente una solución.

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

 Teorema de existencia.

Si es continua en todos los puntos (x,y) en alguna región R),( yxf

R: para todo

byyaxx 00Kyxf ),( Ryx ),(

entonces tiene como mínimo, una solución00 )();,(' yxYyxfy y(x), la cual está definida por lo menos para todo x en el intervalo

Donde es el menor de los números 0xx Kbya ,

Ecuación de primer orden y de grado “n” con respecto a y’.    

0),('),(....)')(,()'( 11

1 yxpyyxPyyxPy nnnn1)

Resolvemos esta ecuación con respecto a y’. Sean  “2”)(),(');,(' 21 nKyxfyyxfy

Las soluciones reales de la ecuación “1”

El conjunto de las integrales. ”3”

.0),,(1 cyx 0),,(,....0),,(2 cyxcyx k

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

donde (x,y,c)=0 es la integral de la ecuación representa la integral general de la ecuación “1” .

)....1(),(' kiyxfiy  Por lo tanto, por cada punto del dominio en que y’ toma valores reales, pasan

curvas integrales .1 k n

Ej: 1) Resolver la ecuación

0')('2 xyyxyy

Solución: Despejando y’ tenemos

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

222

22

11

22

2

,

'2

)('

1'2

)('

2

2'

2

4)('

cxycxy

y

xy

y

yxxyy

yy

yxxyy

y

yxyxxyy

y

xyyxxyy

Continuando....

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

0)(')2(' 22 xyxyyxy2)

cx

y

xyyyx

y

soluciónlaobtenerdetratecQdxeyeQPydx

dy

siguientelaaplicandoresuelveseecuaciónestayxyyyx

y

yyxy

xyxyxyxyxy

xyxyxyxy

PdxPdx

2

'2

2'

'2

2'

2

2'

2

44442'

2

)(4)2(2'

2

22

11

2

222

22

sustitución

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

Factor de integración en Ec. Diferenciales

1)     02)1( 22 xydydxyx

Sabemos que 2y

xdyydx

y

xd

222

22

222

222

222

22

22

)1(

2)1(

)1(

22

)1(

)22()1(

1

yx

xydydxyx

yx

xydydxxdxydxxdx

yx

ydyxdxxdxyx

yx

xd

Luego vemos que varia en un signo por lo tanto tenemos que romper otra diferencial.

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

222

22

222

222

222

22

22

)1(

2)1(

)1(

22

)1(

)22()1(

1

yx

xydydxyx

yx

xydydxxdxydxxdx

yx

ydyxdxxdxyx

yx

xd

Luego tenemos que 22222

)1(

1/02)1(

yxxydydxyx

/01(

)1(

2)1(

22

222

22

yx

xd

yx

xydydxyx

1

1

1

21

122

22

xxcy

xcyx

cyx

x

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

   2) 0)22()52( 32 dyxxdxyyx

carctgxyx

arctgxdxyd

x

dxxdyydx

xdyx

dxydx

xdyxxdxxy

5*2

/;0)(5)2(

01

522

021

52

1

1/;0)1(25)1(2

2

2

222

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

Ecuaciones diferenciales Transformadas de Laplace.

Se definen en términos de la integral impropia. Recordar la integral de Ricmann.

b

adxxf )( : Si se hacen los límites infinitos.

”1” , para continua , se define

0)( dxxf f ,0

0

)( dxxf R

limR

dxxf0

)( , si dicho límite existe dice que “1” converge

(si no  converge).(De aquí el criterio de convergencia de la integral).

Si el integrado contiene un parámetro, supóngase continua ),( xsf

0 Byxs

Y que la integral converge .

0

),( dxxsf )(s ,s

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

Ej: Encontrar los valores de s para los cuales

0

2 )1()( dxess sxconverge y

encontrar una fórmula para . )(s

Si s=0 , la divergeSi

dxess sx

0

2 )1(0R

lim dxesR sx

0

2 )1(

)1(

1)1( 2 sRe

ss

R

lim

si 0s R

lim0 sRs : límite existe

si 0s lim no existe

Por lo tanto la integral converge 0 s y para otros valores de s :

s

ss

21)(

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

Transformadas de Laplace.

Supóngase que )(xf es función en ,0 tal que dxxfe sx )(0

converge para algunos valores de s.

Esta integral depende y de s. se puede determinar una función)(xf

,asociada con tal que))(( xfL )(xf

dxxfexfL sx )())((0 , para esos valores de s para los cuales la integral converge.

se llama la Transformada de Laplace de.

NOTA: L es un operador.Propiedades

))(())(())()(( xbLxfaLxbxafL 1)

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

2) si f y son continuas en ,0 y ))((2))(( xxfL entonces )()( xxf

3) si es continua en y entonces existe en s. Si ' ,0x

lim0)( xfe sx ))(( xfL

Y sólo si existe en s y.

))(( xfL

4) (como lo del anterior) Supongamos continua en y sí f ,0 x

dtxfxF0

)()(

existe entonces, existe y = , ))(( xfLx

lim0)( xFe sx))(( xfL ))(( xfL ))((

1xfL

s

que significa lo mismo que

xxfL

sdtxfL

0))((

1)(

1)     1)demostrar que para s

L1

)1( 0s

Dem: dxeL sx1)1(

0 R

lim dxeR sx

0

dxd

x

sx

sx

es

ed

1

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

=

R

lim

dxess

xe R sx

Rsx

00

1

rsx

sR

ess 0

2

1Re

=

R

lim

2

sR-2

11

1

se

s

R

lim=

 Otra forma de hacerlo.

Aplicando propiedad “4” se tiene

Sea 1)( xf

x

sxFxdtxf0

0);()(

xlim

)(xFe sx

xlim 0 sxxe

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

2

1)1(

1)(

)))(((1

))((

sL

sxL

xfLLs

xfL

Análogamente si , entonces xxf 2)( 2)( xxF

y xlim

)(xFe sx

xlim 02 xe sx

322 21

*2

)(2

)2(1

)(sss

xLs

xLs

xL

NOTA: Las transformadas de pueden calcularse como anteriormente .

,.....)3,2,1( nxn

IEC. DIFERENCIAL

Presione Enter

Ejercicios:

1)     resolver

4

21))((4)0(')0())((

)()())((4))(''(

)()4''(

0)0(')0(;24''

222

ssxyLysyxyLs

senxLxLxyLxyL

senxxLyyL

yyxsenxyy

22

122

1

)4(

12

)4(

1)(

sL

ssLxy

A B 

Por “15” : xxxB 2cos22sen8

1

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

)4(

44)()(

)4(

44

4)4(

1

22

23

22

2323

2222

ss

BAssDBscA

ss

DscsBBsAsAs

s

Dcs

s

B

s

A

ssA

14

04

0

0

B

A

DB

cA

4

1

04

1

0

D

C

B

A

)4(4

1

4

122

ss

A

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

por “2” y “9” se tiene

xxxsenxsenxBAy

xsenxA

2cos4

12

8

12

8

1

4

1

28

1

4

1

xxxy 2cos4

1

4

1

1)     Resolver la ecuación:

0322

2

ydx

dy

ax

yd

Se puede resolver utilizando la ecuación auxiliar.

Presione Enter

13

0)1)(3(

032

21

2

d

EC. DIFERENCIAL

Según la solución general

xx ececy 2121

xx ececy 2

31

1)    

05'4'' yyy3)

 Ecuación algebraica característica.

Presione Enter

EC. DIFERENCIAL

)(

2

2

542

054

212

)2(2

)2(1

2

1

2

ixixx

xixi

ececey

ececy

i

i

Se puede aplicar la relación de Euler.

isenxccxccey

isenxxcisenxxcey

isenxxe

isenxxe

x

x

ix

ix

)(cos)(

)(cos)(cos

cos

cos

21212

212

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

Sea 121 Kcc

221 )( Kicc

)sencos( 212 xKxKey x

4) xyyY sen58'2''

xx ececYh

yhhyhY

42

21

21 4;2

811

08'2''

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

senxABxBAsenx

senxxBAsenx

BsenxxAxBAsenxYhpYpY

xBAsenxpY

BsenxxApY

xBAsenxYp

5)29(cos)29(

5cos88

)cos(2cos8'2''

cos''

cos'

cos

092

529

BA

BA2                  

17

9

85

45

458517

2

85

10

1085

A

A

B

xxececY xx cos17

2sen

17

942

21

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

Ecuación lineal homogénea de 2º orden con coeficientes constantes:

“1” 0''' byayY con a y b ctes.Sean y dos números tales que:1 2

b

a

21

21

“2”

Estos números están bien determinados, ya que cumplen dos condiciones  independientes entre sí. Para determinarlo bastaría resolver el sistema “2”. Reemplazando “2” en “1”.

0')('' 2121 yyY

0)'(''' 121 yyyyY ”3” Sea yY 1' “4”

Siendo “ ” función de x ; ) (x

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

'''' 1YY Reemplazando en “3” se tiene:

que es una ecuación de 1ª orden para .0' 2

Tiene como solución general

xKe 2 “5”

“5” en “4”

x

xxx

x

eyY

yeeYeY

KeYY

1

11

2

)'(

)('*

**)'(

'

1

1

1

Es el primer miembro de nuestra ecuación diferencial.

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

xxx

xx

ekyeeY

eekyY

)(11

11

1211

1

2

'

**'

Integramos respuesta a “x”  

xx

xxx

xx

eKeK

Y

eKe

KYe

KdxeKdxey

12

1

121

121

212

2)(

12

2)(

1'*

Sea 212

112 c

KcK

xx ececY 2121

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

 Casos particulares:

a) 02

2

ba 21

b) 0

2

2

ba IR 21

c) 02

2

ba son complejas conjugadas.

Como b) ..Sí 21

Se tiene: 0''' bYaYY21 y

b

a

21

21

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

2)(

21

1

)(1

)(11

11

1

2

1

1

121

121

211

211

2111

1

2

2

'

)('

'

0'

''''

'.

0)'('''

0')(''

KeK

ye

dxekdxye

Kyeey

eeKyy

eK

yy

yySea

yyyy

yyy

xx

xx

xxx

xx

x

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

Siempre que 21

Si quede 21

dxKdxye x1'

xx

eKxKye

21

21 KxKey x

1)     Resolver:

2354''3''' 23 xxyyy

Ec. Característica.

0)1()2(

043

04''3'''

2

23

yhhyhy

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

1

2

2

3

2

1

xxx ececxecyh 32

22

1

Solución particular

2354466)184(44

23544446186

6'''

26''

23'

2323

2323

2

23

xxDBBAACxBxAx

xxDCxBxAxBAxA

Apy

BAxpy

CBxAxpy

DCxBxAxyp

EC. DIFERENCIAL

Presione Enter

34

2466

0184

54

B

DBA

AC

A

4

454

34

5

C

B

A

8

11

4

45

4

3

4

5 23 xxxyp

2

1

4

45

4

3

4

5 233

22

21 xxxececxecy xxx

EC. DIFERENCIAL

Click aquí para ir a inicio Presione Enter para salir