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Docente: ing. Mónica Laurent león Juárez
Wilian Joselito ramos Pérez semestre 5
Recuperación: 3 semestres de innovación agrícola
Unidad IV
Series
4.1 Definición de serie.
4.1.1 Finita.
4.1.2 Infinita.
4.2 Serie numérica y convergencia.
4.3 Serie de potencias.
4.4 Radio de convergencia.
4.5 Serie de Taylor.
4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.
4.1 Definición de serie.
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En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión.
Se representa una serie con términos ai como, donde N es el índice final de la serie.
4.1.1 Finita.
Cuando N es finita, hace referencia a una serie finita.
4.1.2 Infinita.
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.
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4.2 Serie numérica y convergencia.
4.3 Serie de potencias.
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
En el cual el centro es c, y los coeficientes an son los términos de una sucesión.
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4.4 Radio de convergencia.
Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma
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Con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que
| x − x0 | < r
donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo
(x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r =
4.5 Serie de Taylor.
En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:
La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
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Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
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4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.
Función exponencial y logaritmo natural
Serie geométrica
Teorema del binomio
para
y cualquier complejo
Funciones trigonométricas
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Donde Bs son los Números de Bernoulli.
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Referencias
James – Stewart Cálculo de una variable. Edit. Thomson Editores.
Swokowski Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. Roland E. Hostetler Robert P. Cálculo y Geometría Analítica Edit. McGraw Hill. Zill Dennis G.
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