Transformaciones geomtricas. Polgonos ytangencias: Curvas cclicas

En este ltimo tema vamos a estudiar las curvas cclicas.Su trazado est basado en las tangencias (exteriores e interiores), en las transformacionesisomtricas (traslacin, giros y simetra) y en la rectificacin y divisin de la circunferencias.As pues, debers repasar estos contenidos y procedimientos desarrollados en el curso pasado.

Las aplicaciones de estas curvas son diversas (mecnicas, fsicas, etc..) y las describiremos en lossiguientes apartados.Como ejemplo te mostramos en el siguiente vdeo una de ellas: el pndulo de Foucault del Museode la Ciencia de Valladolid, una esfera que describe curvas cclicas y mediante el cual quedademostrada la rotacin de la Tierra.

1. Generalidades

Todas las curvas cclicas estn formadas por la trayectoria que describe un punto de una lneamvil (circunferencia o recta) que rueda sin resbalar sobre otra fija.

En este apartado estudiaremos sus propiedades y clasificacin as como los trazados auxiliaresimprescindibles para su dibujo.

La principal aplicacin de este tipo de lneas es la mecnica, por esto tambin se lesdenomina lneas de rodadura o mecnicas.

Actividad

1.1. Propiedades y clasificacin

PROPIEDADES.

Una curva cclica es el lugar geomtrico de un punto que est relacionado con una circunferenciao recta (siempre se encuentra en la misma posicin respecto a sta), que rueda si resbalar sobreotra circunferencia o recta.La lnea que genera este punto en movimiento est formada por las infinitas posiciones de estepunto mvil.

Elementos.

En las curvas cclicas intervienen dos elementos, tangentes entre s:

Ruleta: elemento mvil, puede ser una recta o una circunferencia.Directriz: elemento fijo, el camino sobre el que rueda la ruleta. Puede ser una recta o una

circunferencia.

En la animacin inferior puedes ver cmo se genera una cicloide, su ruleta es una circunferenciatangente a una recta directriz.

Si la ruleta es circular podr ser exterior o interior a la base segn donde seproduzca el rodamiento.

Si la ruleta es una recta ser siempre exterior.

Actividad

CLASIFICACIN.

Atendiendo a la tangencia entre la ruleta y la directriz podemos clasificar a las curvas cclicas endos grupos:

Tangencia entre circunferencia y recta.

Tangencia entre circunferencias.

En la siguiente animacin puedes ver dicha clasificacin as como los elementos de las curvas.

Epicicloide e Hipocicloide, clculo del ngulo de la circunferencia directriz.

El ngulo central que delimita el desarrollo de la ruleta se determina aplicando la frmula:

Ejemplo: ngulo central de una epicicloide, radio de la ruleta 30 mm, radio de la directriz 90 mm.

Si quieres calcular el ngulo del arco directriz puedes usar la siguiente aplicacin:

Introduce el radio de la RULETA:

Introduce el radio de la DIRECTRIZ:

Calcular Limpiar

ngulo central: o (centesimal)

En una Hipocicloide el radio de la ruleta mide 40 mm y el ngulo central es de180. Qu longitud tiene el radio de la circunferencia directriz?

60 mm.

80 mm.

90 mm.

Pregunta de Eleccin Mltiple

1.2. Trazados auxiliares

RECTIFICACIN DE LA CIRCUNFERENCIA

En el curso pasado aprendimos a rectificar una circunferencia mediante el mtodo de Arqumedes,puedes verlo en este enlace.Existen otros mtodos de dibujo ms complejo; pero con resultado ms exacto si el trazado escorrecto, de entre todos ellos hemos escogido el de Kochavski; est basado en la divisin de unacircunferencia en seis partes iguales y es bastante exacto ya que su error es de cienmilsimas deradio

En la siguiente animacin te mostramos el procedimiento.

Recuerda que matemticamente la longitud de una circunferencia se calculaaplicando la frmula , siendo r el radio de dicha circunferencia.

DIVISIN DE UN NGULO EN PARTES IGUALES.

La divisin exacta de un ngulo cualquiera, y de su arco, se puede lograr siempre esta sea igual aldoble de la anterior: 2, 4, 8, 16, 32.. As pues, si queremos dividir un ngulo en un nmerocualquiera de partes iguales, como en el caso de la circunferencia, solamente obtendremos unaaproximacin.Dependiendo de la amplitud del ngulo a dividir debemos aplicar dos mtodos: el primero para

Actividad

valores de entre 180 y menores y el segundo para valores mayores de 180.

1. Menor o o igual a 180. En la animacin inferior puedes cmo se divide un ngulo agudoen cinco (5) partes iguales.

2. Mayor de 180Lgicamente este procedimiento est basado en la divisin de la circunferencia. En lasiguiente animacin te mostramos el procedimiento.

En la imagen de laizquierda puedes vercmo se ha dividido unngulo de 150 en diezpartes iguales.Tienes que realizar esteejercicio aplicando loscontenidos yprocedimientosdesarrollados en esteapartado (divisin de unngulo menor de 180).Una vez finalizado eldibujo comprueba laexactitud del trazado conel transportador dengulos.Material necesario:

Lpiz blando yduro.

Comps.

cartabn).

Hojas para realizartrazados de prueba.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

2. Recta y Circunferencia

La envolvente de la circunferencia y la cicloide estn basadas en la tangencia entre recta ycircunferencia.Por su sencillez de trazado, este tipo de curvas se utiliza en el diseo de engranajes y de ruedasdentadas ya que gracias a ellas se disminuye la superficie de rozamiento entre dientes, lo quepermite una mayor resistencia y un mecanizado ms fcil. En la imagen superior te mostramos la construccin de una cicloide.

Antes de empezar disfruta con esta animacin en al que intervienen varios tipos de engranajes

2.1. Envolvente de la circunferencia

Para trazar la envolvente de la circunferencia es preciso que repases las nociones sobre larectificacin de una circunferencia.En la imagen superior puedes ver el dibujo de una envolvente, observa cmo en las rectastangentes a la circunferencia directriz su longitud va disminuyendo de manera progresiva.

A mayor nmero de divisiones de la circunferencia ruleta, y por tanto de ladirectriz, ms facilidad y precisin de trazado en el dibujo de la curva.

En la imagen de la izquierda(archivo de WikimediaCommons, un depsito decontenido libre hospedado porla Fundacin Wikimedia)puedes ver un ejemplo deaplicacin de la envolvente enel diseo de los dientes de unarueda dentada.

Actividad

Objetivos

Trazado

El dibujo de la envolvente no debe presentar dificultad alguna, ya que los conceptos yprocedimientos corresponden al curso pasado. El nmero de divisiones de la circunferencia,nosotros recomendamos doce (12), condiciona los puntos que obtengas para el posterior trazadode la curva.

En la siguiente animacin te mostramos su trazado de manera detallada.

2.2. Cicloide

Como en el caso de la envolvente de la circunferencia, para poder trazar la cicloide debes repasarlos conceptos y procedimientos sobre rectificacin y tangencia.Segn la disposicin del punto generador respecto de la circunferencia ruleta, podemos distinguirtres tipos de cicloides:

Normal: el punto generador est contenido en la circunferencia ruleta.Acortada: el punto generador est contenido en el radio de la circunferencia ruleta a una

distancia menor (punto interior).Alargada: el punto generador est contenido en el radio de la circunferencia ruleta a una

distancia mayor (punto exterior)

En la imagen superior puedes ver los tres tipos.

Para la notacin de los puntos de las cicloides que vamos a determinar usaremos laletra C, quedando de la siguiente manera:

Normal: C.Acortada: C'Alargada: C''.

TRAZADO.

El dato inicial es el dimetro de la circunferencia ruleta, a partir de l obtenemos mediante surectificacin y divisin, los puntos de la cicloide.Recuerda que el nmero de divisiones de la circunferencia, nosotros recomendamos doce (12),est relacionado con los puntos que obtengas para el posterior trazado de la curva.

Importante

Normal.En la siguiente animacin puedes ver cmo se dibuja este tipo de cicloide.

Acortada.Para poder dibujarla debemos partir de la disposicin de los puntos de una cicloide normal, notienes que trazar la curva, la distancia que se recorta puede ser cualquiera, para facilitar eltrazado te recomendamos que uses una magnitud de fcil manejo.En la animacin inferior te mostramos el trazado de una cicloide acortada, lgicamente hemosomitido parte del trazado de la normal.Al final de la animacin puedes comparar este tipo de cicloide con la normal.

Alargada.Como en el caso anterior, en el trazado de este tipo de curvas es preciso situar los puntos deuna cicloide normal y determinar la magnitud de alargue del radio de la ruleta, de manera quete permita un dibujo cmodo.En la siguiente animacin puedes ver su trazado, en este caso tambin hemos suprimido partedel trazado de la normal.Al final puedes comparar la cicloide alargada con la normal.

Curvas trigonomtricas, grfica del seno.

Son la representacin grfica de funciones trigonomtricas: seno, coseno ytangente.Su dibujo est basado en el trazado de la cicloide, ya que partimos de la divisin yrectificacin de una circunferencia generatriz.

Para representar este tipo de curvas recurrimos a un sistema cartesiano (ejes x, y).

En la siguiente animacin puedes ver cmo se representa la grfica del seno,denominada tambin senoide o sinusoide.

Objetivos

En el siguiente vdeo puedes ver las propiedades de la cicloide, este experimento hasido realizado y filmado en el IES Historiador Chabs de Dnia por los profesoresJuan Bragado, Jose Luis Ronda y Juan Luis Lpez en presencia de alumnos de loscursos 3 ESOD y 4 ESOC el 13 de Mayo de 2011.

Pre-conocimiento

En la imagen superior puedes ver el punto interseccin (C) de las cicloides de dos ciconcntricas.Te pedimos que determines dicho punto C sabiendo que los radios de las circunferenciamm y OB = 15 mm.Para resolverlo debes de aplicar el mtodo explicado para dibujar la cicloide normal.Material necesario:

Lpiz blando y duro.

Plantilla de dibujo (escuadra y cartabn).

Hojas para realizar trazados de prueba.

Este ejercicio debes realizarlo en una hoja formato A4.

3. Circunferencias

El trazado de la epicicloide y la hipocicloide est fundamentado en la tangencia entrecircunferencias.En el primer apartado hemos estudiado los elementos de estas curvas cclicas y cmo sedetermina el ngulo de la curva directriz.

Ahora aprenderemos a dibujarlas aplicando los conceptos y procedimientos sobre el trazado detangencias.

En las animaciones inferiores, archivo de Wikimedia Commons, un depsito de contenido librehospedado por la Fundacin Wikimedia) puedes ver la trayectoria de estas curvas cclicas.

Imagen izquierda: epicicloide.

Imagen derecha: hipocicloide.

3.1. Epicicloide

La ruleta y la directriz de una epicicloide son curvas tangentes exteriores, as pues, debemosrepasar los contenidos y procedimientos sobre este tipo de tangencias.Como ocurre con la cicloide, la epicicloide puede ser de tres tipos: normal , acortada y alargada.En la imagen superior puedes ver las tres clases de epicicloides.

Para la notacin de los puntos de las epicicloides que vamos a determinar usaremosla letra E, quedando de la siguiente manera:

Normal: C.Acortada: C'Alargada: C''.

TRAZADO.

Importante

Para poder dibujar esta cueva necesitamos conocer el dimetro de la circunferencia ruleta ydirectriz, a partir de estos datos calculamos el ngulo de esta ltima circunferencia, quegeneralmente es un arco.Normalmente el radio de la ruleta es menor que el de la directriz.Su trazado es parecido al de la cicloide, aunque un poco ms complicado ya que debemosrectificar uno de los arcos en que queda dividida la ruleta para poder curvarla sobre la directriz,logrando de esta manera ubicar la posicin del punto de la ruleta en su recorrido sobre la curvadirectriz.

Normal.En la siguiente animacin puedes ver cmo se traza una epicicloide normal, como losdimetros de la ruleta y la directriz estn en proporcin a , esta ltima resuelta ser unasemicircunferencia.

Acortada.Para poder dibujarla debemos partir de la disposicin de los puntos de una epicicloide normal,no tienes que trazar la curva, la distancia que se recorta puede ser cualquiera, para facilitar eltrazado te recomendamos que uses una magnitud de fcil manejo.En la animacin inferior te mostramos el trazado de una epicicloide acortada, lgicamentehemos omitido parte del trazado de la normal.Al final de la animacin puedes comparar este tipo de epicicloide con la normal.

Alargada.Como en el caso anterior, en el trazado de este tipo de curvas es preciso situar los puntos deuna epicicloide normal y determinar la magnitud de alargue del radio de la ruleta, de maneraque te permita un dibujo cmodo.En la siguiente animacin puedes ver su trazado, en este caso tambin hemos suprimido partedel trazado de la normal.Al final puedes comparar la epicicloide alargada con la normal.

Otras epicicloides.

En una epicicloide el radio de la circunferencia ruleta debe de ser, generalmente,menor que el radio de la circunferencia directriz; sin embargo, la proporcin entreambos radios pueden variar, dando lugar a tres casos particulares:

Cardioide: el radio de la ruleta es igual al de la circunferencia directriz.

Lumaca de Pascal: el radio de la ruleta es mayor al de la circunferenciadirectriz.

Neforide: el radio de la ruleta es igual a la mitad de la circunferenciadirectriz.

En la animacin inferior puedes ver cmo se genera una cardioide (del griego kardia= corazn y eidos = forma), los puntos de la curva se han obtenido dividiendo lacircunferencia directriz en ocho (8) partes iguales.

Objetivos

En el vdeo inferior puedes ver una reproduccin virtual de lo que sucede en unacaja de cambios automtica de cuatro velocidades, formada por un conjunto de dostrenes epicicloidales combinados con frenos y embragues, observa cmo solamentese desplazan los frenos o los embragues, facilitando la durabilidad del sistema.

Pre-conocimiento

puedes vercmo se hadibujado unaepicicloidenormal.Te pedimosque tracesdicha curvacclica,determinadodoce (12)puntos, con lossiguientesdatos:

Radio dela ruleta =30 mm.

Radio dela directriz= 80 mm.

Para realizareste ejerciciodebes repasarlos contenidosyprocedimientosnecesariospara calcularel ngulo delarco directriz ydividirlo enpartes iguales.Materialnecesario:

Lpizblando yduro.

Comps.

Plantillade dibujo(escuadraycartabn).

Hojaspararealizartrazadosdeprueba.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

3.2. Hipocicloide

En la hipocicloide la ruleta y la directriz son curvas tangentes interiores, por tanto, para sutrazado debemos repasar los contenidos y procedimientos sobre este tipo de tangencias.Como ocurre con la cicloide y la epicicloide, la hipocicloide puede ser de tres tipos: normal ,acortada y alargada.En la imagen superior puedes ver las tres clases de hipocicloides.

Para la notacin de los puntos de las Hipocicloides que vamos a determinarusaremos la letra H, quedando de la siguiente manera:

Normal: C.Acortada: C'Alargada: C''.

TRAZADO.

Normal.En la siguiente animacin puedes ver cmo se traza una hipocicloide normal, como losdimetros de la ruleta y la directriz estn en proporcin a 1/3 esta ltima resuelta ser un arcode 120.

Actividad

Acortada.Para poder dibujarla debemos partir de la disposicin de los puntos de una hipocicloidenormal, no tienes que trazar la curva, la distancia que se recorta puede ser cualquiera, parafacilitar el trazado te recomendamos que uses una magnitud de fcil manejo.En la animacin inferior te mostramos el trazado de una hipocicloide acortada, lgicamentehemos omitido parte del trazado de la normal.Puedes comparar este tipo de hipocicloide con la normal que aparece representada por debajode la acortada.

Alargada.Como en el caso anterior, en el trazado de este tipo de curvas es preciso situar los puntos deuna hipocicloide normal y determinar la magnitud de alargue del radio de la ruleta, de maneraque te permita un dibujo cmodo.En la siguiente animacin puedes ver su trazado, en este caso tambin hemos suprimido partedel trazado de la normal.La hipocicloide normal aparece representada por encima de la alargada.

En el siguiente vdeo te mostramos el movimiento de un cigeal y suscorrespondientes pistones, observa cmo su trayectoria est basada en unahipocicloide.

Pre-conocimiento

En la imagende la izquierdapuedes vercmo se hadibujado unahipocicloidenormal.Te pedimosque tracesdicha curvacclica,determinadodoce (12)puntos, con lossiguientesdatos:

Radio dela ruleta =30 mm.

Radio de

Para realizareste ejerciciodebes repasarlos contenidosyprocedimientosnecesariospara calcularel ngulo delarco directriz ydividirlo enpartes iguales.Materialnecesario:

Lpizblando yduro.

Comps.

Plantillade dibujo(escuadraycartabn).

Hojaspararealizartrazadosde prueba.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

4. Qcad. Practica lo aprendido

En este tema se nos abre una nueva necesidad de trazado, no muy comn, pero que s queaparece en algunas ocasiones. Se trata del dibujo de lneas curvas, como las envolventes, quedeben pasar por diversos puntos y que no conforman un arco de circunferencia.

Las curvas envolventes las solucionaremos con la herramienta Spline, que no hemos usado hastaahora y que veremos aqu cmo usar.

4.1. Envolvente de la circunferencia

Comenzaremos por ver en qu consisten las spline.

La herramienta Spline de QCAD se usa para dibujar un tipo de curva suavizada (lisa) que no esuna lnea recta, arco o arco elptico. La curva es lisa y sigue siendo lisa cuando el spline esmodificado. Nunca habr esquinas u ondas imperfectas en una curva spline. Cada vez que se haceclic con esta herramienta se establece un nodo o punto de control modificable, que define untrayecto de la curva.

Las spline pueden ser cerradas (la curva final se cerrar automticamente al finalizar el trazado)o abiertas. Adems las podremos definir de grado 2 o grado 3, para establecer el nivel desuavizado de la curva, siendo ms suave la de grado 3.

En la imagen de la derecha podemos ver que elacceso al trazado de las splines est en el menprincipal de herramientas de QCad. Una vez trazadala spline, al ser seleccionada se marcarn los nodosde la misma para hacer posible su edicin (cambiode ubicacin).

Envolvente de la circunferencia

Veremos en la siguiente animacin el uso de las splines para el trazado de la envolvente de unacircunferencia de 25 mm de radio.

4.2. Epicicloide

Vamos a ver en la siguiente animacin cmo trazar una epicicloide normal dadas unacircunferencia directriz de 50 mm de radio y un ruleta de 25 mm de radio.

La ltima versin (3.0) del programa QCad, an no completamente finalizada, tieneuna nueva herramienta que permite trazar las splines pasando directamente por lospuntos de referencia, que en este caso los llaman puntos de control, lo que evitatener que proceder a editar a mano los nodos para este tipo de trazados.

En la siguiente imagen puedes ver las dos herramientas para generar splines enesta nueva versin del programa.

Actividad