Trayectorias en el espacio-tiempo de Schwarzschild
Líneas geodésicas de la métrica
Introducción Las ecuaciones geodésicas para una partícula prueba se
pueden obtener aplicando el método lagrangiano al principio variacional de
acción mínima
∫ ∫√| | ∫√|
|
donde es un parámetro afín de la curva geodésica (tiempo propio en el
caso de una geodésica temporal de una partícula material), el punto indica
la derivación total respecto a . Dada esta expresión definimos el
lagrangiano de la formulación lagrangiana en la forma
∫ √| |
Dado que es una cantidad no negativa, el proceso de minimización dará
el mismo resultado tanto para como para su cuadrado . Haciendo uso
de esto, podremos definir un nuevo lagrangiano, más sencillo de manejar,
que da lugar al mismo valor extremal de la acción para la geodésica dada,
solución de la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente
(
)
Tenemos que tener en cuenta que realmente no hemos introducido un valor
concreto de la masa de la partícula prueba, aunque actuaría como una
mera constante de proporcionalidad , o incluso
, en analogía con el valor clásico
. Tomando este último valor, para la masa unitaria, el momento de la
partícula está dado por
Geodésicas para la métrica de Schwarzschild Partimos de la expresión
concreta del lagrangiano en este caso, con ⁄ ,
(
) (
)
donde
Realizando las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtenemos el conjunto de
ecuaciones geodésicas para las cuatro coordenadas del sistema. Para la
variable temporal obtenemos
(
)
(
)
dado que
(
)
Para las tres coordenadas espaciales obtenemos
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
La conservación de las dos constantes se sigue del hecho que el
lagrangiano es independiente de y .
Analizando la ecuación para la variable angular , vemos que se satisface
idénticamente en cuando ⁄ , (que resulta ser el plano o plano
ecuatorial). Por tanto, en dicho plano está contenida una geodésica del
movimiento. Dada la simetría esférica espacial de la métrica, cualquier
geodésica puede localizarse, mediante una adecuación rotación, en este
plano ecuatorial. Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos reducir el
estudio al movimiento de aquellas partículas que se mueven en dicho
plano. En este caso, las ecuaciones de la geodésica se escriben
(
)
(
)
(
)
ecuaciones válidas para las geodésicas temporales y nulas, que admiten una
constante adicional que puede utilizarse en lugar de la ecuación para la
coordenada para simplificar el análisis. En particular, para la geodésica
temporal, al ser ,
el vector velocidad de la partícula, se satisface
mientras que para la geodésica nula
Antes de pasar a discutir los dos tipos de geodésicas, es importante
considerar el significado de las dos constantes . Si en un cierto suceso
un observador con velocidad observa una partícula que tiene momento ,
medirá una energía de la partícula dada por
Por ejemplo, si el observador está en reposo en el infinito, ,
tendremos
que es una cantidad conservada a lo largo de la trayectoria de la partícula.
Para la cantidad constante , comprobamos que es el momento angular en
torno al eje , por unidad de masa o para una masa unitaria.
Trayectorias de las partículas materiales
En este caso, las ecuaciones a resolver son, en el plano ecuatorial
(
)
(
) (
)
donde hemos sustituido la ecuación de la coordenada por la ecuación para
la norma de la velocidad , y hemos tomado el parámetro afín
como el tiempo propio . Sustituyendo la primera y la tercera ecuación en
la segunda obtenemos la ecuación de la energía para la coordenada
(
)
Confirmamos que en el infinito , con , tenemos el valor
correcto de la energía de la partícula
La ecuación de la órbita de la partícula en el plano del movimiento
⁄ , se obtiene directamente con el cambio
de la misma manera que el análisis newtoniano. Tomando además la
variable usual
obtenemos la ecuación de la órbita en la forma
(
)
Podemos dar un paso más eliminando el término dependiente de la energía,
derivando respecto a con el resultado
En la gravedad newtoniana se satisface la ecuación tomando , por lo
que el último término está ausente. Por otro lado en la relatividad general la
coordenada no representa la distancia desde el centro de coordenadas,
como en la física newtoniana. De los movimientos posibles de la partícula
prueba, son especialmente interesantes el movimiento radial y el
movimiento circular.
Movimiento radial En este tipo de movimiento, la coordenada es
constante, lo que implica que . Con esto, la ecuación de la energía
para la coordenada queda escrita en la forma
y derivando de nuevo respecto al tiempo, la ecuación de movimiento en la
dirección radial es
que tiene precisamente la misma forma que la ecuación correspondiente de
la gravedad newtoniana. No obstante, recordamos que no es la distancia
en la dirección radial, y además la derivación se realiza respecto al tiempo
propio, y no respecto al tiempo absoluto newtoniano.
Movimiento circular Para el movimiento circular en el plano ecuatorial
tenemos , y la ecuación de la órbita se reduce a
con la solución
( √
)
Potencial efectivo
Recordatorio newtoniano En la dinámica newtoniana la ecuación de
movimiento de una partícula de masa unidad en un potencial central se
escribe
donde es el potencial efectivo, y la energía total de la partícula.
Para una órbita alrededor de un cuerpo esférico de masa , el potencial
efectivo es
y como se muestra en la figura la presencia del potencial centrífugo
posibilita que la partícula tenga distintos tipos de órbita en función del
valor de la energía.
En particular, para la órbita circular la condición es ,
de forma que son posibles todas las posiciones radiales, en función del
valor de .
En la relatividad general, a partir de la ecuación de la energía para la
coordenada radial, se deduce que el potencial efectivo para una masa
unidad está dado por
(
)
que contiene un término adicional proporcional a respecto a la
expresión newtoniana. En la figura se muestra el perfil del potencial
efectivo en función del parámetro
Los puntos indican las posiciones de las órbitas circulares estables, que
aparecen en el mínimo local del potencial. Los máximos locales
corresponden a las órbitas circulares inestables.
Con un cálculo sencillo se demuestra que los extremos del potencial se
sitúan en las posiciones
( √
)
Apuntamos en particular que si √ sólo existe un extremo,
que es estable, y que para valores inferiores de las órbitas no tienen
punto de retroceso. El significado de este resultado es que la órbita estable
más interna se sitúa en la posición
en clara diferencia con el caso newtoniano. La existencia de esta cota
inferior a para una órbita circular tiene unas implicaciones astrofísicas
enormes, ya que determina que la materia por debajo de ese valor se verá
absorbida por el cuerpo masivo central. En este sentido, considerando la
aceleración radial de la partícula
vemos que los dos últimos términos deben dar cuenta de la fuerza
centrífuga, y se escriben
(
)
y por tanto, la fuerza cambia de signo, y se dirige radialmente hacia el
interior en la región .
Trayectoria de la luz
La trayectoria de un fotón o de cualquier otra partícula de masa nula, es una
geodésica nula, por lo que debemos utilizar el parámetro afín sobre la
geodésica, en lugar del tiempo propio . Consideramos de nuevo el
movimiento sobre el plano ecuatorial, y reemplazamos la ecuación de
movimiento para la coordenada radial, por la expresión . Por tanto,
tenemos las ecuaciones de las geodésicas
(
)
(
) (
)
y de forma análoga, sustituyendo la primera y tercera ecuación en la
segunda, obtenemos la ecuación de la energía para la coordenada
(
)
La ecuación de la órbita de la partícula en el plano del movimiento
⁄ , se obtiene directamente con el cambio
de la misma manera que el análisis newtoniano. Tomando además la
variable usual
obtenemos la ecuación de la órbita en la forma
(
)
Podemos dar un paso más eliminando el término dependiente de la energía,
derivando respecto a con el resultado
Movimiento radial Para el movimiento radial, , la ecuación para la
coordenada se reduce a
(
) (
)
(
)
que tras una integración da lugar a las leyes de movimiento
|
|
para los fotones que se dirigen radialmente hacia afuera, y
|
|
para los fotones que inciden radialmente sobre el cuerpo masivo. Sus líneas
de mundo tienen pendientes cuando , formando el cono de luz de
la relatividad especial, mientras que a medida que se acerca a el
cono se va estrechando progresivamente, y cuando la pendiente
tiende a .
Esta estructura de conos de luz nos permite entender por qué una partícula
tarda un tiempo coordenado infinito en alcanzar el horizonte , como
muestra la figura.
La curva sólida es la línea de mundo de una partícula material, liberada
desde el reposo por un observador fijo en . Ya que esta línea de
mundo debe estar confinada en el interior del cono de luz, el
estrechamiento progresivo de los conos fuerza a que las líneas de mundo se
hagan más verticales a medida que . Por tanto, virtualmente la
partícula alcanzará la posición sólo después de un tiempo infinito.
En este caso, las coordenadas resultan inadecuadas para estudiar lo
que sucede en y dentro de .
Movimiento circular Para el movimiento circular, , y aplicándo la
ecuación de la órbita, vemos que sólo es posible un único valor de la
coordenada
Por tanto, un cuerpo masivo tiene un efecto muy considerable sobre las
trayectorias posibles de la luz.
Potencial efectivo La fórmula más sencilla del potencial efectivo
corresponde a un reescalado del parámetro afín a lo largo de la geodésica
(
)
que se muestra en la figura adjunta.
Como vemos tiene un único extremo en , que resulta ser un
máximo, con valor , de forma que la única órbita circular
posible es inestable.
Parámetro de impacto Cuando analizamos la trayectoria de un fotón que
incide sobre el cuerpo masivo desde una distancia lejana es aconsejable
caracterizar la órbita en función del parámetro de impacto . Dicho
parámetro viene determinado por la trayectoria rectilínea que describe el
fotón a una distancia . Como muestra la figura
la cantidad esta relacionada con las coordenadas polares en el
plano del movimiento definidas para la métrica plana a grandes distancias
del cuerpo masivo:
dependiendo de la situación del eje polar. Y físicamente está dado por
siendo el momento lineal del fotón, con lo que podemos reescribir la
ecuación de la energía en la forma
La naturaleza de la órbita del fotón dependerá del valor relativo de .
Considerando fotones que incidan sobre el cuerpo masivo desde el infinito,
de forma que es decreciente inicialmente, vemos que cuando
esto es, cuando √ , existe un único punto de retroceso de la órbita
, donde se produce el máximo acercamiento al cuerpo masivo, para
alejarse después de nuevo al infinito. Cuando √ , siempre es un
cantidad positiva, no hay punto de retroceso, y el rayo de luz será
capturado, tras realizar un movimiento en espiral hacia el cuerpo masivo.
Problemas resueltos
1) Considerar una partícula prueba que se libera en el infinito desde el
reposo. Obtener la ley del movimiento para su caída libre en el seno del
campo gravitatorio de Schwarzschild, en la forma , y .
Determinar el tiempo necesario para que alcance la posición .
Determinamos en primer lugar su energía en función de los datos iniciales,
cuando . Obtenemos
y la ecuación de movimiento se reduce a
√
donde tomamos el signo menos al ser en el movimiento de caída. Esta
ecuación tiene la integral directa
√ ( )
donde hemos elegido la constante de integración tal que , cuando ,
valor arbitrario. Por tanto, el tiempo propio de caída está dado por, para ,
√
También podemos parametrizar la línea de mundo de la partícula en función
del tiempo coordenado en lugar del tiempo propio . Para ello, hacemos uso
de
√
√
(
)
Teniendo en cuenta el valor de la energía de la partícula, obtenemos
√
(
)
que tiene una integral directa, aunque algebraicamente complicada. Una vez
obtenida dicha solución, se demuestra que el tiempo coordenado en el
movimiento de caída satisface
Por tanto, la partícula tarda un tiempo propio finito en alcanzar , pero
respecto a un observador estático a gran distancia del cuerpo masivo (cuyo
tiempo propio será el tiempo coordenado), tardará un tiempo infinito en
alcanzar la posición .
2) Demostrar que las órbitas circulares de una partícula material cuyo
radio satisface son órbitas ligadas, al ser la energía de la partícula
menor que su energía en reposo, y por tanto existir una energía
gravitacional de enlace o ligadura no nula.
Las órbitas circulares satisfacen , y por tanto,
expresión que relaciona el momento angular con la coordenada radial de la
órbita
Substituyendo este valor en la ecuación de la energía, dado que ,
obtenemos
√
Para que la órbita sea ligada es necesario que , lo que no lleva a
la condición
cuya solución para la coordenada radial de la órbita es
3) Explicar que fracción de energía pierde una partícula que viniendo del
infinito pasa a tener una órbita ligada. Comparar con el límite newtoniano.
Hemos visto que la energía para la órbita ligada de radio está dada por
√
Por tanto, la fracción de energía que debe perder la partícula (mediante
emisión de radiación) para pasar del infinito a la órbita ligada es
√
Por ejemplo, en el caso de la órbita estable más interna con , esta
fracción de energía tiene el valor
√
cantidad enormemente importante, comparada por ejemplo con la emisión de
radiación de la conversión nuclear del hidrógeno en helio (menos del 1%).
En el límite newtoniano, , para una masa unitaria, la energía de la
partícula está dada por
√
(
)
suma de la energía en reposo, , y la energía de ligadura que proviene de la
suma de energía cinética y energía potencial de la órbita circular
Por tanto, la fracción de energía perdida es
en el caso de la órbita .
4) Demostrar que cualquier partícula material con energía se verá
atraída hacia cuando √
.
Partimos de la ecuación de la energía para la coordenada
(
)
que escribimos
(
)
Para que la partícula material alcance la posición , no debe ser nulo,
lo que implicaría la existencia de un punto de retroceso. Por tanto, la energía
debe satisfacer
siendo suficiente que
siendo el valor máximo del potencial efectivo. Lo determinamos en la forma
(
)
con la solución
( √
)
donde ⁄ . El signo positivo corresponde al mínimo, y el signo negativo
al máximo. La condición necesaria para la existencia del máximo y del mínimo
es
√
El valor máximo es
(
)
El valor nulo corresponde al punto máximo en , y por tanto,
( √
)
Por tanto, para la energía , la partícula alcanzará la posición ,
siempre que
√
5) Una partícula en el infinito en la métrica de Schwarzschild se mueve
radialmente hacia el interior con velocidad coordenada . Demostrar que
la velocidad coordenada en está dada por
(
)
(
)
[
(
)]
donde es un parámetro por determinar. Obtener la velocidad de la
partícula relativa a un observador estacionario situado en , y hallar su
valor límite cuando .
Debemos resolver las ecuaciones geodésicas para un movimiento radial con la
condición de contorno
teniendo en cuenta que
De la ecuación de conservación de la energía en la coordenada radial .
despejamos
(
) (
(
)
)
siendo
(
)
Reuniendo ambas expresiones, encontramos la velocidad coordenada en
función de la energía de la partícula
(
)
(
)
(
(
))
expresión que coincide con la propuesta al tomar
que será función de la velocidad coordenada en el infinito, que satisface
(
)
(
)
Por otra parte, para un observador estático situado en la coordenada , el
intervalo de tiempo propio y de distancia radial propia están dado por
√ (
)
√ (
)
y por tanto, en su vecindad medirá una velocidad coordenada tal que
(
)
(
)
(
)
(
(
))
que tiene el valor , en , independientemente del valor de la
velocidad coordenada en el infinito.
Ejercicio de autoevaluación
1) Para la solución de Schwarzschild en el espacio vacío y en presencia
de una constante cosmológica
(
) (
)
demostrar que las órbitas de las partículas materiales tienen distinta
apariencia respecto al caso , pero que las órbitas de los fotones sí
mantienen su forma.