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UNI DAD 3
ESPACIO BIDIMENSIONAL : LA RECTA
Objetivos
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Geometría analítica
91
Introducción
U
3.1. Definición de recta
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92
Dos puntos sólo pueden ser unidos por una sola recta y la relación matemática que satisface la unión de estos se llama ecuación de la recta .
x = yx = – y
y = 0.x = 0.
k y = kh x = h
Ejemplo 1
A Bx y
Solución A
B
.
3.2. Ángulo de inclinación de una recta
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Geometría analítica
93
Inclinación de una recta
Es el ángulo que forma con la dirección positiva de l eje X . Se mide a partir del eje X en el sentido contrario al recorrido de las manecillas del reloj y los valores son de 0 a 180 como se aprecia en la figura 3.1.
La inclinación de la recta L1 se representa por el ángulo ; asimismo, la inclinación de la recta L2 es el ángulo .
=
L2
L
y
(x,
L2 L
Y
XO
x
y
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94
Ejemplo 2
AB
Solución
=
3.3. Pendiente de una recta
La pendiente de una recta el valor de la tangente del ángulo de inclinación
pendiente es positivapendiente es negativa
Pendiente de una recta que pasa por dos puntos
Sean A(x1, y1) y B(x2, y2), puntos de la recta L , si desde A trazamos una línea recta paralela al eje X e igualmente desde B una paralela al eje Y, se forma el triángulo ABC. La inclinación de la recta AB es el ángulo y éste es igual al ángulo CAB, como se observa en la figura 3.2.
Entonces, por la definición de pendiente se tiene que la pendiente de:
x2x
y
y
2
Y
X
(x y
(x2 y2
L
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Geometría analítica
95
La pendiente de una recta, llamada también por algunos autores coeficiente angular de la recta, se suele representar por la letra m. Así, se tiene la siguiente fórmula:
Significa que la pendiente de la recta que pasa por dos puntos es igual a la diferencia de ordenadas dividida entre la diferencia de abscisas, tomadas en el mismo orden.
y2 – y m
x2 – x m
Ejemplo 3
A BC D
Solución B AA B
m m
m m
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96
ABAB
CD
CD
3.4. Ecuación punto-pendiente de una recta
el origen m
m
La ecuación de una recta que pasa por el origen y t iene pendiente m , se puede obtener de una manera sencilla, considerando la figura 3.3, en donde si A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), son puntos de la recta AB, los triángulos AOA’, BOB’ y COC’ son semejantes; entonces se tiene que:
Y
XO
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Geometría analítica
97
, entonces , es decir:
para cualquier punto P(x, y) de la recta AB se verifica que:
Así, la ecuación de una recta que pasa por el origen y tiene una pendiente m es y = mx.
Ahora bien, para la obtención de la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, se considerará que A(x
1, y
1) es un punto de la recta y
m1 su pendiente. Si P (x, y) es un punto cualquiera de la recta, por definición de pendiente se tendrá la ecuación:
; por lo tanto que es la ecuación buscada.
A esta ecuación se le suele llamar forma ordinaria de la ecuación de la recta o ecuación punto-pendiente.
Ejemplo 4
A
Solución y =mx my = 2x
x y
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x y
Ejemplo 5
A B
Solución A (x , y B (x2, y2
, AB
m
AB y = x x y
3.5. Ecuación pendiente-ordenada al origen de una recta
y =mx
Se llama ordenada al origen de una recta, al valor de la ordenada en el punto de intersección de la recta con el eje Y. Se representa por la letra b. Para obtener la ecuación de una recta con pendiente m y ordenada al origen b se procederá como sigue:
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Geometría analítica
99
Considerando la figura 3.4 se tiene que la recta L1, cuya ecuación es y= mx pasa por el origen y es paralela a L2, de lo que si la pendiente de L1 es m la de L2, también lo es.
Analizando ahora la relación que hay entre las coordenadas de los puntos correspondientes A y A’, B y B’ sobre ambas rectas, se tiene que:
Las abscisas son las mismas para las dos parejas de puntos, esto es, la abscisa de A es la misma que la de A’, la abscisa de B es la misma que la de B’. Las ordenadas de los puntos A, B, de la recta L2 son iguales a las de los puntos correspondientes A’, B’, de la recta L1 aumentadas siempre en la misma cantidad b, que es la ordenada en el origen de la recta L2, es decir:
La ordenada de A = ordenada de A’ + b. La ordenada de B = ordenada de B’ + b.
De una manera general, para un punto cualquiera P(x, y) de la recta L2 se tendrá que:
ordenada de P = ordenada P’ + b
Por lo tanto, la ordenada al origen de la recta L1, cuya ecuación es y = mx, tiene valor cero; asimismo, la ordenada al origen de la recta L2 tiene el valor b, por lo que concluimos que la ecuación es y = mx + b.
Esta relación entre las coordenadas (x, y) de un punto cualquiera de la recta L2, su pendiente m y su ordenada en el origen b es la ecuación de la recta, se suele llamar forma tangencial o abreviada de la ecuación de la recta.
Y
X
b
0
L2
L
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100
Ejemplo 6
Solución
y = x + 2
=
y = x
y = –x +
Ejercicio 1
1.
2.
3.
4. x y
5. x y
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Geometría analítica
101
3.6. Ecuación simétrica de una recta
-
Ecuación simétrica es aquella que está determinada en función de los segmentos a y b, en magnitud y signo, los que determinan las intersecciones sobre los ejes de las coordenadas. Como se aprecia en la figura 3.5, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B se obtiene utilizando la ecuación punto-pendiente, esto es:
esto es, –ay = bx – ab, trasponiendo términos y
dividiendo por ab, resulta , es la ecuación simétrica de la recta que
pasa por los puntos A y B.
Ejemplo 7
Y
X
(a
b
b
a0
B
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Solución a
b
3.7. Ecuación general de una recta
La ecuación general de primer grado con dos variables es de la forma:
Ax + By + C = 0
Si alguno de los coeficientes es igual a cero, se tienen los casos siguientes:
A = 0, C = 0 y B no es igual a cero, la ecuación es de la forma By = 0, equivale a y = 0, que representa al eje X.
B = 0, C = 0 y A no es igual a cero, la ecuación es de la forma Ax = 0, equivale a x = 0, que representa al eje Y.
A = 0 y B y C no son iguales a cero, la ecuación es de la forma By + C = 0; esto es y = –C/B, que representa una recta paralela al eje X a la distancia –C/B.
B = 0 y A y C no son iguales a cero, la ecuación es de la forma Ax + C = 0; esto es, x = –C/A, que representa una recta paralela al eje Y a la distancia –C/A.
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Geometría analítica
103
C = 0 y A y B no son cero, la ecuación es de la forma Ax + By = 0; esto es, y = –Ax/B, que representa una recta que pasa por el origen y tiene de pendiente –A/B.
En resumen, cualesquiera que sean los valores de A, B y C, con A y B diferentes de cero, una ecuación de la forma:
Ax + By + C = 0
representa una recta. A esta ecuación se le llama forma general de la ecuación de la recta.
A B C By
y = mx + b A/BC/B
Ejemplo 8
x = 0xx y = 0x y
Solución x
x
y
y
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104
Ejemplo 9
Solución Ax + By + C = forma general
x yx y
y
NOTA
B By x
B
3.8. Distancia de un punto a una recta
forma normal
Forma normal de la ecuación de la recta
Es aquella que viene determinada en función de la distancia (d) del origen a la recta y del ángulo , que es el ángulo formado por el segmento d con la dirección positiva del eje X, como se muestra en la figura 3.6.
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Geometría analítica
105
AB AOP BOP
Sustituyendo estos valores en la ecuación simétrica anterior, resulta:
, entonces la ecuación normal de la recta es:
x + y = d
Ax + By +C d
Ax + By +C x + y d
dk = C
(*)
Y
X
b
a0
d
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k2
2 2
x + y = d
dx
d
Ax + By + C
2 2
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Geometría analítica
107
Ejemplo 10
x + 4yx y
Solución
d
x y
d
x y
P(x y Ax + By + CP
Ax + By + C
2 2
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108
en valor absoluto,
Ax + By + C P(x yAx + By + C
C Ax By d
x y
x y
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Geometría analítica
109
Ejemplo 11
O P Qx + 4y
Solución
O d
P d =
Q d =
3.9. Intersección de rectas
intersección
Ecuación de todas las rectas que pasan por un punto dado A (x 1, y1)
Se denomina haz de rectas a la familia de rectas que pasan por el punto A y difieren sólo en su pendiente. Si se nombra m a una pendiente cualquiera, entonces la ecuación de todas las rectas que pasan por el punto A, con exclusión de la paralela al eje Y, que no tiene pendiente, es:
A cada valor de m le corresponderá una recta del haz. Asimismo, la ecuación de la recta que pasa por A y es paralela al eje Y es x = x1, ahora bien, si se conocen por lo menos dos rectas de esta familia, cómo podremos calcular el punto de intersección.
Cálculo del punto de intersección de dos rectas. Para hallar el punto de intersección de las dos rectas.
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110
y
Se resuelve el sistema de ecuaciones. Las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de las rectas dan las coordenadas del punto de intersección.
Ejemplo 12
A
x y x y
Solución y + = m (x –
A yx
x x x x x xx x y y
y
P
3.10. Ángulo entre rectas
ángulo entre dos rectas
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Geometría analítica
111
Ángulo de dos rectas en función de sus pendientes
Sean las rectas L1 y L
2, de la figura 3.8, cuya inclinación es
1 y
2 y cuyas
pendientes son m1 y m2, respectivamente.
Consideramos el ángulo , medido de L1 a L2, en dirección contraria de las manecillas del reloj. se puede calcular en función de las pendientes de L1 y L2, es decir m1 y m2.
En el triángulo MNP, el ángulo 2 es exterior y consecuentemente:
2 = 1 + ; por lo tanto = 2 – 1
De la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, resulta:
m mm m
Si se quisiera calcular el ángulo ’ de L2 a L
1 en dirección contraria de las
manecillas del reloj, la fórmula sería:
m mmm
que es igual a tan pero con signo contrario, lo que nos dice que se trata de ángulos suplementarios, como ya lo habíamos mencionado.
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112
Ejemplo 13
A B CA
Solución AAB AC
A A
NOTA
y la fórmula no se puede aplicar
X
Y
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Geometría analítica
113
Ejercicio 2
x y
A B
A x y
x y x y
x y x y
3.11. Familia de rectas paralelas
Ecuación de todas las rectas paralelas a una recta de pendiente dada
Es la ecuación de la familia de rectas paralelas a una recta dada. Todas estas rectas se diferencian en la ordenada en el origen. Así, si m1 es la pendiente de la recta dada y llamamos b a una ordenada al origen cualquiera, tendremos que la ecuación buscada es:
y = m1 x + b
Ahora bien, cómo saber si dos rectas son paralelas.
La condición de paralelismo de dos rectas es que sus pendientes sean iguales.
Si dos rectas son paralelas, su ángulo es cero y la tangente de cero grados es también cero. Por lo tanto, en la fórmula:
m mmm
el numerador es igual a cero, o sea m1 – m
2 = 0, entonces m
1 = m
2, por lo que si
las pendientes son iguales, las rectas son paralelas.
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Ejemplo 14
y = 4x –
Solución y = 4x –
y = 4x + n
3.11.1. Distancia entre rectas paralelas
Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera de una de las rectas y se calcula la distancia de este punto a la otra recta. Si ambas rectas están en su forma normal, sus ecuaciones solamente se diferencian en sus distancias d y d’ al origen. La distancia entre las dos rectas será:
| d – d ’| o | d + d ’|
dependiendo de si las rectas se encuentran en el mismo cuadrante o en cuadrantes distintos (el origen se encuentra entre las dos rectas) respectivamente.
Ejemplo 15
x y x y
Solución x yx y
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Geometría analítica
115
d
d d
d d
d d
3.11.2. Ecuación de una recta y es paralela a otra que pasa por un punto dado
Ejemplo 16
Ax – y
Solución
y – y = m (x – x A x = 3, y = – m = y m (x
x y
y + = (x y = x – .
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116
3.12. Familia de rectas perpendiculares
Condición de perpendicularidad entre rectas
Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo entre ellas es de 90 y la tangente de 90 no existe, pero la cotangente es igual a cero.
Entonces, para que:
m mm m
sea igual a cero se debe cumplir que:
m m , por lo que mm
, o también mm .
Así dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son negativamente recíprocas, es decir, si su producto es igual a –1.
Entonces, una familia de rectas perpendiculares es la que todas sus rectas forman un ángulo de 90° con una recta dada, sus pen dientes son negativamente recíprocas y su producto es igual a –1.
Ejemplo 17
l A B l2 CD
Solución AB CD
AB CD
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Geometría analítica
117
3.12.1. Ecuación de una recta perpendicular a otra que pasa por un punto determinado
Ejemplo 18
Px y
Solución:
P
x + 9y – =
3.13. Representación de regiones en el plano utilizando desigualdades y rectas
y x x
x xy
(x xx y y
x y y
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118
y > mx + b y = mx + b.
y < mx + b y = mx + b.
y > a x = ay < a x = a
Y Y
X X
y = mx + b
y = mx + by > mx + b
y < mx + b
y
y
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Geometría analítica
119
Ejemplo 19
Solución x y
x xy
y
y
y
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120
Ejercicio 3
A
A D
Ejercicios resueltos
A B
Solución
m
m
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Geometría analítica
121
2. AB A B y B
Solución
y y y
y y
y y y
B
3.
Solución mb
4.
Solución
y
m
b
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122
5. MM2
SoluciónAx + By + C
,
y
x x A
x y
y B
6. M M2
Solución
M M2
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Geometría analítica
123
y x x
x y y y
7. A B
Solución
AB
ABAC
AC BC
BC
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124
8. A
Solución
d d
9.
Solución
0
x y
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Geometría analítica
125
10. A B C
Solución
AB
AB m
AC
AC m
BC
BC m
ABm AC m2
m mm m
m mm m
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126
11. PC O
Solución: CO
m
PCO
P CO
12.
Solución
m ,
m
m2
m
m
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Geometría analítica
127
m
13.
Solución d
A
u
d2
u
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128
dd
14. A BC
Solución
m
x y
15. x – y = A D
Solución
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Geometría analítica
129
AD
m
m
x y
16.
0
Solución
L L2
L 0L L2 P L L
Q L2 L R
L
L2 L2
L L
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130
PQR PR QRP Q
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Geometría analítica
131
Autoevaluación
1.
x yx y=0x y=0
x y=0
2.
3.
4.
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132
5. BC O
x yx +2y
x +2yx y
6. PA B
x y x y x y = 0x y
7.A B C
BAC
8.
9.
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Geometría analítica
133
10. d4x y x y
dddd
Ejercicios opcionales
1. M M2
M
2. PQ
3. M M2
N M
4.A
5. A
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Geometría analítica
135
Respuestas a los ejercicios
m = – b = 2
x yx + 2yd = 4P
x y
b
Respuestas a la autoevaluación
1
2
3
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136
Respuestas a los ejercicios opcionales
xMA