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ADMINISTRACIN BANCARIA Y
FINANCIERA
ADMINISTRACIN DE NEGOCIOS
INTERNACIONALES
MATEMTICA
UNIDAD 4 DERIVADAS
PROFESOR:
FREDDY BEGAZO ZEGARRA
AREQUIPA - 2014
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Nmeros Reales Unidad II
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CONTENIDOS
Introduccin
. 03
Definicin de la derivada
. 04
Reglas de derivacin . 05
Anlisis Marginal . 06
Regla de la cadena . 09
Propiedades de la derivada de funciones
logaritmo y exponencial . 11
Derivadas de orden superior . 12
Bibliografa . 14
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Nmeros Reales Unidad II
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INTRODUCCIN
En los Negocios Internacionales un elemento fundamental es el manejo
adecuado de los envases y embalajes, para lograr as una gestin eficiente en la
cadena logstica, que permita brindarle a los productos una mayor seguridad y
proteccin.
En esta primera unidad para poder lograr lo antes mencionado debemos tomar
en cuenta la factores y riesgos del manipuleo de carga, los cuales varan en cada
una de las operaciones de negocios internacionales, el primer factor de esta variacin
se debe a la naturaleza de la carga por esto se entiende si la carga es considerada
como Perecedera, Seca, Frgil, Alto Valor y Peligrosa.
El segundo factor a tomar en cuenta es el tipo de carga segn la forma de
envo de la misma, pudiendo ser carga a Granel y Unitarizada, este anlisis nos
permitir elegir el mejor medio para la proteccin de la carga y entrega en los plazos
establecidos, siempre debemos de tomar en cuenta que la eficiencia en la cadena
logstica se mide en tiempo y no en costos.
Como tercer factor debemos comprender y aplicar los conceptos fundamentales
relacionados con los pesos y dimensiones de la carga como son peso neto, peso
bruto, peso volumen y cubicaje con estos datos lograremos determinar el factor
de estiba ms adecuado, factor que nos permitir conocer como estibar la
mercadera en los diferentes tipos de contenedores que se utilizan actualmente en
los negocios internacionales.
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DERIVADAS
1. Definicin de la derivada
Sea )(xfy una funcin. La derivada de y con respecto a x , denotada por dxdy / , se
define por
x
xfxxfLm
dx
dy
x
)()(
0
La operacin de calcular una derivada es llamada diferenciacin. Si la derivada de una funcin existe en un punto particular, decimos que y es diferenciable en
tal punto.
La derivada de )(xfy con respecto a x tambin se denota por uno de los siguientes
smbolos:
)(;);(;;)( xfyfdx
d
dx
dfy
dx
d
1.1. Interpretacin geomtrica: Si ))(;( xfxP y xxfxxQ ; son los puntos sobre la grfica de )(xfy , entonces la razn
x
xfxxf
x
y
)()(
Representa la pendiente del segmento PQ , a medida que x se hace ms pequeo, el
punto Q se aproxima cada vez ms a P y el segmento secante PQ est cada vez ms
cerca de ser tangente. Cuando 0x , la pendiente de la secante PQ se aproxima a
la pendiente de la lnea tangente en P . As que
dx
dy
x
yLmx
0
Representa la pendiente de la lnea tangente a )(xfy en el punto ))(;( xfxP
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2. Reglas de derivacin:
Sean las funciones )();( xgxf y las constantes kc; se tiene:
a) cxf )( entonces 0)( xf
b) nxxf )( entonces 1)( nnxxf
c) nkxxf )( entonces 1)( nknxxf
d) )()()( xgxfxf entonces )()()( xgxfxf
e) )()()( xgxfxf entonces )()()()()( xgxfxgxfxf
f)
)(
)()(
xg
xfxf entonces
)(
)()()()()(
2 xg
xgxfxgxfxf
Ejemplo:
Halle la derivada de las funciones siguientes.
12)() xfa
0)( xf
43)() xxfb
312)( xxf
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2453)() 24 xxxxfc
41012)( 3 xxxf
1
23)()
x
xxfc
2
2
2
1
16)(
1
2313)(
1
123123)(
x
xxf
x
xxxf
x
xxxxxf
3. Anlisis Marginal:
En la aplicacin de la derivada en administracin y la economa la palabra marginal se utiliza para indicar la derivada de funciones econmicas.
1. Costo marginal: Consideremos el costo requerido para producir un producto o realizar un servicio.
Si )(xC es el costo por la produccin de x artculos o unidades, se define el
costo marginal como la derivada )(xC .
Ejemplo:
El fabricante de cierto producto ha determinado que para producir x unidades
de este producto en la semana, est dado por 2002.0250)( xxC soles,
Por ejemplo si se producen 120 unidades el costo est dado por:
soles125
)120(002.0250)120( 2
C
Si calculamos la derivada de la funcin:
xxC 004.0)(
Calculamos el costo marginal con 100x
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4.0)100( C
Lo cual nos dice que al incrementar una unidad en la produccin de la semana el costo disminuye en 0.4 soles, debera entenderse en particular que si se produce
la unidad 101 el costo disminuye en 0.4 soles
2. Ingreso Marginal
Ahora consideremos los ingresos derivados de la venta de un producto o
servicios de una empresa. Si )(xR denota el ingreso en dlares por la venta de
x artculos, definimos el ingreso marginal como la derivada )(xR
Ejemplo:
Si la funcin de ingreso est dada por 201.010)( xxxR , en soles, donde xes
el nmero de artculos vendidos, determine el ingreso marginal. Evale el ingreso marginal cuando x=200
Calculamos la derivada de la funcin:
xxR 02.010)(
Calculamos el ingreso marginal con 200x
6)200( R
El resultado nos indica que al incrementar en una unidad las ventas el ingreso incrementa en 6 soles.
3. Ingreso Marginal
La utilidad que una empresa obtiene est dada por la diferencia entre sus
ingresos y sus costos. Si la funcin de ingreso es )(xR cuando se venden x
artculos y si la funcin de costo es )(xC al producirse esos mismos x artculos,
entonces la utilidad )(xU que se obtiene por producir y vender x artculos est
dado por:
)()()( xCxRxU
La derivada )(xU se denomina la utilidad marginal. Representa la utilidad
adicional por artculo si la produccin sufre un pequeo incremento.
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Ejemplo:
La ecuacin de demanda de cierto artculo es 801.0 xp y la funcin de costo
es xxC 205000)( , en dlares. Calcule la utilidad marginal cuando se
producen y venden 150 unidades y tambin en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades.
La funcin de ingreso est dada por:
21.080)1.080()( xxxxxpxR
La utilidad generada por la produccin y venta de x artculos est dada por:
5000601.0)(
2050001.080)(
)()()(
2
2
xxxU
xxxxU
xCxRxU
Determinamos la utilidad marginal
602.0)( xxU
Evaluando
S 150x , tenemos
30)150(
60)150(2.0)150(
U
U
Cuando se produce 150 unidades, la utilidad marginal, la utilidad extra por
unidad adicional cuando la produccin se incrementa en una unidad es de $30
S 400x , tenemos
20)400(
60)400(2.0)400(
U
U
Cuando se produce 400 unidades, la utilidad marginal, la utilidad decrece en $20
cuando la produccin se incrementa en una unidad.
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4. Regla de la cadena:
Sea )(ufy una funcin de u y )(xgu una funcin de x entonces se puede escribir
)(xgfy que es la funcin compuesta de f y g . Las derivadas de funciones compuestas pueden calcularse mediante la llamada regla de la cadena.
Regla de la cadena: Si )(ufy una funcin de u y )(xgu una funcin de x entonces:
dx
du
du
dy
dx
dy
Ejemplo:
Halle dx
dy cuando
52 )1( xy
Empleando la regla de la cadena, tenemos; que y puede expresarse como la
composicin de dos funciones, donde:
5uy Donde 12 xu , se sigue
45udu
dy Y x
dx
du2
Por la regla de la cadena
42
42
4
110
215
25
xxdx
dy
xxdx
dy
xudx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
Si )(ufy otra manera de escribir la regla de la cadena es:
dx
duuf
dx
dy)(
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En particular si 1)(;)( nn nuufuuf , as tenemos el siguiente caso de la regla de la
cadena.
Si nxuy )( entonces dx
dunu
dx
dy n 1
Ejemplo:
Halle dx
dy cuando
52 )1( xy
Considerando la propiedad nxuy )( entonces dx
dunu
dx
dy n 1
52 )1( xy
42
42
242
)1(10
2)1(5
1)1(5
xxdx
dy
xxdx
dy
dx
xdx
dx
dy
Ejemplo:
133)( xxf
132
9)(
3)13(2
3)(
133)(
2/1
2/1
xxf
xxf
xxf
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5. Propiedades de derivadas de funciones exponenciales y logartmicas:
a) xexf )( entonces xexf )(
b) kxexf )( entonces kxkexf )(
c) )()( xuexf entonces )()()( xuexuxf
d) )ln()( xxf entonces x
xf1
)(
e) ))(ln()( xuxf entonces )(
)()(
xu
xuxf
Ejemplo:
Halle la derivada de las siguientes funciones:
14ln)() 2 xxxfa
14
42)(
2
xx
xxf
3 213ln)() xxfb
13
2)(
13
3
3
2)(
13ln3
2)(
13ln)(3/2
xxf
xxf
xxf
xxf
xxexfc 42
)()
xx
xx
exxf
exxxf
4
42
2
2
42)(
4)(
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xexfd x 21ln)() 12
xxxexf
xexexxf
xexexf
x
xx
xx
21
221ln2)(
21
221ln2)(
21ln21ln)(
1
11
11
2
22
22
6. Derivadas de orden superior:
Si )(xf es una funcin diferenciable, su derivada se conoce como la segunda derivada de y
con respecto a x . Si la segunda derivada es una funcin diferenciable, su derivada se denomina la tercera derivada de y y as sucesivamente.
Las derivadas de orden superior se denotan de la siguiente manera.
)()()()(
...
...
)(
3
3
2
2
xfxfxfxf
yyyy
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
dy
n
n
n
n
Ejemplo:
Halle las derivadas indicadas:
)(;1434)() 25 xfxxxxfa
68)(
4620)(
3
4
xxf
xxxf
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fexfb x ;)() 32
23
33
33
3
42)(
222)(
22)(
2)(
2
22
22
2
xexf
xexexf
exexxf
xexf
x
xx
xx
x
)();ln()() xfxxfc
3
3
2
1
2)(
2)(
)1()(
)(
1)(
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
Ejemplo:
Dada la funcin de costo: 1000403.0001.0)( 23 xxxxC
El costo marginal es 406.0003.0)( 2 xxxC
La segunda derivada es 6.0006.0)( xxC
Si 150x , el costo marginal es 5.17)150( C , as mismo 3.0)150( C
Se interpreta que por cada unidad adicional producida conduce a un incremento de 0.3 en el costo marginal.
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BIBLIOGRAFA
- Matemticas aplicadas a la Administracin Arya / Lardner / Ibarra 5 Edicin
2009
- Anlisis Matemtico I Eduardo Espinoza Ramos 4 edicin 2005